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Física Universitaria Volumen 2

11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente

Física Universitaria Volumen 211.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Determinar la dirección en la que un cable portador de corriente experimenta una fuerza en un campo magnético externo.
  • Calcular la fuerza sobre un cable portador de corriente en un campo magnético externo.

Las cargas en movimiento experimentan una fuerza en un campo magnético. Si estas cargas en movimiento están en un cable (es decir, si este porta una corriente), también debería experimentar una fuerza. Sin embargo, antes de hablar de la fuerza ejercida sobre una corriente por un campo magnético, examinamos primero el campo magnético generado por una corriente eléctrica. Aquí estudiamos dos efectos distintos que interactúan estrechamente: Un cable portador de corriente genera un campo magnético y el campo magnético ejerce una fuerza sobre el cable portador de corriente.

Campos magnéticos producidos por corrientes eléctricas

Al hablar de los descubrimientos históricos del magnetismo, mencionamos el hallazgo de Oersted de que un cable que portaba una corriente eléctrica provocaba la desviación de una brújula cercana. Se estableció la conexión de que las corrientes eléctricas producen campos magnéticos (esta conexión entre la electricidad y el magnetismo se trata con más detalle en Fuentes de campos magnéticos).

La aguja de brújula cerca del cable experimenta una fuerza que alinea la aguja tangente a un círculo alrededor del cable. Por lo tanto, un cable portador de corriente produce bucles circulares de campo magnético. Para determinar la dirección del campo magnético generado a partir de un cable, utilizamos una segunda regla de la mano derecha. En la RHR-2, el pulgar apunta en la dirección de la corriente mientras los dedos envuelven el cable, apuntando en la dirección del campo magnético producido (Figura 11.11). Si el campo magnético viniera hacia usted o fuera de la página, lo representamos con un punto. Si el campo magnético entrara en la página, lo representaríamos con una ×.×. Estos símbolos provienen de la consideración de una flecha vectorial: Una flecha apuntando hacia usted, desde su perspectiva, se vería como un punto o la punta de una flecha. Una flecha apuntando en dirección contraria a usted, desde su perspectiva, se vería como una cruz o una ×.×. En la Figura 11.11 se muestra un esquema compuesto de los círculos magnéticos, en el que se muestra que la intensidad del campo disminuye a medida que se aleja del cable mediante bucles más separados.

La figura a muestra la regla de la mano derecha aplicada a un cable que porta una corriente ascendente. La mano derecha se coloca de forma que el pulgar apunte hacia arriba, en la dirección de la corriente. Los dedos se enroscan alrededor del cable. El campo magnético sale de la página a la izquierda de la corriente y entra en la página a la derecha de la corriente. La figura b muestra las líneas de campo magnético para la corriente ascendente. Las líneas de campo forman anillos concéntricos que circulan en la misma dirección que los dedos de la mano derecha en la figura a. La separación entre anillos aumenta con la distancia a la corriente.
Figura 11.11 (a) Cuando el cable está en el plano del papel, el campo es perpendicular al papel. Observe los símbolos utilizados para el campo que apunta hacia adentro (como la cola de una flecha) y el campo que apunta hacia afuera (como la punta de una flecha). (b) Un cable largo y recto crea un campo con líneas de campo magnético que forman bucles circulares.

Cálculo de la fuerza magnética

La corriente eléctrica es un movimiento ordenado de carga. Por lo tanto, un cable portador de corriente en un campo magnético debe experimentar una fuerza debida al campo. Para investigar esta fuerza, consideremos la sección infinitesimal de cable que se muestra en la Figura 11.12. La longitud y el área transversal de la sección son dl y A, respectivamente, por lo que su volumen es V=A·dl.V=A·dl. El cable está formado por un material que contiene n portadores de carga por unidad de volumen, por lo que el número de portadores de carga en la sección es nA·dl.nA·dl. Si los portadores de carga se mueven con velocidad de deriva vd,vd, la corriente I en el cable es (a partir de Corriente y resistencia)

I=neAvd.I=neAvd.

