13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento

El flujo magnético depende de tres factores: la intensidad del campo magnético, la superficie por la que pasan las líneas de campo y la orientación del campo con la superficie. Si cualquiera de estas magnitudes varía, se produce la correspondiente variación del flujo magnético. Hasta ahora, solo hemos considerado los cambios de flujo debidos a un campo cambiante. Ahora vemos otra posibilidad: un área cambiante a través de la cual pasan las líneas de campo, incluyendo un cambio en la orientación del área.

Dos ejemplos de este tipo de cambio de flujo se representan en la Figura 13.11. En la parte (a), el flujo que atraviesa el bucle rectangular aumenta a medida que se adentra en el campo magnético, y en la parte (b), el flujo que atraviesa la bobina giratoria varía con el ángulo $\theta$.

Figura 13.11 (a) El flujo magnético cambia cuando un bucle se mueve en un campo magnético; (b) el flujo magnético cambia cuando un bucle gira en un campo magnético.

Es interesante observar que lo que percibimos como causa de un cambio de flujo concreto depende en realidad del marco de referencia que elijamos. Por ejemplo, si usted está en reposo con respecto a las bobinas en movimiento de la Figura 13.11, vería que el flujo varía debido a un campo magnético cambiante: en la parte (a), el campo se mueve de izquierda a derecha en su marco de referencia, y en la parte (b), el campo está girando. A menudo es posible describir un cambio de flujo a través de una bobina que se mueve en un marco de referencia particular en términos de un campo magnético cambiante en un segundo marco, donde la bobina es estacionaria. Sin embargo, las cuestiones del marco de referencia relacionadas con el flujo magnético están más allá del nivel de este libro de texto. Evitaremos estas complejidades trabajando siempre en un marco en reposo relativo al laboratorio y explicaremos las variaciones de flujo como debidas a un cambio de campo o a un cambio de área.

Ahora veamos una varilla conductora arrastrada en un circuito, cambiando el flujo magnético. El área encerrada por el circuito 'MNOP' de la Figura 13.12 es lx y es perpendicular al campo magnético, por lo que podemos simplificar la integración de la Ecuación 13.1 en una multiplicación de campo magnético y área. Por lo tanto, el flujo magnético que atraviesa la superficie abierta es

Como B y l son constantes y la velocidad de la varilla es $v=dx\text{/}dt,$ ahora podemos replantear la ley de Faraday, la Ecuación 13.2, para la magnitud de la emf en términos de la varilla conductora en movimiento como

La corriente inducida en el circuito es la emf dividida entre la resistencia o

Además, la dirección de la emf inducida satisface la ley de Lenz, como se puede comprobar al inspeccionar la figura.

Este cálculo de la emf inducida por el movimiento no se limita a una varilla que se mueve sobre rieles conductores. Con $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ como punto de partida, se puede demostrar que $\epsilon =\text{−}d{\text{Φ}}_{\text{m}}\text{/}dt$ es válido para cualquier cambio de flujo causado por el movimiento de un conductor. Hemos visto en la ley de Faraday que la emf inducida por un campo magnético que varía en el tiempo obedece a esta misma relación, que es la ley de Faraday. Por lo tanto, la ley de Faraday es válida para todos los cambios de flujo, ya sean producidos por un campo magnético cambiante, por el movimiento o por una combinación de ambos.

Figura 13.12 Una varilla conductora es empujada hacia la derecha a velocidad constante. El cambio resultante en el flujo magnético induce una corriente en el circuito.

Desde el punto de vista energético, ${\overrightarrow{F}}_a$ produce una potencia $F_{a}v,$ y el resistor disipa potencia $I^{2}R$. Como la varilla se mueve a velocidad constante, la fuerza aplicada $F_a$ debe equilibrar la fuerza magnética $F_{\text{m}}=IlB$ en la varilla cuando esta lleva la corriente inducida I. Así, la potencia producida es

La potencia disipada es

Al cumplir el principio de conservación de energía, las potencias producidas y disipadas son iguales.

