5.4 Campo eléctrico

Definir un campo

Supongamos que tenemos N cargas de origen $q_1,q_2,q_3\text{,…},q_N$ situadas en las posiciones ${\overrightarrow{\text{r}}}_1,{\overrightarrow{\text{r}}}_2,{\overrightarrow{\text{r}}}_3\text{,…},{\overrightarrow{\text{r}}}_N$, aplicando fuerzas electrostáticas N sobre una carga de prueba Q. La fuerza neta sobre Q es (ver la Ecuación 5.2)

Podemos reescribirlo como

donde

o, de forma más compacta,

Esta expresión se denomina campo eléctrico en la posición $P=P\left(x,y,z\right)$ de las cargas de la fuente N. Aquí, P es la ubicación del punto en el espacio donde se calcula el campo y es relativo a las posiciones ${\overrightarrow{\text{r}}}_i$ de las cargas de origen (Figura 5.18). Observe que tenemos que imponer un sistema de coordenadas para resolver los problemas reales.

Figura 5.18 Cada una de estas ocho cargas fuente crea su propio campo eléctrico en cada punto del espacio; aquí se muestran los vectores de campo en un punto arbitrario P. Al igual que la fuerza eléctrica, el campo eléctrico neto obedece al principio de superposición.

Observe que el cálculo del campo eléctrico no hace referencia a la carga de prueba. Por lo tanto, el enfoque físicamente útil es calcular el campo eléctrico y luego utilizarlo para calcular la fuerza sobre alguna carga de prueba más tarde, si es necesario. Diferentes cargas de prueba experimentan diferentes fuerzas (Ecuación 5.3), pero es el mismo campo eléctrico (Ecuación 5.4). Dicho esto, recuerde que no hay ninguna diferencia fundamental entre una carga de prueba y una carga de origen; son simplemente etiquetas convenientes para el sistema de interés. Cualquier carga produce un campo eléctrico; sin embargo, al igual que la órbita de la Tierra no se ve afectada por la propia gravedad terrestre, una carga no está sometida a una fuerza debida al campo eléctrico que genera. Las cargas solo están sujetas a las fuerzas de los campos eléctricos de otras cargas.

En este sentido, el campo eléctrico $\overrightarrow{\text{E}}$ de una carga de puntos es similar al campo gravitacional $\overrightarrow{g}$ de la Tierra; una vez que hemos calculado el campo gravitacional en algún punto del espacio, podemos utilizarlo siempre que queramos para calcular la fuerza resultante sobre cualquier masa que decidamos colocar en ese punto. De hecho, esto es exactamente lo que hacemos cuando decimos que el campo gravitacional de la Tierra (cerca de la superficie terrestre) tiene un valor de $\mathrm{9,81}{\text{m/s}}^2,$ y luego calculamos la fuerza resultante (es decir, el peso) sobre diferentes masas. Además, la expresión general para calcular $\overrightarrow{g}$ a distancias arbitrarias del centro de la Tierra (es decir, no solo cerca de la superficie terrestre) es muy similar a la expresión para $\overrightarrow{\text{E}}$: $\overrightarrow{g}=G\frac{M}{r^2}\widehat{\text{r}}$, donde G es una constante de proporcionalidad, que juega el mismo papel para $\overrightarrow{g}$ como $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$ hace para $\overrightarrow{\text{E}}$. El valor de $\overrightarrow{g}$ se calcula una vez y luego se utiliza en un sinfín de problemas.

Para llevar la analogía más allá, fíjese en las unidades del campo eléctrico: Desde $F=QE$, las unidades de E son newtons por culombio, N/C, es decir, el campo eléctrico aplica una fuerza sobre cada carga unitaria. Ahora fíjese en las unidades de g: Desde $w=mg$, las unidades de g son newtons por kilogramo, N/kg, es decir, el campo gravitacional aplica una fuerza sobre cada unidad de masa. Podríamos decir que el campo gravitacional de la Tierra, cerca de la superficie terrestre, tiene un valor de 9,81 N/kg.

