11.2 Campos y líneas magnéticas

Definición del campo magnético

Un campo magnético se define por la fuerza que experimenta una partícula cargada moviéndose en este campo, después de que consideramos las fuerzas gravitacionales y cualquier fuerza eléctrica adicional posible sobre la carga. La magnitud de esta fuerza es proporcional a la cantidad de carga q, la velocidad de la partícula cargada v y la magnitud del campo magnético aplicado. La dirección de esta fuerza es perpendicular tanto a la dirección de la partícula cargada en movimiento como a la dirección del campo magnético aplicado. A partir de estas observaciones, definimos la intensidad del campo magnético B en función de la fuerza magnética $\overrightarrow{F}$ en una carga q que se mueve a velocidad $\overrightarrow{v}$ como el producto cruz de la velocidad y el campo magnético, es decir,

De hecho, así es como definimos el campo magnético $\overrightarrow{B}$, en términos de la fuerza sobre una partícula cargada que se mueve en un campo magnético. La magnitud de la fuerza se determina a partir de la definición del producto cruz en relación con las magnitudes de cada uno de los vectores. En otras palabras, la magnitud de la fuerza satisface

donde θ es el ángulo entre la velocidad y el campo magnético.

La unidad del SI para la fuerza del campo magnético B se llama tesla (T) en honor al excéntrico pero brillante inventor Nikola Tesla (1856–1943), donde

Una unidad más pequeña, llamada gauss (G), donde $1\text{G}={10}^{\mathrm{-4}}\text{T},$ a veces se utiliza. Los imanes permanentes más fuertes tienen campos cercanos a 2 T; los electroimanes superconductores pueden alcanzar 10 T o más. El campo magnético de la Tierra en su superficie es solo de unos $5\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{T},$ o 0,5 G.

Figura 11.4 Los campos magnéticos ejercen fuerzas sobre las cargas en movimiento. La dirección de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento es perpendicular al plano formado por $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{B}$ y sigue la regla de la mano derecha-1 (RHR-1) como se muestra. La magnitud de la fuerza es proporcional a $q,v,B,$ y el seno del ángulo entre $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{B}.$

No hay fuerza magnética en las cargas estáticas. Sin embargo, existe una fuerza magnética sobre las cargas que se mueven en ángulo con respecto a un campo magnético. Cuando las cargas están inmóviles, sus campos eléctricos no afectan a los imanes. Sin embargo, cuando las cargas se mueven, producen campos magnéticos que ejercen fuerzas sobre otros imanes. Cuando hay un movimiento relativo, surge una conexión entre las fuerzas eléctricas y magnéticas: cada una afecta a la otra.

Ejemplo 11.1

Una partícula alfa en movimiento en un campo magnético

Una partícula alfa $\left(q=\mathrm{3,2}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\right)$ se mueve a través de un campo magnético uniforme cuya magnitud es de 1,5 T. El campo es directamente paralelo al eje z positivo del sistema de coordenadas rectangulares de la Figura 11.5. ¿Cuál es la fuerza magnética sobre la partícula alfa cuando se mueve (a) en la dirección x positiva con una velocidad de $\mathrm{5,0}\times {10}^4\text{m/s?}$ (b) ¿en la dirección y negativa con una velocidad de $\mathrm{5,0}\times {10}^4\text{m/s?}$ (c) ¿en la dirección z positiva con una velocidad de $\mathrm{5,0}\times {10}^4\text{m/s?}$ (d) ¿con una velocidad $\overrightarrow{v}=\left(\mathrm{2,0}\widehat{i}-\mathrm{3,0}\widehat{j}+\mathrm{1,0}\widehat{k}\right)\times {10}^4\text{m/s?}$

Figura 11.5 Las fuerzas magnéticas sobre una partícula alfa que se mueve en un campo magnético uniforme. El campo es el mismo en cada dibujo, pero la velocidad es diferente.

Estrategia

Nos dan la carga, su velocidad y la fuerza y dirección del campo magnético. Por lo tanto, podemos utilizar la ecuación $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ o $F=qvB\text{sen}\theta$ para calcular la fuerza. La dirección de la fuerza está determinada por la RHR-1.

