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Física Universitaria Volumen 2

5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga

Física Universitaria Volumen 25.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar qué es una distribución de carga de fuente continua y cómo se relaciona con el concepto de cuantización de la carga.
  • Describir cargas lineales, la cargas de superficie y cargas de volumen.
  • Calcular el campo de una distribución de carga de fuente continua de cualquier signo.

Las distribuciones de carga que hemos visto hasta ahora han sido discretas: formadas por partículas de puntos individuales. Esto contrasta con una distribución de carga continua, que tiene al menos una dimensión distinta de cero. Si una distribución de carga es continua en lugar de discreta, podemos generalizar la definición del campo eléctrico. Simplemente dividimos la carga en trozos infinitesimales y tratamos cada trozo como una carga de puntos.

Tenga en cuenta que, como la carga está cuantizada, no existe una distribución de carga continua “real". Sin embargo, en la mayoría de los casos prácticos, la carga total que crea el campo implica un número tan grande de cargas discretas que podemos ignorar con seguridad la naturaleza discreta de la carga y considerarla continua. Este es exactamente el tipo de aproximación que hacemos cuando tratamos un cubo de agua como un fluido continuo, en lugar de una colección de moléculas de H2OH2O.

Nuestro primer paso es definir una densidad de carga para una distribución de carga a lo largo de una línea, a través de una superficie o dentro de un volumen, como se muestra en la Figura 5.22.

La figura a muestra una varilla larga con densidad de carga lineal lambda. Un pequeño segmento de la varilla está sombreado y marcado como dl. La figura b muestra una superficie con densidad de carga superficial sigma. Una pequeña área dentro de la superficie está sombreada y marcada como dA. La figura c muestra un volumen de densidad de carga rho. Un pequeño volumen dentro de ella está sombreado y marcado como dV. La figura d muestra una superficie con dos áreas sombreadas y marcadas como q1 y q2. Se identifica un punto P sobre (no en) la superficie. Una línea fina indica la distancia de cada una de las áreas sombreadas. Los vectores E1 y E2 se dibujan en el punto P y se alejan de la respectiva área sombreada. E net es la suma vectorial de E1 y E2. En este caso, apunta hacia arriba, lejos de la superficie.
Figura 5.22 La configuración de los elementos diferenciales de carga para una (a) línea de carga, (b) hoja de carga y (c) un volumen de carga. Observe también que (d) algunos de los componentes del campo eléctrico total se anulan, y el resto da lugar a un campo eléctrico neto.

Definiciones de densidad de carga:

  • λλ carga por unidad de longitud(densidad de carga lineal); las unidades son culombios por metro (C/m)
  • σσ carga por unidad de superficie(densidad de carga superficial); las unidades son culombios por metro cuadrado (C/m2)(C/m2)
  • ρρ carga por unidad de volumen(volumen de densidad de carga); las unidades son culombios por metro cúbico (C/m3)(C/m3)

Entonces, para una carga de línea, una carga de superficie y una carga de volumen, la suma en la Ecuación 5.4 se convierte en una integral y qiqi se sustituye por dq=λdldq=λdl, σdAσdA, o ρdVρdV, respectivamente:

Cargas de puntos:E(P)=14πε0i=1N(qir2)r^Cargas de puntos:E(P)=14πε0i=1N(qir2)r^
5.8
Carga lineal:E(P)=14πε0línea(λdlr2)r^Carga lineal:E(P)=14πε0línea(λdlr2)r^
5.9
Carga superficial:E(P)=14πε0superficie(σdAr2)r^Carga superficial:E(P)=14πε0superficie(σdAr2)r^
5.10
Volumen de carga:E(P)=14πε0volumen(ρdVr2)r^Volumen de carga:E(P)=14πε0volumen(ρdVr2)r^
5.11

Las integrales son generalizaciones de la expresión del campo de una carga de puntos. Incluyen y asumen implícitamente el principio de superposición. El "truco" para utilizarlos consiste casi siempre en obtener expresiones correctas para dl, dA o dV, según el caso, expresadas en términos de r, y también en expresar adecuadamente la función de densidad de carga. Puede ser constante; puede depender de la ubicación.

