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  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar la finalidad del concepto de campo eléctrico.
  • Describir las propiedades del campo eléctrico.
  • Calcular el campo de una colección de cargas fuente de cualquier signo.

Como vimos en el apartado anterior, la fuerza eléctrica neta sobre una carga de prueba es la suma vectorial de todas las fuerzas eléctricas que actúan sobre ella, procedentes de todas las distintas cargas fuente, situadas en sus distintas posiciones. ¿Pero qué pasa si utilizamos una carga de prueba diferente, una con una magnitud o signo diferente, o ambos? O supongamos que tenemos una docena de cargas de prueba diferentes que deseamos probar en el mismo lugar. Tendríamos que calcular la suma de las fuerzas desde cero. Afortunadamente, es posible definir una cantidad, llamada campo eléctrico, que es independiente de la carga de prueba. Solo depende de la configuración de las cargas fuente, y una vez encontrada, nos permite calcular la fuerza sobre cualquier carga de prueba.

Definir un campo

Supongamos que tenemos N cargas de origen q1,q2,q3,…,qNq1,q2,q3,…,qN situadas en las posiciones r1,r2,r3,…,rNr1,r2,r3,…,rN, aplicando fuerzas electrostáticas N sobre una carga de prueba Q. La fuerza neta sobre Q es (ver la Ecuación 5.2)

F=F1+F2+F3++FN=14πε0(Qq1r12r^1+Qq2r22r^2+Qq3r32r^3++QqNr12r^N)=Q[14πε0(q1r12r^1+q2r22r^2+q3r32r^3++qNr12r^N)].F=F1+F2+F3++FN=14πε0(Qq1r12r^1+Qq2r22r^2+Qq3r32r^3++QqNr12r^N)=Q[14πε0(q1r12r^1+q2r22r^2+q3r32r^3++qNr12r^N)].

Podemos reescribirlo como

F=QEF=QE
5.3

donde

E14πε0(q1r12r^1+q2r22r^2+q3r32r^3++qNr12r^N)E14πε0(q1r12r^1+q2r22r^2+q3r32r^3++qNr12r^N)

o, de forma más compacta,

E(P)14πε0i=1Nqiri2r^i.E(P)14πε0i=1Nqiri2r^i.
5.4

Esta expresión se denomina campo eléctrico en la posición P=P(x,y,z)P=P(x,y,z) de las cargas de la fuente N. Aquí, P es la ubicación del punto en el espacio donde se calcula el campo y es relativo a las posiciones riri de las cargas de origen (Figura 5.18). Observe que tenemos que imponer un sistema de coordenadas para resolver los problemas reales.

Se muestran ocho cargas fuente como pequeñas esferas distribuidas en un sistema de coordenadas x y z. Las fuentes están marcadas como q sub 1, q sub 2, y así sucesivamente. Las fuentes 1, 2, 4, 7 y 8 están sombreadas en rojo y las fuentes 3, 5 y 6 en azul. También se muestra un punto de prueba marcado como punto P. Los vectores de campo eléctrico debidos a cada fuente se muestran como una flecha en el punto P, apuntando hacia el punto P y marcados con el índice de la fuente asociada. El vector E1 apunta lejos de q1, E2 lejos de q2, E4 lejos de q 4, E7 lejos de q7 y E8 lejos de q8. El vector E3 apunta hacia q3, el vector E5 hacia q5 y el vector E6 hacia q6.
Figura 5.18 Cada una de estas ocho cargas fuente crea su propio campo eléctrico en cada punto del espacio; aquí se muestran los vectores de campo en un punto arbitrario P. Al igual que la fuerza eléctrica, el campo eléctrico neto obedece al principio de superposición.

Observe que el cálculo del campo eléctrico no hace referencia a la carga de prueba. Por lo tanto, el enfoque físicamente útil es calcular el campo eléctrico y luego utilizarlo para calcular la fuerza sobre alguna carga de prueba más tarde, si es necesario. Diferentes cargas de prueba experimentan diferentes fuerzas (Ecuación 5.3), pero es el mismo campo eléctrico (Ecuación 5.4). Dicho esto, recuerde que no hay ninguna diferencia fundamental entre una carga de prueba y una carga de origen; son simplemente etiquetas convenientes para el sistema de interés. Cualquier carga produce un campo eléctrico; sin embargo, al igual que la órbita de la Tierra no se ve afectada por la propia gravedad terrestre, una carga no está sometida a una fuerza debida al campo eléctrico que genera. Las cargas solo están sujetas a las fuerzas de los campos eléctricos de otras cargas.

