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Física Universitaria Volumen 2

11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético

Física Universitaria Volumen 211.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar cómo una partícula cargada en un campo magnético externo experimenta un movimiento circular.
  • Describir cómo determinar el radio del movimiento circular de una partícula cargada en un campo magnético.

Una partícula cargada experimenta una fuerza cuando se mueve a través de un campo magnético. ¿Qué ocurre si este campo es uniforme sobre el movimiento de la partícula cargada? ¿Qué trayectoria sigue la partícula? En esta sección analizamos el movimiento circular de la partícula cargada, así como otros movimientos que resultan de una partícula cargada que entra en un campo magnético.

El caso más simple ocurre cuando una partícula cargada se mueve perpendicularmente a un campo B uniforme (Figura 11.7). Si el campo está en el vacío, el campo magnético es el factor dominante que determina el movimiento. Como la fuerza magnética es perpendicular a la dirección de desplazamiento, una partícula cargada sigue una trayectoria curva en un campo magnético. La partícula continúa siguiendo esta trayectoria curva hasta formar un círculo completo. Otra forma de ver esto es que la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, por lo que no hace ningún trabajo sobre la partícula cargada. Así, la energía cinética y la velocidad de la partícula permanecen constantes. La dirección del movimiento se ve afectada pero no la velocidad.

Ilustración del movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme. El campo magnético apunta hacia la página. La partícula es negativa y se mueve en un círculo en el sentido de las agujas del reloj. Su velocidad es tangente al círculo y la fuerza apunta hacia el centro del círculo en todo momento.
Figura 11.7 Una partícula cargada negativamente se mueve en el plano del papel en una región donde el campo magnético es perpendicular al papel (representado por las × × pequeñas, como las colas de las flechas). La fuerza magnética es perpendicular a la velocidad, por lo que esta cambia de dirección pero no de magnitud. El resultado es un movimiento circular uniforme. (Observe que, como la carga es negativa, la fuerza es de sentido contrario a la predicción de la regla de la mano derecha).

En esta situación, la fuerza magnética suministra la fuerza centrípeta Fc=mv2r.Fc=mv2r. Al observar que la velocidad es perpendicular al campo magnético, la magnitud de la fuerza magnética se reduce a F=qvB.F=qvB. Puesto que la fuerza magnética F suministra la fuerza centrípeta Fc,Fc, tenemos

qvB=mv2r.qvB=mv2r.
11.4

Al resolver para r se obtiene

r=mvqB.r=mvqB.
11.5

Aquí, r es el radio de curvatura de la trayectoria de una partícula cargada, con masa m y carga q, que se mueve a una velocidad v que es perpendicular a un campo magnético de intensidad B. El tiempo que tarda la partícula cargada en recorrer la trayectoria circular se define como el periodo, que es igual a la distancia recorrida (la circunferencia) dividida entre la velocidad. Con base en esto y en la Ecuación 11.4, podemos derivar el periodo del movimiento como

T=2πrv=2πvmvqB=2πmqB.T=2πrv=2πvmvqB=2πmqB.
11.6

Si la velocidad no es perpendicular al campo magnético, entonces podemos comparar cada componente de la velocidad por separado con el campo magnético. La componente de la velocidad perpendicular al campo magnético produce una fuerza magnética perpendicular tanto a esta velocidad como al campo:

vperp=vsenθ,vpara=vcosθ.vperp=vsenθ,vpara=vcosθ.
11.7

donde θθ es el ángulo entre v y B. La componente paralela al campo magnético crea un movimiento constante a lo largo de la misma dirección que el campo magnético, también mostrado en la Ecuación 11.7. El movimiento paralelo determina el paso p de la hélice, que es la distancia entre vueltas adyacentes. Esta distancia es igual a la componente paralela de la velocidad entre el periodo:

p=vparaT.p=vparaT.
11.8

El resultado es un movimiento helicoidal, como se muestra en la siguiente figura.

