William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Problemas Adicionales

65.

Tres cables lineales, largos y paralelos, todos de 20 A, se colocan como se muestra en la figura adjunta. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético en el punto P?

Esta figura muestra tres cables lineales, largos y paralelos. Cada cable forma un vértice de un triángulo equilátero de 10 centímetros de lado. El punto P es el centro de un triángulo.

66.

Una corriente I circula alrededor de un cable doblado en forma de cuadrado de lado a. ¿Cuál es el campo magnético en el punto P que está a una distancia z por encima del centro del cuadrado (ver la figura adjunta)?

Esta figura muestra un cable doblado en forma de rombo de lado a. Punto P que está a una distancia z por encima del centro del rombo.

67.

La figura adjunta muestra un cable lineal y largo que porta una corriente de 10 A. ¿Cuál es la fuerza magnética sobre un electrón en el instante en que se encuentra a 20 cm del cable, viajando en paralelo a este con una velocidad de $2,0 \times 10^{5} m/s?$ Describa cualitativamente el movimiento posterior del electrón.

La figura muestra un cable lineal y largo que porta una corriente. Un electrón se sitúa a 20 cm del cable y se desplaza en paralelo a él.

68.

La corriente fluye a lo largo de una lámina delgada e infinita como se muestra en la figura adjunta. La corriente por unidad de longitud a lo largo de la lámina es J en amperios por metro. (a) Utilice la ley de Biot-Savart para demostrar que $B = μ_{0} J / 2$ a cada lado de la lámina. ¿Cuál es la dirección de $\vec{B}$ en cada lado? (b) Utilice ahora la ley de Ampère para calcular el campo.

La figura muestra la corriente que fluye a lo largo de una lámina delgada e infinita.

69.

(a) Utilice el resultado del problema anterior para calcular el campo magnético entre, por encima y por debajo del par de láminas infinitas que se muestran en la figura adjunta. (b) Repita sus cálculos si se invierte el sentido de la corriente en la lámina inferior.

La figura muestra las corrientes que fluyen a lo largo de dos láminas finas e infinitas. Las láminas se encuentran en los planos paralelos y la corriente fluye en la misma dirección.

70.

A menudo suponemos que el campo magnético es uniforme en una región y cero en el resto. Demuestre que en realidad es imposible que un campo magnético descienda bruscamente a cero, como se ilustra en la figura adjunta. (Pista: Aplique la ley de Ampère sobre la trayectoria indicada).

La figura muestra el campo magnético que es perpendicular a la trayectoria de la corriente rectangular y la interseca.

71.

¿Cómo se relaciona el cambio fraccionario en la intensidad del campo magnético a través de la cara del toroide con el cambio fraccionario en la distancia radial desde el eje del toroide?

72.

Demuestre que la expresión para el campo magnético de un toroide se reduce a la del campo de un solenoide infinito en el límite en que el radio central llega a infinito.

73.

Un toroide con un radio interior de 20 cm y un radio exterior de 22 cm está fuertemente bobinado con una capa de alambre que tiene un diámetro de 0,25 mm. (a) ¿Cuántas vueltas tiene el toroide? (b) Si la corriente que pasa por el bobinado del toroide es de 2,0 A, ¿cuál es la intensidad del campo magnético en el centro del toroide?

74.

Un elemento de cable tiene $d \vec{l}, I d \vec{l} = J A d l = J d v,$ donde A y dv son el área de la sección transversal y el volumen del elemento, respectivamente. Utilice esto, la ley de Biot-Savart, y $J = n e v$ para demostrar que el campo magnético de una carga puntual q en movimiento viene dado por
$\vec{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{q v \times \hat{r}}{r^{2}}$

75.

Un campo magnético razonablemente uniforme en una región limitada del espacio puede producirse con la bobina de Helmholtz, que consiste en dos bobinas paralelas centradas en el mismo eje. Las bobinas están conectadas de forma que portan la misma corriente I. Cada bobina tiene N vueltas y un radio R, que es también la distancia entre las bobinas. (a) Calcule el campo magnético en cualquier punto del eje z mostrado en la figura adjunta. (b) Demuestre que dB/dz y $\frac{d^{2} B}{d z^{2}}$ son ambos cero en z = 0. (Estas derivadas evanescentes demuestran que el campo magnético solo varía ligeramente cerca de z = 0)

Esta imagen muestra dos bobinas paralelas centradas en el mismo eje que portan la misma corriente I. Cada bobina tiene un radio R, que es también la distancia entre las bobinas.

76.

Una carga de $4,0 μC$ se distribuye uniformemente alrededor de un fino anillo de material aislante. El anillo tiene un radio de 0,20 m y gira a $2,0 \times 10^{4} revoluciones por minuto$ alrededor del eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del anillo. ¿Cuál es el campo magnético en el centro del anillo?

77.

Un disco delgado no conductor de radio R es libre de girar alrededor del eje que pasa por su centro y es perpendicular a la cara del disco. Este está cargado uniformemente con una carga total q. Si el disco gira a una velocidad angular constante $ω,$ ¿cuál es el campo magnético en su centro?

78.

Considere el disco del problema anterior. Calcule el campo magnético en un punto de su eje central que esté a una distancia y por encima del disco.

79.

Consideremos el campo magnético axial $B_{y} = μ_{0} I R^{2} / 2 (y^{2} + R^{2})^{3 / 2}$ del bucle de corriente circular que se muestra a continuación. (a) Evalúe $\int_{− a}^{a} B_{y} d y .$ Demuestre también que $\underset{a \to \infty}{lím.} \int_{− a}^{a} B_{y} d y = μ_{0} I .$ (b) ¿Puede deducir este límite sin evaluar la integral? (Pista: Vea la figura adjunta).

