9.3 Resistividad y resistencia

Resistividad

Cuando se aplica un voltaje a un conductor, se crea un campo eléctrico $\overrightarrow{E}$ y las cargas en el conductor sienten una fuerza debida al campo eléctrico. La densidad de corriente $\overrightarrow{J}$ que resulta depende del campo eléctrico y de las propiedades del material. Esta dependencia puede ser muy compleja. En algunos materiales, incluidos los metales a una temperatura determinada, la densidad de corriente es aproximadamente proporcional al campo eléctrico. En estos casos, la densidad de corriente puede modelarse como

donde $\sigma$ es la conductividad eléctrica. La conductividad eléctrica es análoga a la conductividad térmica y es una medida de la capacidad de un material para conducir o transmitir electricidad. Los conductores tienen una mayor conductividad eléctrica que los aislantes. Dado que la conductividad eléctrica es $\sigma =J\text{/}E$, las unidades son

Aquí definimos una unidad llamada ohmio con el símbolo griego omega en mayúscula, $\text{Ω}$. La unidad lleva el nombre de Georg Simon Ohm, de quien hablaremos más adelante en este capítulo. El $\text{Ω}$ se utiliza para evitar la confusión con el número 0. Un ohmio equivale a un voltio por amperio $1\text{Ω}=1\text{V/A}$. Por lo tanto, las unidades de conductividad eléctrica son ${\left(\text{Ω}·\text{m}\right)}^{\mathrm{-1}}$.

La conductividad es una propiedad intrínseca de un material. Otra propiedad intrínseca de un material es la resistividad, o resistencia eléctrica. La resistividad de un material es una medida de la fuerza con la que un material se opone al flujo de la corriente eléctrica. El símbolo de la resistividad es la letra griega minúscula rho, $\rho$, y la resistividad es el recíproco de la conductividad eléctrica:

La unidad de resistividad en unidades del SI es el ohmímetro $\left(\text{Ω}·\text{m}\right)$. Podemos definir la resistividad en función del campo eléctrico y de la densidad de corriente,

Cuanto mayor sea la resistividad, mayor será el campo necesario para producir una determinada densidad de corriente. Cuanto menor sea la resistividad, mayor será la densidad de corriente producida por un campo eléctrico determinado. Los buenos conductores tienen una alta conductividad y una baja resistividad. Los buenos aislantes tienen una baja conductividad y una alta resistividad. La Tabla 9.1 enumera los valores de resistividad y conductividad de varios materiales.

Los materiales que figuran en la tabla se dividen en categorías de conductores, semiconductores y aislantes, en función de amplias agrupaciones de resistividad. Los conductores tienen la menor resistividad y los aislantes la mayor; los semiconductores tienen una resistividad intermedia. Los conductores tienen densidades de carga libres, variables pero grandes, mientras que la mayoría de las cargas de los aislantes están ligadas a los átomos y no son libres de moverse. Los semiconductores son intermedios, ya que tienen muchas menos cargas libres que los conductores, pero tienen propiedades que hacen que el número de cargas libres dependa en gran medida del tipo y la cantidad de impurezas del semiconductor. Estas propiedades únicas de los semiconductores se utilizan en la electrónica moderna, como veremos en capítulos posteriores.

Dependencia de la temperatura de la resistividad

Volviendo a mirar la Tabla 9.1, verá una columna identificada como “coeficiente de temperatura”. La resistividad de algunos materiales tiene una fuerte dependencia de la temperatura. En algunos materiales, como el cobre, la resistividad aumenta con el aumento de la temperatura. De hecho, en la mayoría de los metales conductores, la resistividad aumenta con el incremento de la temperatura. El aumento de la temperatura provoca un incremento de las vibraciones de los átomos en la estructura reticular de los metales, lo que impide el movimiento de los electrones. En otros materiales, como el carbono, la resistividad disminuye al aumentar la temperatura. En muchos materiales, la dependencia es aproximadamente lineal y puede modelarse mediante una ecuación lineal:

donde $\rho$ es la resistividad del material a la temperatura T, $\alpha$ es el coeficiente de temperatura del material y ${\rho }_0$ es la resistividad en $T_0$, que suele tomarse como $T_0=\mathrm{20,00}\text{°}\text{C}$.

Observe también que el coeficiente de temperatura $\alpha$ es negativo para los semiconductores enumerados en la Tabla 9.1, lo que significa que su resistividad disminuye al aumentar la temperatura. Se convierten en mejores conductores a mayor temperatura, porque el aumento de la agitación térmica incrementa el número de cargas libres disponibles para transportar la corriente. Esta propiedad de disminuir $\rho$ con la temperatura también está relacionada con el tipo y la cantidad de impurezas presentes en los semiconductores.

