13.2 Ley de Lenz

La dirección en la que la emf inducida impulsa la corriente alrededor de un bucle de cable se puede calcular a través del signo negativo. Sin embargo, suele ser más fácil determinar esta dirección con la ley de Lenz, llamada así en honor a su descubridor, Heinrich Lenz (1804-1865) (Faraday también descubrió esta ley, independientemente de Lenz). Enunciamos la ley de Lenz de la siguiente manera:

La ley de Lenz también puede considerarse en términos de conservación de la energía. Si al empujar un imán en una bobina se produce una corriente, la energía de esa corriente tiene que venir de alguna parte. Si la corriente inducida provoca un campo magnético opuesto al aumento del campo del imán que empujamos, entonces la situación es clara. Empujamos un imán contra un campo e hicimos un trabajo en el sistema, y eso apareció como corriente. Si no fuera porque el campo inducido se opone al cambio de flujo, el imán sería atraído para producir una corriente sin que nada haya hecho trabajo. Se habría creado energía potencial eléctrica, violando la conservación de la energía.

Para determinar una emf inducida $\epsilon$, primero se calcula el flujo magnético ${\text{Φ}}_{\text{m}}$ y luego se obtiene $d{\text{Φ}}_{\text{m}}\text{/}dt.$ La magnitud de $\epsilon$ viene dada por $\epsilon =\left|d{\text{Φ}}_{\text{m}}\text{/}dt\right|.$ Por último, se puede aplicar la ley de Lenz para determinar el sentido de $\text{ε}$. Esto se desarrollará a través de ejemplos que ilustran la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Apliquemos la ley de Lenz al sistema de la Figura 13.7(a). Designamos la "parte delantera" del bucle conductor cerrado como la región que contiene la barra magnética que se aproxima, y la "parte trasera" del bucle como la otra región. A medida que el polo norte del imán se desplaza hacia el bucle, el flujo que lo atraviesa debido al campo del imán aumenta porque la intensidad de las líneas de campo dirigidas desde la parte delantera hacia la parte trasera es cada vez mayor. Por lo tanto, se induce una corriente en el bucle. Según la ley de Lenz, la dirección de la corriente inducida debe ser tal que su propio campo magnético se dirija de una manera que se oponga al flujo cambiante que causa el campo del imán que se aproxima. Por lo tanto, la corriente inducida circula de manera que sus líneas de campo magnético a través del bucle se dirigen desde la parte trasera a la delantera del bucle. En la RHR-2, coloque el pulgar apuntando hacia las líneas de campo magnético, es decir, hacia la barra magnética. Los dedos se enrollan en sentido contrario a las agujas del reloj, visto desde la barra magnética. De manera alternativa, podemos determinar la dirección de la corriente inducida tratando el bucle de corriente como un electroimán que se opone a la aproximación del polo norte de la barra magnética. Esto ocurre cuando la corriente inducida fluye como se muestra, pues entonces la cara del bucle más cercano al imán que se aproxima es también un polo norte.

Figura 13.7 El cambio en el flujo magnético que causa el imán que se aproxima induce una corriente en el bucle. (a) Un polo norte que se aproxima induce una corriente en sentido contrario a las agujas del reloj con respecto a la barra magnética. (b) Un polo sur que se aproxima induce una corriente en sentido de las agujas del reloj con respecto a la barra magnética.

La parte (b) de la figura muestra el polo sur de un imán moviéndose hacia un bucle conductor. En este caso, el flujo que atraviesa el bucle debido al campo del imán aumenta porque el número de líneas de campo dirigidas desde la parte trasera a la delantera del bucle es cada vez mayor. Para oponerse a este cambio, se induce una corriente en el bucle cuyas líneas de campo que la atraviesan se dirigen desde la parte delantera hacia la trasera. De manera equivalente, podemos decir que la corriente fluye en una dirección tal que la cara del bucle más cercano al imán que se aproxima es un polo sur, que entonces repele al polo sur del imán que se aproxima. En la RHR-2, el pulgar apunta lejos de la barra magnética. Los dedos se enrollan en el sentido de las agujas del reloj, que es la dirección de la corriente inducida.