Solución

1. En primer lugar, para determinar la dirección, comience con los dedos apuntando en la dirección x positiva. Deslice los dedos hacia arriba en la dirección del campo magnético. El pulgar debe apuntar en la dirección y negativa. Esto debería coincidir con la respuesta matemática. Para calcular la fuerza, utilizamos la carga, la velocidad y el campo magnético dados y la definición de la fuerza magnética en forma de producto cruz para calcular:
   $$\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}=\left(\mathrm{3,2}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\right)\left(\mathrm{5,0}\times {10}^4\text{m/s}\widehat{i}\right)\times \left(\mathrm{1,5}\text{T}\widehat{k}\right)=\mathrm{-2,4}\times {10}^{\mathrm{-14}}\text{N}\widehat{j}.$$
2. En primer lugar, para determinar la direccionalidad, comience con los dedos apuntando en la dirección y negativa. Deslice los dedos hacia arriba en la dirección del campo magnético como en el problema anterior. El pulgar debe estar abierto en la dirección x negativa. Esto debería coincidir con la respuesta matemática. Para calcular la fuerza, utilizamos la carga, la velocidad y el campo magnético dados y la definición de la fuerza magnética en forma de producto cruz para calcular:
   $$\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}=\left(\mathrm{3,2}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\right)\left(\mathrm{-5,0}\times {10}^4\text{m/s}\widehat{j}\right)\times \left(\mathrm{1,5}\text{T}\widehat{k}\right)=\mathrm{-2,4}\times {10}^{\mathrm{-14}}\text{N}\widehat{i}.$$
   Un enfoque alternativo es utilizar la Ecuación 11.2 para calcular la magnitud de la fuerza. Esto se aplica a las dos partes, (a) y (b). Como la velocidad es perpendicular al campo magnético, el ángulo entre ambos es de 90 grados. Por lo tanto, la magnitud de la fuerza es:
   $$F=qvB\text{sen}\theta =(\mathrm{3,2}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C})(\mathrm{5,0}\times {10}^4\text{m}\text{/}\text{s})(\mathrm{1,5}\text{T})\text{sen}(90\text{°})=\mathrm{2,4}\times {10}^{\mathrm{-14}}\text{N.}$$
3. Como la velocidad y el campo magnético son paralelos entre sí, no hay ninguna orientación de la mano que dé lugar a una dirección de la fuerza. Por lo tanto, la fuerza sobre esta carga en movimiento es cero. Así lo confirma el producto cruz. Cuando se cruzan dos vectores que apuntan en la misma dirección, el resultado es igual a cero.
4. En primer lugar, para determinar la dirección, sus dedos podrían apuntar en cualquier orientación; sin embargo, debe barrer sus dedos hacia arriba en la dirección del campo magnético. Al girar la mano, observe que el pulgar puede apuntar en cualquier dirección x o y posible, pero no en la dirección z. Esto debería coincidir con la respuesta matemática. Para calcular la fuerza, utilizamos la carga, la velocidad y el campo magnético dados y la definición de la fuerza magnética en forma de producto cruz para calcular:
   $$\begin{array}{cc}\hfill \overrightarrow{F}& =q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}=\left(\mathrm{3,2}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\right)\left(\left(\mathrm{2,0}\widehat{i}-\mathrm{3,0}\widehat{j}+\mathrm{1,0}\widehat{k}\right)\times {10}^4\text{m/s}\right)\times \left(\mathrm{1,5}\text{T}\widehat{k}\right)\hfill \\ & =\left(\mathrm{-14,4}\widehat{i}-\mathrm{9,6}\widehat{j}\right)\times {10}^{\mathrm{-15}}\text{N.}\hfill \end{array}$$
   Esta solución puede reescribirse en términos de una magnitud y un ángulo en el plano xy:
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \left|\overrightarrow{F}\right|& =\hfill & \sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{{(\mathrm{-14,4})}^2+{(\mathrm{-9,6})}^2}\times {10}^{\mathrm{-15}}\text{N}=\mathrm{1,7}\times {10}^{\mathrm{-14}}\text{N}\hfill \\ \hfill \theta & =\hfill & {\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{F_y}{F_x}\right)={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\mathrm{-9,6}\times {10}^{\mathrm{-15}}\text{N}}{\mathrm{-14,4}\times {10}^{\mathrm{-15}}\text{N}}\right)=34\text{°}\text{.}\hfill \end{array}$$
   La magnitud de la fuerza también puede calcularse mediante la Ecuación 11.2. Sin embargo, la velocidad en esta pregunta tiene tres componentes. La componente z de la velocidad puede ignorarse, porque es paralela al campo magnético y, por tanto, no genera ninguna fuerza. La magnitud de la velocidad se calcula a partir de los componentes x y y. El ángulo entre la velocidad en el plano xy y el campo magnético en el plano z es de 90 grados. Por lo tanto, se calcula que la fuerza es:
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \left|\overrightarrow{v}\right|& =\hfill & \sqrt{{(2)}^2+{(\mathrm{-3})}^2}\times {10}^4\frac{\text{m}}{\text{s}}=\mathrm{3,6}\times {10}^4\frac{\text{m}}{\text{s}}\hfill \\ \hfill F& =\hfill & qvB\text{sen}\theta =(\mathrm{3,2}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C})(\mathrm{3,6}\times {10}^4\text{m/s})(\mathrm{1,5}\text{T})\text{sen}(90\text{°})=\mathrm{1,7}\times {10}^{\mathrm{-14}}\text{N.}\hfill \end{array}$$
   Se trata de la misma magnitud de fuerza calculada por vectores unitarios.

