5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga

Las distribuciones de carga que hemos visto hasta ahora han sido discretas: formadas por partículas de puntos individuales. Esto contrasta con una distribución de carga continua, que tiene al menos una dimensión distinta de cero. Si una distribución de carga es continua en lugar de discreta, podemos generalizar la definición del campo eléctrico. Simplemente dividimos la carga en trozos infinitesimales y tratamos cada trozo como una carga de puntos.

Tenga en cuenta que, como la carga está cuantizada, no existe una distribución de carga continua “real". Sin embargo, en la mayoría de los casos prácticos, la carga total que crea el campo implica un número tan grande de cargas discretas que podemos ignorar con seguridad la naturaleza discreta de la carga y considerarla continua. Este es exactamente el tipo de aproximación que hacemos cuando tratamos un cubo de agua como un fluido continuo, en lugar de una colección de moléculas de ${\text{H}}_2\text{O}$.

Nuestro primer paso es definir una densidad de carga para una distribución de carga a lo largo de una línea, a través de una superficie o dentro de un volumen, como se muestra en la Figura 5.22.

Figura 5.22 La configuración de los elementos diferenciales de carga para una (a) línea de carga, (b) hoja de carga y (c) un volumen de carga. Observe también que (d) algunos de los componentes del campo eléctrico total se anulan, y el resto da lugar a un campo eléctrico neto.

Definiciones de densidad de carga:

• $\lambda \equiv$ carga por unidad de longitud (densidad de carga lineal); las unidades son culombios por metro (C/m)
• $\sigma \equiv$ carga por unidad de superficie (densidad de carga superficial); las unidades son culombios por metro cuadrado $(\text{C}\text{/}{\text{m}}^2)$
• $\rho \equiv$ carga por unidad de volumen (volumen de densidad de carga); las unidades son culombios por metro cúbico $(\text{C}\text{/}{\text{m}}^3)$

Entonces, para una carga de línea, una carga de superficie y una carga de volumen, la suma en la Ecuación 5.4 se convierte en una integral y $q_i$ se sustituye por $dq=\lambda dl$, $\sigma dA$, o $\rho dV$, respectivamente:

Las integrales son generalizaciones de la expresión del campo de una carga de puntos. Incluyen y asumen implícitamente el principio de superposición. El "truco" para utilizarlos consiste casi siempre en obtener expresiones correctas para dl, dA o dV, según el caso, expresadas en términos de r, y también en expresar adecuadamente la función de densidad de carga. Puede ser constante; puede depender de la ubicación.

Observe cuidadosamente el significado de r en estas ecuaciones: Es la distancia del elemento de carga $\left(q_i,\lambda dl,\sigma dA,\rho dV\right)$ al lugar de interés, $P\left(x,y,z\right)$ (el punto del espacio donde se quiere determinar el campo). Sin embargo, no hay que confundir esto con el significado de $\widehat{\text{r}}$; lo utilizamos y la notación vectorial $\overrightarrow{\text{E}}$ para escribir tres integrales a la vez. Es decir, la Ecuación 5.9 es en realidad

Ejemplo 5.5

Campo eléctrico de un segmento de línea

Halle el campo eléctrico a una distancia z por encima del punto medio de un segmento de línea recta de longitud L que lleva una densidad de carga lineal uniforme $\lambda$.

Estrategia

Dado que se trata de una distribución de carga continua, dividimos conceptualmente el segmento de cable en trozos diferenciales de longitud dl, cada uno de los cuales lleva una cantidad diferencial de carga $dq=\lambda dl$. A continuación, calculamos el campo diferencial creado por dos trozos de cable colocados simétricamente, utilizando la simetría del montaje para simplificar el cálculo (Figura 5.23). Finalmente, integramos esta expresión de campo diferencial sobre la longitud del cable (la mitad, en realidad, como explicamos a continuación) para obtener la expresión completa del campo eléctrico.

Figura 5.23 Un segmento de cable cargado uniformemente. El campo eléctrico en el punto P se puede hallar aplicando el principio de superposición a los elementos de carga colocados simétricamente e integrando.

Solución

Antes de entrar en materia, ¿cómo esperamos que sea el campo desde lejos? Como es un segmento de línea finito, desde lejos debería parecer una carga de puntos. Comprobaremos la expresión que obtenemos para ver si cumple esta expectativa.