Este principio puede verse en el funcionamiento de un cañón de riel. Un cañón de riel es un lanzador electromagnético de proyectiles que utiliza un aparato similar a la Figura 13.12 y que se muestra de forma esquemática en la Figura 13.13. La varilla conductora se sustituye por un proyectil o un arma para disparar. Hasta ahora, solo hemos oído hablar de cómo el movimiento provoca una emf. En un cañón de riel, la desconexión/reducción óptima de un campo magnético disminuye el flujo entre los rieles, haciendo que fluya una corriente en la varilla (armazón) que sostiene el proyectil. Esta corriente a través del armazón experimenta una fuerza magnética y es impulsada hacia adelante. Sin embargo, los cañones de riel no se utilizan mucho en el ejército debido al alto costo de producción y a las altas corrientes: Se necesita casi un millón de amperios para producir suficiente energía para que un cañón de riel sea un arma eficaz.

Figura 13.13 La corriente a través de dos rieles impulsa un proyectil conductor hacia adelante por la fuerza magnética creada.

Podemos calcular una emf inducida de movimiento con la ley de Faraday incluso cuando no hay un circuito cerrado real. Simplemente imaginamos una zona cerrada cuyo límite incluye el conductor en movimiento, calculamos ${\text{Φ}}_{\text{m}}$ y luego hallamos la emf a partir de la ley de Faraday. Por ejemplo, podemos dejar que la varilla móvil de la Figura 13.14 sea un lado del área rectangular imaginaria representada por las líneas discontinuas. El área del rectángulo es lx, por lo que el flujo magnético que lo atraviesa es ${\text{Φ}}_{\text{m}}=Blx.$ Al diferenciar esta ecuación, obtenemos

que es idéntica a la diferencia de potencial entre los extremos de la varilla que determinamos anteriormente.

Figura 13.14 Con el rectángulo imaginario mostrado podemos utilizar la ley de Faraday para calcular la emf inducida en la varilla en movimiento.

Las emf de movimiento en el débil campo magnético de la Tierra no suelen ser muy grandes, o notaríamos voltaje a lo largo de varillas de metal, como un destornillador, durante los movimientos ordinarios. Por ejemplo, un simple cálculo de la emf de movimiento de una varilla de 1,0 m que se mueve a 3,0 m/s perpendicularmente al campo terrestre da

Este pequeño valor es coherente con la experiencia. Sin embargo, hay una excepción espectacular. En 1992 y 1996, se intentó crear grandes emf de movimiento con el transbordador espacial. El satélite atado debía salir por un cable de 20 km de longitud, como se muestra en la Figura 13.15, para crear una emf de 5 kV al moverse a rapidez orbital a través del campo terrestre. Esta emf podría utilizarse para convertir parte de la energía cinética y potencial del transbordador en energía eléctrica si se pudiera realizar un circuito completo. Para completar el circuito, la ionósfera estacionaria debía suministrar una vía de retorno por la que pudiera circular la corriente (La ionósfera es la atmósfera enrarecida y parcialmente ionizada en las altitudes orbitales. Tiene conducción debido a la ionización. La ionósfera cumple la misma función que los rieles fijos y el resistor de conexión en la Figura 13.13, sin los cuales no habría un circuito completo). El arrastre de la corriente en el cable debido a la fuerza magnética $F=I\ell B\text{sen}\theta$ realiza el trabajo que reduce la energía cinética y potencial del transbordador, y permite convertirla en energía eléctrica. Ambas pruebas fueron infructuosas. En la primera, el cable se colgó y solo pudo extenderse un par de cientos de metros; en la segunda, el cable se rompió cuando estaba casi completamente extendido. La Ejemplo 13.4 indica la viabilidad en principio.

Figura 13.15 La emf de movimiento como conversión de potencia eléctrica para el transbordador espacial fue la motivación para el experimento del satélite atado. Se predijo que se induciría una emf de 5 kV en el cable de 20 km mientras se movía a rapidez orbital en el campo magnético de la Tierra. El circuito se completa con una vía de retorno a través de la ionósfera estacionaria.

