16.2 Ondas electromagnéticas planas

Ondas electromagnéticas en una dirección

Una onda electromagnética está formada por un campo eléctrico, definido como es habitual en términos de la fuerza por carga sobre una carga estacionaria, y un campo magnético, definido en términos de la fuerza por carga sobre una carga en movimiento. Se supone que el campo electromagnético es una función solo de la coordenada x y del tiempo. La componente y del campo eléctrico se escribe entonces como $E_y\left(x,t\right),$ la componente z del campo magnético como $B_z\left(x,t\right)$, etc. Como estamos suponiendo un espacio libre, no hay cargas ni corrientes libres, por lo que podemos establecer $Q_{\text{en}}=0$ y $I=0$ en las ecuaciones de Maxwell.

La naturaleza transversal de las ondas electromagnéticas

Examinamos primero lo que implica la ley de Gauss para los campos eléctricos sobre las direcciones relativas del campo eléctrico y la dirección de propagación en una onda electromagnética. Supongamos que la superficie gaussiana es la superficie de una caja rectangular cuya sección transversal es un cuadrado de lado l y cuyo tercer lado tiene longitud $\text{Δ}x$, como se muestra en la Figura 16.6. Como el campo eléctrico es una función solo de x y t, la componente y del campo eléctrico es la misma tanto en la parte superior (marcada como lado 2) como en la inferior (marcada como lado 1) de la caja, de modo que estas dos contribuciones al flujo se cancelan. El argumento correspondiente también es válido para el flujo neto de la componente z del campo eléctrico a través de los lados 3 y 4. Por lo tanto, cualquier flujo neto a través de la superficie proviene enteramente de la componente x del campo eléctrico. Dado que el campo eléctrico no depende de la yni de la z, $E_x\left(x,t\right)$ es constante sobre la cara de la caja con área A y tiene un valor posiblemente diferente $E_x\left(x+\text{Δ}x,t\right)$ que es constante sobre la cara opuesta de la caja. Aplicando la ley de Gauss se obtiene

$$\text{Flujo neto}=\text{−}{E}_x\left(x,t\right)A+E_x\left(x+\text{Δ}x,t\right)A=\frac{Q_{\text{en}}}{{\epsilon }_0}$$

16.13

donde $A=l\times l$ es el área de las caras frontal y posterior de la superficie rectangular. Pero la carga encerrada es $Q_{\text{en}}=0$, por lo que el flujo neto de esta componente también es cero, y la Ecuación 16.13 implica $E_x\left(x,t\right)=E_x\left(x+\text{Δ}x,t\right)$ para cualquier $\text{Δ}x$. Por lo tanto, si existe un componente x del campo eléctrico, este no puede variar con x. Un campo uniforme de este tipo solo se superpondría artificialmente a la onda viajera, por ejemplo, teniendo un par de placas cargadas en paralelo. Dicho componente $E_x(x,t)$ no formaría parte de una onda electromagnética que se propaga a lo largo del eje x; por tanto $E_x(x,t)=0$ para esta onda. Por lo tanto, las únicas componentes que no son cero del campo eléctrico son $E_y(x,t)$ y $E_z(x,t),$ perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

Figura 16.6 La superficie de una caja rectangular de dimensiones $l\times l\times \text{Δ}x$ es nuestra superficie gaussiana. El campo eléctrico mostrado es de una onda electromagnética que se propaga a lo largo del eje x.

Un argumento similar es válido sustituyendo E por B y utilizando la ley de Gauss para el magnetismo en lugar de la ley de Gauss para los campos eléctricos. Esto demuestra que el campo B también es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. La onda electromagnética es por tanto una onda transversal, con sus campos eléctricos y magnéticos oscilantes perpendiculares a su dirección de propagación.

La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas

A continuación podemos aplicar las ecuaciones de Maxwell a la descripción dada en relación con la Figura 16.4 en la sección anterior para obtener una ecuación para el campo E a partir del campo B cambiante, y para el campo B a partir de un campo E cambiante. A continuación, combinamos las dos ecuaciones para mostrar cómo los campos E y B cambiantes se propagan por el espacio a una velocidad precisamente igual a la de la luz.