El campo eléctrico para una carga lineal viene dado por la expresión general

$$\overrightarrow{\text{E}}\left(P\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle {\int }_{\text{línea}}\frac{\lambda dl}{r^2}}\widehat{\text{r}}.$$

La simetría de la situación (nuestra elección de las dos piezas de carga diferenciales idénticas) implica que los componentes horizontales (x) del campo se cancelan, de modo que el campo neto apunta en la dirección z. Vamos a comprobarlo formalmente.

El campo total $\overrightarrow{\text{E}}\left(P\right)$ es la suma vectorial de los campos de cada uno de los dos elementos de carga (llámalos ${\overrightarrow{\text{E}}}_1$ y ${\overrightarrow{\text{E}}}_2$, por ahora):

$$\overrightarrow{\text{E}}\left(P\right)={\overrightarrow{\text{E}}}_1+{\overrightarrow{\text{E}}}_2=E_{1x}\widehat{\text{i}}+E_{1z}\widehat{\text{k}}+E_{2x}\left(\text{−}\widehat{\text{i}}\right)+E_{2z}\widehat{\text{k}}.$$

Porque los dos elementos de carga son idénticos y están a la misma distancia del punto P donde queremos calcular el campo, $E_{1x}=E_{2x},$ para que esos componentes se cancelen. Esto deja

$$\overrightarrow{\text{E}}\left(P\right)=E_{1z}\widehat{\text{k}}+E_{2z}\widehat{\text{k}}=E_1\text{cos}\theta \widehat{\text{k}}+E_2\text{cos}\theta \widehat{\text{k}}.$$

Estos componentes también son iguales, por lo que tenemos

$$\begin{array}{cc}\hfill \overrightarrow{\text{E}}\left(P\right)& =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle \int \frac{\lambda dl}{r^2}}\text{cos}\theta \widehat{\text{k}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle \int \frac{\lambda dl}{r^2}}\text{cos}\theta \widehat{\text{k}}\hfill \\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle {\int }_0^{L\text{/}2}\frac{2\lambda dx}{r^2}}\text{cos}\theta \widehat{\text{k}}\hfill \end{array}$$

donde nuestro elemento de línea diferencial dl es dx, en este ejemplo, ya que estamos integrando a lo largo de una línea de carga que se encuentra en el eje x. (Los límites de integración son de 0 a $\frac{L}{2}$, no $-\frac{L}{2}$ a $+\frac{L}{2}$, porque hemos construido el campo neto a partir de dos piezas diferenciales de carga dq. Si integráramos a lo largo de toda la longitud, recogeríamos un factor erróneo de 2).

En principio, esto es completo. Sin embargo, para calcular realmente esta integral, tenemos que eliminar todas las variables que no están dadas. En este caso, tanto r como $\theta$ cambian a medida que integramos hacia el exterior la carga del final de la línea, por lo que esas son las variables de las que hay que deshacerse. Podemos hacerlo de la misma manera que hicimos con las dos cargas de puntos: observando que

$$r={\left(z^2+x^2\right)}^{1\text{/}2}$$

y

$$\text{cos}\theta =\frac{z}{r}=\frac{z}{{\left(z^2+x^2\right)}^{1\text{/}2}}.$$

Sustituyendo, obtenemos

$$\begin{array}{cc}\hfill \overrightarrow{\text{E}}\left(P\right)& =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle {\int }_0^{L\text{/}2}\frac{2\lambda dx}{\left(z^2+x^2\right)}}\frac{z}{{\left(z^2+x^2\right)}^{1\text{/}2}}\widehat{\text{k}}\hfill \\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle {\int }_0^{L\text{/}2}\frac{2\lambda z}{{\left(z^2+x^2\right)}^{3\text{/}2}}}dx\widehat{\text{k}}\hfill \\ & =\frac{2\lambda z}{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{x}{z^2\sqrt{z^2+x^2}}\right]{|}_0^{L\text{/}2}\widehat{\text{k}}\hfill \end{array}$$

que se simplifica a

$$\overrightarrow{\text{E}}(z)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda L}{z\sqrt{z^2+\frac{L^2}{4}}}\widehat{\text{k}}.$$

5.12

Importancia

Observe, una vez más, el uso de la simetría para simplificar el problema. Esta es una estrategia muy común para calcular los campos eléctricos. Los campos de las distribuciones de carga no simétricas deben tratarse con integrales múltiples y pueden necesitar que se calculen numéricamente por medio de una computadora.

