11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente

Los motores son la aplicación más común de la fuerza magnética en los cables portadores de corriente. Los motores contienen bucles de cable en un campo magnético. Cuando la corriente pasa por los bucles, el campo magnético ejerce un torque en los bucles, que hace girar un eje. La energía eléctrica se convierte en trabajo mecánico en el proceso. Una vez que la superficie del bucle se alinea con el campo magnético, el sentido de la corriente se invierte, por lo que hay un torque continuo en el bucle (Figura 11.15). Esta inversión de la corriente se realiza con conmutadores y escobillas. El conmutador se ajusta para invertir el flujo de corriente en los puntos establecidos para mantener un movimiento continuo en el motor. Un conmutador básico tiene tres zonas de contacto que hay que evitar y puntos muertos en los que el bucle tendría un torque instantáneo cero en ese punto. Las escobillas presionan contra el conmutador, creando un contacto eléctrico entre sus partes durante el movimiento de giro.

Figura 11.15 Versión simplificada de un motor eléctrico de corriente continua. (a) El bucle de alambre rectangular se coloca en un campo magnético. Las fuerzas sobre los alambres más cercanos a los polos magnéticos (N y S) son de sentido opuesto, tal y como determina la regla 1 de la mano derecha. Por lo tanto, el bucle tiene un torque neto y gira hasta la posición indicada en (b). (b) Las escobillas tocan ahora los segmentos del conmutador, por lo que no circula corriente por el bucle. Sobre el bucle no actúa ningún torque, pero el bucle sigue girando a partir de la velocidad inicial que se le dio en la parte (a). En el momento en que se invierte el bucle, la corriente vuelve a circular por los alambres, pero ahora en sentido contrario, y el proceso se repite como en la parte (a). Esto provoca una rotación continua del bucle.

En un campo magnético uniforme, un bucle de alambre que porta corriente, como el bucle de un motor, experimenta tanto fuerzas como torque en el bucle. La Figura 11.16 muestra un bucle de alambre rectangular que porta una corriente I y tiene lados de longitudes a y b. El bucle está en un campo magnético uniforme $\overrightarrow{B}=B\widehat{j}.$ La fuerza magnética sobre un cable recto portador de corriente de longitud l viene dada por $I\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}.$ Para calcular la fuerza neta sobre el bucle, tenemos que aplicar esta ecuación a cada uno de los cuatro lados. La fuerza en el lado 1 es

donde la dirección ha sido determinada con la RHR-1. La corriente en el lado 3 fluye en dirección opuesta a la del lado 1, por lo que

Las corrientes de los lados 2 y 4 son perpendiculares a $\overrightarrow{B}$ y las fuerzas en estos lados son

Ahora podemos calcular la fuerza neta en el bucle:

Aunque este resultado $\left(\text{Σ}F=0\right)$ se ha obtenido para un bucle rectangular, es mucho más general y vale para bucles portadores de corriente de formas arbitrarias; es decir, no hay fuerza neta en un bucle de corriente en un campo magnético uniforme.

Figura 11.16 (a) Un bucle de corriente rectangular en un campo magnético uniforme está sometido a un torque neto pero no a una fuerza neta. (b) Una vista lateral de la bobina.

Para calcular el torque neto en el bucle de corriente mostrado en la Figura 11.16, primero consideramos $F_1$ y $F_3.$ Como tienen la misma línea de acción y son iguales y opuestos, la suma de sus torques alrededor de cualquier eje es cero (ver Rotación de eje fijo). Por lo tanto, si hay algún torque en el bucle, debe ser proporcionado por $F_2$ y $F_4.$ Calculemos los torques alrededor del eje que pasa por el punto O de la Figura 11.16 (una vista lateral de la bobina) y es perpendicular al plano de la página. El punto O está a una distancia x del lado 2 y a una distancia $\left(a-x\right)$ desde el lado 4 del bucle. Los brazos de momento de $F_2$ y $F_4$ son $x\text{sen}\theta$ y $\left(a-x\right)\text{sen}\theta ,$ respectivamente, por lo que el torque neto en el bucle es

Esto se simplifica a

donde $A=ab$ es el área del bucle.

Observe que este torque es independiente de x; por lo tanto, es independiente de dónde se encuentre el punto O en el plano del bucle de corriente. En consecuencia, el bucle experimenta el mismo torque del campo magnético alrededor de cualquier eje en el plano del bucle y paralelo al eje x.

Un bucle de corriente cerrado se denomina comúnmente dipolo magnético y el término IA se conoce como su momento dipolar magnético $\mu .$ En realidad, el momento dipolar magnético es un vector que se define como

donde $\widehat{n}$ es un vector unitario dirigido perpendicularmente al plano del bucle (consulte la Figura 11.16). La dirección de $\widehat{n}$ se obtiene con la RHR-2: si se curvan los dedos de la mano derecha en la dirección del flujo de corriente en el bucle, entonces el pulgar apunta a lo largo de $\widehat{n}.$ Si el bucle contiene N vueltas de cable, su momento dipolar magnético viene dado por

En términos del momento dipolar magnético, el torque en un bucle de corriente debido a un campo magnético uniforme puede escribirse simplemente como

Esta ecuación es válida para un bucle de corriente en un plano bidimensional de forma arbitraria.

Al utilizar un cálculo análogo al encontrado en Capacitancia para un dipolo eléctrico, la energía potencial de un dipolo magnético es