Observe cuidadosamente el significado de r en estas ecuaciones: Es la distancia del elemento de carga (qi,λdl,σdA,ρdV)(qi,λdl,σdA,ρdV) al lugar de interés, P(x,y,z)P(x,y,z) (el punto del espacio donde se quiere determinar el campo). Sin embargo, no hay que confundir esto con el significado de r^r^; lo utilizamos y la notación vectorial EE para escribir tres integrales a la vez. Es decir, la Ecuación 5.9 es en realidad

Ex(P)=14πε0línea(λdlr2)x,Ey(P)=14πε0línea(λdlr2)y,Ez(P)=14πε0línea(λdlr2)z.Ex(P)=14πε0línea(λdlr2)x,Ey(P)=14πε0línea(λdlr2)y,Ez(P)=14πε0línea(λdlr2)z.

Ejemplo 5.5

Campo eléctrico de un segmento de línea

Halle el campo eléctrico a una distancia z por encima del punto medio de un segmento de línea recta de longitud L que lleva una densidad de carga lineal uniforme λλ.

Estrategia

Dado que se trata de una distribución de carga continua, dividimos conceptualmente el segmento de cable en trozos diferenciales de longitud dl, cada uno de los cuales lleva una cantidad diferencial de carga dq=λdldq=λdl. A continuación, calculamos el campo diferencial creado por dos trozos de cable colocados simétricamente, utilizando la simetría del montaje para simplificar el cálculo (Figura 5.23). Finalmente, integramos esta expresión de campo diferencial sobre la longitud del cable (la mitad, en realidad, como explicamos a continuación) para obtener la expresión completa del campo eléctrico.
Un alambre largo y delgado está en el eje x. El extremo del cable está a una distancia z del centro del cable. Un pequeño segmento del cable, una distancia x a la derecha del centro del cable, está sombreado. Otro segmento, a la misma distancia a la izquierda del centro, también está sombreado. El punto P está a una distancia z por encima del centro del cable, en el eje z. El punto P está a una distancia r de cada región sombreada. Los vectores r apuntan desde cada región sombreada al punto P. Los vectores dE1 y dE2 se dibujan en el punto P; dE1 apunta lejos de la región sombreada del lado izquierdo y apunta hacia arriba y hacia la derecha, formando un ángulo theta con el eje z; dE2 apunta lejos de la región sombreada del lado derecho y apunta hacia arriba y r a la izquierda, formando el mismo ángulo con la vertical que dE1. Los dos vectores dE son de igual longitud.
Figura 5.23 Un segmento de cable cargado uniformemente. El campo eléctrico en el punto P se puede hallar aplicando el principio de superposición a los elementos de carga colocados simétricamente e integrando.

Solución

Antes de entrar en materia, ¿cómo esperamos que sea el campo desde lejos? Como es un segmento de línea finito, desde lejos debería parecer una carga de puntos. Comprobaremos la expresión que obtenemos para ver si cumple esta expectativa.

El campo eléctrico para una carga lineal viene dado por la expresión general

E(P)=14πε0líneaλdlr2r^.E(P)=14πε0líneaλdlr2r^.

La simetría de la situación (nuestra elección de las dos piezas de carga diferenciales idénticas) implica que los componentes horizontales (x) del campo se cancelan, de modo que el campo neto apunta en la dirección z. Vamos a comprobarlo formalmente.

El campo total E(P)E(P) es la suma vectorial de los campos de cada uno de los dos elementos de carga (llámalos E1E1 y E2E2, por ahora):

E(P)=E1+E2=E1xi^+E1zk^+E2x(i^)+E2zk^.E(P)=E1+E2=E1xi^+E1zk^+E2x(i^)+E2zk^.

Porque los dos elementos de carga son idénticos y están a la misma distancia del punto P donde queremos calcular el campo, E1x=E2x,E1x=E2x, para que esos componentes se cancelen. Esto deja

E(P)=E1zk^+E2zk^=E1cosθk^+E2cosθk^.E(P)=E1zk^+E2zk^=E1cosθk^+E2cosθk^.

