16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas

Corrección de Maxwell a las leyes de la electricidad y el magnetismo

Las cuatro leyes básicas de la electricidad y el magnetismo se habían descubierto experimentalmente gracias a los trabajos de físicos como Oersted, Coulomb, Gauss y Faraday. Maxwell descubrió inconsistencias lógicas en estos resultados anteriores e identificó el carácter incompleto de la ley de Ampère como su causa.

Recordemos que según la ley de Ampère, la integral del campo magnético alrededor de un bucle cerrado C es proporcional a la corriente I que pasa por cualquier superficie cuyo límite sea el propio bucle C:

Hay infinitas superficies que se pueden unir a cualquier bucle, y la ley de Ampère que aparece en la Ecuación 16.1 es independiente de la elección de la superficie.

Considere el montaje en la Figura 16.3. Una fuente de emf se conecta bruscamente a través de un condensador de placas paralelas de manera que se desarrolla una corriente I dependiente del tiempo en el cable. Supongamos que aplicamos la ley de Ampère al bucle C mostrado en un momento anterior a la carga completa del condensador, de forma que $I\ne 0$. La superficie $S_1$ da un valor diferente de cero para la corriente encerrada I, mientras que la superficie $S_2$ da cero para la corriente encerrada porque no pasa ninguna corriente a través de ella:

Está claro que la ley de Ampère en su forma habitual no funciona aquí. Esto no es sorprendente, ya que la ley de Ampère aplicada en capítulos anteriores requería una corriente constante, mientras que la corriente en este experimento cambia con el tiempo y no es constante en absoluto.

Figura 16.3 Las corrientes a través de la superficie $S_1$ y superficie $S_2$ son desiguales, a pesar de tener el mismo bucle límite C.

¿Cómo se puede modificar la ley de Ampère para que funcione en todas las situaciones? Maxwell sugirió incluir una contribución adicional, llamada corriente de desplazamiento $I_{\text{d}}$, a la corriente real I,

donde la corriente de desplazamiento se define como

Aquí ${\epsilon }_0$ es la permitividad del espacio libre y ${\text{Φ}}_{\text{E}}$ es el flujo eléctrico, definido como

La corriente de desplazamiento es análoga a una corriente real en la ley de Ampère, entrando en la ley de Ampère de la misma manera. Sin embargo, se produce por un campo eléctrico cambiante. Contabilice un campo eléctrico cambiante que produce un campo magnético, al igual que una corriente real, pero la corriente de desplazamiento puede producir un campo magnético incluso cuando no hay corriente real. Cuando se incluye este término extra, la ecuación de la ley de Ampère modificada se convierte en

y es independiente de la superficie S a través de la cual se mide la corriente I.

Ahora podemos examinar esta versión modificada de la ley de Ampère para confirmar que se mantiene independientemente de si la superficie $S_1$ o se elige la superficie $S_2$ en la Figura 16.3. El campo eléctrico $\overrightarrow{E}$ correspondiente al flujo ${\text{Φ}}_E$ en la Ecuación 16.3 está entre las placas del condensador. Por lo tanto, el $\overrightarrow{E}$ campo y la corriente de desplazamiento a través de la superficie $S_1$ son ambos cero, y la Ecuación 16.2 toma la forma

Ahora debemos demostrar que para la superficie $S_2,$ por la que no circula ninguna corriente real, la corriente de desplazamiento conduce al mismo valor ${\mu }_{0}I$ para el lado derecho de la ecuación de la ley de Ampère. Para la superficie $S_2,$ la ecuación se convierte en

La ley de Gauss para la carga eléctrica requiere una superficie cerrada y no puede aplicarse normalmente a una superficie como $S_1$ sola o la $S_2$ sola. Pero las dos superficies $S_1$ y $S_2$ forman una superficie cerrada en la Figura 16.3 y pueden utilizarse en la ley de Gauss. Como el campo eléctrico es cero en $S_1$, la contribución de flujo a través de la $S_1$ es cero. Esto nos da

Por lo tanto, podemos sustituir la integral sobre la $S_2$ en la Ecuación 16.5 con la superficie gaussiana encerrada $S_1+S_2$ y aplicar la ley de Gauss para obtener

Así, la ecuación de la ley de Ampère modificada es la misma utilizando la superficie $S_2,$ donde el lado derecho resulta de la corriente de desplazamiento, al igual que para la superficie $S_1,$ donde la contribución proviene del flujo real de carga eléctrica.