En primer lugar, aplicamos la ley de Faraday sobre el lado 3 de la superficie gaussiana, utilizando la trayectoria mostrada en Figura 16.7. Porque $E_x(x,t)=0,$ tenemos

$${\displaystyle \oint \overrightarrow{E}·d\overrightarrow{s}}=\text{−}{E}_y\left(x,t\right)l+E_y\left(x+\text{Δ}x,t\right)l.$$

Suponiendo que $\text{Δ}x$ es pequeño y se aproxima $E_y\left(x+\text{Δ}x,t\right)$ por

$$E_y\left(x+\text{Δ}x,t\right)=E_y\left(x,t\right)+\frac{\partial E_y\left(x,t\right)}{\partial x}\text{Δ}x,$$

obtenemos

$${\displaystyle \oint \overrightarrow{E}·d\overrightarrow{s}}=\frac{\partial E_y\left(x,t\right)}{\partial x}\left(l\text{Δ}x\right).$$

Figura 16.7 Aplicamos la ley de Faraday al frente del rectángulo evaluando ${\displaystyle \oint \overrightarrow{E}·d\overrightarrow{s}}$ a lo largo del borde rectangular del lado 3 en la dirección indicada, tomando el campo B que cruza la cara como su valor aproximado en el centro del área atravesada.

Porque $\text{Δ}x$ es pequeño, el flujo magnético que atraviesa la cara puede aproximarse por su valor en el centro del área atravesada, a saber $B_z\left(x+\frac{\text{Δ}x}{2},t\right)$. El flujo del campo B a través de la cara 3 es entonces el campo B por el área,

$${\displaystyle {\oint }_S\overrightarrow{B}·\overrightarrow{n}dA}=B_z\left(x+\frac{\text{Δ}x}{2},t\right)\left(l\text{Δ}x\right).$$

16.14

De la ley de Faraday,

$${\displaystyle \oint \overrightarrow{E}·d\overrightarrow{s}}=-\frac{d}{dt}{\displaystyle {\int }_S\overrightarrow{B}·\overrightarrow{n}dA}.$$

16.15

Por lo tanto, utilizando la Ecuación 16.13 y la Ecuación 16.14,

$$\frac{\partial E_y\left(x,t\right)}{\partial x}\left(l\text{Δ}x\right)=-\frac{\partial }{\partial t}\left[B_z\left(x+\frac{\text{Δ}x}{2},t\right)\right]\left(l\text{Δ}x\right).$$

Cancelando $l\text{Δ}x$ y tomando el límite como $\text{Δ}x=0$, nos quedamos con

$$\frac{\partial E_y\left(x,t\right)}{\partial x}=-\frac{\partial B_z\left(x,t\right)}{\partial t}.$$

16.16

En cambio, podríamos haber aplicado la ley de Faraday a la superficie superior (numerada 2) en la Figura 16.7, para obtener la ecuación resultante

$$\frac{\partial E_z\left(x,t\right)}{\partial x}=-\frac{\partial B_y\left(x,t\right)}{\partial t}.$$

16.17

Esta es la ecuación que describe el campo E dependiente del espacio producido por el campo B dependiente del tiempo.

A continuación aplicamos la ley de Ampère-Maxwell (con $I=0$) sobre las mismas dos caras (superficie 3 y luego superficie 2) de la caja rectangular de Figura 16.7. Aplicando la Ecuación 16.10,

$${\displaystyle \oint \overrightarrow{B}·d\overrightarrow{s}}={\mu }_0{\epsilon }_0\left(d\text{/}dt\right){\displaystyle \underset{S}{\int }\overrightarrow{E}·n}da$$

a la superficie 3, y luego a la superficie 2, produce las dos ecuaciones

$$\frac{\partial B_y\left(x,t\right)}{\partial x}=\text{−}{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial E_z\left(x,t\right)}{\partial t},\text{y}$$

16.18

$$\frac{\partial B_z\left(x,t\right)}{\partial x}=\text{−}{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial E_y\left(x,t\right)}{\partial t}.$$

16.19

Estas ecuaciones describen el campo B dependiente del espacio producido por el campo E dependiente del tiempo.

