11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético

Una partícula cargada experimenta una fuerza cuando se mueve a través de un campo magnético. ¿Qué ocurre si este campo es uniforme sobre el movimiento de la partícula cargada? ¿Qué trayectoria sigue la partícula? En esta sección analizamos el movimiento circular de la partícula cargada, así como otros movimientos que resultan de una partícula cargada que entra en un campo magnético.

El caso más simple ocurre cuando una partícula cargada se mueve perpendicularmente a un campo B uniforme (Figura 11.7). Si el campo está en el vacío, el campo magnético es el factor dominante que determina el movimiento. Como la fuerza magnética es perpendicular a la dirección de desplazamiento, una partícula cargada sigue una trayectoria curva en un campo magnético. La partícula continúa siguiendo esta trayectoria curva hasta formar un círculo completo. Otra forma de ver esto es que la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, por lo que no hace ningún trabajo sobre la partícula cargada. Así, la energía cinética y la velocidad de la partícula permanecen constantes. La dirección del movimiento se ve afectada pero no la velocidad.

Figura 11.7 Una partícula cargada negativamente se mueve en el plano del papel en una región donde el campo magnético es perpendicular al papel (representado por las $\times$ pequeñas, como las colas de las flechas). La fuerza magnética es perpendicular a la velocidad, por lo que esta cambia de dirección pero no de magnitud. El resultado es un movimiento circular uniforme. (Observe que, como la carga es negativa, la fuerza es de sentido contrario a la predicción de la regla de la mano derecha).

En esta situación, la fuerza magnética suministra la fuerza centrípeta $F_{\text{c}}=\frac{m{v}^2}{r}.$ Al observar que la velocidad es perpendicular al campo magnético, la magnitud de la fuerza magnética se reduce a $F=qvB.$ Puesto que la fuerza magnética F suministra la fuerza centrípeta $F_c,$ tenemos

Al resolver para r se obtiene

Aquí, r es el radio de curvatura de la trayectoria de una partícula cargada, con masa m y carga q, que se mueve a una velocidad v que es perpendicular a un campo magnético de intensidad B. El tiempo que tarda la partícula cargada en recorrer la trayectoria circular se define como el periodo, que es igual a la distancia recorrida (la circunferencia) dividida entre la velocidad. Con base en esto y en la Ecuación 11.4, podemos derivar el periodo del movimiento como

Si la velocidad no es perpendicular al campo magnético, entonces podemos comparar cada componente de la velocidad por separado con el campo magnético. La componente de la velocidad perpendicular al campo magnético produce una fuerza magnética perpendicular tanto a esta velocidad como al campo:

donde $\theta$ es el ángulo entre v y B. La componente paralela al campo magnético crea un movimiento constante a lo largo de la misma dirección que el campo magnético, también mostrado en la Ecuación 11.7. El movimiento paralelo determina el paso p de la hélice, que es la distancia entre vueltas adyacentes. Esta distancia es igual a la componente paralela de la velocidad entre el periodo:

El resultado es un movimiento helicoidal, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 11.8 Una partícula cargada que se mueve con una velocidad que no está en la misma dirección que el campo magnético. La componente de la velocidad perpendicular al campo magnético crea un movimiento circular, mientras que la componente de la velocidad paralela al campo mueve la partícula a lo largo de una línea recta. El paso es la distancia horizontal entre dos círculos consecutivos. El movimiento resultante es helicoidal.

Mientras la partícula cargada viaja en una trayectoria helicoidal, puede entrar en una región donde el campo magnético no es uniforme. En particular, supongamos que una partícula viaja desde una región de campo magnético fuerte a una región de campo más débil, y luego vuelve a una región de campo más fuerte. La partícula puede reflejarse antes de entrar en la región del campo magnético más fuerte. Esto es similar a una onda en una cuerda que viaja desde una cuerda muy ligera y fina hasta una pared dura y se refleja hacia atrás. Si la reflexión se produce en ambos extremos, la partícula queda atrapada en la llamada botella magnética.