Esta imagen muestra el bucle de corriente circular I con el campo magnético B perpendicular al plano del bucle.

80.

La densidad de corriente en el cable largo y cilíndrico mostrado en la figura adjunta varía con la distancia r desde el centro del cable según $J = c r,$ donde c es una constante. (a) ¿Cuál es la corriente que atraviesa el cable? (b) ¿Cuál es el campo magnético producido por esta corriente para $r \leq R ?$ ¿Para $r \geq R ?$

Esta figura muestra un cable lineal, largo y cilíndrico con un radio R que tiene una corriente I fluyendo a través de él.

81.

Un conductor lineal, largo y cilíndrico contiene una cavidad cilíndrica cuyo eje está desplazado por a del eje del conductor, como se muestra en la figura adjunta. La densidad de corriente en el conductor viene dada por $\vec{J} = J_{0} \hat{k},$ donde $J_{0}$ es una constante y $\hat{k}$ es a lo largo del eje del conductor. Calcule el campo magnético en un punto arbitrario P de la cavidad superponiendo el campo de un conductor cilíndrico sólido de radio $R_{1}$ y la densidad de corriente $\vec{J}$ en el campo de un conductor cilíndrico sólido de radio $R_{2}$ y la densidad de corriente $− \vec{J} .$ A continuación, utilice el hecho de que los vectores unitarios acimutales adecuados pueden expresarse como ${\hat{θ}}_{1} = \hat{k} \times {\hat{r}}_{1}$ y ${\hat{θ}}_{2} = \hat{k} \times {\hat{r}}_{2}$ para demostrar que en todo el interior de la cavidad el campo magnético viene dado por la constante $\vec{B} = \frac{1}{2} μ_{0} J_{0} k \times a,$ donde $a = r_{1} - r_{2}$ y $r_{1} = r_{1} {\hat{r}}_{1}$ es la posición de P respecto al centro del conductor y $r_{2} = r_{2} {\hat{r}}_{2}$ es la posición de P respecto al centro de la cavidad.

Esta figura muestra un gran círculo de radio R1 que tiene un agujero circular de radio R2 en él a una distancia a del centro. El punto P está situado en un agujero a la distancia r2 del centro de un agujero y a la distancia r1 del centro de un círculo grande.

82.

Entre los dos extremos de un imán en forma de herradura el campo es uniforme como se muestra en el diagrama. A medida que se avanza hacia los bordes exteriores, el campo se curva. Demuestre, por la ley de Ampère, que el campo debe curvarse y por lo tanto el campo se debilita debido a estas curvas.

Esta figura muestra un imán de herradura con las líneas magnéticas que van del extremo norte al extremo sur.

83.

Demuestre que el campo magnético de un cable delgado y el de un bucle de corriente son cero si se encuentran a una distancia infinita.

84.

Se elige un bucle de Ampère como se muestra en las líneas discontinuas para un campo magnético constante paralelo como se muestra en las flechas sólidas. Calcule $\vec{B} \cdot d \vec{l}$ para cada lado del bucle y, a continuación, halle completo $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} .$ ¿Se le ocurre algún bucle de Ampère que facilite el problema? ¿Coinciden esos resultados con estos?

Esta figura muestra un bucle de Ampere que se encuentra en el campo magnético constante. Uno de los lados del bucle forma un ángulo theta con la línea magnética.

85.

Un cable cilíndrico muy largo y grueso de radio R porta una densidad de corriente J que varía a través de su sección transversal. La magnitud de la densidad de corriente en un punto a una distancia r del centro del cable viene dada por $J = J_{0} \frac{r}{R},$ donde $J_{0}$ es una constante. Halle el campo magnético (a) en un punto fuera del cable y (b) en un punto dentro del cable. Escriba su respuesta en términos de la corriente neta I que pasa por el cable.

86.

Un cable cilíndrico muy largo de radio a tiene un agujero circular de radio b en él a una distancia d del centro. El cable lleva una corriente uniforme de magnitud I a través de él. La dirección de la corriente en la figura está fuera del papel. Halle el campo magnético (a) en un punto del borde del agujero más cercano al centro del cable grueso, (b) en un punto arbitrario dentro del agujero, y (c) en un punto arbitrario fuera del cable. (Pista: Piense en el agujero como una suma de dos cables que llevan la corriente en direcciones opuestas).

Esta figura muestra un círculo de radio a que tiene un agujero circular de radio b en él a una distancia d del centro.

87.

Campo magnético dentro de un toroide. Consideremos un toro de sección rectangular con radio interior a y radio exterior b. N vueltas de un alambre delgado aislado se bobinan uniformemente en el toro, firmemente alrededor de este, y se conectan a una batería que produce una corriente constante I en el alambre. Supongamos que la corriente en las superficies superior e inferior de la figura es radial, y la corriente en las superficies del radio interior y exterior es vertical. Halle el campo magnético en el interior del toro en función de la distancia radial r al eje.

88.

Dos largos tubos coaxiales de cobre, cada uno de ellos de longitud L, están conectados a una batería de voltaje V. El tubo interior tiene radio interior a y radio exterior b, y el tubo exterior tiene radio interior c y radio exterior d. A continuación, los tubos se desconectan de la batería y se giran en la misma dirección a una velocidad angular de $ω$ radianes por segundo alrededor de su eje común. Halle el campo magnético (a) en un punto dentro del espacio encerrado por el tubo interior $r < a,$ y (b) en un punto entre los tubos $b < r < c,$ y (c) en un punto fuera de los tubos $r > d .$ (Pista: Piense en los tubos de cobre como un condensador y calcule la densidad de carga en función del voltaje aplicado, $Q = V C,$ $C = \frac{2 π ε_{0} L}{ln (c / b)} .)$