13.1 Ley de Faraday

Los primeros experimentos productivos sobre los efectos de los campos magnéticos que varían en el tiempo fueron realizados por Michael Faraday en 1831. Uno de sus primeros experimentos está representado en la Figura 13.2. Se una emf cuando el campo magnético de la bobina se modifica al empujar una barra magnética dentro o fuera de la bobina. Las emf de signos opuestos se producen por el movimiento en direcciones opuestas, y las direcciones de las emf también se invierten al invertir los polos. Se producen los mismos resultados si se mueve la bobina en lugar del imán: lo importante es el movimiento relativo. Cuanto más rápido es el movimiento, mayor es la emf, y no hay emf cuando el imán está inmóvil respecto a la bobina.

Figura 13.2 El movimiento de un imán con respecto a una bobina produce emf como se muestra (a-d). Las mismas emf se producen si la bobina se mueve con respecto al imán. Esta emf de corta duración solo está presente durante el movimiento. Cuanto mayor es la velocidad, mayor es la magnitud de la emf, y esta es cero cuando no hay movimiento, como se muestra en (e).

Faraday también descubrió que se puede producir un efecto similar utilizando dos circuitos: una corriente cambiante en un circuito induce una corriente en un segundo circuito cercano. Por ejemplo, cuando el interruptor está cerrado en el circuito 1 de la Figura 13.3(a), la aguja del amperímetro del circuito 2 se desvía momentáneamente, indicando que se ha inducido un pico de corriente de corta duración en ese circuito. La aguja del amperímetro vuelve rápidamente a su posición original, donde permanece. Sin embargo, si ahora se abre repentinamente el interruptor del circuito 1, se observa en el circuito 2 otro pico de corriente de corta duración en sentido contrario al anterior.

Figura 13.3 (a) Al cerrar el interruptor del circuito 1 se produce un pico de corriente de corta duración en el circuito 2. (b) Si el interruptor permanece cerrado, no se observa corriente en el circuito 2. (c) Al abrir de nuevo el interruptor se produce una corriente de corta duración en el circuito 2, pero en sentido contrario al anterior.

Faraday se dio cuenta de que en ambos experimentos, una corriente fluía en el circuito que contenía el amperímetro solo cuando el campo magnético en la región ocupada por ese circuito estaba cambiando. Al mover el imán de la figura, cambiaba la intensidad de su campo magnético en el bucle; y al conectar o desconectar la corriente en el circuito 1, cambiaba la intensidad de su campo magnético en el circuito 2. Faraday pudo finalmente interpretar estos y todos los demás experimentos con campos magnéticos que varían con el tiempo en términos de la siguiente ley:

El flujo magnético es una medida de la cantidad de líneas de campo magnético que atraviesa una superficie determinada, como se ve en la Figura 13.4. Esta definición es similar al flujo eléctrico estudiado anteriormente. Esto significa que si tenemos

entonces la emf inducida o el voltaje generado por un conductor o bobina que se mueve en un campo magnético es

El signo negativo describe la dirección en la que la emf inducida conduce la corriente alrededor de un circuito. Sin embargo, esa dirección se determina más fácilmente con una regla conocida como ley de Lenz, de la que hablaremos en breve.

Figura 13.4 El flujo magnético es la cantidad de líneas de campo magnético que atraviesan una superficie A definida por el vector de área unitaria $\widehat{n}.$ Si el ángulo entre el área unitaria $\widehat{n}$ y el vector del campo magnético $\overrightarrow{B}$ son paralelos o antiparalelos, como se muestra en el diagrama, el flujo magnético es el mayor valor posible dados los valores de área y campo magnético.

La parte (a) de la Figura 13.5 representa un circuito y una superficie arbitraria S a la que limita. Observe que S es una superficie abierta. Se puede demostrar que cualquier superficie abierta delimitada por el circuito en cuestión puede utilizarse para evaluar ${\text{Φ}}_{\text{m}}.$ Por ejemplo, ${\text{Φ}}_{\text{m}}$ es el mismo para las distintas superficies $S_1,S_2,\text{…}$ de la parte (b) de la figura.