En este sentido, el campo eléctrico EE de una carga de puntos es similar al campo gravitacional gg de la Tierra; una vez que hemos calculado el campo gravitacional en algún punto del espacio, podemos utilizarlo siempre que queramos para calcular la fuerza resultante sobre cualquier masa que decidamos colocar en ese punto. De hecho, esto es exactamente lo que hacemos cuando decimos que el campo gravitacional de la Tierra (cerca de la superficie terrestre) tiene un valor de 9,81m/s2,9,81m/s2, y luego calculamos la fuerza resultante (es decir, el peso) sobre diferentes masas. Además, la expresión general para calcular gg a distancias arbitrarias del centro de la Tierra (es decir, no solo cerca de la superficie terrestre) es muy similar a la expresión para EE: g=GMr2r^g=GMr2r^, donde G es una constante de proporcionalidad, que juega el mismo papel para gg como 14πε014πε0 hace para EE. El valor de gg se calcula una vez y luego se utiliza en un sinfín de problemas.

Para llevar la analogía más allá, fíjese en las unidades del campo eléctrico: Desde F=QEF=QE, las unidades de E son newtons por culombio, N/C, es decir, el campo eléctrico aplica una fuerza sobre cada carga unitaria. Ahora fíjese en las unidades de g: Desde w=mgw=mg, las unidades de g son newtons por kilogramo, N/kg, es decir, el campo gravitacional aplica una fuerza sobre cada unidad de masa. Podríamos decir que el campo gravitacional de la Tierra, cerca de la superficie terrestre, tiene un valor de 9,81 N/kg.

El significado de "campo"

Recuerde que la palabra "campo" tiene un significado preciso en este contexto. Un campo, en física, es una cantidad física cuyo valor depende de (es una función de) la posición, relativa a la fuente del campo. En el caso del campo eléctrico, la Ecuación 5.4 muestra que el valor de EE (tanto la magnitud como la dirección) depende del lugar del espacio en el que se encuentre el punto P, medido desde los lugares riri de las cargas de origen qiqi.

Además, dado que el campo eléctrico es una cantidad vectorial, el campo eléctrico se denomina campo vectorial. (El campo gravitacional es también un campo vectorial). En cambio, un campo que solo tiene una magnitud en cada punto es un campo escalar. La temperatura de una habitación es un ejemplo de campo escalar. Es un campo porque la temperatura, en general, es diferente en diferentes lugares de la habitación, y es un campo escalar porque la temperatura es una cantidad escalar.

Además, al igual que hizo con el campo gravitacional de un objeto con masa, debe imaginar el campo eléctrico de un objeto con carga (la carga fuente) como una sustancia continua e inmaterial que rodea la carga fuente, llenando todo el espacio, en principio, a ±± en todas las direcciones. El campo existe en cada punto físico del espacio. Dicho de otro modo, la carga eléctrica de un objeto altera el espacio que lo rodea de tal manera que todos los demás objetos cargados eléctricamente en el espacio experimentan una fuerza eléctrica como resultado de estar en ese campo. El campo eléctrico, por tanto, es el mecanismo por el que las propiedades eléctricas de la carga fuente se transmiten al resto del universo y a través de él (de nuevo, el alcance de la fuerza eléctrica es infinito).

Veremos en capítulos posteriores que la velocidad a la que viajan los fenómenos eléctricos es la misma que la velocidad de la luz. Existe una profunda conexión entre el campo eléctrico y la luz.

Superposición

Otro hecho experimental sobre el campo es que obedece al principio de superposición. En este contexto, eso significa que podemos (en principio) calcular el campo eléctrico total de muchas cargas fuente calculando el campo eléctrico de solo q1q1 en la posición P, entonces calcula el campo de q2q2 en P, mientras que (y esta es la idea crucial) se ignora el campo de, e incluso la existencia de, q1.q1. Podemos repetir este proceso, calculando el campo de cada carga fuente individual, independientemente de la existencia de cualquiera de las otras cargas. El campo eléctrico total, entonces, es la suma vectorial de todos estos campos. Eso es, en esencia, lo que dice la Ecuación 5.4.

En la siguiente sección, describimos cómo determinar la forma de un campo eléctrico de una distribución de carga de la fuente y cómo dibujarlo.

La dirección del campo

La Ecuación 5.4 nos permite determinar la magnitud del campo eléctrico, pero también necesitamos la dirección. Utilizamos la convención de que la dirección de cualquier vector de campo eléctrico es la misma que la dirección del vector de fuerza eléctrica que el campo aplicaría a una carga de prueba positiva colocada en ese campo. Dicha carga sería repelida por cargas fuente positivas (la fuerza sobre ella apuntaría lejos de la carga fuente positiva) pero atraída por cargas negativas (la fuerza apunta hacia la fuente negativa).