Resistencia

Ahora consideramos la resistencia de un cable o componente. La resistencia es una medida de la dificultad para hacer pasar la corriente a través de un cable o componente; y depende de la resistividad. La resistividad es una característica del material utilizado para fabricar un cable u otro componente eléctrico, mientras que la resistencia es una característica del cable o del componente.

Para calcular la resistencia, considere una sección de cable conductor con un área transversal A, una longitud L y una resistividad $\rho .$ Se conecta una batería a través del conductor, proporcionando una diferencia de potencial $\text{Δ}V$ a través de ella (Figura 9.13). La diferencia de potencial produce un campo eléctrico que es proporcional a la densidad de corriente, según $\overrightarrow{E}=\rho \overrightarrow{J}$.

Figura 9.13 Un potencial proporcionado por una batería se aplica a un segmento de un conductor con un área de sección transversal A y una longitud L.

La magnitud del campo eléctrico a través del segmento del conductor es igual al voltaje dividido entre la longitud, $E=V\text{/}L$, y la magnitud de la densidad de corriente es igual a la corriente dividida entre el área de la sección transversal, $J=I\text{/}A.$ Utilizando esta información y recordando que el campo eléctrico es proporcional a la resistividad y a la densidad de corriente, podemos ver que el voltaje es proporcional a la corriente:

La unidad de resistencia es el ohmio, $\text{Ω}$. Para un voltaje determinado, cuanto mayor sea la resistencia, menor será la corriente.

Resistores

Un componente común en los circuitos electrónicos es el resistor. Este puede utilizarse para reducir el flujo de corriente o proporcionar una caída de voltaje. La Figura 9.14 muestra los símbolos utilizados para un resistor en los diagramas esquemáticos de un circuito. El Instituto Nacional Estadounidense de Estándares (American National Standard Institute, ANSI) y la Comisión Electrotécnica Internacional (International Electrotechnical Commission, IEC) ofrecen dos normas de uso común para los diagramas de circuitos. Ambos sistemas se utilizan habitualmente. En este texto utilizamos la norma ANSI por su reconocimiento visual, pero observamos que para circuitos más grandes y complejos, la norma IEC puede tener una presentación más limpia, lo que facilita su lectura.

Figura 9.14 Los símbolos de un resistor utilizados en los diagramas de circuitos. (a) El símbolo ANSI; (b) el símbolo IEC.

Dependencia del material y la forma de la resistencia

Un resistor se puede modelar como un cilindro con una sección transversal A y una longitud L, hecha de un material con una resistividad $\rho$ (Figura 9.15). La resistencia del resistor es $R=\rho \frac{L}{A}$.

Figura 9.15 Modelo de un resistor como un cilindro uniforme de longitud L y área de sección transversal A. Su resistencia al flujo de corriente es análoga a la resistencia que presenta una tubería al flujo de un fluido. Cuanto más largo sea el cilindro, mayor será su resistencia. Cuanto mayor sea su sección transversal A, menor será su resistencia.

El material más utilizado para fabricar un resistor es el carbono. Se envuelve una línea de carbono alrededor de un núcleo de cerámica, y se unen dos cables de cobre. Un segundo tipo de resistor es el de película de metal, que también tiene un núcleo cerámico. La línea está hecha de un material de óxido de metal, que tiene propiedades semiconductoras similares a las del carbono. Una vez más, los cables de cobre se insertan en los extremos del resistor. El resistor se pinta y se marca para su identificación. Un resistor tiene cuatro bandas de color, como se muestra en la Figura 9.16.

Figura 9.16 Muchos resistores se asemejan a la figura anterior. Las cuatro bandas sirven para identificar el resistor. Las dos primeras bandas de color representan los dos primeros dígitos de la resistencia del resistor. El tercer color es el multiplicador. El cuarto color representa la tolerancia del resistor. El que se muestra tiene una resistencia de $20\times {10}^5\text{Ω}\text{±}10\text{\%}$.

Las resistencias varían en muchos órdenes de magnitud. Algunos aislantes cerámicos, como los utilizados para soportar las líneas eléctricas, tienen resistencias de ${10}^{12}\text{Ω}$ o más. Una persona seca puede tener una resistencia mano-pie de ${10}^5\text{Ω}$, mientras que la resistencia del corazón humano es de aproximadamente ${10}^3\text{Ω}$. Un trozo de cable de cobre de gran diámetro de un metro de longitud puede tener una resistencia de ${10}^{\mathrm{-5}}\text{Ω}$, y los superconductores no tienen ninguna resistencia a bajas temperaturas. Como hemos visto, la resistencia está relacionada con la forma de un objeto y el material del que está compuesto.