Estos componentes también son iguales, por lo que tenemos

E(P)=14πε0λdlr2cosθk^+14πε0λdlr2cosθk^=14πε00L/22λdxr2cosθk^E(P)=14πε0λdlr2cosθk^+14πε0λdlr2cosθk^=14πε00L/22λdxr2cosθk^

donde nuestro elemento de línea diferencial dl es dx, en este ejemplo, ya que estamos integrando a lo largo de una línea de carga que se encuentra en el eje x. (Los límites de integración son de 0 a L2L2, no L2L2 a +L2+L2, porque hemos construido el campo neto a partir de dos piezas diferenciales de carga dq. Si integráramos a lo largo de toda la longitud, recogeríamos un factor erróneo de 2).

En principio, esto es completo. Sin embargo, para calcular realmente esta integral, tenemos que eliminar todas las variables que no están dadas. En este caso, tanto r como θθ cambian a medida que integramos hacia el exterior la carga del final de la línea, por lo que esas son las variables de las que hay que deshacerse. Podemos hacerlo de la misma manera que hicimos con las dos cargas de puntos: observando que

r=(z2+x2)1/2r=(z2+x2)1/2

y

cosθ=zr=z(z2+x2)1/2.cosθ=zr=z(z2+x2)1/2.

Sustituyendo, obtenemos

E(P)=14πε00L/22λdx(z2+x2)z(z2+x2)1/2k^ =14πε00L/22λz(z2+x2)3/2dxk^ =2λz4πε0 [ x z2z2+x2 ] | 0 L/2 k^ E(P)=14πε00L/22λdx(z2+x2)z(z2+x2)1/2k^ =14πε00L/22λz(z2+x2)3/2dxk^ =2λz4πε0 [ x z2z2+x2 ] | 0 L/2 k^

que se simplifica a

E(z)=14πε0λLzz2+L24k^.E(z)=14πε0λLzz2+L24k^.
5.12

Importancia

Observe, una vez más, el uso de la simetría para simplificar el problema. Esta es una estrategia muy común para calcular los campos eléctricos. Los campos de las distribuciones de carga no simétricas deben tratarse con integrales múltiples y pueden necesitar que se calculen numéricamente por medio de una computadora.

Compruebe Lo Aprendido 5.4

¿Cómo cambiaría la estrategia utilizada anteriormente para calcular el campo eléctrico en un punto a una distancia z por encima de un extremo del segmento de línea finito?

Ejemplo 5.6

Campo eléctrico de una línea de carga infinita

Halle el campo eléctrico a una distancia z por encima del punto medio de una línea de carga infinita que lleva una densidad de carga lineal uniforme λλ.

Estrategia

Esto es exactamente como el ejemplo anterior, excepto que los límites de integración serán a ++.

Solución

De nuevo, los componentes horizontales se cancelan, por lo que acabamos con
E(P)=14πε0λdxr2cosθk^E(P)=14πε0λdxr2cosθk^

donde nuestro elemento de línea diferencial dl es dx, en este ejemplo, ya que estamos integrando a lo largo de una línea de carga que se encuentra en el eje x. Otra vez,

cosθ=zr=z(z2+x2)1/2.cosθ=zr=z(z2+x2)1/2.

Sustituyendo, obtenemos

E(P)=14πε0λdx(z2+x2)z(z2+x2)1/2k^=14πε0λz(z2+x2)3/2dxk^=λz4πε0[xz2z2+x2]|k^,E(P)=14πε0λdx(z2+x2)z(z2+x2)1/2k^=14πε0λz(z2+x2)3/2dxk^=λz4πε0[xz2z2+x2]|k^,

que se simplifica a

E(z)=14πε02λzk^.E(z)=14πε02λzk^.

Importancia

Nuestra estrategia para trabajar con distribuciones de carga continuas también da resultados útiles para cargas con dimensión infinita.

En el caso de una línea de carga finita, observe que para zLzL, z2z2 domina la L en el denominador, por lo que la Ecuación 5.12 se simplifica a

E14πε0λLz2k^.E14πε0λLz2k^.

Si recuerda que λL=qλL=q, la carga total en el cable, hemos obtenido la expresión para el campo de una carga de puntos, como se esperaba.

En el límite LL, en cambio, obtenemos el campo de un cable lineal infinito, que es un cable recto cuya longitud es mucho, mucho mayor que cualquiera de sus otras dimensiones, y también mucho, mucho mayor que la distancia a la que se quiere calcular el campo:

E(z)=14πε02λzk^.E(z)=14πε02λzk^.
5.13

Un artefacto interesante de este límite infinito es que hemos perdido la dependencia 1/r21/r2 habitual a la que estamos acostumbrados. Esto será aun más intrigante en el caso de un plano infinito.

