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Física Universitaria Volumen 2

13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento

Física Universitaria Volumen 213.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Determinar la magnitud de una emf inducida en un cable que se mueve a velocidad constante a través de un campo magnético.
  • Discutir ejemplos que utilicen emf de movimiento, como un cañón de riel y un satélite atado.

El flujo magnético depende de tres factores: la intensidad del campo magnético, la superficie por la que pasan las líneas de campo y la orientación del campo con la superficie. Si cualquiera de estas magnitudes varía, se produce la correspondiente variación del flujo magnético. Hasta ahora, solo hemos considerado los cambios de flujo debidos a un campo cambiante. Ahora vemos otra posibilidad: un área cambiante a través de la cual pasan las líneas de campo, incluyendo un cambio en la orientación del área.

Dos ejemplos de este tipo de cambio de flujo se representan en la Figura 13.11. En la parte (a), el flujo que atraviesa el bucle rectangular aumenta a medida que se adentra en el campo magnético, y en la parte (b), el flujo que atraviesa la bobina giratoria varía con el ángulo θθ.

La figura A muestra un bucle rectangular que se mueve en un campo magnético perpendicular. La figura B muestra un bucle cuadrado que gira en un campo magnético.
Figura 13.11 (a) El flujo magnético cambia cuando un bucle se mueve en un campo magnético; (b) el flujo magnético cambia cuando un bucle gira en un campo magnético.

Es interesante observar que lo que percibimos como causa de un cambio de flujo concreto depende en realidad del marco de referencia que elijamos. Por ejemplo, si usted está en reposo con respecto a las bobinas en movimiento de la Figura 13.11, vería que el flujo varía debido a un campo magnético cambiante: en la parte (a), el campo se mueve de izquierda a derecha en su marco de referencia, y en la parte (b), el campo está girando. A menudo es posible describir un cambio de flujo a través de una bobina que se mueve en un marco de referencia particular en términos de un campo magnético cambiante en un segundo marco, donde la bobina es estacionaria. Sin embargo, las cuestiones del marco de referencia relacionadas con el flujo magnético están más allá del nivel de este libro de texto. Evitaremos estas complejidades trabajando siempre en un marco en reposo relativo al laboratorio y explicaremos las variaciones de flujo como debidas a un cambio de campo o a un cambio de área.

Ahora veamos una varilla conductora arrastrada en un circuito, cambiando el flujo magnético. El área encerrada por el circuito 'MNOP' de la Figura 13.12 es lx y es perpendicular al campo magnético, por lo que podemos simplificar la integración de la Ecuación 13.1 en una multiplicación de campo magnético y área. Por lo tanto, el flujo magnético que atraviesa la superficie abierta es

Φm=Blx.Φm=Blx.
13.4

Como B y l son constantes y la velocidad de la varilla es v=dx/dt,v=dx/dt, ahora podemos replantear la ley de Faraday, la Ecuación 13.2, para la magnitud de la emf en términos de la varilla conductora en movimiento como

ε=dΦmdt=Bldxdt=Blv.ε=dΦmdt=Bldxdt=Blv.
13.5

La corriente inducida en el circuito es la emf dividida entre la resistencia o

I=BlvR.I=BlvR.

Además, la dirección de la emf inducida satisface la ley de Lenz, como se puede comprobar al inspeccionar la figura.

Este cálculo de la emf inducida por el movimiento no se limita a una varilla que se mueve sobre rieles conductores. Con F=qv×BF=qv×B como punto de partida, se puede demostrar que ε=dΦm/dtε=dΦm/dt es válido para cualquier cambio de flujo causado por el movimiento de un conductor. Hemos visto en la ley de Faraday que la emf inducida por un campo magnético que varía en el tiempo obedece a esta misma relación, que es la ley de Faraday. Por lo tanto, la ley de Faraday es válida para todos los cambios de flujo, ya sean producidos por un campo magnético cambiante, por el movimiento o por una combinación de ambos.

La figura muestra una varilla conductora que es empujada hacia la derecha a través del campo magnético perpendicular a la velocidad constante. El cambio resultante en el flujo magnético induce una corriente en el circuito.
Figura 13.12 Una varilla conductora es empujada hacia la derecha a velocidad constante. El cambio resultante en el flujo magnético induce una corriente en el circuito.

Desde el punto de vista energético, FaFa produce una potencia Fav,Fav, y el resistor disipa potencia I2RI2R. Como la varilla se mueve a velocidad constante, la fuerza aplicada FaFa debe equilibrar la fuerza magnética Fm=IlBFm=IlB en la varilla cuando esta lleva la corriente inducida I. Así, la potencia producida es

Fav=IlBv=BlvR·lBv=l2B2v2R.Fav=IlBv=BlvR·lBv=l2B2v2R.
13.6

La potencia disipada es

P=I2R=(BlvR)2R=l2B2v2R.P=I2R=(BlvR)2R=l2B2v2R.
13.7

Al cumplir el principio de conservación de energía, las potencias producidas y disipadas son iguales.