En el caso de una línea de carga finita, observe que para $z\gg L$, $z^2$ domina la L en el denominador, por lo que la Ecuación 5.12 se simplifica a

Si recuerda que $\lambda L=q$, la carga total en el cable, hemos obtenido la expresión para el campo de una carga de puntos, como se esperaba.

En el límite $L\to \infty$, en cambio, obtenemos el campo de un cable lineal infinito, que es un cable recto cuya longitud es mucho, mucho mayor que cualquiera de sus otras dimensiones, y también mucho, mucho mayor que la distancia a la que se quiere calcular el campo:

Un artefacto interesante de este límite infinito es que hemos perdido la dependencia $1\text{/}{r}^2$ habitual a la que estamos acostumbrados. Esto será aun más intrigante en el caso de un plano infinito.

Ejemplo 5.7

Campo eléctrico debido a un anillo de carga

Un anillo tiene una densidad de carga uniforme $\lambda$, con unidades de culombios por unidad de metro de arco. Calcule el campo eléctrico en un punto del eje que pasa por el centro del anillo.

Estrategia

Utilizamos el mismo procedimiento que para el cable cargado. La diferencia aquí es que la carga se distribuye en un círculo. Dividimos el círculo en elementos infinitesimales con forma de arcos sobre el círculo y utilizamos las coordenadas polares que se muestran en la Figura 5.24.

Figura 5.24 El sistema y la variable para calcular el campo eléctrico debido a un anillo de carga.

Solución

El campo eléctrico para una carga lineal viene dado por la expresión general

$$\overrightarrow{\text{E}}\left(P\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle {\int }_{\text{línea}}\frac{\lambda dl}{r^2}}\widehat{\text{r}}.$$

Un elemento general del arco entre $\theta$ y $\theta +d\theta$ es de longitud $Rd\theta$ y por lo tanto contiene una carga igual a $\lambda Rd\theta .$ El elemento está a una distancia de $r=\sqrt{z^2+R^2}$ desde P, el ángulo es $\text{cos}\varphi =\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}$, y por lo tanto el campo eléctrico es

$$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\text{E}}\left(P\right)\hfill & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle {\int }_{\text{línea}}\frac{\lambda dl}{r^2}}\widehat{\text{r}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{\lambda Rd\theta }{z^2+R^2}\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\widehat{z}}\hfill \\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda Rz}{{\left(z^2+R^2\right)}^{3\text{/}2}}\widehat{z}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }d\theta }=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2\pi \lambda Rz}{{\left(z^2+R^2\right)}^{3\text{/}2}}\widehat{z}\hfill \\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_{\text{tot}}z}{{\left(z^2+R^2\right)}^{3\text{/}2}}\widehat{z}.\hfill \end{array}$$

Importancia

Como es habitual, la simetría simplificó este problema, dando lugar en este caso particular a una integral trivial. Además, cuando tomamos el límite de $z>>R$, hallamos que

$$\overrightarrow{\text{E}}\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_{\text{tot}}}{z^2}\widehat{z},$$

como esperamos.

Ejemplo 5.8

El campo de un disco

Halle el campo eléctrico de un disco circular delgado de radio R y densidad de carga uniforme a una distancia z sobre el centro del disco (Figura 5.25)

Figura 5.25 Un disco cargado uniformemente. Como en el ejemplo de la carga lineal, el campo sobre el centro de este disco puede calcularse aprovechando la simetría de la distribución de la carga.

