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Física Universitaria Volumen 2

16.2 Ondas electromagnéticas planas

Física Universitaria Volumen 216.2 Ondas electromagnéticas planas
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir cómo las ecuaciones de Maxwell predicen direcciones relativas de los campos eléctricos y magnéticos y la dirección de propagación de las ondas electromagnéticas planas.
  • Explicar cómo las ecuaciones de Maxwell predicen que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el espacio libre es exactamente la velocidad de la luz.
  • Calcular la magnitud relativa de los campos eléctrico y magnético en una onda electromagnética plana.
  • Describir cómo se producen y detectan ondas electromagnéticas.

Las ondas mecánicas viajan a través de un medio como una cuerda, el agua o el aire. Quizá la predicción más significativa de las ecuaciones de Maxwell sea la existencia de campos eléctricos y magnéticos (o electromagnéticos) combinados que se propagan por el espacio en forma de ondas electromagnéticas. Dado que las ecuaciones de Maxwell se cumplen en el espacio libre, las ondas electromagnéticas predichas, a diferencia de las mecánicas, no necesitan un medio para su propagación.

Un tratamiento general de la física de las ondas electromagnéticas está fuera del alcance de este libro de texto. Sin embargo, podemos investigar el caso especial de una onda electromagnética que se propaga por el espacio libre a lo largo del eje x de un sistema de coordenadas dado.

Ondas electromagnéticas en una dirección

Una onda electromagnética está formada por un campo eléctrico, definido como es habitual en términos de la fuerza por carga sobre una carga estacionaria, y un campo magnético, definido en términos de la fuerza por carga sobre una carga en movimiento. Se supone que el campo electromagnético es una función solo de la coordenada x y del tiempo. La componente y del campo eléctrico se escribe entonces como Ey(x,t),Ey(x,t), la componente z del campo magnético como Bz(x,t)Bz(x,t), etc. Como estamos suponiendo un espacio libre, no hay cargas ni corrientes libres, por lo que podemos establecer Qen=0Qen=0 y I=0I=0 en las ecuaciones de Maxwell.

La naturaleza transversal de las ondas electromagnéticas

Examinamos primero lo que implica la ley de Gauss para los campos eléctricos sobre las direcciones relativas del campo eléctrico y la dirección de propagación en una onda electromagnética. Supongamos que la superficie gaussiana es la superficie de una caja rectangular cuya sección transversal es un cuadrado de lado l y cuyo tercer lado tiene longitud ΔxΔx, como se muestra en la Figura 16.6. Como el campo eléctrico es una función solo de x y t, la componente y del campo eléctrico es la misma tanto en la parte superior (marcada como lado 2) como en la inferior (marcada como lado 1) de la caja, de modo que estas dos contribuciones al flujo se cancelan. El argumento correspondiente también es válido para el flujo neto de la componente z del campo eléctrico a través de los lados 3 y 4. Por lo tanto, cualquier flujo neto a través de la superficie proviene enteramente de la componente x del campo eléctrico. Dado que el campo eléctrico no depende de la yni de la z, Ex(x,t)Ex(x,t) es constante sobre la cara de la caja con área A y tiene un valor posiblemente diferente Ex(x+Δx,t)Ex(x+Δx,t) que es constante sobre la cara opuesta de la caja. Aplicando la ley de Gauss se obtiene

Flujo neto=Ex(x,t)A+Ex(x+Δx,t)A=Qenε0Flujo neto=Ex(x,t)A+Ex(x+Δx,t)A=Qenε0
16.13

donde A=l×lA=l×l es el área de las caras frontal y posterior de la superficie rectangular. Pero la carga encerrada es Qen=0Qen=0, por lo que el flujo neto de esta componente también es cero, y la Ecuación 16.13 implica Ex(x,t)=Ex(x+Δx,t)Ex(x,t)=Ex(x+Δx,t) para cualquier ΔxΔx. Por lo tanto, si existe un componente x del campo eléctrico, este no puede variar con x. Un campo uniforme de este tipo solo se superpondría artificialmente a la onda viajera, por ejemplo, teniendo un par de placas cargadas en paralelo. Dicho componente Ex(x,t)Ex(x,t) no formaría parte de una onda electromagnética que se propaga a lo largo del eje x; por tanto Ex(x,t)=0Ex(x,t)=0 para esta onda. Por lo tanto, las únicas componentes que no son cero del campo eléctrico son Ey(x,t)Ey(x,t) y Ez(x,t),Ez(x,t), perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