Este principio puede verse en el funcionamiento de un cañón de riel. Un cañón de riel es un lanzador electromagnético de proyectiles que utiliza un aparato similar a la Figura 13.12 y que se muestra de forma esquemática en la Figura 13.13. La varilla conductora se sustituye por un proyectil o un arma para disparar. Hasta ahora, solo hemos oído hablar de cómo el movimiento provoca una emf. En un cañón de riel, la desconexión/reducción óptima de un campo magnético disminuye el flujo entre los rieles, haciendo que fluya una corriente en la varilla (armazón) que sostiene el proyectil. Esta corriente a través del armazón experimenta una fuerza magnética y es impulsada hacia adelante. Sin embargo, los cañones de riel no se utilizan mucho en el ejército debido al alto costo de producción y a las altas corrientes: Se necesita casi un millón de amperios para producir suficiente energía para que un cañón de riel sea un arma eficaz.

La figura muestra un dibujo esquemático del cañón de riel. Se coloca un armazón entre dos carriles de carga opuesta. Las corrientes en los rieles generan el campo magnético e interactúa con la corriente en el armazón, generando la fuerza.
Figura 13.13 La corriente a través de dos rieles impulsa un proyectil conductor hacia adelante por la fuerza magnética creada.

Podemos calcular una emf inducida de movimiento con la ley de Faraday incluso cuando no hay un circuito cerrado real. Simplemente imaginamos una zona cerrada cuyo límite incluye el conductor en movimiento, calculamos ΦmΦm y luego hallamos la emf a partir de la ley de Faraday. Por ejemplo, podemos dejar que la varilla móvil de la Figura 13.14 sea un lado del área rectangular imaginaria representada por las líneas discontinuas. El área del rectángulo es lx, por lo que el flujo magnético que lo atraviesa es Φm=Blx.Φm=Blx. Al diferenciar esta ecuación, obtenemos

dΦmdt=Bldxdt=Blv,dΦmdt=Bldxdt=Blv,
13.8

que es idéntica a la diferencia de potencial entre los extremos de la varilla que determinamos anteriormente.

La figura muestra una varilla conductora de longitud l que es empujada hacia la derecha a una distancia x a través del campo magnético perpendicular a la velocidad constante.
Figura 13.14 Con el rectángulo imaginario mostrado podemos utilizar la ley de Faraday para calcular la emf inducida en la varilla en movimiento.

Las emf de movimiento en el débil campo magnético de la Tierra no suelen ser muy grandes, o notaríamos voltaje a lo largo de varillas de metal, como un destornillador, durante los movimientos ordinarios. Por ejemplo, un simple cálculo de la emf de movimiento de una varilla de 1,0 m que se mueve a 3,0 m/s perpendicularmente al campo terrestre da

emf=Bv=(5,0×10−5T)(1,0m)(3,0m/s)=150μV.emf=Bv=(5,0×10−5T)(1,0m)(3,0m/s)=150μV.

Este pequeño valor es coherente con la experiencia. Sin embargo, hay una excepción espectacular. En 1992 y 1996, se intentó crear grandes emf de movimiento con el transbordador espacial. El satélite atado debía salir por un cable de 20 km de longitud, como se muestra en la Figura 13.15, para crear una emf de 5 kV al moverse a rapidez orbital a través del campo terrestre. Esta emf podría utilizarse para convertir parte de la energía cinética y potencial del transbordador en energía eléctrica si se pudiera realizar un circuito completo. Para completar el circuito, la ionósfera estacionaria debía suministrar una vía de retorno por la que pudiera circular la corriente (La ionósfera es la atmósfera enrarecida y parcialmente ionizada en las altitudes orbitales. Tiene conducción debido a la ionización. La ionósfera cumple la misma función que los rieles fijos y el resistor de conexión en la Figura 13.13, sin los cuales no habría un circuito completo). El arrastre de la corriente en el cable debido a la fuerza magnética F=IBsenθF=IBsenθ realiza el trabajo que reduce la energía cinética y potencial del transbordador, y permite convertirla en energía eléctrica. Ambas pruebas fueron infructuosas. En la primera, el cable se colgó y solo pudo extenderse un par de cientos de metros; en la segunda, el cable se rompió cuando estaba casi completamente extendido. La Ejemplo 13.4 indica la viabilidad en principio.