Ejemplo 9.5

Densidad de corriente, resistencia y campo eléctrico para un cable conductor de corriente

Calcule la densidad de corriente, la resistencia y el campo eléctrico de un cable de cobre de 5 m de longitud con un diámetro de 2,053 mm (calibre 12) que transporta una corriente de $I=10\text{mA}$.

Estrategia

Podemos calcular la densidad de corriente encontrando primero el área de la sección transversal del cable, que es $A=\mathrm{3,31}{\text{mm}}^2,$ y la definición de densidad de corriente $J=\frac{I}{A}$. La resistencia se puede calcular utilizando la longitud del cable $L=\mathrm{5,00}\text{m}$, el área y la resistividad del cobre $\rho =\mathrm{1,68}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{Ω}·\text{m}$, donde $R=\rho \frac{L}{A}$. La resistividad y la densidad de corriente pueden utilizarse para hallar el campo eléctrico.

Solución

En primer lugar, calculamos la densidad de corriente:

$$J=\frac{I}{A}=\frac{10\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{A}}{\mathrm{3,31}\times {10}^{\mathrm{-6}}{\text{m}}^2}=\mathrm{3,02}\times {10}^3\frac{\text{A}}{{\text{m}}^2}.$$

La resistencia del cable es

$$R=\rho \frac{L}{A}=\left(\mathrm{1,68}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{Ω}·\text{m}\right)\frac{\mathrm{5,00}\text{m}}{\mathrm{3,31}\times {10}^{\mathrm{-6}}{\text{m}}^2}=\mathrm{0,025}\text{Ω}.$$

Finalmente, podemos calcular el campo eléctrico:

$$E=\rho J=\mathrm{1,68}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{Ω}·\text{m}\left(\mathrm{3,02}\times {10}^3\frac{\text{A}}{{\text{m}}^2}\right)=\mathrm{5,07}\times {10}^{\mathrm{-5}}\frac{\text{V}}{\text{m}}.$$

Importancia

A partir de estos resultados, no es de extrañar que se utilice el cobre en los cables para transportar la corriente porque la resistencia es bastante pequeña. Observe que la densidad de corriente y el campo eléctrico son independientes de la longitud del cable, pero el voltaje depende de ella.

La resistencia de un objeto también depende de la temperatura, ya que $R_0$ es directamente proporcional a $\rho .$ Para un cilindro, sabemos que $R=\rho \frac{L}{A}$, por lo que si L y A no cambian mucho con la temperatura, R tiene la misma dependencia de la temperatura que $\rho .$ (El estudio de los coeficientes de expansión lineal muestra que son aproximadamente dos órdenes de magnitud menos que los coeficientes de temperatura típicos de la resistividad, por lo que el efecto de la temperatura sobre L y A es aproximadamente dos órdenes de magnitud menos que sobre $\rho .)$ Por lo tanto,

$$R=R_0(1+\alpha \text{Δ}T)$$

9.10

es la dependencia de la temperatura de la resistencia de un objeto, donde $R_0$ es la resistencia original (normalmente se toma como $\mathrm{20,00}\text{°}\text{C})$ y R es la resistencia después de un cambio de temperatura $\text{Δ}T.$ El código de colores indica la resistencia del resistor a una temperatura de $T=\mathrm{20,00}\text{°}\text{C}$.

Muchos termómetros se basan en el efecto de la temperatura sobre la resistencia (Figura 9.17). Uno de los termómetros más comunes se basa en el termistor, un cristal semiconductor con una fuerte dependencia de la temperatura, cuya resistencia se mide para obtener su temperatura. El dispositivo es pequeño, por lo que entra rápidamente en equilibrio térmico con la parte que toca de la persona.

Figura 9.17 Estos conocidos termómetros se basan en la medición automatizada de la resistencia dependiente de la temperatura de un termistor.

Ejemplo 9.6

Calcular la resistencia

Aunque hay que tener cuidado al aplicar $\rho ={\rho }_0(1+\alpha \text{Δ}T)$ y $R=R_0(1+\alpha \text{Δ}T)$ para los cambios de temperatura superiores a $100\text{°}\text{C}$, para el tungsteno, las ecuaciones funcionan razonablemente bien para cambios de temperatura muy grandes. Un filamento de tungsteno a $20\text{°}\text{C}$ tiene una resistencia de $\mathrm{0,350}\text{Ω}$. ¿Cuál sería la resistencia si se aumenta la temperatura a $2.850\text{°}\text{C}$?