Dirección del campo eléctrico

Por convención, todos los campos eléctricos EE apuntan lejos de las cargas fuente positivas y apuntan hacia las cargas fuente negativas.

Interactivo

Añada cargas al Electric Field of Dreams (Campo eléctrico de los sueños) y observe cómo reaccionan al campo eléctrico. Encienda un campo eléctrico de fondo y ajuste la dirección y la magnitud.

Ejemplo 5.3

El campo E de un átomo

En un átomo de helio ionizado, la distancia más probable entre el núcleo y el electrón es r=26,5×10−12mr=26,5×10−12m. ¿Cuál es el campo eléctrico debido al núcleo en la ubicación del electrón?

Estrategia

Observe que, aunque se menciona el electrón, no se utiliza en ningún cálculo. El problema pide un campo eléctrico, no una fuerza; por lo tanto, solo hay una carga involucrada, y el problema pide específicamente el campo debido al núcleo. Por tanto, el electrón es una pista falsa; solo importa su distancia. Además, como la distancia entre los dos protones del núcleo es mucho, mucho menor que la distancia del electrón al núcleo, podemos tratar los dos protones como una sola carga +2e (Figura 5.19).
Se muestra una carga positiva de más 2 e en el centro de una esfera de radio r. Un electrón se representa como una partícula en la esfera. El vector r se muestra como un vector con su cola en el centro y su cabeza en la ubicación del electrón. El campo eléctrico en la ubicación del electrón se muestra como un vector E con su cola en el electrón y apuntando directamente lejos del centro.
Figura 5.19 Representación esquemática de un átomo de helio. De nuevo, el helio no se parece físicamente a esto, pero este tipo de diagrama es útil para calcular el campo eléctrico del núcleo.

Solución

El campo eléctrico se calcula mediante
E=14πε0i=1Nqiri2r^i.E=14πε0i=1Nqiri2r^i.

Como solo hay una carga fuente (el núcleo), esta expresión se simplifica a

E=14πε0qr2r^.E=14πε0qr2r^.

Aquí q=2e=2(1,6×10−19C)q=2e=2(1,6×10−19C) (ya que hay dos protones) y se da r; sustituyendo se obtiene

E=14π(8,85×10−12C2N·m2)2(1,6×10−19C)(26,5×10−12m)2r^=4,1×1012NCr^.E=14π(8,85×10−12C2N·m2)2(1,6×10−19C)(26,5×10−12m)2r^=4,1×1012NCr^.

La dirección de EE se aleja radialmente del núcleo en todas las direcciones. ¿Por qué? Porque una carga de prueba positiva colocada en este campo se aceleraría radialmente lejos del núcleo (ya que también está cargado positivamente), y de nuevo, la convención es que la dirección del vector del campo eléctrico se define en términos de la dirección de la fuerza que aplicaría a las cargas de prueba positivas.

Ejemplo 5.4

El campo E sobre dos cargas iguales

(a) Halle el campo eléctrico (magnitud y dirección) a una distancia z por encima del punto medio entre dos cargas iguales +q+q que están a una distancia d (Figura 5.20). Compruebe que el resultado es coherente con lo que se espera cuando zdzd.

(b) Lo mismo que la parte (a), solo que esta vez haga la carga de la derecha qq en lugar de +q+q.

El punto P está a una distancia z por encima del punto medio entre dos cargas separadas por una distancia horizontal d. La distancia de cada carga al punto P es r, y el ángulo entre r y la vertical es theta.
Figura 5.20 Halle el campo de dos cargas fuente idénticas en el punto P. Debido a la simetría, el campo neto en P es totalmente vertical. (Observe que esto no es cierto lejos de la línea media entre las cargas).

Estrategia

Sumamos los dos campos como vectores, según la Ecuación 5.4. Observe que el sistema (y por tanto el campo) es simétrico respecto al eje vertical; como resultado, las componentes horizontales de los vectores de campo se cancelan. Esto simplifica la matemática. Además, tenemos cuidado de expresar nuestra respuesta final en términos de las únicas cantidades que se dan en el enunciado original del problema: q, z, d, y las constantes (π,ε0).(π,ε0).