Ecuaciones de Maxwell

Con la corrección de la corriente de desplazamiento, las ecuaciones de Maxwell toman la forma

Una vez calculados los campos mediante estas cuatro ecuaciones, la ecuación de fuerza de Lorentz

da la fuerza que los campos ejercen sobre una partícula con carga q que se mueve con velocidad $\overrightarrow{v}$. La ecuación de fuerza de Lorentz combina la fuerza del campo eléctrico y del campo magnético sobre la carga en movimiento. Las fuerzas magnéticas y eléctricas se han examinado en módulos anteriores. Estas cuatro ecuaciones de Maxwell son, respectivamente,

Las ecuaciones de Maxwell y la ley de la fuerza de Lorentz abarcan conjuntamente todas las leyes de la electricidad y el magnetismo. La simetría que Maxwell introdujo en su marco matemático puede que no sea inmediatamente evidente. La ley de Faraday describe cómo los campos magnéticos cambiantes producen campos eléctricos. La corriente de desplazamiento introducida por Maxwell resulta, en cambio, de un campo eléctrico cambiante y da cuenta de que un campo eléctrico cambiante produce un campo magnético. Las ecuaciones para los efectos de los cambios en los campos eléctricos y en los campos magnéticos solo difieren en su forma cuando la ausencia de monopolos magnéticos hace que falten términos. Esta simetría entre los efectos del cambio de los campos magnéticos y eléctricos es esencial para explicar la naturaleza de las ondas electromagnéticas.

La aplicación posterior de la teoría de la relatividad de Einstein a la teoría completa y simétrica de Maxwell demostró que las fuerzas eléctricas y magnéticas no están separadas, sino que son manifestaciones diferentes de la misma cosa: la fuerza electromagnética. La fuerza electromagnética y la fuerza nuclear débil están unificadas de forma similar a la fuerza electrodébil. Esta unificación de fuerzas ha sido una de las motivaciones de los intentos de unificar las cuatro fuerzas básicas de la naturaleza: la gravitatoria, la eléctrica, la fuerte y la nuclear débil (vea la sección Física de partículas y cosmología).

El mecanismo de propagación de las ondas electromagnéticas

Para ver cómo la simetría introducida por Maxwell explica la existencia de ondas eléctricas y magnéticas combinadas que se propagan por el espacio, imagine un campo magnético que varía en el tiempo ${\overrightarrow{B}}_0\left(t\right)$ producido por la corriente alterna de alta frecuencia que se ve en la Figura 16.4. Representamos ${\overrightarrow{B}}_0\left(t\right)$ en el diagrama por una de sus líneas de campo. Según la ley de Faraday, el campo magnético cambiante a través de una superficie induce un campo eléctrico variable en el tiempo ${\overrightarrow{E}}_0\left(t\right)$ en el límite de esa superficie. La fuente de corriente de desplazamiento para el campo eléctrico, al igual que la fuente de la ley de Faraday para el campo magnético, solo produce bucles cerrados de líneas de campo, debido a la simetría matemática implicada en las ecuaciones para los campos eléctrico y magnético inducidos. Se muestra una representación de la línea de campo de ${\overrightarrow{E}}_0\left(t\right)$. A su vez, el campo eléctrico cambiante ${\overrightarrow{E}}_0\left(t\right)$ crea un campo magnético ${\overrightarrow{B}}_1\left(t\right)$ según la ley de Ampère modificada. Este campo cambiante induce ${\overrightarrow{E}}_1\left(t\right),$ que induce ${\overrightarrow{B}}_2\left(t\right),$ y así sucesivamente. Tenemos entonces un proceso autocontinuado que lleva a la creación de campos eléctricos y magnéticos que varían en el tiempo en regiones cada vez más alejadas de O. Este proceso puede visualizarse como la propagación de una onda electromagnética a través del espacio.