Figura 13.5 (a) Un circuito que delimita una superficie abierta arbitraria S. El área plana delimitada por el circuito no forma parte de S. (b) Tres superficies abiertas arbitrarias delimitadas por el mismo circuito. El valor de ${\text{Φ}}_{\text{m}}$ es el mismo para todas estas superficies.

La unidad del SI para el flujo magnético es el weber (Wb),

En ocasiones, la unidad de campo magnético se expresa en webers por metro cuadrado (${\text{Wb/m}}^2$) en lugar de teslas, basándose en esta definición. En muchas aplicaciones prácticas, el circuito de interés consiste en un número N de vueltas apretadas (ver Figura 13.6). Cada vuelta experimenta el mismo flujo magnético. Por lo tanto, el flujo magnético neto a través de los circuitos es N veces el flujo a través de una vuelta, y la ley de Faraday se escribe como

Ejemplo 13.1

Una bobina cuadrada en un campo magnético cambiante

La bobina cuadrada de la Figura 13.6 tiene lados $l=\mathrm{0,25}\text{m}$ de largo y se bobina firmemente con $N=200$ vueltas de cable. La resistencia de la bobina es $R=\mathrm{5,0}\text{Ω}.$ La bobina se encuentra en un campo magnético espacialmente uniforme que se dirige perpendicularmente a la cara de la bobina y cuya magnitud disminuye a una velocidad $dB\text{/}dt=\mathrm{-0,040}\text{T}\text{/}\text{s}.$ (a) ¿Cuál es la magnitud de la emf inducida en la bobina? (b) ¿Cuál es la magnitud de la corriente que circula por la bobina?

Figura 13.6 Una bobina cuadrada con N vueltas de alambre con campo magnético uniforme $\overrightarrow{B}$ dirigido hacia abajo, perpendicular a la bobina.

Estrategia

El vector de área, o dirección $\widehat{n}$, es perpendicular al área que cubre el bucle. Elegiremos que esto apunte hacia abajo para que $\overrightarrow{B}$ sea paralelo a $\widehat{n}$ y que el flujo se convierta en la multiplicación del campo magnético por el área. El área del bucle no cambia en el tiempo, por lo que se puede eliminar de la derivada temporal, dejando el campo magnético como la única cantidad que varía en el tiempo. Por último, podemos aplicar la ley de Ohm una vez conocida la emf inducida para calcular la corriente en el bucle.

Solución

1. El flujo a través de una vuelta es
   $${\text{Φ}}_{\text{m}}=BA=B{l}^2,$$
   por lo que podemos calcular la magnitud de la emf a partir de la ley de Faraday. El signo de la emf se discutirá en la siguiente sección, en la ley de Lenz:
   $$\begin{array}{cc}\left|\epsilon \right|\hfill & =\left|\text{−}N\frac{d{\text{Φ}}_{\text{m}}}{dt}\right|=N{l}^2\frac{dB}{dt}\hfill \\ & =(200){(\mathrm{0,25}\text{m})}^2(\mathrm{0,040}\text{T/s})=\mathrm{0,50}\text{V}\text{.}\hfill \end{array}$$
2. La magnitud de la corriente inducida en la bobina es
   $$I=\frac{\epsilon }{R}=\frac{\mathrm{0,50}\text{V}}{\mathrm{5,0}\text{Ω}}=\mathrm{0,10}\text{A}\text{.}$$

Importancia

Si el área del bucle cambiara en el tiempo, no podríamos sacarlo de la derivada temporal. Como el bucle es una trayectoria cerrada, el resultado de esta corriente sería un pequeño calentamiento de los cables hasta que el campo magnético deje de cambiar. Esto puede aumentar ligeramente el área del bucle al calentarse los cables.