9.2 Modelo de conducción en metales

Velocidad de deriva

Las señales eléctricas se mueven muy rápidamente. Las conversaciones telefónicas transportadas por corrientes en los cables cubren grandes distancias sin retrasos apreciables. Las luces se encienden en cuanto el interruptor de la luz se coloca en la posición "on". La mayoría de las señales eléctricas transportadas por las corrientes viajan a velocidades del orden de ${10}^8\text{m/s}$, una fracción significativa de la velocidad de la luz. Curiosamente, las cargas individuales que componen la corriente se mueven mucho más despacio por término medio, normalmente a velocidades del orden de ${10}^{\mathrm{-4}}\text{m/s}$. ¿Cómo conciliamos estas dos velocidades y qué nos dice esto sobre los conductores estándar?

La gran velocidad de las señales eléctricas se debe a que la fuerza entre las cargas actúa rápidamente a distancia. Así, cuando una carga libre es forzada a entrar en un cable, como en la Figura 9.7, la carga entrante empuja a otras cargas por delante de ella debido a la fuerza de repulsión entre cargas similares. Estas cargas en movimiento empujan a las cargas más adelante. La densidad de carga en un sistema no puede aumentar fácilmente, por lo que la señal se transmite rápidamente. La onda de choque eléctrica resultante se desplaza por el sistema casi a la velocidad de la luz. Para ser precisos, esta señal de movimiento rápido, u onda de choque, es un cambio que se propaga rápidamente en el campo eléctrico.

Figura 9.7 Cuando las partículas cargadas son forzadas a entrar en este volumen de un conductor, un número igual es forzado a salir rápidamente. La repulsión entre cargas similares dificulta el aumento del número de cargas en un volumen. Así, cuando una carga entra, otra sale casi inmediatamente, llevando la señal rápidamente hacia adelante.

Los buenos conductores tienen un gran número de cargas libres. En los metales, las cargas libres son electrones libres (de hecho, los buenos conductores eléctricos suelen ser también buenos conductores del calor, porque un gran número de electrones libres pueden transportar energía térmica además de la corriente eléctrica). La Figura 9.8 muestra cómo se mueven los electrones libres a través de un conductor ordinario. La distancia que puede recorrer un electrón individual entre colisiones con átomos u otros electrones es bastante pequeña. Así, las trayectorias de los electrones parecen casi aleatorias, como el movimiento de los átomos en un gas. Pero hay un campo eléctrico en el conductor que hace que los electrones se desvíen en la dirección indicada (opuesta al campo, ya que son negativos). La velocidad de deriva ${\overrightarrow{v}}_{\text{d}}$ es la velocidad media de las cargas libres. La velocidad de deriva es bastante pequeña, ya que hay muchas cargas libres. Si tenemos una estimación de la densidad de electrones libres en un conductor, podemos calcular la velocidad de deriva para una corriente determinada. Cuanto mayor sea la densidad, menor será la velocidad necesaria para una corriente determinada.

Figura 9.8 Los electrones libres que se mueven en un conductor hacen muchas colisiones con otros electrones y otras partículas. Se muestra una trayectoria típica de un electrón. La velocidad media de las cargas libres se denomina velocidad de deriva ${\overrightarrow{v}}_{\text{d}}$ y para los electrones, está en la dirección opuesta al campo eléctrico. Las colisiones normalmente transfieren energía al conductor, lo que requiere un suministro constante de energía para mantener una corriente constante.

Las colisiones de electrones libres transfieren energía a los átomos del conductor. El campo eléctrico realiza un trabajo al mover los electrones a través de una distancia, pero ese trabajo no aumenta la energía cinética (ni la velocidad) de los electrones. El trabajo se transfiere a los átomos del conductor, aumentando a menudo la temperatura. Por lo tanto, se requiere una entrada de energía continua para mantener el flujo de la corriente. (Una excepción son los superconductores, por razones que analizaremos en un capítulo posterior. Los superconductores pueden tener una corriente constante sin un suministro continuo de energía, lo que supone un gran ahorro energético) Para un conductor que no es superconductor, el suministro de energía puede ser útil, como en un filamento de bombilla incandescente (Figura 9.9). El suministro de energía es necesario para aumentar la temperatura del filamento de tungsteno, para que este brille.