Importancia

El producto cruz en esta fórmula da como resultado un tercer vector que debe ser perpendicular a los otros dos. Otras magnitudes físicas, como el momento angular, también tienen tres vectores que se relacionan mediante el producto cruz. Observe que los valores típicos de la fuerza en los problemas de fuerza magnética son mucho mayores que la fuerza gravitacional. Por lo tanto, para una carga aislada, la fuerza magnética es la fuerza dominante que gobierna el movimiento de la carga.

Representación de los campos magnéticos

La representación de los campos magnéticos mediante líneas de campo magnético es muy útil para visualizar la fuerza y la dirección del campo magnético. Como se muestra en la Figura 11.6, cada una de estas líneas forma un bucle cerrado, aunque no se muestre por las limitaciones del espacio disponible para la figura. Las líneas de campo salen del polo norte (N), hacen un bucle hacia el polo sur (S) y continúan a través de la barra magnética de vuelta al polo norte.

Las líneas de campo magnético tienen varias reglas estrictas:

1. La dirección del campo magnético es tangente a la línea de campo en cualquier punto del espacio. Una pequeña brújula señalará la dirección de la línea del campo.
2. La fuerza del campo es proporcional a la cercanía de las líneas. Es exactamente proporcional al número de líneas por unidad de superficie perpendicular a las líneas (llamada densidad de área).
3. Las líneas de campo magnético no pueden cruzarse nunca, lo que significa que el campo es único en cualquier punto del espacio.
4. Las líneas de campo magnético son continuas, formando bucles cerrados sin principio ni fin. Se dirigen del polo norte al polo sur.

La última propiedad está relacionada con el hecho de que los polos norte y sur no pueden separarse. Es una diferencia clara respecto a las líneas de campo eléctrico, que generalmente comienzan en cargas positivas y terminan en cargas negativas o en el infinito. Si existieran cargas magnéticas aisladas (denominadas monopolos magnéticos), las líneas de campo magnético comenzarían y terminarían en ellas.

Figura 11.6 Las líneas de campo magnético se definen para tener la dirección en la que apunta una pequeña brújula cuando se coloca en un lugar del campo. La fuerza del campo es proporcional a la cercanía (o densidad) de las líneas. Si se pudiera sondear el interior del imán, se encontraría que las líneas de campo forman bucles continuos y cerrados. Para ajustarse a un espacio razonable, algunos de estos dibujos pueden no mostrar el cierre de los bucles; sin embargo, si se dispusiera de espacio suficiente, los bucles estarían cerrados.