El significado de "campo"

Recuerde que la palabra "campo" tiene un significado preciso en este contexto. Un campo, en física, es una cantidad física cuyo valor depende de (es una función de) la posición, relativa a la fuente del campo. En el caso del campo eléctrico, la Ecuación 5.4 muestra que el valor de $\overrightarrow{\text{E}}$ (tanto la magnitud como la dirección) depende del lugar del espacio en el que se encuentre el punto P, medido desde los lugares ${\overrightarrow{\text{r}}}_i$ de las cargas de origen $q_i$.

Además, dado que el campo eléctrico es una cantidad vectorial, el campo eléctrico se denomina campo vectorial. (El campo gravitacional es también un campo vectorial). En cambio, un campo que solo tiene una magnitud en cada punto es un campo escalar. La temperatura de una habitación es un ejemplo de campo escalar. Es un campo porque la temperatura, en general, es diferente en diferentes lugares de la habitación, y es un campo escalar porque la temperatura es una cantidad escalar.

Además, al igual que hizo con el campo gravitacional de un objeto con masa, debe imaginar el campo eléctrico de un objeto con carga (la carga fuente) como una sustancia continua e inmaterial que rodea la carga fuente, llenando todo el espacio, en principio, a $\text{±}\infty$ en todas las direcciones. El campo existe en cada punto físico del espacio. Dicho de otro modo, la carga eléctrica de un objeto altera el espacio que lo rodea de tal manera que todos los demás objetos cargados eléctricamente en el espacio experimentan una fuerza eléctrica como resultado de estar en ese campo. El campo eléctrico, por tanto, es el mecanismo por el que las propiedades eléctricas de la carga fuente se transmiten al resto del universo y a través de él (de nuevo, el alcance de la fuerza eléctrica es infinito).

Veremos en capítulos posteriores que la velocidad a la que viajan los fenómenos eléctricos es la misma que la velocidad de la luz. Existe una profunda conexión entre el campo eléctrico y la luz.

Superposición

Otro hecho experimental sobre el campo es que obedece al principio de superposición. En este contexto, eso significa que podemos (en principio) calcular el campo eléctrico total de muchas cargas fuente calculando el campo eléctrico de solo $q_1$ en la posición P, entonces calcula el campo de $q_2$ en P, mientras que (y esta es la idea crucial) se ignora el campo de, e incluso la existencia de, $q_1.$ Podemos repetir este proceso, calculando el campo de cada carga fuente individual, independientemente de la existencia de cualquiera de las otras cargas. El campo eléctrico total, entonces, es la suma vectorial de todos estos campos. Eso es, en esencia, lo que dice la Ecuación 5.4.

En la siguiente sección, describimos cómo determinar la forma de un campo eléctrico de una distribución de carga de la fuente y cómo dibujarlo.

La dirección del campo

La Ecuación 5.4 nos permite determinar la magnitud del campo eléctrico, pero también necesitamos la dirección. Utilizamos la convención de que la dirección de cualquier vector de campo eléctrico es la misma que la dirección del vector de fuerza eléctrica que el campo aplicaría a una carga de prueba positiva colocada en ese campo. Dicha carga sería repelida por cargas fuente positivas (la fuerza sobre ella apuntaría lejos de la carga fuente positiva) pero atraída por cargas negativas (la fuerza apunta hacia la fuente negativa).

Ejemplo 5.3

El campo E de un átomo

En un átomo de helio ionizado, la distancia más probable entre el núcleo y el electrón es $r=\mathrm{26,5}\times {10}^{\mathrm{-12}}\text{m}$. ¿Cuál es el campo eléctrico debido al núcleo en la ubicación del electrón?