Figura 9.9 La lámpara incandescente tiene un diseño sencillo. Se coloca un filamento de tungsteno en una envoltura de vidrio parcialmente evacuada. Un extremo del filamento está unido a la base del tornillo, que está hecha de un material conductor. El segundo extremo del filamento está unido a un segundo contacto en la base de la bombilla. Los dos contactos están separados por un material aislante. La corriente fluye a través del filamento, y la temperatura del filamento se vuelve lo suficientemente grande como para hacer que el filamento brille y produzca luz. Sin embargo, estas bombillas no son muy eficientes desde el punto de vista energético, como demuestra el calor que desprende la bombilla. En el año 2012, Estados Unidos, junto con muchos otros países, comenzó a eliminar gradualmente las lámparas incandescentes en favor de lámparas energéticamente más eficientes, como las lámparas de diodos emisores de luz (light-emitting diode, LED) y las luces fluorescentes compactas (compact fluorescent lights, CFL) (créditos a la derecha: modificación del trabajo de Serge Saint).

Podemos obtener una expresión para la relación entre la corriente y la velocidad de deriva considerando el número de cargas libres en un segmento de cable, como se ilustra en Figura 9.10. El número de cargas libres por unidad de volumen, o la densidad numérica de cargas libres, recibe el símbolo n donde $n=\frac{\text{número de cargos}}{\text{volumen}}$. El valor de n depende del material. El segmento sombreado tiene un volumen $A{v}_{\text{d}}dt$, de modo que el número de cargas libres en el volumen es $nA{v}_{\text{d}}dt$. La carga dQ en este segmento es por tanto $qnA{v}_{\text{d}}dt$, donde q es la cantidad de carga de cada portador (la magnitud de la carga de los electrones es $q=\mathrm{1,60}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}$). La corriente es la carga movida por unidad de tiempo; así, si todas las cargas originales se mueven fuera de este segmento en el tiempo dt, la corriente es

Reordenando los términos se obtiene

donde $v_{\text{d}}$ es la velocidad de deriva, n es la densidad de carga libre, A es el área de la sección transversal del cable, e I es la corriente que atraviesa el cable. Los portadores de la corriente tienen cada uno una carga q y se mueven con una velocidad de deriva de magnitud $v_{\text{d}}$.

Figura 9.10 Todas las cargas en el volumen sombreado de este cable se desplazan en un tiempo dt, teniendo una velocidad de deriva de magnitud $v_{\text{d}}$.

Tenga en cuenta que la simple velocidad de deriva no es toda la historia. La velocidad de un electrón es a veces mucho mayor que su velocidad de deriva. Además, no todos los electrones de un conductor pueden moverse libremente, y los que se mueven pueden hacerlo algo más rápido o más lento que la velocidad de deriva. ¿Qué entendemos por electrones libres?

Los átomos de un conductor metálico están empaquetados en forma de estructura reticular. Algunos electrones están lo suficientemente lejos de los núcleos atómicos como para no experimentar la atracción de los núcleos con tanta fuerza como los electrones internos. Estos son los electrones libres. No están ligados a un solo átomo, sino que pueden moverse libremente entre los átomos en un "mar" de electrones. Cuando se aplica un campo eléctrico, estos electrones libres responden acelerando. Al moverse, chocan con los átomos de la red y con otros electrones, generando energía térmica, y el conductor se calienta. En un aislante, la organización de los átomos y la estructura no permiten esos electrones libres.