Otro ejemplo que ilustra el uso de la ley de Lenz se muestra en la Figura 13.8. Cuando se abre el interruptor, la disminución de la corriente a través del solenoide provoca una disminución del flujo magnético a través de sus bobinas, lo que induce una emf en el solenoide. Esta emf debe oponerse al cambio (la terminación de la corriente) que la provoca. En consecuencia, la emf inducida tiene la polaridad indicada y se conduce en la dirección de la corriente original. Esto puede generar un arco en los terminales del interruptor al abrirse.

Figura 13.8 (a) Un solenoide conectado a una fuente de emf. (b) La apertura del interruptor S termina la corriente, que a su vez induce una emf en el solenoide. (c) Se produce una diferencia de potencial entre los extremos de las varillas de punta aguda induciendo una emf en una bobina. Esta diferencia de potencial es lo suficientemente grande como para producir un arco entre las puntas afiladas.

Ejemplo 13.2

Una bobina circular en un campo magnético cambiante

Un campo magnético $\overrightarrow{B}$ se dirige hacia el exterior perpendicularmente al plano de una bobina circular de radio $r=\mathrm{0,50}\text{m}$ (Figura 13.9). El campo es cilíndricamente simétrico con respecto al centro de la bobina, y su magnitud decae exponencialmente según $B=(\mathrm{1,5}T)e^{\text{−}(\mathrm{5,0}{\text{s}}^{\mathrm{-1}})t},$ donde B está en teslas y t está en segundos. (a) Calcule la emf inducida en la bobina en los tiempos $t_1=0,$ $t_2=\mathrm{5,0}\times 10^{\text{−}2}\text{s},$ y $t_3=\mathrm{1,0}\text{s}.$ b) Determine la corriente en la bobina en estos tres momentos si su resistencia es $10\text{Ω}.$

Figura 13.9 Una bobina circular en un campo magnético decreciente.

Estrategia

Como el campo magnético es perpendicular al plano de la bobina y constante sobre cada punto de la misma, el producto punto del campo magnético $\overrightarrow{B}$ y la normal al vector de la unidad de área $\widehat{\text{n}}$ se convierten en una multiplicación. El campo magnético puede extraerse de la integración, dejando el flujo como el producto del campo magnético por el área. Tenemos que tomar la derivada temporal de la función exponencial para calcular la emf utilizando la ley de Faraday. A continuación, utilizamos la ley de Ohm para calcular la corriente.

Solución

1. Dado que $\overrightarrow{B}$ es perpendicular al plano de la bobina, el flujo magnético viene dado por
   $$\begin{array}{}\\ \\ \hfill {\text{Φ}}_{\text{m}}& =B\pi r^2=(\mathrm{1,5}{e}^{\mathrm{-5,0}t}\text{T})\pi {(\mathrm{0,50}\text{m})}^2\hfill \\ & =\mathrm{1,2}{e}^{\text{−}(\mathrm{5,0}{\text{s}}^{\mathrm{-1}})t}\text{Wb}\text{.}\hfill \end{array}$$
   A partir de la ley de Faraday, la magnitud de la emf inducida es
   $$\epsilon =\left|\frac{d{\text{Φ}}_m}{dt}\right|=\left|\frac{d}{dt}(\mathrm{1,2}{e}^{\text{−}(\mathrm{5,0}{\text{s}}^{\mathrm{-1}})t}\text{Wb})\right|=\mathrm{6,0}{e}^{\text{−}(\mathrm{5,0}{\text{s}}^{\mathrm{-1}})t}\text{V}\text{.}$$
   Dado que $\overrightarrow{B}$ se dirige hacia fuera de la página y está disminuyendo, la corriente inducida debe fluir en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se ve desde arriba para que el campo magnético que produce a través de la bobina también apunte hacia fuera de la página. Para los tres tiempos, el sentido de ε es antihorario; sus magnitudes son
   $$\epsilon \left(t_1\right)=\mathrm{6,0}\text{V};\epsilon \left(t_2\right)=\mathrm{4,7}\text{V};\epsilon \left(t_3\right)=\mathrm{0,040}\text{V}.$$
2. Según la ley de Ohm, las corrientes respectivas son
   $$\begin{array}{ccc}\hfill I(t_1)& =\hfill & \frac{\epsilon (t_1)}{R}=\frac{\mathrm{6,0}\text{V}}{10\text{Ω}}=\mathrm{0,60}\text{A;}\hfill \\ \hfill I(t_2)& =\hfill & \frac{\mathrm{4,7}\text{V}}{10\text{Ω}}=\mathrm{0,47}\text{A;}\hfill \end{array}$$
   y
   $$I(t_3)=\frac{\mathrm{0,040}\text{V}}{10\text{Ω}}=\mathrm{4,0}\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{A}\text{.}$$