Estrategia

Observe que, aunque se menciona el electrón, no se utiliza en ningún cálculo. El problema pide un campo eléctrico, no una fuerza; por lo tanto, solo hay una carga involucrada, y el problema pide específicamente el campo debido al núcleo. Por tanto, el electrón es una pista falsa; solo importa su distancia. Además, como la distancia entre los dos protones del núcleo es mucho, mucho menor que la distancia del electrón al núcleo, podemos tratar los dos protones como una sola carga +2e (Figura 5.19).

Figura 5.19 Representación esquemática de un átomo de helio. De nuevo, el helio no se parece físicamente a esto, pero este tipo de diagrama es útil para calcular el campo eléctrico del núcleo.

Solución

El campo eléctrico se calcula mediante

$$\overrightarrow{\text{E}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle \sum _{i=1}^N\frac{q_i}{r_i^2}}{\widehat{\text{r}}}_i.$$

Como solo hay una carga fuente (el núcleo), esta expresión se simplifica a

$$\overrightarrow{\text{E}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\widehat{r}.$$

Aquí $q=2e=2\left(\mathrm{1,6}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\right)$ (ya que hay dos protones) y se da r; sustituyendo se obtiene

$$\overrightarrow{\text{E}}=\frac{1}{4\pi \left(\mathrm{8,85}\times {10}^{\mathrm{-12}}\frac{{\text{C}}^2}{\text{N}·{\text{m}}^2}\right)}\frac{2\left(\mathrm{1,6}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\right)}{{\left(\mathrm{26,5}\times {10}^{\mathrm{-12}}\text{m}\right)}^2}\widehat{\text{r}}=\mathrm{4,1}\times {10}^{12}\frac{\text{N}}{\text{C}}\widehat{\text{r}}.$$

La dirección de $\overrightarrow{\text{E}}$ se aleja radialmente del núcleo en todas las direcciones. ¿Por qué? Porque una carga de prueba positiva colocada en este campo se aceleraría radialmente lejos del núcleo (ya que también está cargado positivamente), y de nuevo, la convención es que la dirección del vector del campo eléctrico se define en términos de la dirección de la fuerza que aplicaría a las cargas de prueba positivas.

Ejemplo 5.4

El campo E sobre dos cargas iguales

(a) Halle el campo eléctrico (magnitud y dirección) a una distancia z por encima del punto medio entre dos cargas iguales $\text{+}q$ que están a una distancia d (Figura 5.20). Compruebe que el resultado es coherente con lo que se espera cuando $z\gg d$.

(b) Lo mismo que la parte (a), solo que esta vez haga la carga de la derecha $\text{−}q$ en lugar de $\text{+}q$.

Figura 5.20 Halle el campo de dos cargas fuente idénticas en el punto P. Debido a la simetría, el campo neto en P es totalmente vertical. (Observe que esto no es cierto lejos de la línea media entre las cargas).

Estrategia

Sumamos los dos campos como vectores, según la Ecuación 5.4. Observe que el sistema (y por tanto el campo) es simétrico respecto al eje vertical; como resultado, las componentes horizontales de los vectores de campo se cancelan. Esto simplifica la matemática. Además, tenemos cuidado de expresar nuestra respuesta final en términos de las únicas cantidades que se dan en el enunciado original del problema: q, z, d, y las constantes $(\pi ,{\epsilon }_0).$

Solución

1. Por simetría, los componentes horizontales (x) de $\overrightarrow{\text{E}}$ cancelan (Figura 5.21); $E_x=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\text{sen}\theta -\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\text{sen}\theta =0$.
   

   Figura 5.21 Observe que los componentes horizontales de los campos eléctricos de las dos cargas se anulan entre sí, mientras que los componentes verticales se suman.
   