Como sabe, la energía eléctrica suele llegar a los equipos y aparatos a través de cables redondos de un material conductor (cobre, aluminio, plata u oro) trenzados o sólidos. El diámetro del cable determina la capacidad de transporte de corriente: a mayor diámetro, mayor capacidad de transporte de corriente. Aunque la capacidad de transporte de corriente viene determinada por el diámetro, el cable no suele caracterizarse directamente por el diámetro. En cambio, el cable se suele vender en una unidad conocida como "calibre" Los alambres se fabrican haciendo pasar el material por unas formas circulares llamadas "matrices de trefilado" Para fabricar alambres más finos, los fabricantes pasan los alambres por múltiples matrices de diámetro sucesivamente más fino. Históricamente, el calibre del alambre estaba relacionado con el número de procesos de trefilado necesarios para su fabricación. Por esta razón, cuanto mayor sea el calibre, menor será el diámetro. En Estados Unidos se desarrolló el calibre de alambre estadounidense (American Wire Gauge, AWG) para estandarizar el sistema. El cableado doméstico suele ser de calibre 10 (2,588 mm de diámetro) a 14 (1,628 mm de diámetro). Un dispositivo utilizado para medir el calibre del cable se muestra en la Figura 9.11.

Figura 9.11 Dispositivo para medir el calibre de los cables eléctricos. Como puede ver, los números de mayor calibre indican cables más finos (créditos: Joseph J. Trout).

Densidad de la corriente

Aunque a menudo es conveniente añadir un signo negativo o positivo para indicar la dirección general del movimiento de las cargas, la corriente es una cantidad escalar, $I=\frac{dQ}{dt}$. A menudo es necesario analizar los detalles del movimiento de la carga en vez del movimiento general de las cargas. En estos casos, es necesario hablar de la densidad de corriente, $\overrightarrow{J}$, una cantidad vectorial. La densidad de corriente es el flujo de carga a través de un área infinitesimal, dividido por el área. La densidad de corriente debe tener en cuenta la magnitud local y la dirección del flujo de carga, que varía de un punto a otro. La unidad de densidad de corriente es el amperio por metro cuadrado, y la dirección se define como la dirección del flujo neto de cargas positivas a través del área.

La relación entre la corriente y la densidad de corriente puede verse en la Figura 9.12. El flujo de corriente diferencial a través de la zona $d\overrightarrow{A}$ se calcula como

donde $\theta$ es el ángulo entre el área y la densidad de corriente. La corriente total que pasa por el área $d\overrightarrow{A}$ se puede calcular integrando sobre la zona,

Considera la magnitud de la densidad de corriente, que es la corriente dividida entre el área:

Así, la densidad de corriente es $\overrightarrow{J}=nq{\overrightarrow{v}}_{\text{d}}$. Si q es positivo, ${\overrightarrow{v}}_{\text{d}}$ está en la misma dirección que el campo eléctrico $\overrightarrow{E}$. Si q es negativo, ${\overrightarrow{v}}_{\text{d}}$ está en la dirección opuesta a $\overrightarrow{E}$. En cualquier caso, la dirección de la densidad de corriente $\overrightarrow{J}$ está en la dirección del campo eléctrico $\overrightarrow{E}$.

Figura 9.12 La densidad de corriente $\overrightarrow{J}$ se define como la corriente que pasa por un área transversal infinitesimal dividida entre el área. La dirección de la densidad de corriente es la dirección del flujo neto de cargas positivas y la magnitud es igual a la corriente dividida entre el área infinitesimal.

¿Qué importancia tiene la densidad de corriente? La densidad de corriente es proporcional a la corriente, y la corriente es el número de cargas que pasan por un área de sección transversal por segundo. Las cargas se mueven a través del conductor, aceleradas por la fuerza eléctrica proporcionada por el campo eléctrico. El campo eléctrico se crea cuando se aplica una voltaje a través del conductor. En la sección sobre Ley de Ohm utilizaremos esta relación entre la densidad de corriente y el campo eléctrico para examinar la relación entre la corriente que atraviesa un conductor y el voltaje aplicada.