11.6 El efecto Hall

En 1879, E. H. Hall ideó un experimento que puede utilizarse para identificar el signo de los portadores de carga predominantes en un material conductor. Desde una perspectiva histórica, este experimento fue el primero en demostrar que los portadores de carga en la mayoría de los metales son negativos.

Investigamos el efecto Hall al estudiar el movimiento de los electrones libres a lo largo de una banda de metal de anchura l en un campo magnético constante (Figura 11.17). Los electrones se mueven de izquierda a derecha, por lo que la fuerza magnética que experimentan los empuja hacia el borde inferior de la tira. Esto deja un exceso de carga positiva en el borde superior de la tira, lo que da lugar a un campo eléctrico E dirigido de arriba a abajo. La concentración de carga en ambos bordes se acumula hasta que la fuerza eléctrica sobre los electrones en una dirección se equilibra con la fuerza magnética sobre ellos en la dirección opuesta. El equilibrio se alcanza cuando:

donde e es la magnitud de la carga del electrón, $v_d$ es la velocidad de deriva de los electrones, y E es la magnitud del campo eléctrico creado por la carga separada. Al resolver esto para la velocidad de deriva se obtiene

Figura 11.17 En el efecto Hall, se produce una diferencia de potencial entre los bordes superior e inferior de la banda metálica cuando los portadores de carga en movimiento son desviados por el campo magnético. (a) Efecto Hall para portadores de carga negativa; (b) Efecto Hall para portadores de carga positiva.

Una situación en la que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí se denomina situación de campo cruzado. Si estos campos producen fuerzas iguales y opuestas sobre una partícula cargada con la velocidad que iguala las fuerzas, estas partículas son capaces de pasar por un aparato, llamado selector de velocidad, sin ser desviadas. Esta velocidad se representa en la Ecuación 11.26. Cualquier otra velocidad de una partícula cargada enviada a los mismos campos sería desviada por la fuerza magnética o la fuerza eléctrica.

Volviendo al efecto Hall, si la corriente en la tira es I, entonces a partir de Corriente y resistencia, sabemos que

donde n es el número de portadores de carga por volumen y A es el área de la sección transversal de la tira. Al combinar las ecuaciones de $v_d$ y I se obtiene

El campo E está relacionado con la diferencia de potencial V entre los bordes de la tira por

La cantidad V se denomina potencial Hall y se puede medir con un voltímetro. Finalmente, al combinar las ecuaciones de I y E obtenemos

donde el borde superior de la tira en la Figura 11.17 es positivo con respecto al borde inferior.

También podemos combinar la Ecuación 11.24 y la Ecuación 11.28 para obtener una expresión para el voltaje Hall en términos del campo magnético:

¿Y si los portadores de carga son positivos, como en la Figura 11.17? Para la misma corriente I, la magnitud de V sigue estando dada por la Ecuación 11.29. Sin embargo, el borde superior es ahora negativo con respecto al borde inferior. Por lo tanto, simplemente al medir el signo de V, podemos determinar el signo de los portadores de carga mayoritarios en un metal.

Las mediciones del potencial Hall muestran que los electrones son los portadores de carga dominantes en la mayoría de los metales. Sin embargo, los potenciales Hall indican que para unos pocos metales, como el tungsteno, el berilio y muchos semiconductores, la mayoría de los portadores de carga son positivos. Resulta que la conducción por carga positiva está causada por la migración de sitios de electrones perdidos (llamados agujeros) en los iones. La conducción por agujeros se estudia más adelante en Física de la materia condensada.

El efecto Hall puede utilizarse para medir campos magnéticos. Si un material con una densidad conocida de portadores de carga n se coloca en un campo magnético y se mide V, entonces se puede determinar el campo a partir de la Ecuación 11.29. En los laboratorios de investigación en los que los campos de los electroimanes utilizados para mediciones precisas tienen que ser extremadamente estables, se suele utilizar una "sonda Hall" como parte de un circuito electrónico que regula el campo.

Ejemplo 11.9

El potencial Hall en una cinta de plata

La Figura 11.18 muestra una cinta de plata cuya sección transversal es de 1,0 cm por 0,20 cm. La cinta lleva una corriente de 100 A de izquierda a derecha, y se encuentra en un campo magnético uniforme de magnitud 1,5 T. Utilizando un valor de densidad de $n=\mathrm{5,9}\times {10}^{28}$ electrones por metro cúbico para la plata, calcule el potencial Hall entre los bordes de la cinta.

Figura 11.18 Se muestra el potencial Hall en una cinta de plata en un campo magnético.

Estrategia

Como la mayoría de los portadores de carga son electrones, la polaridad del voltaje Hall es la indicada en la figura. El valor del voltaje Hall se calcula mediante la Ecuación 11.29:

$$V=\frac{IBl}{neA}.$$

Solución

Para calcular el voltaje Hall, necesitamos conocer la corriente que atraviesa el material, el campo magnético, la longitud, el número de portadores de carga y el área. Como todo esto está dado, el voltaje Hall se calcula como:

$$V=\frac{IBl}{neA}=\frac{(100\text{A})(\mathrm{1,5}\text{T})\left(\mathrm{1,0}\times {10}^{\mathrm{-2}}\text{m}\right)}{\left(\mathrm{5,9}\times {10}^{28}\text{/}{\text{m}}^3\right)\left(\mathrm{1,6}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\right)\left(\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-5}}{\text{m}}^2\right)}=\mathrm{7,9}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{V.}$$

Importancia

Como en este ejemplo, el potencial Hall es generalmente muy pequeño y se requiere una cuidadosa experimentación con equipos sensibles para su medición.