La figura muestra una caja rectangular de dimensiones l por l por delta x. Los lados superior e inferior, paralelos al plano xz, están marcados como lado 2 y lado 1, respectivamente. Los lados anterior y posterior, paralelos al plano xy se marcan lado 3 y lado 4 respectivamente. Tres flechas se originan en un punto del lado izquierdo. Estas se encuentran a lo largo de los ejes x, y y z y se denominan respectivamente E subíndice x paréntesis x, t paréntesis, E subíndice y paréntesis x, t paréntesis y E subíndice z paréntesis x, t paréntesis. Otras tres flechas se originan en el punto en el que el eje x se interseca con el lado derecho de la caja. Estas también están a lo largo de los ejes x, y y z y se etiquetan respectivamente como E subíndice x paréntesis x más delta x, t paréntesis, E subíndice y paréntesis x más delta x, t paréntesis y E subíndice z paréntesis x más delta x, t paréntesis.
Figura 16.6 La superficie de una caja rectangular de dimensiones l × l × Δ x l × l × Δ x es nuestra superficie gaussiana. El campo eléctrico mostrado es de una onda electromagnética que se propaga a lo largo del eje x.

Un argumento similar es válido sustituyendo E por B y utilizando la ley de Gauss para el magnetismo en lugar de la ley de Gauss para los campos eléctricos. Esto demuestra que el campo B también es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. La onda electromagnética es por tanto una onda transversal, con sus campos eléctricos y magnéticos oscilantes perpendiculares a su dirección de propagación.

La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas

A continuación podemos aplicar las ecuaciones de Maxwell a la descripción dada en relación con la Figura 16.4 en la sección anterior para obtener una ecuación para el campo E a partir del campo B cambiante, y para el campo B a partir de un campo E cambiante. A continuación, combinamos las dos ecuaciones para mostrar cómo los campos E y B cambiantes se propagan por el espacio a una velocidad precisamente igual a la de la luz.

En primer lugar, aplicamos la ley de Faraday sobre el lado 3 de la superficie gaussiana, utilizando la trayectoria mostrada en Figura 16.7. Porque Ex(x,t)=0,Ex(x,t)=0, tenemos

E·ds=Ey(x,t)l+Ey(x+Δx,t)l.E·ds=Ey(x,t)l+Ey(x+Δx,t)l.

Suponiendo que ΔxΔx es pequeño y se aproxima Ey(x+Δx,t)Ey(x+Δx,t) por

Ey(x+Δx,t)=Ey(x,t)+Ey(x,t)xΔx,Ey(x+Δx,t)=Ey(x,t)+Ey(x,t)xΔx,

obtenemos

E·ds=Ey(x,t)x(lΔx).E·ds=Ey(x,t)x(lΔx).
La figura muestra una caja rectangular de dimensiones l por l por delta x. Los lados superior e inferior, paralelos al plano xz, están marcados como lado 2 y lado 1, respectivamente. Los lados anterior y posterior, paralelos al plano xy se marcan lado 3 y lado 4 respectivamente. El límite del lado 3 está marcado como camino de integración. Dos flechas a lo largo del lado 3, apuntando hacia arriba en la dirección y positiva están marcadas E subíndice y paréntesis x, t paréntesis y E subíndice y paréntesis x más delta x, t paréntesis. Una flecha en el lado izquierdo de la caja, apuntando en la dirección z positiva está marcada B subíndice z paréntesis x más delta x por 2, t paréntesis.
Figura 16.7 Aplicamos la ley de Faraday al frente del rectángulo evaluando E · d s E · d s a lo largo del borde rectangular del lado 3 en la dirección indicada, tomando el campo B que cruza la cara como su valor aproximado en el centro del área atravesada.

Porque ΔxΔx es pequeño, el flujo magnético que atraviesa la cara puede aproximarse por su valor en el centro del área atravesada, a saber Bz(x+Δx2,t)Bz(x+Δx2,t). El flujo del campo B a través de la cara 3 es entonces el campo B por el área,

SB·ndA=Bz(x+Δx2,t)(lΔx).SB·ndA=Bz(x+Δx2,t)(lΔx).
16.14

De la ley de Faraday,

E·ds=ddtSB·ndA.E·ds=ddtSB·ndA.
16.15

Por lo tanto, utilizando la Ecuación 16.13 y la Ecuación 16.14,

Ey(x,t)x(lΔx)=t[Bz(x+Δx2,t)](lΔx).Ey(x,t)x(lΔx)=t[Bz(x+Δx2,t)](lΔx).