La fuerza magnética sobre cualquier portador de carga individual es evd×B,evd×B, por lo que la fuerza magnética total dFdF en los portadores de carga nA·dlnA·dl en la sección de cable es

dF=(nA·dl)evd×B.dF=(nA·dl)evd×B.
11.10

Podemos definir dl como un vector de longitud dl que apunta a lo largo de vd,vd, lo que nos permite reescribir esta ecuación como

dF=neAvddl×B,dF=neAvddl×B,
11.11

o

dF=Idl×B.dF=Idl×B.
11.12

Esta es la fuerza magnética sobre la sección de cable. Observe que en realidad es la fuerza neta ejercida por el campo sobre los propios portadores de carga. La dirección de esta fuerza viene dada por la RHR-1, en la que se apuntan los dedos en la dirección de la corriente y se curvan hacia el campo. El pulgar apunta entonces en la dirección de la fuerza.

Ilustración de un cable portador de corriente curvado en un campo magnético uniforme. Una vista en detalle de un pequeño segmento del cable muestra un trozo corto y recto, de longitud dl con corriente I a través de él. La velocidad v subíndice d está en la dirección de la corriente. El campo B forma un ángulo theta con el vector velocidad.
Figura 11.12 Una sección infinitesimal de cable portador de corriente en un campo magnético.

Para determinar la fuerza magnética FF en un cable de longitud y forma arbitrarias, debemos integrar la Ecuación 11.12 en todo el cable. Si la sección del cable resulta ser recta y B es uniforme, las diferenciales de la ecuación se convierten en cantidades absolutas, dándonos

F=Il×B.F=Il×B.
11.13

Esta es la fuerza que se ejerce sobre un cable recto portador de corriente en un campo magnético uniforme.

Ejemplo 11.4

Equilibrio de las fuerzas gravitacionales y magnéticas en un cable portador de corriente

Un cable de 50 cm de longitud y 10 g de masa está suspendido en un plano horizontal por un par de cables flexibles (Figura 11.13). A continuación, el cable se somete a un campo magnético constante de magnitud 0,50 T, que se dirige como se indica. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la corriente en el cable necesaria para eliminar la tensión en los cables de soporte?
Figura a: Ilustración de un cable suspendido en un campo magnético uniforme. El campo magnético apunta hacia la página. El cable es horizontal y tiene 50 cm de longitud. Una fuente de voltaje variable completa el circuito formado por el cable y los cables utilizados para suspenderlo. Figura b: Un diagrama de cuerpo libre del cable. La corriente está a la derecha. El peso, mg, apunta hacia abajo. La tensión en cualquiera de los extremos es alta. La fuerza magnética está arriba.
Figura 11.13 (a) Un cable suspendido en un campo magnético. (b) El diagrama de cuerpo-libre del cable.

Estrategia

Según el diagrama de cuerpo-libre de la figura, las tensiones en los cables de soporte llegan a cero cuando las fuerzas gravitacionales y magnéticas se equilibran. Con el uso de la RHR-1, hallamos que la fuerza magnética apunta hacia arriba. Entonces podemos determinar la corriente I al guiar las dos fuerzas.

Solución

Iguale las dos fuerzas del peso y la fuerza magnética sobre el cable:
mg=IlB.mg=IlB.

Así,

I=mglB=(0,010kg)(9,8m/s2)(0,50m)(0,50T)=0,39A.I=mglB=(0,010kg)(9,8m/s2)(0,50m)(0,50T)=0,39A.

Importancia

Este gran campo magnético crea una fuerza significativa sobre una longitud de cable para contrarrestar su peso.

Ejemplo 11.5

Cálculo de la fuerza magnética en un cable portador de corriente

Un cable largo y rígido situado a lo largo del eje y conduce una corriente de 5,0 A que fluye en la dirección y positiva. (a) Si un campo magnético constante de magnitud 0,30 T se dirige a lo largo del eje x positivo, ¿cuál es la fuerza magnética por unidad de longitud en el cable? (b) Si un campo magnético constante de 0,30 T se dirige 30 grados desde el eje x positivo hacia el eje y positivo, ¿cuál es la fuerza magnética por unidad de longitud en el cable?

Estrategia

La fuerza magnética sobre un cable portador de corriente en un campo magnético viene dada por F=Il×B.F=Il×B. Para la parte a, como la corriente y el campo magnético son perpendiculares en este problema, podemos simplificar la fórmula para que nos dé la magnitud y hallar la dirección a través del RHR-1. El ángulo θ es de 90 grados, lo que significa senθ=1.senθ=1. Además, la longitud se puede dividir hacia el lado izquierdo para calcular la fuerza por unidad de longitud. Para la parte b, la corriente por la longitud se escribe en notación vectorial unitaria, así como el campo magnético. Después de tomar el producto cruz, la direccionalidad es evidente por el vector unitario resultante.