La figura es un dibujo esquemático que muestra un satélite atado que se lanza y regresa al transbordador espacial mientras se mueve a través del campo magnético de la Tierra.
Figura 13.15 La emf de movimiento como conversión de potencia eléctrica para el transbordador espacial fue la motivación para el experimento del satélite atado. Se predijo que se induciría una emf de 5 kV en el cable de 20 km mientras se movía a rapidez orbital en el campo magnético de la Tierra. El circuito se completa con una vía de retorno a través de la ionósfera estacionaria.

Ejemplo 13.4

Cálculo de la gran emf de movimiento de un objeto en órbita

Calcule la emf de movimiento inducida a lo largo de un conductor de 20,0 km que se mueve a una rapidez orbital de 7,80 km/s perpendicular al campo magnético de 5,00×10−5T5,00×10−5T de la Tierra.

Estrategia

Este es un gran ejemplo del uso de la ecuación de movimiento ε=Bv.ε=Bv.

Solución

Al introducir los valores dados en ε=Bvε=Bv se obtiene
ε=Bv=(5,00×10−5T)(2,00×104m)(7,80×103m/s)=7,80×103V.ε=Bv=(5,00×10−5T)(2,00×104m)(7,80×103m/s)=7,80×103V.

Importancia

El valor obtenido es mayor que el voltaje medido de 5 kV para el experimento del transbordador, ya que el movimiento orbital real de la atadura no es perpendicular al campo terrestre. El valor de 7,80 kV es la máxima emf obtenida cuando θ=90°θ=90° y así senθ=1.senθ=1.

Ejemplo 13.5

Una varilla de metal que gira en un campo magnético

La parte (a) de la Figura 13.16 muestra una varilla de metal OS que está girando en un plano horizontal alrededor del punto O. La varilla se desliza a lo largo de un cable que forma un arco circular PST de radio r. El sistema está en un campo magnético constante BB que se dirige hacia fuera de la página. (a) Si se hace girar la varilla con una velocidad angular constante ωω, ¿cuál es la corriente I en el bucle cerrado OPSO? Suponga que el resistor R proporciona toda la resistencia en el bucle cerrado. (b) Calcule el trabajo por unidad de tiempo que realiza al girar la varilla y demuestre que es igual a la potencia disipada en el resistor.
La figura A muestra el extremo de una varilla de metal que gira y se desliza a lo largo de un cable circular en un plano horizontal. El campo magnético uniforme es perpendicular a la varilla. La figura B visualiza la corriente inducida por la varilla. La figura C visualiza la fuerza magnética sobre un segmento de corriente infinitesimal.
Figura 13.16 (a) El extremo de una varilla de metal que gira se desliza a lo largo de un cable circular en un plano horizontal. (b) La corriente inducida en la varilla. (c) La fuerza magnética sobre un segmento de corriente infinitesimal.

Estrategia

El flujo magnético es el campo magnético por el área del cuarto de círculo o A=r2θ/2.A=r2θ/2. Al calcular la emf a través de la ley de Faraday, todas las variables son constantes en el tiempo menos θθ, conω=dθ/dt.ω=dθ/dt. Para calcular el trabajo por unidad de tiempo, sabemos que este está relacionado con el torque por la velocidad angular. El torque se calcula conociendo la fuerza sobre una varilla e integrándola sobre la longitud de la misma.

Solución

  1. A partir de la geometría, el área del bucle OPSO es A=r2θ2.A=r2θ2. Por lo tanto, el flujo magnético que atraviesa el bucle es
    Φm=BA=Br2θ2.Φm=BA=Br2θ2.
    Al diferenciar con respecto al tiempo y al utilizar ω=dθ/dt,ω=dθ/dt, tenemos
    ε=|dΦmdt|=Br2ω2.ε=|dΦmdt|=Br2ω2.
    Si se divide entre la resistencia R del bucle, se obtiene para la magnitud de la corriente inducida
    I=εR=Br2ω2R.I=εR=Br2ω2R.
    Como θθ aumenta, también lo hace el flujo a través del bucle debido a B.B. Para contrarrestar este aumento, el campo magnético debido a la corriente inducida debe dirigirse hacia la página en la región encerrada por el bucle. Por lo tanto, como ilustra la parte (b) de la Figura 13.16, la corriente circula en el sentido de las agujas del reloj.
  2. Se hace girar la varilla ejerciendo un torque sobre ella. Como la varilla gira a velocidad angular constante, este torque es igual y opuesto al ejercido sobre la corriente en la varilla por el campo magnético original. La fuerza magnética sobre el segmento infinitesimal de longitud dx mostrado en la parte (c) de la Figura 13.16 es dFm=IBdx,dFm=IBdx, por lo que el torque magnético en este segmento es
    dτm=x·dFm=IBxdx.dτm=x·dFm=IBxdx.
    El torque magnético neto sobre la varilla es entonces
    τm=0rdτm=IB0rxdx=12IBr2.τm=0rdτm=IB0rxdx=12IBr2.
    El torque ττ que ejerce sobre la varilla es igual y opuesto a τm,τm, y el trabajo que se realiza cuando la varilla gira por un ángulo dθdθ es dW=τdθ.dW=τdθ. Por lo tanto, el trabajo por unidad de tiempo que realiza en la varilla es
    dWdt=τdθdt=12IBr2dθdt=12(Br2ω2R)Br2ω=B2r4ω24R,dWdt=τdθdt=12IBr2dθdt=12(Br2ω2R)Br2ω=B2r4ω24R,
    donde hemos sustituido I. La potencia disipada en el resistor es P=I2RP=I2R, que puede escribirse como
    P=(Br2ω2R)2R=B2r4ω24R.P=(Br2ω2R)2R=B2r4ω24R.
    Por lo tanto, vemos que
    P=dWdt.P=dWdt.
    Por lo tanto, la potencia disipada en el resistor es igual al trabajo por unidad de tiempo realizado en el giro de la varilla.