Cancelando lΔxlΔx y tomando el límite como Δx=0Δx=0, nos quedamos con

Ey(x,t)x=Bz(x,t)t.Ey(x,t)x=Bz(x,t)t.
16.16

En cambio, podríamos haber aplicado la ley de Faraday a la superficie superior (numerada 2) en la Figura 16.7, para obtener la ecuación resultante

Ez(x,t)x=By(x,t)t.Ez(x,t)x=By(x,t)t.
16.17

Esta es la ecuación que describe el campo E dependiente del espacio producido por el campo B dependiente del tiempo.

A continuación aplicamos la ley de Ampère-Maxwell (con I=0I=0) sobre las mismas dos caras (superficie 3 y luego superficie 2) de la caja rectangular de Figura 16.7. Aplicando la Ecuación 16.10,

B·ds=μ0ε0(d/dt)SE·ndaB·ds=μ0ε0(d/dt)SE·nda

a la superficie 3, y luego a la superficie 2, produce las dos ecuaciones

By(x,t)x=ε0μ0Ez(x,t)t,yBy(x,t)x=ε0μ0Ez(x,t)t,y
16.18
Bz(x,t)x=ε0μ0Ey(x,t)t.Bz(x,t)x=ε0μ0Ey(x,t)t.
16.19

Estas ecuaciones describen el campo B dependiente del espacio producido por el campo E dependiente del tiempo.

A continuación combinamos las ecuaciones que muestran que el campo B cambiante produce un campo E con la ecuación que muestra que el campo E cambiante produce un campo B. Tomando la derivada de la Ecuación 16.16 con respecto a x y utilizando la Ecuación 16.26 se obtiene

2Eyx2=x(Eyx)=x(Bzt)=t(Bzx)=t(ε0μ0Eyt)o2Eyx2=x(Eyx)=x(Bzt)=t(Bzx)=t(ε0μ0Eyt)o
2Eyx2=ε0μ02Eyt2.2Eyx2=ε0μ02Eyt2.
16.20

Esta es la forma que adopta la ecuación de onda general para nuestra onda plana. Dado que las ecuaciones describen una onda que viaja a una velocidad aún no especificada c, podemos suponer que las componentes del campo son cada una funciones de xct para la onda que viaja en la dirección +x, es decir,

Ey(x,t)=f(ξ)dondeξ=xct.Ey(x,t)=f(ξ)dondeξ=xct.
16.21

Se deja como ejercicio matemático demostrar, utilizando la regla de la cadena para la diferenciación, que la Ecuación 16.17 y la Ecuación 16.18 implican

1=ε0μ0c2.1=ε0μ0c2.

La velocidad de la onda electromagnética en el espacio libre viene dada, por tanto, en función de la permeabilidad y permeabilidad del espacio libre por

c=1ε0μ0.c=1ε0μ0.
16.22

También podríamos haber supuesto una onda electromagnética con componentes de campo Ez(x,t)Ez(x,t) y By(x,t)By(x,t). El mismo tipo de análisis con la Ecuación 16.25 y la Ecuación 16.24 también mostraría que la velocidad de una onda electromagnética es c=1/ε0μ0c=1/ε0μ0.

En 1873 Maxwell formuló la física de los campos electromagnéticos viajeros. Demostró de forma más general que nuestra derivación que las ondas electromagnéticas siempre viajan en el espacio libre con una velocidad dada por la Ecuación 16.18. Si evaluamos la velocidad c=1ε0μ0,c=1ε0μ0, hallamos que

c=1(8,85×10−12C2N·m2)(4π×10−7T·mA)=3,00×108m/s,c=1(8,85×10−12C2N·m2)(4π×10−7T·mA)=3,00×108m/s,

que es la velocidad de la luz. ¡Imagine la emoción que debió sentir Maxwell cuando descubrió esta ecuación! Había encontrado una conexión fundamental entre dos fenómenos aparentemente no relacionados: los campos electromagnéticos y la luz.

Compruebe Lo Aprendido 16.3

La ecuación de onda se obtuvo (1) encontrando el campo E producido por el campo B cambiante, (2) encontrando el campo B producido por el campo E cambiante, y combinando los dos resultados. ¿Cuál de las ecuaciones de Maxwell fue la base del paso (1) y cuál del paso (2)?

Cómo se relacionan los campos E y B

Hasta ahora, hemos visto que las tasas de cambio de los diferentes componentes de los campos E y B están relacionadas, que la onda electromagnética es transversal y que la onda se propaga a la velocidad c. A continuación mostramos lo que las ecuaciones de Maxwell implican sobre la relación de las magnitudes de los campos E y B y las direcciones relativas de los campos E y B.