Las partículas atrapadas en los campos magnéticos se encuentran en los cinturones de radiación de Van Allen alrededor de la Tierra, que forman parte del campo magnético terrestre. Estos cinturones fueron descubiertos por James Van Allen mientras intentaba medir el flujo de rayos cósmicos en la Tierra (partículas de alta energía que provienen del exterior del sistema solar) para ver si este era similar al flujo medido en la Tierra. Van Allen descubrió que, debido a la contribución de las partículas atrapadas en el campo magnético de la Tierra, el flujo era mucho mayor en la Tierra que en el espacio exterior. Las auroras, como la famosa aurora boreal del hemisferio norte (luces del norte) (Figura 11.9), son hermosos despliegues de luz emitidos cuando los iones se recombinan con los electrones que entran en la atmósfera al recorrer en espiral las líneas de campo magnético. (Los iones son principalmente átomos de oxígeno y nitrógeno que se ionizan inicialmente por colisiones con partículas energéticas en la atmósfera terrestre). También se han observado auroras en otros planetas, como Júpiter y Saturno.

Figura 11.9 (a) Los cinturones de radiación de Van Allen que rodean la Tierra atrapan los iones producidos por los rayos cósmicos que inciden en la atmósfera terrestre. (b) El magnífico espectáculo de la aurora boreal, o luces del norte, brilla en el cielo boreal sobre el lago Bear, cerca de la base Eielson de la Fuerza Aérea en Alaska. Formada por el campo magnético de la Tierra, esta luz es producida por moléculas e iones brillantes de oxígeno y nitrógeno. (crédito b: modificación del trabajo del aviador senior de la USAF Joshua Strang)

Ejemplo 11.2

Deflector de rayo

Un grupo de investigación está estudiando los isótopos radiactivos de vida corta. Tienen que diseñar una forma de transportar las partículas alfa (núcleos de helio) desde el lugar donde se fabrican hasta un lugar donde colisionarán con otro material para formar un isótopo. El rayo de partículas alfa $\left(m=\mathrm{6,64}\times {10}^{\mathrm{-27}}\text{kg,}q=\mathrm{3,2}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\right)$ atraviesa una región de 90 grados con un campo magnético uniforme de 0,050 T (Figura 11.10). (a) ¿En qué dirección debe aplicarse el campo magnético? (b) ¿Cuánto tiempo tardan las partículas alfa en atravesar la región de campo magnético uniforme?

Figura 11.10 Vista superior del montaje del deflector de rayos.

Estrategia

1. La dirección del campo magnético se muestra con la regla de la mano derecha-1 (right hand rule-1, RHR-1). Los dedos apuntan en la dirección de v y el pulgar debe apuntar en la dirección de la fuerza, hacia la izquierda. Por lo tanto, como las partículas alfa están cargadas positivamente, el campo magnético debe apuntar hacia abajo.
2. El periodo de la partícula alfa que da la vuelta al círculo es
   
   $$T=\frac{2\pi m}{qB}.$$

   11.9
   
   Como la partícula solo recorre un cuarto de círculo, podemos tomar 0,25 veces el periodo para calcular el tiempo que tarda en recorrer esta trayectoria.

Solución

1. Empecemos por centrarnos en la partícula alfa que entra en el campo cerca de la parte inferior de la imagen. En primer lugar, apunte con el pulgar hacia arriba en la página. Para que la palma de la mano se abra hacia la izquierda, donde apunta la fuerza centrípeta (y, por tanto, la fuerza magnética), los dedos deben cambiar de orientación hasta apuntar a la página. Esta es la dirección del campo magnético aplicado.
2. El periodo de la partícula cargada que gira alrededor de un círculo se calcula utilizando la masa, la carga y el campo magnético dados en el problema. El resultado es
   $$T=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi \left(\mathrm{6,64}\times {10}^{\mathrm{-27}}\text{kg}\right)}{\left(\mathrm{3,2}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\right)\left(\mathrm{0,050}\text{T}\right)}=\mathrm{2,6}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{s.}$$
   Sin embargo, para el problema dado, la partícula alfa recorre un cuarto del círculo, por lo que el tiempo que tarda sería
   $$t=\mathrm{0,25}\times \mathrm{2,61}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{s}=\mathrm{6,5}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{s.}$$

Importancia

Este tiempo puede ser lo suficientemente rápido como para llegar al material que queremos bombardear, dependiendo de la corta vida del isótopo radiactivo y de que siga emitiendo partículas alfa. Si pudiéramos aumentar el campo magnético aplicado en la región, esto acortaría aun más el tiempo. La trayectoria que deben recorrer las partículas podría acortarse, pero esto puede no ser económico dado el montaje experimental.