Figura 16.4 Cómo los campos cambiantes $\overrightarrow{E}$ y $\overrightarrow{B}$ se propagan por el espacio.

En la siguiente sección, mostramos en términos matemáticos más precisos cómo las ecuaciones de Maxwell conducen a la predicción de ondas electromagnéticas que pueden viajar por el espacio sin un medio material, lo que implica una velocidad de las ondas electromagnéticas igual a la velocidad de la luz.

Antes de los trabajos de Maxwell, los experimentos ya indicaban que la luz era un fenómeno ondulatorio, aunque la naturaleza de las ondas era aún desconocida. En 1801, Thomas Young (1773-1829) demostró que cuando se separaba un haz de luz por dos rendijas estrechas y luego se recombinaba, se formaba un patrón compuesto por franjas brillantes y oscuras en una pantalla. Young explicó este comportamiento suponiendo que la luz estaba compuesta por ondas que se sumaban constructivamente en algunos puntos y destructivamente en otros (vea Interferencia). Posteriormente, Jean Foucault (1819-1868), con sus mediciones de la velocidad de la luz en diversos medios, y Augustin Fresnel (1788-1827), con sus detallados experimentos de interferencia y difracción de la luz, aportaron nuevas pruebas concluyentes de que la luz era una onda. De esa manera, se sabía que la luz era una onda, y Maxwell había predicho la existencia de ondas electromagnéticas que viajaban a la velocidad de la luz. La conclusión parecía ineludible: La luz debe ser una forma de radiación electromagnética. Pero la teoría de Maxwell demostró que otras longitudes de onda y frecuencias distintas a las de la luz eran posibles para las ondas electromagnéticas. Demostró que la radiación electromagnética con las mismas propiedades fundamentales que la luz visible debería existir a cualquier frecuencia. Queda pendiente que otros comprueben y confirmen esta predicción.

Observaciones de Hertz

El físico alemán Heinrich Hertz (1857-1894) fue el primero en generar y detectar ciertos tipos de ondas electromagnéticas en el laboratorio. A partir de 1887, realizó una serie de experimentos que no solo confirmaron la existencia de las ondas electromagnéticas, sino que también verificaron que viajan a la velocidad de la luz.

Hertz utilizó un circuito RLC (resistor-inductor-condensador) de corriente alterna que resuena a una frecuencia conocida $f_0=\frac{1}{2\text{π}\sqrt{LC}}$ y lo conectó a un bucle de cable, como se muestra en la Figura 16.5. Los altos voltajes inducidos a través del hueco del bucle producían chispas que eran una prueba visible de la corriente en el circuito y ayudaban a generar ondas electromagnéticas.

Al otro lado del laboratorio, Hertz colocó otro bucle unido a otro circuito RLC, que podía sintonizarse (como el dial de una radio) a la misma frecuencia de resonancia que la primera y, por tanto, podía hacerse que recibiera ondas electromagnéticas. Este bucle también tenía un espacio a través del cual se generaban chispas, lo que daba pruebas sólidas de que se habían recibido ondas electromagnéticas.

Figura 16.5 El aparato utilizado por Hertz en 1887 para generar y detectar ondas electromagnéticas.

Hertz también estudió los patrones de reflexión, refracción e interferencia de las ondas electromagnéticas que generó, confirmando su carácter ondulatorio. Pudo determinar las longitudes de onda a partir de los patrones de interferencia, y conociendo sus frecuencias, pudo calcular la velocidad de propagación mediante la ecuación $v=f\lambda$, donde v es la velocidad de una onda, f es su frecuencia y $\lambda$ es su longitud de onda. Hertz pudo así demostrar que las ondas electromagnéticas viajan a la velocidad de la luz. La unidad del SI para la frecuencia, el hercio ($1\text{Hz}=1\text{ciclo/s}$), se llama así en su honor.