Ejemplo 13.5

Una varilla de metal que gira en un campo magnético

La parte (a) de la Figura 13.16 muestra una varilla de metal OS que está girando en un plano horizontal alrededor del punto O. La varilla se desliza a lo largo de un cable que forma un arco circular PST de radio r. El sistema está en un campo magnético constante $\overrightarrow{B}$ que se dirige hacia fuera de la página. (a) Si se hace girar la varilla con una velocidad angular constante $\omega$, ¿cuál es la corriente I en el bucle cerrado OPSO? Suponga que el resistor R proporciona toda la resistencia en el bucle cerrado. (b) Calcule el trabajo por unidad de tiempo que realiza al girar la varilla y demuestre que es igual a la potencia disipada en el resistor.

Figura 13.16 (a) El extremo de una varilla de metal que gira se desliza a lo largo de un cable circular en un plano horizontal. (b) La corriente inducida en la varilla. (c) La fuerza magnética sobre un segmento de corriente infinitesimal.

Estrategia

El flujo magnético es el campo magnético por el área del cuarto de círculo o $A=r^2\theta \text{/}2.$ Al calcular la emf a través de la ley de Faraday, todas las variables son constantes en el tiempo menos $\theta$, con$\omega =d\theta \text{/}dt.$ Para calcular el trabajo por unidad de tiempo, sabemos que este está relacionado con el torque por la velocidad angular. El torque se calcula conociendo la fuerza sobre una varilla e integrándola sobre la longitud de la misma.

Solución

1. A partir de la geometría, el área del bucle OPSO es $A=\frac{r^2\theta }{2}.$ Por lo tanto, el flujo magnético que atraviesa el bucle es
   $${\text{Φ}}_{\text{m}}=BA=B\frac{r^2\theta }{2}.$$
   Al diferenciar con respecto al tiempo y al utilizar $\omega =d\theta \text{/}dt,$ tenemos
   $$\epsilon =\left|\frac{d{\text{Φ}}_{\text{m}}}{dt}\right|=\frac{B{r}^2\omega }{2}.$$
   Si se divide entre la resistencia R del bucle, se obtiene para la magnitud de la corriente inducida
   $$I=\frac{\epsilon }{R}=\frac{B{r}^2\omega }{2R}.$$
   Como $\theta$ aumenta, también lo hace el flujo a través del bucle debido a $\overrightarrow{B}.$ Para contrarrestar este aumento, el campo magnético debido a la corriente inducida debe dirigirse hacia la página en la región encerrada por el bucle. Por lo tanto, como ilustra la parte (b) de la Figura 13.16, la corriente circula en el sentido de las agujas del reloj.
2. Se hace girar la varilla ejerciendo un torque sobre ella. Como la varilla gira a velocidad angular constante, este torque es igual y opuesto al ejercido sobre la corriente en la varilla por el campo magnético original. La fuerza magnética sobre el segmento infinitesimal de longitud dx mostrado en la parte (c) de la Figura 13.16 es $d{F}_{\text{m}}=IBdx,$ por lo que el torque magnético en este segmento es
   $$d{\tau }_{\text{m}}=x·d{F}_{\text{m}}=IBxdx.$$
   El torque magnético neto sobre la varilla es entonces
   $${\tau }_{\text{m}}={\displaystyle {\int }_0^{r}d{\tau }_{\text{m}}}=IB{\displaystyle {\int }_0^{r}xdx=\frac{1}{2}}IB{r}^2.$$
   El torque $\tau$ que ejerce sobre la varilla es igual y opuesto a ${\tau }_{\text{m}},$ y el trabajo que se realiza cuando la varilla gira por un ángulo $d\theta$ es $dW=\tau d\theta .$ Por lo tanto, el trabajo por unidad de tiempo que realiza en la varilla es
   $$\frac{dW}{dt}=\tau \frac{d\theta }{dt}=\frac{1}{2}IB{r}^2\frac{d\theta }{dt}=\frac{1}{2}\left(\frac{B{r}^2\omega }{2R}\right)B{r}^2\omega =\frac{B^2{r}^4{\omega }^2}{4R},$$
   donde hemos sustituido I. La potencia disipada en el resistor es $P=I^{2}R$, que puede escribirse como
   $$P={\left(\frac{B{r}^2\omega }{2R}\right)}^{2}R=\frac{B^2{r}^4{\omega }^2}{4R}.$$
   Por lo tanto, vemos que
   $$P=\frac{dW}{dt}.$$
   Por lo tanto, la potencia disipada en el resistor es igual al trabajo por unidad de tiempo realizado en el giro de la varilla.