Ilustración de una partícula cargada positivamente que se mueve en un campo magnético uniforme. El campo está en la dirección x positiva. La velocidad inicial se muestra con una componente, v subíndice para, en la dirección x positiva y otra componente, v subíndice perp, en la dirección y positiva. La partícula se mueve en una hélice que hace un bucle en el plano y z (en sentido contrario a las agujas del reloj desde la perspectiva de la partícula) y avanza en la dirección x positiva.
Figura 11.8 Una partícula cargada que se mueve con una velocidad que no está en la misma dirección que el campo magnético. La componente de la velocidad perpendicular al campo magnético crea un movimiento circular, mientras que la componente de la velocidad paralela al campo mueve la partícula a lo largo de una línea recta. El paso es la distancia horizontal entre dos círculos consecutivos. El movimiento resultante es helicoidal.

Mientras la partícula cargada viaja en una trayectoria helicoidal, puede entrar en una región donde el campo magnético no es uniforme. En particular, supongamos que una partícula viaja desde una región de campo magnético fuerte a una región de campo más débil, y luego vuelve a una región de campo más fuerte. La partícula puede reflejarse antes de entrar en la región del campo magnético más fuerte. Esto es similar a una onda en una cuerda que viaja desde una cuerda muy ligera y fina hasta una pared dura y se refleja hacia atrás. Si la reflexión se produce en ambos extremos, la partícula queda atrapada en la llamada botella magnética.

Las partículas atrapadas en los campos magnéticos se encuentran en los cinturones de radiación de Van Allen alrededor de la Tierra, que forman parte del campo magnético terrestre. Estos cinturones fueron descubiertos por James Van Allen mientras intentaba medir el flujo de rayos cósmicos en la Tierra (partículas de alta energía que provienen del exterior del sistema solar) para ver si este era similar al flujo medido en la Tierra. Van Allen descubrió que, debido a la contribución de las partículas atrapadas en el campo magnético de la Tierra, el flujo era mucho mayor en la Tierra que en el espacio exterior. Las auroras, como la famosa aurora boreal del hemisferio norte (luces del norte) (Figura 11.9), son hermosos despliegues de luz emitidos cuando los iones se recombinan con los electrones que entran en la atmósfera al recorrer en espiral las líneas de campo magnético. (Los iones son principalmente átomos de oxígeno y nitrógeno que se ionizan inicialmente por colisiones con partículas energéticas en la atmósfera terrestre). También se han observado auroras en otros planetas, como Júpiter y Saturno.

La figura a es una ilustración de los cinturones de radiación de Van Allen. Las partículas cargadas se mueven en hélices paralelas a las líneas de campo y quedan atrapadas entre ellas. La figura b es una fotografía de la aurora boreal.
Figura 11.9 (a) Los cinturones de radiación de Van Allen que rodean la Tierra atrapan los iones producidos por los rayos cósmicos que inciden en la atmósfera terrestre. (b) El magnífico espectáculo de la aurora boreal, o luces del norte, brilla en el cielo boreal sobre el lago Bear, cerca de la base Eielson de la Fuerza Aérea en Alaska. Formada por el campo magnético de la Tierra, esta luz es producida por moléculas e iones brillantes de oxígeno y nitrógeno. (crédito b: modificación del trabajo del aviador senior de la USAF Joshua Strang)

Ejemplo 11.2

Deflector de rayo

Un grupo de investigación está estudiando los isótopos radiactivos de vida corta. Tienen que diseñar una forma de transportar las partículas alfa (núcleos de helio) desde el lugar donde se fabrican hasta un lugar donde colisionarán con otro material para formar un isótopo. El rayo de partículas alfa (m=6,64×10−27kg,q=3,2×10−19C)(m=6,64×10−27kg,q=3,2×10−19C) atraviesa una región de 90 grados con un campo magnético uniforme de 0,050 T (Figura 11.10). (a) ¿En qué dirección debe aplicarse el campo magnético? (b) ¿Cuánto tiempo tardan las partículas alfa en atravesar la región de campo magnético uniforme?
Una ilustración del dispositivo propuesto. Las partículas alfa entran en el fondo de una tubería evacuada y se mueven hacia arriba. La tubería hace una curva de 90 grados, radio r, hacia la izquierda, y luego continúa horizontalmente. El rayo de partículas sale por la izquierda. La curva se encuentra en una región con un campo magnético uniforme.
Figura 11.10 Vista superior del montaje del deflector de rayos.