Estrategia

Se trata de una aplicación directa de $R=R_0(1+\alpha \text{Δ}T)$, ya que la resistencia original del filamento viene dada por $R_0=\mathrm{0,350}\text{Ω}$ y el cambio de temperatura es $\text{Δ}T=2830\text{°}\text{C}$.

Solución

La resistencia del filamento más caliente R se obtiene introduciendo valores conocidos en la ecuación anterior:

$$R=R_0\left(1+\alpha \text{Δ}T\right)=\left(\mathrm{0,350}\text{Ω}\right)\left[1+\left(\frac{\mathrm{4,5}\times {10}^{\mathrm{-3}}}{\text{°}\text{C}}\right)\left(2830\text{°}\text{C}\right)\right]=\mathrm{4,8}\text{Ω}.$$

Importancia

Observe que la resistencia cambia en más de un factor de 10 a medida que el filamento se calienta hasta alcanzar una alta temperatura y la corriente que pasa por el filamento depende de su resistencia y del voltaje aplicado. Si el filamento se utiliza en una bombilla incandescente, la corriente inicial que pasa por el filamento cuando se enciende por primera vez será mayor que la corriente después de que el filamento alcance la temperatura de funcionamiento.

Compruebe Lo Aprendido 9.6

Una galga extensométrica es un dispositivo eléctrico que se usa para medir la tensión, como se muestra a continuación. Consiste en un soporte flexible y aislante que soporta una lámina de conducción. La resistencia de la lámina cambia al estirar el soporte. ¿Cómo cambia la resistencia de la galga extensométrica? ¿La galga extensométrica se ve afectada por los cambios de temperatura?

Ejemplo 9.7

La resistencia del cable coaxial

A veces, los cables largos pueden actuar como antenas, captando el ruido electrónico, que son las señales de otros equipos y aparatos. Los cables coaxiales se utilizan para muchas aplicaciones que requieren la eliminación de este ruido. Por ejemplo, pueden encontrarse en el hogar en las conexiones de televisión por cable u otras conexiones audiovisuales. Los cables coaxiales están formados por un conductor interno de radio $r_{\text{i}}$ rodeado por un segundo conductor concéntrico exterior de radio $r_{\text{o}}$ (Figura 9.18). Normalmente, el espacio entre ambos se rellena con un aislante como el plástico de polietileno. Se produce una pequeña cantidad de corriente de fuga radial entre los dos conductores. Determine la resistencia de un cable coaxial de longitud L.

Figura 9.18 Los cables coaxiales están formados por dos conductores concéntricos separados por un aislante. Suelen utilizarse en la televisión por cable u otras conexiones audiovisuales.

Estrategia

No podemos utilizar la ecuación $R=\rho \frac{L}{A}$ directamente. En su lugar, consideramos las capas cilíndricas concéntricas, con espesor dr, e integramos.

Solución

Primero hallamos una expresión para dR y luego integramos desde $r_{\text{i}}$ a $r_{\text{o}}$,

$$\begin{array}{}\\ \hfill dR& =\hfill & \frac{\rho }{A}dr=\frac{\rho }{2\pi rL}dr,\hfill \\ \hfill R& =\hfill & {\displaystyle \underset{r_{\text{i}}}{\overset{r_{\text{o}}}{\int }}dR}={\displaystyle \underset{r_{\text{i}}}{\overset{r_{\text{o}}}{\int }}\frac{\rho }{2\pi rL}dr}=\frac{\rho }{2\pi L}{\displaystyle \underset{r_{\text{i}}}{\overset{r_{\text{o}}}{\int }}\frac{1}{r}dr}=\frac{\rho }{2\pi L}\text{dentro}\frac{r_{\text{o}}}{r_{\text{i}}}.\hfill \end{array}$$

Importancia

La resistencia de un cable coaxial depende de su longitud, de los radios interior y exterior y de la resistividad del material que separa los dos conductores. Como esta resistencia no es infinita, se produce una pequeña corriente de fuga entre los dos conductores. Esta corriente de fuga provoca la atenuación (o debilitamiento) de la señal que se envía a través del cable.

Compruebe Lo Aprendido 9.7

La resistencia entre los dos conductores de un cable coaxial depende de la resistividad del material que separa los dos conductores, de la longitud del cable y del radio interior y exterior de los dos conductores. Si está diseñando un cable coaxial, ¿cómo depende la resistencia entre los dos conductores de estas variables?

Interactivo

Vea esta simulación para apreciar cómo el voltaje aplicado y la resistencia del material por el que fluye la corriente la afectan. Se pueden visualizar las colisiones de los electrones y los átomos del material que afectan a la temperatura del material.