William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Problemas De Desafío

Un péndulo está formado por una varilla de longitud L y masa insignificante, pero con capacidad de dilatación térmica y un peso de tamaño insignificante. (a) Demuestre que cuando la temperatura aumenta en dT, el periodo del péndulo aumenta en una fracción $α L d T / 2$ . (b) Un reloj controlado por un péndulo de latón mantiene la hora correctamente a $10 ° C$ . Si la temperatura ambiente es $30 ° C$ , ¿el reloj va más rápido o más lento? ¿Cuál es su error en segundos por día?

124.

A temperaturas de unos cientos de kelvins, la capacidad de calor específico del cobre sigue aproximadamente la fórmula empírica $c = α + β T + δ T^{−2},$ donde $α = 349 J/kg \cdot K,$ $β = 0,107 J/kg \cdot K^{2},$ y $δ = 4,58 \times 10^{5} J \cdot kg \cdot K .$ ¿Cuánto calor se necesita para elevar la temperatura de una pieza de cobre de 2,00 kg de $20 ° C$ a $250 ° C$ ?

125.

En un calorímetro de capacidad calorífica insignificante, 200 g de vapor de agua a $150 ° C$ y 100 g de hielo a $−40 ° C$ están mezclados. La presión se mantiene en 1 atm. ¿Cuál es la temperatura final y qué cantidad de vapor de agua, hielo y agua hay?

126.

Un astronauta que realiza una actividad fuera del vehículo (paseo espacial) a la sombra del Sol lleva un traje espacial que puede aproximarse como perfectamente blanco $(e = 0)$ excepto un parche de $5 cm \times 8 cm$ con la forma de la bandera nacional del astronauta. El parche tiene una emisividad de 0,300. El traje espacial debajo del parche tiene un grosor de 0,500 cm, con una conductividad térmica $k = 0,0600 W/m ° C$ , y su superficie interior está a una temperatura de $20,0 ° C$ . ¿Cuál es la temperatura del parche y cuál es la tasa de pérdida de calor a través de él? Suponga que el parche es tan fino que su superficie exterior está a la misma temperatura que la superficie exterior del traje espacial que tiene debajo. Asuma también que la temperatura del espacio exterior es de 0 K. Obtendrá una ecuación muy difícil de resolver en forma cerrada, por lo que puede resolverla numéricamente con una calculadora gráfica, con un software o incluso por ensayo y error con una calculadora.

127.

Calcule el crecimiento de una capa de hielo como una función de tiempo en un frasco de Dewar como se ve en el Ejercicio 1.120. Llame al espesor de la capa de hielo L. (a) Derive una ecuación para dL/dt en términos de L, la temperatura T sobre el hielo y las propiedades del hielo (que puede dejar en forma simbólica en vez de sustituir los números). (b) Despeje esta ecuación diferencial suponiendo que en $t = 0$ , tiene $L = 0 .$ Si ha estudiado ecuaciones diferenciales, entonces conoce una técnica para despejar ecuaciones de este tipo: manipular la ecuación para obtener dL/dt multiplicado por una función (muy simple) de L en un lado e integrar ambos lados con respecto al tiempo. Como alternativa, puede usar sus conocimientos sobre las derivadas de varias funciones para estimar la solución, que tiene una dependencia simple de t. (c) ¿Finalmente se congelará el agua en el fondo del termo?

128.

Como primer rudimento de la climatología, estime la temperatura de la Tierra. Suponga que es una esfera perfecta y que su temperatura es uniforme. Ignore el efecto invernadero. La radiación térmica del Sol tiene una intensidad (la “constante solar” S) de aproximadamente $1.370 {W/m}^{2}$ en el radio de la órbita de la Tierra. (a) Suponiendo que los rayos del Sol son paralelos, ¿por qué área debe multiplicarse S para obtener la radiación total interceptada por la Tierra? Lo más fácil será responder en términos del radio de la Tierra, R. (b) Suponga que la Tierra refleja el 30 % de la energía solar que intercepta aproximadamente. En otras palabras, la Tierra tiene un albedo con un valor de $A = 0,3$ . En términos de S, A y R, ¿cuál es la tasa a la que la Tierra absorbe energía del Sol? (c) Halle la temperatura a la que la Tierra irradia energía a la misma tasa. Suponga que en las longitudes de onda infrarrojas en las que irradia la emisividad e es 1. ¿Su resultado muestra que el efecto invernadero es importante? (d) ¿Cómo depende su respuesta del área de la Tierra?

129.

Vamos a dejar de ignorar el efecto invernadero e incorporémoslo al problema anterior de forma muy aproximada. Suponga que la atmósfera es una sola capa, una cáscara esférica alrededor de la Tierra, con una emisividad $e = 0,77$ (elegido simplemente para dar la respuesta correcta) en las longitudes de onda infrarrojas emitidas por la Tierra y por la atmósfera. Sin embargo, la atmósfera es transparente a la radiación del Sol (es decir, se supone que la radiación es en longitudes de onda visibles sin infrarrojas), por lo que la radiación del Sol llega a la superficie. El efecto invernadero proviene de la diferencia entre la transmisión de la luz visible por parte de la atmósfera y su absorción bastante fuerte de infrarrojos. Note que el radio de la atmósfera no es significativamente diferente del de la Tierra, pero como la atmósfera es una capa por encima de la Tierra, emite radiación tanto hacia arriba como hacia abajo, por lo que tiene el doble de superficie que la Tierra. En este problema hay tres transferencias de energía de radiación: la solar absorbida por la superficie de la Tierra; la infrarroja de la superficie, que es absorbida por la atmósfera según su emisividad; y la infrarroja de la atmósfera, la mitad de la cual es absorbida por la Tierra y la otra mitad sale al espacio. Aplique el método del problema anterior para obtener una ecuación para la superficie de la Tierra y otra para la atmósfera, y despéjelas para las dos temperaturas desconocidas, superficie y atmósfera.

En términos del radio de la Tierra, la constante $σ$ y la temperatura desconocida $T_{s}$ de la superficie, ¿cuál es la potencia de la radiación infrarroja de la superficie?
¿Cuál es la potencia de la radiación terrestre que la atmósfera absorbe?
En cuanto a la temperatura desconocida $T_{e}$ de la atmósfera, ¿cuál es la potencia radiada por la atmósfera?
Escriba una ecuación que diga que la potencia de la radiación que la atmósfera absorbe de la Tierra es igual a la potencia de la radiación que emite.
La mitad de la potencia radiada por la atmósfera llega a la Tierra. Escriba una ecuación que diga que la potencia que la Tierra absorbe de la atmósfera y del Sol es igual a la energía que emite.
Despeje sus dos ecuaciones para la temperatura desconocida de la Tierra.