Ejemplo 5.7

Campo eléctrico debido a un anillo de carga

Un anillo tiene una densidad de carga uniforme λλ, con unidades de culombios por unidad de metro de arco. Calcule el campo eléctrico en un punto del eje que pasa por el centro del anillo.

Estrategia

Utilizamos el mismo procedimiento que para el cable cargado. La diferencia aquí es que la carga se distribuye en un círculo. Dividimos el círculo en elementos infinitesimales con forma de arcos sobre el círculo y utilizamos las coordenadas polares que se muestran en la Figura 5.24.
Se muestra un anillo de radio R en el plano x y de un sistema de coordenadas x y z. El anillo está centrado en el origen. Un pequeño segmento del anillo está sombreado. El segmento está en un ángulo theta desde el eje x, subtiende un ángulo d theta, y contiene una carga dq igual a lambda Rd theta. El punto P está en el eje z, a una distancia de z por encima del centro del anillo. La distancia del segmento sombreado al punto P es igual a la raíz cuadrada de R al cuadrado más el cuadrado.
Figura 5.24 El sistema y la variable para calcular el campo eléctrico debido a un anillo de carga.

Solución

El campo eléctrico para una carga lineal viene dado por la expresión general
E(P)=14πε0líneaλdlr2r^.E(P)=14πε0líneaλdlr2r^.

Un elemento general del arco entre θθ y θ+dθθ+dθ es de longitud RdθRdθ y por lo tanto contiene una carga igual a λRdθ.λRdθ. El elemento está a una distancia de r=z2+R2r=z2+R2 desde P, el ángulo es cosϕ=zz2+R2cosϕ=zz2+R2, y por lo tanto el campo eléctrico es

E(P)=14πε0líneaλdlr2r^=14πε002πλRdθz2+R2zz2+R2z^=14πε0λRz(z2+R2)3/2z^02πdθ=14πε02πλRz(z2+R2)3/2z^=14πε0qtotz(z2+R2)3/2z^.E(P)=14πε0líneaλdlr2r^=14πε002πλRdθz2+R2zz2+R2z^=14πε0λRz(z2+R2)3/2z^02πdθ=14πε02πλRz(z2+R2)3/2z^=14πε0qtotz(z2+R2)3/2z^.

Importancia

Como es habitual, la simetría simplificó este problema, dando lugar en este caso particular a una integral trivial. Además, cuando tomamos el límite de z>>Rz>>R, hallamos que
E14πε0qtotz2z^,E14πε0qtotz2z^,

como esperamos.

Ejemplo 5.8

El campo de un disco

Halle el campo eléctrico de un disco circular delgado de radio R y densidad de carga uniforme a una distancia z sobre el centro del disco (Figura 5.25)
Se muestra un disco de radio R en el plano x y de un sistema de coordenadas x y z. El disco está centrado en el origen. Se indica un anillo, concéntrico con el disco, de radio r primo y anchura dr primo y se sombrean dos pequeños segmentos en lados opuestos del anillo y se etiquetan como de carga dq. El punto de prueba está en el eje z, a una distancia z por encima del centro del disco. La distancia de cada segmento sombreado al punto de prueba es r. Las contribuciones del campo eléctrico, dE, debidas a las cargas dq se muestran como flechas en las direcciones de los vectores r asociados. Los vectores dE forman un ángulo theta con el eje z.
Figura 5.25 Un disco cargado uniformemente. Como en el ejemplo de la carga lineal, el campo sobre el centro de este disco puede calcularse aprovechando la simetría de la distribución de la carga.

Estrategia

El campo eléctrico para una carga superficial viene dado por
E(P)=14πε0superficieσdAr2r^.E(P)=14πε0superficieσdAr2r^.

Para resolver los problemas de carga superficial, rompemos la superficie en "franjas" diferenciales simétricas que se ajustan a la forma de la superficie; aquí utilizaremos anillos, como se muestra en la figura. De nuevo, por simetría, las componentes horizontales se anulan y el campo se encuentra completamente en la dirección (k^)(k^) vertical. El componente vertical del campo eléctrico se extrae multiplicando por cosθcosθ, así que

E(P)=14πε0superficieσdAr2cosθk^.E(P)=14πε0superficieσdAr2cosθk^.