Solución

  1. Por simetría, los componentes horizontales (x) de EE cancelan (Figura 5.21); Ex=14πε0qr2senθ14πε0qr2senθ=0Ex=14πε0qr2senθ14πε0qr2senθ=0.
    El punto P está a una distancia z por encima del punto medio entre dos cargas separadas por una distancia horizontal d. La distancia de cada carga al punto P es r, y el ángulo entre r y la vertical es theta. Los componentes x y y del campo eléctrico se muestran como flechas cuyas colas están en el punto P. Se muestran cuatro flechas, como sigue: E sub x r apunta a la izquierda, E sub x l apunta a la derecha, E sub y l apunta hacia arriba y E sub E y r apunta hacia arriba.
    Figura 5.21 Observe que los componentes horizontales de los campos eléctricos de las dos cargas se anulan entre sí, mientras que los componentes verticales se suman.

    El componente vertical (z) viene dado por
    Ez=14πε0qr2cosθ+14πε0qr2cosθ=14πε02qr2cosθ.Ez=14πε0qr2cosθ+14πε0qr2cosθ=14πε02qr2cosθ.
    Como ninguno de los otros componentes sobrevive, este es el campo eléctrico completo, y apunta en el k^k^. Observe que este cálculo utiliza el principio de superposición; calculamos los campos de las dos cargas de forma independiente y luego los sumamos.
    Lo que queremos hacer ahora es sustituir las cantidades de esta expresión que no conocemos (como r), o que no podemos medir fácilmente (como cosθ)cosθ) con cantidades que sí conocemos o podemos medir. En este caso, por la geometría,
    r2=z2+(d2)2r2=z2+(d2)2
    y
    cosθ=zr=z[z2+(d2)2]1/2.cosθ=zr=z[z2+(d2)2]1/2.
    Así, sustituyendo,
    E(z)=14πε02q[z2+(d2)2]z[z2+(d2)2]1/2k^.E(z)=14πε02q[z2+(d2)2]z[z2+(d2)2]1/2k^.
    Simplificando, la respuesta deseada es
    E(z)=14πε02qz[z2+(d2)2]3/2k^.E(z)=14πε02qz[z2+(d2)2]3/2k^.
    5.5
  2. Si las cargas de origen son iguales y opuestas, los componentes verticales se cancelan porque Ez=14πε0qr2cosθ14πε0qr2cosθ=0Ez=14πε0qr2cosθ14πε0qr2cosθ=0
    y obtenemos, para la componente horizontal de EE,
    E(z)=14πε0qr2senθi^14πε0qr2senθi^=14πε02qr2senθi^=14πε02q[z2+(d2)2](d2)[z2+(d2)2]1/2i^.E(z)=14πε0qr2senθi^14πε0qr2senθi^=14πε02qr2senθi^=14πε02q[z2+(d2)2](d2)[z2+(d2)2]1/2i^.
    Esto se convierte en
    E(z)=14πε0qd[z2+(d2)2]3/2i^.E(z)=14πε0qd[z2+(d2)2]3/2i^.
    5.6

Importancia

Es una técnica muy común y muy útil en física para comprobar si su respuesta es razonable evaluándola en casos extremos. En este ejemplo, debemos evaluar las expresiones de campo para los casos d=0d=0, zdzd, y zz, y confirmar que las expresiones resultantes coinciden con nuestras expectativas físicas. Hagámoslo:

Empecemos con la Ecuación 5.5, el campo de dos cargas idénticas. Desde lejos (es decir, zd),zd), las dos cargas fuente deberían "fusionarse" y entonces deberíamos "ver" el campo de una sola carga, de tamaño 2q. Por lo tanto, supongamos que zd;zd; entonces podemos descuidar d2d2 en la Ecuación 5.5 para obtener

limd0E=14πε02qz[z2]3/2k^=14πε02qzz3k^=14πε0(2q)z2k^,limd0E=14πε02qz[z2]3/2k^=14πε02qzz3k^=14πε0(2q)z2k^,

que es la expresión correcta para un campo a una distancia z de una carga 2q.

A continuación, consideramos el campo de cargas iguales y opuestas, la Ecuación 5.6. Se puede demostrar (mediante una expansión de Taylor) que para dzdz, esto se convierte en

E(z)=14πε0qdz3i^,E(z)=14πε0qdz3i^,
5.7

que es el campo de un dipolo, un sistema que estudiaremos con más detalle más adelante. (Tenga en cuenta que las unidades de EE siguen siendo correctas en esta expresión, ya que las unidades de d en el numerador anulan la unidad de la z "extra" en el denominador). Si z es muy grande (z)(z), entonces E0E0, como debe ser; las dos cargas se "fusionan" y así se anulan.

Compruebe Lo Aprendido 5.3

¿Qué es el campo eléctrico debido a una partícula puntual?

Interactivo

Pruebe esta simulación de hockey sobre campo eléctrico para conseguir la carga en la portería colocando otras cargas en el campo.

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