Estrategia

El campo eléctrico para una carga superficial viene dado por

$$\overrightarrow{\text{E}}(P)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle {\int }_{\text{superficie}}\frac{\sigma dA}{r^2}}\widehat{\text{r}}.$$

Para resolver los problemas de carga superficial, rompemos la superficie en "franjas" diferenciales simétricas que se ajustan a la forma de la superficie; aquí utilizaremos anillos, como se muestra en la figura. De nuevo, por simetría, las componentes horizontales se anulan y el campo se encuentra completamente en la dirección $(\widehat{\text{k}})$ vertical. El componente vertical del campo eléctrico se extrae multiplicando por $\text{cos}\theta$, así que

$$\overrightarrow{\text{E}}(P)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle {\int }_{\text{superficie}}\frac{\sigma dA}{r^2}}\text{cos}\theta \widehat{\text{k}}.$$

Como antes, tenemos que reescribir las incógnitas del integrando en términos de las cantidades dadas. En este caso,

$$\begin{array}{ccc}\hfill dA& =\hfill & 2\pi r^{\text{′}}d{r}^{\prime }\hfill \\ \hfill r^2& =\hfill & {r^{\prime }}^2+z^2\hfill \\ \hfill \text{cos}\theta & =\hfill & \frac{z}{{\left({r^{\prime }}^2+z^2\right)}^{1\text{/}2}}.\hfill \end{array}$$

(Tenga en cuenta las dos "r" diferentes aquí; r es la distancia desde el anillo diferencial de carga al punto P donde queremos determinar el campo, mientras que $r^{\prime }$ es la distancia desde el centro del disco hasta el anillo diferencial de carga). Además, ya hemos realizado la integral del ángulo polar al escribir dA.

Solución

Sustituyendo todo esto, obtenemos

$$\begin{array}{cc}\hfill \overrightarrow{\text{E}}(P)& =\overrightarrow{\text{E}}\left(z\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle {\int }_0^R\frac{\sigma \left(2\pi r^{\prime }d{r}^{\prime }\right)z}{{\left({r^{\prime }}^2+z^2\right)}^{3\text{/}2}}}\widehat{\text{k}}\hfill \\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(2\pi \sigma z\right)\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\widehat{\text{k}}\hfill \end{array}$$

o, más sencillamente,

$$\overrightarrow{\text{E}}(z)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(2\pi \sigma -\frac{2\pi \sigma z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\widehat{\text{k}}.$$

5.14

Importancia

De nuevo, se puede demostrar (mediante una expansión de Taylor) que cuando $z\gg R$, esto se reduce a

$$\overrightarrow{\text{E}}(z)\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\sigma \pi R^2}{z^2}\widehat{\text{k}},$$

que es la expresión para una carga de puntos $Q=\sigma \pi R^2.$

Como $R\to \infty$, la Ecuación 5.14 se reduce al campo de un plano infinito, que es una lámina plana cuya área es mucho, mucho mayor que su espesor, y también mucho, mucho mayor que la distancia a la que se quiere calcular el campo:

Tenga en cuenta que este campo es constante. Este sorprendente resultado es, de nuevo, un artefacto de nuestro límite, aunque uno que utilizaremos repetidamente en el futuro. Para entender por qué ocurre esto, imagine que se sitúa sobre un plano infinito de carga constante. ¿Se ve el avión diferente si se varía la altitud? No, sigue viendo el avión que se aleja hasta el infinito, no importa lo lejos que esté de él. Es importante señalar que la Ecuación 5.15 se debe a que estamos por encima del plano. Si estuviéramos abajo, el campo apuntaría en la dirección $\text{−}\widehat{\text{k}}$.

Ejemplo 5.9

El campo de los dos planos infinitos

Halle el campo eléctrico en todas las partes resultantes de dos planos infinitos con densidades de carga iguales pero opuestas (Figura 5.26).

Figura 5.26 Dos planos infinitos cargados. Observe la dirección del campo eléctrico.

Estrategia

Ya conocemos el campo eléctrico resultante de un solo plano infinito, así que podemos utilizar el principio de superposición para hallar el campo de dos.

Solución

El campo eléctrico apunta lejos del plano cargado positivamente y hacia el plano cargado negativamente. Ya que $\sigma$ son iguales y opuestos, esto significa que en la región fuera de los dos planos, los campos eléctricos se anulan mutuamente hasta llegar a cero.

Sin embargo, en la región entre los planos, los campos eléctricos se suman, y obtenemos

$$\overrightarrow{\text{E}}=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\widehat{\text{i}}$$

para el campo eléctrico. El $\widehat{\text{i}}$ es porque, en la figura, el campo está apuntando en la dirección +x.

Importancia

Los sistemas que pueden aproximarse como dos planos infinitos de este tipo proporcionan un medio útil para crear campos eléctricos uniformes.