Consideramos ahora las soluciones para la Ecuación 16.16 en forma de ondas planas para el campo eléctrico:

Ey(x,t)=E0cos(kxωt).Ey(x,t)=E0cos(kxωt).
16.23

Hemos tomado arbitrariamente que la onda viaja en la dirección +x y hemos elegido su fase de forma que la máxima intensidad de campo se produce en el origen en el tiempo t=0t=0. Está justificado que consideremos solo los senos y cosenos de esta manera, y que generalicemos los resultados, ya que el teorema de Fourier implica que podemos expresar cualquier onda, incluso funciones escalonadas cuadradas, como una superposición de senos y cosenos.

En un punto concreto del espacio, el campo E oscila sinusoidalmente con una frecuencia angular ωω entre +E0+E0 y E0,E0, y, del mismo modo, el campo B oscila entre +B0+B0 y B0.B0. La amplitud de la onda es el valor máximo de Ey(x,t).Ey(x,t). El periodo de oscilación T es el tiempo necesario para una oscilación completa. La frecuencia f es el número de oscilaciones completas por unidad de tiempo, y está relacionada con la frecuencia angular ωω por ω=2πfω=2πf. La longitud de onda λλ es la distancia recorrida por un ciclo completo de la onda, y el número de onda k es el número de longitudes de onda que caben en una distancia de 2π2π en las unidades utilizadas. Estas magnitudes están relacionadas de la misma manera que para una onda mecánica:

ω=2πf,f=1T,k=2πλ,yc=fλ=ω/k.ω=2πf,f=1T,k=2πλ,yc=fλ=ω/k.

Dado que la solución de EyEy tiene la forma mostrada en la Ecuación 16.20, necesitamos determinar el campo B que lo acompaña. A partir de la Ecuación 16.24, la componente del campo magnético BzBz debe obedecer

BZt=EyxBZt=xE0cos(kxωt)=kE0sen(kxωt).BZt=EyxBZt=xE0cos(kxωt)=kE0sen(kxωt).
16.24

Como la solución para el patrón de campo B de la onda se propaga en la dirección +x a la misma velocidad c que el patrón de campo E, debe ser una función de k(xct)=kxωtk(xct)=kxωt. Por lo tanto, concluimos de la Ecuación 16.21 que BzBz es

Bz(x,t)=kωE0cos(kxωt)=1cE0cos(kxωt).Bz(x,t)=kωE0cos(kxωt)=1cE0cos(kxωt).

Estos resultados pueden escribirse como

Ey(x,t)=E0cos(kxωt)Bz(x,t)=B0cos(kxωt)Ey(x,t)=E0cos(kxωt)Bz(x,t)=B0cos(kxωt)
16.25
EyBz=E0B0=c.EyBz=E0B0=c.
16.26

Por lo tanto, los picos de los campos E y B coinciden, al igual que los valles de la onda, y en cada punto, los campos E y B están en la misma proporción igual a la velocidad de la luz c. La onda plana tiene la forma mostrada en la Figura 16.8.

La figura muestra la dirección x positiva como dirección de propagación. La dirección y positiva se denomina campo eléctrico y la dirección z positiva se denomina campo magnético. Una onda sinusoidal en el plano xy está marcada como E. Las flechas del campo eléctrico tienen sus bases en el eje x y sus puntas en la onda E. Otra onda sinusoidal marcada como B está en el plano xz. Las flechas del campo magnético tienen sus bases en el eje x y sus puntas en la onda B. Las ondas E y B tienen la misma longitud de onda y están en fase entre sí.
Figura 16.8 La solución de onda plana de las ecuaciones de Maxwell tiene el campo B directamente proporcional al campo E en cada punto, con las direcciones relativas mostradas.

Ejemplo 16.2

Calcular la intensidad del campo B en una onda electromagnética

¿Cuál es la intensidad máxima del campo B en una onda electromagnética que tiene una intensidad de campo Emáxima de 1.000 V/m?

Estrategia

Para calcular la intensidad del campo B, reordenamos la Ecuación 16.23 para resolver B, y se obtiene
B=Ec.B=Ec.

Solución

Nos dan E, y c es la velocidad de la luz. Introduciendo estos datos en la expresión de B se obtiene
B=1.000V/m3,00×108m/s=3,33×10−6T.B=1.000V/m3,00×108m/s=3,33×10−6T.

Importancia

La intensidad del campo B es menos de una décima parte del campo magnético de la Tierra, que es ciertamente débil. Esto significa que un campo eléctrico relativamente fuerte de 1.000 V/m va acompañado de un campo magnético relativamente débil.