Importancia

Una forma alternativa de ver la emf inducida a partir de la ley de Faraday es integrar en el espacio en vez de en el tiempo. La solución, sin embargo, sería la misma. La emf de movimiento es

$$\left|\epsilon \right|={\displaystyle \int Bvdl}.$$

La velocidad puede escribirse como la velocidad angular por el radio y la longitud diferencial escrita como dr. Por lo tanto,

$$\left|\epsilon \right|=B{\displaystyle \int vdr=B\omega {\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}rdr}}=\frac{1}{2}B\omega l^2,$$

que es la misma solución anterior.

Ejemplo 13.6

Una bobina rectangular que gira en un campo magnético

Una bobina rectangular de área A y N vueltas se coloca en un campo magnético uniforme $\overrightarrow{B}=B\widehat{j},$ como se muestra en la Figura 13.17. La bobina gira alrededor del eje z por su centro con una velocidad angular constante $\omega .$ Obtenga una expresión para la emf inducida en la bobina.

Figura 13.17 Una bobina rectangular que gira en un campo magnético uniforme.

Estrategia

Según el diagrama, el ángulo entre la perpendicular a la superficie ($\widehat{n}$) y el campo magnético $(\overrightarrow{B})$ es $\theta$. El producto punto de $\overrightarrow{B}·\widehat{n}$ se simplifica a solo la componente $\text{cos}\theta$ del campo magnético, es decir, donde el campo magnético se proyecta sobre el vector de superficie unitaria $\widehat{n}$. La magnitud del campo magnético y el área del bucle son fijos en el tiempo, lo que hace que la integración se simplifique rápidamente. La emf inducida se escribe utilizando la ley de Faraday.

Solución

Cuando la bobina está en una posición tal que su vector normal $\widehat{n}$ hace un ángulo $\theta$ con el campo magnético $\overrightarrow{B},$ el flujo magnético a través de una sola vuelta de la bobina es

$${\text{Φ}}_{\text{m}}={\displaystyle {\int }_S\overrightarrow{B}·\widehat{n}dA}=BA\text{cos}\theta .$$

A partir de la ley de Faraday la emf inducida en la bobina es

$$\epsilon =\text{−}N\frac{d{\text{Φ}}_{\text{m}}}{dt}=NBA\text{sen}\theta \frac{d\theta }{dt}.$$

La velocidad angular constante es $\omega =d\theta \text{/}dt.$ El ángulo $\theta$ representa la evolución temporal de la velocidad angular o $\omega t$. Esto es cambia la función al espacio de tiempo en lugar de $\theta$. Por lo tanto, la emf inducida varía sinusoidalmente con el tiempo según

$$\epsilon ={\epsilon }_0\text{sen}\omega t,$$

donde ${\epsilon }_0=NBA\omega .$

Importancia

Si la intensidad del campo magnético o el área del bucle también cambiasen con el tiempo, estas variables no podrían extraerse de la derivada temporal para obtener simplemente la solución como se muestra. Este ejemplo es la base de un generador eléctrico, como veremos en Aplicaciones de la ley de Newton.

Compruebe Lo Aprendido 13.4

A continuación se muestra una varilla de longitud l que gira en sentido contrario a las agujas del reloj en torno al eje a través de O por el torque debido a $m\overrightarrow{g}.$ Suponiendo que la varilla está en un campo magnético uniforme $\overrightarrow{B}$, ¿cuál es la emf inducida entre los extremos de la varilla cuando su velocidad angular es $\omega$? ¿Qué extremo de la varilla tiene un potencial más alto?