Importancia

Un voltaje de emf se crea por un flujo magnético cambiante en el tiempo. Si sabemos cómo varía el campo magnético con el tiempo sobre un área constante, podemos tomar su derivada temporal para calcular la emf inducida.

Ejemplo 13.3

Cambio del campo magnético dentro de un solenoide

La corriente que pasa por los bobinados de un solenoide con $n=2.000$ vueltas por metro está cambiando a un ritmo $dI\text{/}dt=\mathrm{3,0}\text{A}\text{/}\text{s}.$ (Para obtener más información sobre los solenoides, consulte Fuentes de campos magnéticos). El solenoide tiene una longitud de 50 cm y un diámetro transversal de 3,0 cm. Una pequeña bobina formada por $N=20$ vueltas estrechamente enrolladas en un círculo de 1,0 cm de diámetro se coloca en el centro del solenoide de manera que el plano de la bobina es perpendicular al eje central del solenoide. Suponiendo que la aproximación del solenoide infinito es válida en el lugar de la pequeña bobina, determine la magnitud de la emf inducida en la bobina.

Estrategia

El campo magnético en el centro del solenoide es un valor uniforme de ${\mu }_{0}nI.$ Este campo está produciendo un flujo magnético máximo a través de la bobina al dirigirse a lo largo de la longitud del solenoide. Por lo tanto, el flujo magnético que atraviesa la bobina es el producto del campo magnético del solenoide por el área de la bobina. La ley de Faraday implica una derivada temporal del flujo magnético. La única cantidad que varía en el tiempo es la corriente, el resto se puede sacar de la derivada del tiempo. Por último, incluimos el número de vueltas de la bobina para determinar su emf inducida.

Solución

Dado que el campo del solenoide viene dado por $B={\mu }_{0}nI,$ el flujo a través de cada vuelta de la bobina pequeña es

$${\text{Φ}}_{\text{m}}={\mu }_{0}nI\left(\frac{\pi d^2}{4}\right),$$

donde d es el diámetro de la bobina. Ahora, a partir de la ley de Faraday, la magnitud de la emf inducida en la bobina es

$$\begin{array}{}\\ \\ \hfill \epsilon & =\left|N\frac{d{\text{Φ}}_{\text{m}}}{dt}\right|=\left|N{\mu }_{0}n\frac{\pi d^2}{4}\frac{dI}{dt}\right|\hfill \\ & =20\left(4\pi \times {10}^{\mathrm{-7}}\text{T}·\text{m/s}\right)\left(2.000{\text{m}}^{\text{-1}}\right)\frac{\pi {(\mathrm{0,010}\text{m})}^2}{4}\left(\mathrm{3,0}\text{A/s}\right)\hfill \\ & =\mathrm{1,2}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{V}\text{.}\hfill \end{array}$$

Importancia

Cuando se enciende la corriente en un solenoide vertical, como se muestra en la Figura 13.10, el anillo tiene una emf inducida por el flujo magnético cambiante del solenoide que se opone al cambio. El resultado es que el anillo se dispara verticalmente en el aire.

Figura 13.10 El anillo que salta. Cuando se enciende una corriente en el solenoide vertical, se induce una corriente en el anillo de metal. El campo perdido producido por el solenoide hace que el anillo salte.