Estrategia

  1. La dirección del campo magnético se muestra con la regla de la mano derecha-1 (right hand rule-1, RHR-1). Los dedos apuntan en la dirección de v y el pulgar debe apuntar en la dirección de la fuerza, hacia la izquierda. Por lo tanto, como las partículas alfa están cargadas positivamente, el campo magnético debe apuntar hacia abajo.
  2. El periodo de la partícula alfa que da la vuelta al círculo es
    T=2πmqB.T=2πmqB.
    11.9

    Como la partícula solo recorre un cuarto de círculo, podemos tomar 0,25 veces el periodo para calcular el tiempo que tarda en recorrer esta trayectoria.

Solución

  1. Empecemos por centrarnos en la partícula alfa que entra en el campo cerca de la parte inferior de la imagen. En primer lugar, apunte con el pulgar hacia arriba en la página. Para que la palma de la mano se abra hacia la izquierda, donde apunta la fuerza centrípeta (y, por tanto, la fuerza magnética), los dedos deben cambiar de orientación hasta apuntar a la página. Esta es la dirección del campo magnético aplicado.
  2. El periodo de la partícula cargada que gira alrededor de un círculo se calcula utilizando la masa, la carga y el campo magnético dados en el problema. El resultado es
    T=2πmqB=2π(6,64×10−27kg)(3,2×10−19C)(0,050T)=2,6×10−6s.T=2πmqB=2π(6,64×10−27kg)(3,2×10−19C)(0,050T)=2,6×10−6s.
    Sin embargo, para el problema dado, la partícula alfa recorre un cuarto del círculo, por lo que el tiempo que tarda sería
    t=0,25×2,61×10−6s=6,5×10−7s.t=0,25×2,61×10−6s=6,5×10−7s.

Importancia

Este tiempo puede ser lo suficientemente rápido como para llegar al material que queremos bombardear, dependiendo de la corta vida del isótopo radiactivo y de que siga emitiendo partículas alfa. Si pudiéramos aumentar el campo magnético aplicado en la región, esto acortaría aun más el tiempo. La trayectoria que deben recorrer las partículas podría acortarse, pero esto puede no ser económico dado el montaje experimental.

Compruebe Lo Aprendido 11.2

Un campo magnético uniforme de magnitud 1,5 T se dirige horizontalmente de oeste a este. (a) ¿Cuál es la fuerza magnética sobre un protón en el instante en que se mueve verticalmente hacia abajo en el campo con una velocidad de 4×107m/s?4×107m/s? (b) Compare esta fuerza con el peso w de un protón.

Ejemplo 11.3

Movimiento helicoidal en un campo magnético

Un protón entra en un campo magnético uniforme de 1,0×10−4T1,0×10−4T con una velocidad de 5×105m/s.5×105m/s. ¿A qué ángulo debe estar el campo magnético respecto a la velocidad para que el paso del movimiento helicoidal resultante sea igual al radio de la hélice?

Estrategia

El paso del movimiento está relacionado con la velocidad paralela por el periodo del movimiento circular, mientras que el radio está relacionado con la componente de la velocidad perpendicular. Después de fijar el radio y el paso iguales, resuelva el ángulo entre el campo magnético y la velocidad o θ.θ.

Solución

El paso viene dado por la Ecuación 11.8, el periodo por la Ecuación 11.6 y el radio de movimiento circular por la Ecuación 11.5. Observe que la velocidad en la ecuación del radio está relacionada solo con la velocidad perpendicular, que es donde se produce el movimiento circular. Por lo tanto, sustituimos la componente sinusoidal de la velocidad global en la ecuación del radio para igualar el paso y el radio:
p=rvT=mvqBvcosθ2πmqB=mvsenθqB2π=tanθθ=81,0°.p=rvT=mvqBvcosθ2πmqB=mvsenθqB2π=tanθθ=81,0°.

Importancia

Si este ángulo fuera 0°,0°, solo se produciría una velocidad paralela y la hélice no se formaría, porque no habría movimiento circular en el plano perpendicular. Si este ángulo fuera 90°,90°, solo se produciría un movimiento circular y no habría ningún movimiento de los círculos perpendicular al movimiento. Eso es lo que crea el movimiento helicoidal.
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