Como antes, tenemos que reescribir las incógnitas del integrando en términos de las cantidades dadas. En este caso,

dA=2πrdrr2=r2+z2cosθ=z(r2+z2)1/2.dA=2πrdrr2=r2+z2cosθ=z(r2+z2)1/2.

(Tenga en cuenta las dos "r" diferentes aquí; r es la distancia desde el anillo diferencial de carga al punto P donde queremos determinar el campo, mientras que rr es la distancia desde el centro del disco hasta el anillo diferencial de carga). Además, ya hemos realizado la integral del ángulo polar al escribir dA.

Solución

Sustituyendo todo esto, obtenemos
E(P)=E(z)=14πε00Rσ(2πrdr)z(r2+z2)3/2k^=14πε0(2πσz)(1z1R2+z2)k^E(P)=E(z)=14πε00Rσ(2πrdr)z(r2+z2)3/2k^=14πε0(2πσz)(1z1R2+z2)k^

o, más sencillamente,

E(z)=14πε0(2πσ2πσzR2+z2)k^.E(z)=14πε0(2πσ2πσzR2+z2)k^.
5.14

Importancia

De nuevo, se puede demostrar (mediante una expansión de Taylor) que cuando zRzR, esto se reduce a
E(z)14πε0σπR2z2k^,E(z)14πε0σπR2z2k^,

que es la expresión para una carga de puntos Q=σπR2.Q=σπR2.

Compruebe Lo Aprendido 5.5

¿Cómo cambiaría el límite anterior con un rectángulo cargado uniformemente en lugar de un disco?

Como RR, la Ecuación 5.14 se reduce al campo de un plano infinito, que es una lámina plana cuya área es mucho, mucho mayor que su espesor, y también mucho, mucho mayor que la distancia a la que se quiere calcular el campo:

E=σ2ε0k^.E=σ2ε0k^.
5.15

Tenga en cuenta que este campo es constante. Este sorprendente resultado es, de nuevo, un artefacto de nuestro límite, aunque uno que utilizaremos repetidamente en el futuro. Para entender por qué ocurre esto, imagine que se sitúa sobre un plano infinito de carga constante. ¿Se ve el avión diferente si se varía la altitud? No, sigue viendo el avión que se aleja hasta el infinito, no importa lo lejos que esté de él. Es importante señalar que la Ecuación 5.15 se debe a que estamos por encima del plano. Si estuviéramos abajo, el campo apuntaría en la dirección k^k^.

Ejemplo 5.9

El campo de los dos planos infinitos

Halle el campo eléctrico en todas las partes resultantes de dos planos infinitos con densidades de carga iguales pero opuestas (Figura 5.26).
La figura muestra dos placas paralelas orientadas verticalmente A y B separadas por una distancia d. La placa A está cargada positivamente y la B está cargada negativamente. Las líneas de campo eléctrico son paralelas entre las placas y se curvan hacia fuera en sus extremos. Una carga q se mueve de A a B. El trabajo realizado W es igual a q por V sub A B, y la intensidad del campo eléctrico E es igual a V sub A B sobre d.
Figura 5.26 Dos planos infinitos cargados. Observe la dirección del campo eléctrico.

Estrategia

Ya conocemos el campo eléctrico resultante de un solo plano infinito, así que podemos utilizar el principio de superposición para hallar el campo de dos.

Solución

El campo eléctrico apunta lejos del plano cargado positivamente y hacia el plano cargado negativamente. Ya que σσ son iguales y opuestos, esto significa que en la región fuera de los dos planos, los campos eléctricos se anulan mutuamente hasta llegar a cero.

Sin embargo, en la región entre los planos, los campos eléctricos se suman, y obtenemos

E=σε0i^E=σε0i^

para el campo eléctrico. El i^i^ es porque, en la figura, el campo está apuntando en la dirección +x.

Importancia

Los sistemas que pueden aproximarse como dos planos infinitos de este tipo proporcionan un medio útil para crear campos eléctricos uniformes.

Compruebe Lo Aprendido 5.6

¿Qué aspecto tendría el campo eléctrico en un sistema con dos planos paralelos cargados positivamente con densidades de carga iguales?

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