Los campos eléctricos cambiantes crean campos magnéticos relativamente débiles. Sin embargo, los campos eléctricos y magnéticos combinados pueden detectarse en las ondas electromagnéticas, aprovechando el fenómeno de la resonancia, como hizo Hertz. Un sistema con la misma frecuencia natural que la onda electromagnética puede hacerse oscilar. Todos los receptores de radio y televisión utilizan este principio para captar y luego amplificar las ondas electromagnéticas débiles, al tiempo que rechazan todas las demás que no están en su frecuencia de resonancia.

Compruebe Lo Aprendido 16.4

¿A qué conclusiones nos ha llevado nuestro análisis de las ecuaciones de Maxwell sobre estas propiedades de una onda electromagnética plana:
(a) las direcciones relativas de propagación de la onda, del campo E y del campo B;
(b) la velocidad de desplazamiento de la onda y cómo la velocidad depende de la frecuencia; y
(c) las magnitudes relativas de los campos E y B.

Producción y detección de ondas electromagnéticas

Una corriente eléctrica constante produce un campo magnético que es constante en el tiempo y que no se propaga como una onda. Sin embargo, las cargas que se aceleran producen ondas electromagnéticas. Una carga eléctrica que oscila hacia arriba y hacia abajo, o una corriente o flujo de carga alterna en un conductor, emiten radiación en las frecuencias de sus oscilaciones. El campo electromagnético de una antena dipolar se muestra en la Figura 16.9. Las cargas positivas y negativas de los dos conductores se hacen invertir a la frecuencia deseada mediante la salida de un transmisor como fuente de energía. La corriente, que cambia continuamente, acelera la carga en la antena, lo que da lugar a un campo eléctrico oscilante que se aleja de la antena. Los campos eléctricos cambiantes producen campos magnéticos cambiantes que, a su vez, producen campos eléctricos cambiantes, que se propagan como ondas electromagnéticas. La frecuencia de esta radiación es la misma que la de la fuente deac que acelera los electrones en la antena. Los dos elementos conductores de la antena dipolar suelen ser alambres rectos. La longitud total de los dos alambres suele ser aproximadamente la mitad de la longitud de onda deseada (de ahí el nombre alternativo antena de media onda), ya que esto permite establecer ondas estacionarias y mejora la eficacia de la radiación.

La figura muestra los terminales positivo y negativo en el centro. Alrededor de este, a ambos lados, hay bucles de campo eléctrico marcados como E. Las líneas de campo magnético B se muestran como puntos y cruces. Las flechas marcadas con C irradian hacia el exterior.
Figura 16.9 El movimiento oscilante de las cargas en una antena dipolar produce radiación electromagnética.

Se muestran las líneas de campo eléctrico en un plano. El campo magnético es perpendicular a este plano. Este campo de radiación tiene una simetría cilíndrica alrededor del eje del dipolo. No se muestran las líneas de campo cercanas al dipolo. El patrón no es en absoluto uniforme en todas las direcciones. La señal más fuerte se produce en direcciones perpendiculares al eje de la antena, que sería horizontal si la antena está montada verticalmente. La intensidad es cero a lo largo del eje de la antena. Los campos detectados lejos de la antena proceden de los campos eléctricos y magnéticos cambiantes que se inducen mutuamente y viajan como ondas electromagnéticas. Lejos de la antena, los frentes de onda, o superficies de igual fase para la onda electromagnética, son casi esféricos. Incluso más lejos de la antena, la radiación se propaga como ondas electromagnéticas planas.

Las ondas electromagnéticas transportan energía alejándose de su fuente, de forma similar a como una onda de sonido se aleja de una onda estacionaria en una cuerda de guitarra. Una antena de recepción de señales electromagnéticas funciona a la inversa. Las ondas electromagnéticas entrantes inducen corrientes oscilantes en la antena, cada una a su propia frecuencia. El receptor de radio incluye un circuito sintonizador, cuya frecuencia de resonancia puede ajustarse. El sintonizador reacciona intensamente a la frecuencia deseada pero no a otras, lo que permite al usuario sintonizar la emisora deseada. Los componentes eléctricos amplifican la señal formada por los electrones en movimiento. A continuación, la señal se convierte en un formato de audio o video.

Interactivo

Utilice esta simulación para emitir ondas de radio. Mueva el electrón del transmisor manualmente o haga que oscile automáticamente. Muestre el campo como una curva o vectores. El gráfico de bandas muestra las posiciones de los electrones en el emisor y en el receptor.

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