Solución

  1. Comenzamos con la fórmula general de la fuerza magnética sobre un cable. Buscamos la fuerza por unidad de longitud, así que dividimos entre la longitud para llevarla al lado izquierdo. También hemos establecido senθ=1.senθ=1. La solución, por tanto, es
    F=IlBsenθFl=(5,0A)(0,30 T)Fl=1,5N/m.F=IlBsenθFl=(5,0A)(0,30 T)Fl=1,5N/m.
    Direccionalidad: Apunte con los dedos en la dirección y positiva y curve los dedos en la dirección x positiva. El pulgar apuntará en la dirección kk. Por lo tanto, con la direccionalidad, la solución es
    Fl=−1,5kN/m.Fl=−1,5kN/m.
  2. La corriente por la longitud y el campo magnético se escriben en notación vectorial unitaria. Entonces, tomamos el producto cruz para calcular la fuerza:
    F=Il×B=(5,0A)lj^×(0,30Tcos(30°)i^+0,30Tsen(30°)j^)F/l=-1,30k^N/m.F=Il×B=(5,0A)lj^×(0,30Tcos(30°)i^+0,30Tsen(30°)j^)F/l=-1,30k^N/m.

Importancia

Este gran campo magnético crea una fuerza significativa en una pequeña longitud de cable. A medida que el ángulo del campo magnético se alinea más estrechamente con la corriente en el cable, hay menos fuerza sobre él, como se ve al comparar las partes a y b.

Compruebe Lo Aprendido 11.3

Un cable de cobre recto y flexible se sumerge en un campo magnético dirigido hacia la página. (a) Si la corriente del cable corre en la dirección +x, ¿hacia qué lado se doblará el cable? (b) ¿Hacia qué lado se doblará el cable si la corriente corre en la dirección –x?

Ejemplo 11.6

Fuerza en un cable circular

Un bucle circular de radio R que porta una corriente I se sitúa en el plano xy. Un campo magnético uniforme y constante atraviesa el bucle paralelamente al eje y (Figura 11.14). Halle la fuerza magnética sobre la mitad superior del bucle, la mitad inferior del bucle y la fuerza total sobre este.
Un bucle de radio R está en el plano de la página. El bucle conduce una corriente I en el sentido de las agujas del reloj y está en un campo magnético uniforme que apunta hacia arriba.
Figura 11.14 Un bucle de cable que porta una corriente en un campo magnético.

Estrategia

La fuerza magnética sobre el bucle superior debe escribirse en términos de la fuerza diferencial que actúa sobre cada segmento de él. Si integramos sobre cada pieza diferencial, resolvemos la fuerza global en esa sección del bucle. La fuerza en el bucle inferior se calcula de manera similar, y la fuerza total es la suma de estas dos fuerzas.

Solución

Una fuerza diferencial sobre un trozo de cable arbitrario situado en el anillo superior es:
dF=IBsenθdl.dF=IBsenθdl.

donde θθ es el ángulo entre la dirección del campo magnético (y +) y el segmento de cable. Un segmento diferencial se encuentra en el mismo radio, por lo que al utilizar una fórmula de longitud de arco, tenemos:

dl=RdθdF=IBRsenθdθ.dl=RdθdF=IBRsenθdθ.

Para hallar la fuerza sobre un segmento, integramos sobre la mitad superior del círculo, de 0 a π.π. Esto da como resultado:

F=IBR0πsenθdθ=IBR(cosπ+cos0)=2IBR.F=IBR0πsenθdθ=IBR(cosπ+cos0)=2IBR.

La mitad inferior del bucle se integra de ππ a cero, lo que nos da:

F=IBRπ0senθdθ=IBR(cos0+cosπ)=−2IBR.F=IBRπ0senθdθ=IBR(cos0+cosπ)=−2IBR.

La fuerza neta es la suma de estas fuerzas, que es cero.

Importancia

La fuerza total sobre cualquier bucle cerrado en un campo magnético uniforme es cero. Aunque cada pieza del bucle tiene una fuerza que actúa sobre él, la fuerza neta sobre el sistema es cero. (Observe que hay un torque neto en el bucle, que consideramos en la siguiente sección).
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