   El componente vertical (z) viene dado por
   $$E_z=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\text{cos}\theta +\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\text{cos}\theta =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2q}{r^2}\text{cos}\theta .$$
   Como ninguno de los otros componentes sobrevive, este es el campo eléctrico completo, y apunta en el $\widehat{\text{k}}$. Observe que este cálculo utiliza el principio de superposición; calculamos los campos de las dos cargas de forma independiente y luego los sumamos.
   Lo que queremos hacer ahora es sustituir las cantidades de esta expresión que no conocemos (como r), o que no podemos medir fácilmente (como $\text{cos}\theta )$ con cantidades que sí conocemos o podemos medir. En este caso, por la geometría,
   $$r^2=z^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2$$
   y
   $$\text{cos}\theta =\frac{z}{r}=\frac{z}{{\left[z^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2\right]}^{1\text{/}2}}.$$
   Así, sustituyendo,
   $$\overrightarrow{\text{E}}(z)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2q}{\left[z^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2\right]}\frac{z}{{\left[z^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2\right]}^{1\text{/}2}}\widehat{\text{k}}.$$
   Simplificando, la respuesta deseada es
   $$\overrightarrow{\text{E}}(z)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2qz}{{\left[z^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2\right]}^{3\text{/}2}}\widehat{\text{k}}.$$

   5.5
2. Si las cargas de origen son iguales y opuestas, los componentes verticales se cancelan porque $E_z=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\text{cos}\theta -\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\text{cos}\theta =0$
   y obtenemos, para la componente horizontal de $\overrightarrow{\text{E}}$,
   $$\begin{array}{cc}\hfill \overrightarrow{\text{E}}(z)& =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\text{sen}\theta \widehat{\text{i}}-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\text{−}q}{r^2}\text{sen}\theta \widehat{\text{i}}\hfill \\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2q}{r^2}\text{sen}\theta \widehat{\text{i}}\hfill \\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2q}{\left[z^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2\right]}\frac{\left(\frac{d}{2}\right)}{{\left[z^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2\right]}^{1\text{/}2}}\widehat{\text{i}}.\hfill \end{array}$$
   Esto se convierte en
   $$\overrightarrow{\text{E}}(z)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qd}{{\left[z^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2\right]}^{3\text{/}2}}\widehat{\text{i}}.$$

   5.6

Importancia

Es una técnica muy común y muy útil en física para comprobar si su respuesta es razonable evaluándola en casos extremos. En este ejemplo, debemos evaluar las expresiones de campo para los casos $d=0$, $z\gg d$, y $z\to \infty$, y confirmar que las expresiones resultantes coinciden con nuestras expectativas físicas. Hagámoslo:

Empecemos con la Ecuación 5.5, el campo de dos cargas idénticas. Desde lejos (es decir, $z\gg d),$ las dos cargas fuente deberían "fusionarse" y entonces deberíamos "ver" el campo de una sola carga, de tamaño 2q. Por lo tanto, supongamos que $z\gg d;$ entonces podemos descuidar $d^2$ en la Ecuación 5.5 para obtener

$$\begin{array}{cc}\hfill \underset{d\to 0}{\text{lim}}\overrightarrow{\text{E}}& =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2qz}{{\left[z^2\right]}^{3\text{/}2}}\widehat{\text{k}}\hfill \\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2qz}{z^3}\widehat{\text{k}}\hfill \\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\left(2q\right)}{z^2}\widehat{\text{k}},\hfill \end{array}$$

que es la expresión correcta para un campo a una distancia z de una carga 2q.

A continuación, consideramos el campo de cargas iguales y opuestas, la Ecuación 5.6. Se puede demostrar (mediante una expansión de Taylor) que para $d\ll z\ll \infty$, esto se convierte en

$$\overrightarrow{\text{E}}(z)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qd}{z^3}\widehat{\text{i}},$$

5.7

que es el campo de un dipolo, un sistema que estudiaremos con más detalle más adelante. (Tenga en cuenta que las unidades de $\overrightarrow{\text{E}}$ siguen siendo correctas en esta expresión, ya que las unidades de d en el numerador anulan la unidad de la z "extra" en el denominador). Si z es muy grande $\left(z\to \infty \right)$, entonces $E\to 0$, como debe ser; las dos cargas se "fusionan" y así se anulan.