A continuación combinamos las ecuaciones que muestran que el campo B cambiante produce un campo E con la ecuación que muestra que el campo E cambiante produce un campo B. Tomando la derivada de la Ecuación 16.16 con respecto a x y utilizando la Ecuación 16.26 se obtiene

$$\begin{array}{c}\hfill \frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}\right)=-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial B_z}{\partial t}\right)=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial B_z}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial t}\left({\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial E_y}{\partial t}\right)\hfill \\ \hfill \text{o}\hfill \end{array}$$

$$\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial x^2}={\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial t^2}.$$

16.20

Esta es la forma que adopta la ecuación de onda general para nuestra onda plana. Dado que las ecuaciones describen una onda que viaja a una velocidad aún no especificada c, podemos suponer que las componentes del campo son cada una funciones de x – ct para la onda que viaja en la dirección +x, es decir,

$$E_y\left(x,t\right)=f\left(\xi \right)\text{donde}\xi =x-ct.$$

16.21

Se deja como ejercicio matemático demostrar, utilizando la regla de la cadena para la diferenciación, que la Ecuación 16.17 y la Ecuación 16.18 implican

$$1={\epsilon }_0{\mu }_0{c}^2.$$

La velocidad de la onda electromagnética en el espacio libre viene dada, por tanto, en función de la permeabilidad y permeabilidad del espacio libre por

$$c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}.$$

16.22

También podríamos haber supuesto una onda electromagnética con componentes de campo $E_z\left(x,t\right)$ y $B_y\left(x,t\right)$. El mismo tipo de análisis con la Ecuación 16.25 y la Ecuación 16.24 también mostraría que la velocidad de una onda electromagnética es $c=1\text{/}\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$.

En 1873 Maxwell formuló la física de los campos electromagnéticos viajeros. Demostró de forma más general que nuestra derivación que las ondas electromagnéticas siempre viajan en el espacio libre con una velocidad dada por la Ecuación 16.18. Si evaluamos la velocidad $c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}},$ hallamos que

$$c=\frac{1}{\sqrt{\left(\mathrm{8,85}\times {10}^{\mathrm{-12}}\frac{{\text{C}}^2}{\text{N}·{\text{m}}^2}\right)\left(4\text{π}\times {10}^{\mathrm{-7}}\frac{\text{T}·\text{m}}{\text{A}}\right)}}=\mathrm{3,00}\times {10}^8\text{m/s},$$

que es la velocidad de la luz. ¡Imagine la emoción que debió sentir Maxwell cuando descubrió esta ecuación! Había encontrado una conexión fundamental entre dos fenómenos aparentemente no relacionados: los campos electromagnéticos y la luz.

Compruebe Lo Aprendido 16.3

La ecuación de onda se obtuvo (1) encontrando el campo E producido por el campo B cambiante, (2) encontrando el campo B producido por el campo E cambiante, y combinando los dos resultados. ¿Cuál de las ecuaciones de Maxwell fue la base del paso (1) y cuál del paso (2)?

Cómo se relacionan los campos E y B

Hasta ahora, hemos visto que las tasas de cambio de los diferentes componentes de los campos E y B están relacionadas, que la onda electromagnética es transversal y que la onda se propaga a la velocidad c. A continuación mostramos lo que las ecuaciones de Maxwell implican sobre la relación de las magnitudes de los campos E y B y las direcciones relativas de los campos E y B.

Consideramos ahora las soluciones para la Ecuación 16.16 en forma de ondas planas para el campo eléctrico:

Hemos tomado arbitrariamente que la onda viaja en la dirección +x y hemos elegido su fase de forma que la máxima intensidad de campo se produce en el origen en el tiempo $t=0$. Está justificado que consideremos solo los senos y cosenos de esta manera, y que generalicemos los resultados, ya que el teorema de Fourier implica que podemos expresar cualquier onda, incluso funciones escalonadas cuadradas, como una superposición de senos y cosenos.

En un punto concreto del espacio, el campo E oscila sinusoidalmente con una frecuencia angular $\omega$ entre $+E_0$ y $\text{−}{E}_0,$ y, del mismo modo, el campo B oscila entre $+B_0$ y $\text{−}{B}_0.$ La amplitud de la onda es el valor máximo de $E_y\left(x,t\right).$ El periodo de oscilación T es el tiempo necesario para una oscilación completa. La frecuencia f es el número de oscilaciones completas por unidad de tiempo, y está relacionada con la frecuencia angular $\omega$ por $\omega =2\pi f$. La longitud de onda $\lambda$ es la distancia recorrida por un ciclo completo de la onda, y el número de onda k es el número de longitudes de onda que caben en una distancia de $2\text{π}$ en las unidades utilizadas. Estas magnitudes están relacionadas de la misma manera que para una onda mecánica:

Dado que la solución de $E_y$ tiene la forma mostrada en la Ecuación 16.20, necesitamos determinar el campo B que lo acompaña. A partir de la Ecuación 16.24, la componente del campo magnético $B_z$ debe obedecer

Como la solución para el patrón de campo B de la onda se propaga en la dirección +x a la misma velocidad c que el patrón de campo E, debe ser una función de $k\left(x-ct\right)=kx-\omega t$. Por lo tanto, concluimos de la Ecuación 16.21 que $B_z$ es

Estos resultados pueden escribirse como

Por lo tanto, los picos de los campos E y B coinciden, al igual que los valles de la onda, y en cada punto, los campos E y B están en la misma proporción igual a la velocidad de la luz c. La onda plana tiene la forma mostrada en la Figura 16.8.

Figura 16.8 La solución de onda plana de las ecuaciones de Maxwell tiene el campo B directamente proporcional al campo E en cada punto, con las direcciones relativas mostradas.

Los campos eléctricos cambiantes crean campos magnéticos relativamente débiles. Sin embargo, los campos eléctricos y magnéticos combinados pueden detectarse en las ondas electromagnéticas, aprovechando el fenómeno de la resonancia, como hizo Hertz. Un sistema con la misma frecuencia natural que la onda electromagnética puede hacerse oscilar. Todos los receptores de radio y televisión utilizan este principio para captar y luego amplificar las ondas electromagnéticas débiles, al tiempo que rechazan todas las demás que no están en su frecuencia de resonancia.

Producción y detección de ondas electromagnéticas

Una corriente eléctrica constante produce un campo magnético que es constante en el tiempo y que no se propaga como una onda. Sin embargo, las cargas que se aceleran producen ondas electromagnéticas. Una carga eléctrica que oscila hacia arriba y hacia abajo, o una corriente o flujo de carga alterna en un conductor, emiten radiación en las frecuencias de sus oscilaciones. El campo electromagnético de una antena dipolar se muestra en la Figura 16.9. Las cargas positivas y negativas de los dos conductores se hacen invertir a la frecuencia deseada mediante la salida de un transmisor como fuente de energía. La corriente, que cambia continuamente, acelera la carga en la antena, lo que da lugar a un campo eléctrico oscilante que se aleja de la antena. Los campos eléctricos cambiantes producen campos magnéticos cambiantes que, a su vez, producen campos eléctricos cambiantes, que se propagan como ondas electromagnéticas. La frecuencia de esta radiación es la misma que la de la fuente deac que acelera los electrones en la antena. Los dos elementos conductores de la antena dipolar suelen ser alambres rectos. La longitud total de los dos alambres suele ser aproximadamente la mitad de la longitud de onda deseada (de ahí el nombre alternativo antena de media onda), ya que esto permite establecer ondas estacionarias y mejora la eficacia de la radiación.

Figura 16.9 El movimiento oscilante de las cargas en una antena dipolar produce radiación electromagnética.

Se muestran las líneas de campo eléctrico en un plano. El campo magnético es perpendicular a este plano. Este campo de radiación tiene una simetría cilíndrica alrededor del eje del dipolo. No se muestran las líneas de campo cercanas al dipolo. El patrón no es en absoluto uniforme en todas las direcciones. La señal más fuerte se produce en direcciones perpendiculares al eje de la antena, que sería horizontal si la antena está montada verticalmente. La intensidad es cero a lo largo del eje de la antena. Los campos detectados lejos de la antena proceden de los campos eléctricos y magnéticos cambiantes que se inducen mutuamente y viajan como ondas electromagnéticas. Lejos de la antena, los frentes de onda, o superficies de igual fase para la onda electromagnética, son casi esféricos. Incluso más lejos de la antena, la radiación se propaga como ondas electromagnéticas planas.

Las ondas electromagnéticas transportan energía alejándose de su fuente, de forma similar a como una onda de sonido se aleja de una onda estacionaria en una cuerda de guitarra. Una antena de recepción de señales electromagnéticas funciona a la inversa. Las ondas electromagnéticas entrantes inducen corrientes oscilantes en la antena, cada una a su propia frecuencia. El receptor de radio incluye un circuito sintonizador, cuya frecuencia de resonancia puede ajustarse. El sintonizador reacciona intensamente a la frecuencia deseada pero no a otras, lo que permite al usuario sintonizar la emisora deseada. Los componentes eléctricos amplifican la señal formada por los electrones en movimiento. A continuación, la señal se convierte en un formato de audio o video.