Importancia

Una forma alternativa de ver la emf inducida a partir de la ley de Faraday es integrar en el espacio en vez de en el tiempo. La solución, sin embargo, sería la misma. La emf de movimiento es
|ε|=Bvdl.|ε|=Bvdl.

La velocidad puede escribirse como la velocidad angular por el radio y la longitud diferencial escrita como dr. Por lo tanto,

|ε|=Bvdr=Bω0lrdr=12Bωl2,|ε|=Bvdr=Bω0lrdr=12Bωl2,

que es la misma solución anterior.

Ejemplo 13.6

Una bobina rectangular que gira en un campo magnético

Una bobina rectangular de área A y N vueltas se coloca en un campo magnético uniforme B=Bj^,B=Bj^, como se muestra en la Figura 13.17. La bobina gira alrededor del eje z por su centro con una velocidad angular constante ω.ω. Obtenga una expresión para la emf inducida en la bobina.
La figura muestra una bobina rectangular que gira en un campo magnético uniforme.
Figura 13.17 Una bobina rectangular que gira en un campo magnético uniforme.

Estrategia

Según el diagrama, el ángulo entre la perpendicular a la superficie (n^n^) y el campo magnético (B)(B) es θθ. El producto punto de B·n^B·n^ se simplifica a solo la componente cosθcosθ del campo magnético, es decir, donde el campo magnético se proyecta sobre el vector de superficie unitaria n^n^. La magnitud del campo magnético y el área del bucle son fijos en el tiempo, lo que hace que la integración se simplifique rápidamente. La emf inducida se escribe utilizando la ley de Faraday.

Solución

Cuando la bobina está en una posición tal que su vector normal n^n^ hace un ángulo θθ con el campo magnético B,B, el flujo magnético a través de una sola vuelta de la bobina es
Φm=SB·n^dA=BAcosθ.Φm=SB·n^dA=BAcosθ.

A partir de la ley de Faraday la emf inducida en la bobina es

ε=NdΦmdt=NBAsenθdθdt.ε=NdΦmdt=NBAsenθdθdt.

La velocidad angular constante es ω=dθ/dt.ω=dθ/dt. El ángulo θθ representa la evolución temporal de la velocidad angular o ωtωt. Esto es cambia la función al espacio de tiempo en lugar de θθ. Por lo tanto, la emf inducida varía sinusoidalmente con el tiempo según

ε=ε0senωt,ε=ε0senωt,

donde ε0=NBAω.ε0=NBAω.

Importancia

Si la intensidad del campo magnético o el área del bucle también cambiasen con el tiempo, estas variables no podrían extraerse de la derivada temporal para obtener simplemente la solución como se muestra. Este ejemplo es la base de un generador eléctrico, como veremos en Aplicaciones de la ley de Newton.

Compruebe Lo Aprendido 13.4

A continuación se muestra una varilla de longitud l que gira en sentido contrario a las agujas del reloj en torno al eje a través de O por el torque debido a mg.mg. Suponiendo que la varilla está en un campo magnético uniforme BB, ¿cuál es la emf inducida entre los extremos de la varilla cuando su velocidad angular es ωω? ¿Qué extremo de la varilla tiene un potencial más alto?

La figura muestra una varilla de longitud l que se encuentra en el campo magnético uniforme. La varilla gira en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del eje a través de O por el torque debido a mg.

Compruebe Lo Aprendido 13.5

Una varilla de 10 cm de longitud se mueve a una velocidad de 10 m/s perpendicularmente a través de un campo magnético de 1,5 T. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los extremos de la varilla?

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