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Física Universitaria Volumen 2

15.4 Potencia en un circuito de ac

Física Universitaria Volumen 215.4 Potencia en un circuito de ac
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:
  • Describir cómo la potencia media de un circuito de ac puede escribirse en términos de corriente y voltaje pico y de voltaje y corriente rms.
  • Determinar la relación entre el ángulo de fase de la corriente y el voltaje y la potencia media, conocida como factor de potencia.

Un elemento del circuito disipa o produce energía según P=IV,P=IV, donde I es la corriente que atraviesa el elemento y V es el voltaje a través de él. Como la corriente y el voltaje dependen del tiempo en un circuito de ac, la potencia instantánea p(t)=i(t)v(t)p(t)=i(t)v(t) también depende del tiempo. En la Figura 15.16 se muestra un gráfico de p(t) para varios elementos del circuito. Para un resistor, i(t) y v(t) están en fase y, por tanto, tienen siempre el mismo signo (vea la Figura 15.5). Para un condensador o un inductor, los signos relativos de i(t) y v(t) varían a lo largo de un ciclo debido a sus diferencias de fase (vea la Figura 15.7 y la Figura 15.9). En consecuencia, p(t) es positivo en algunos momentos y negativo en otros, lo que indica que los elementos capacitivos e inductivos producen energía en algunos instantes y la absorben en otros.

Las figuras de la a a la d muestran las ondas sinusoidales en los gráficos de P versus t. Todos tienen la misma amplitud y frecuencia. La figura a está marcada como resistor. La barra P es igual a la mitad de I0 V0. La onda sinusoidal está por encima del eje de las x, siendo 0 el valor mínimo de la y. Comienza en un valle. La figura b está marcada como condensador. La barra P es igual a 0. La posición de equilibrio de la onda sinusoidal está en el eje x. Comienza en equilibrio con una pendiente positiva. La figura c está marcada como inductor. La barra P es igual a 0. La posición de equilibrio de la onda sinusoidal está en el eje x. Comienza en el equilibrio con una pendiente negativa. La figura d está marcada como fuente de ac. La barra P es igual a la mitad de I0 V0 cos de phi. La posición de equilibrio de la onda sinusoidal está por encima del eje de las x, y su valor mínimo en el eje y es negativo.
Figura 15.16 Gráfico de la potencia instantánea para varios elementos del circuito. (a) Para el resistor, P ave = I 0 V 0 / 2 , P ave = I 0 V 0 / 2 , mientras que para (b) el condensador y (c) el inductor, P ave = 0 . P ave = 0 . (d) Para la fuente, P ave = I 0 V 0 ( cos ϕ ) / 2 , P ave = I 0 V 0 ( cos ϕ ) / 2 , que puede ser positiva, negativa o cero, según ϕ . ϕ .

Como la potencia instantánea varía tanto en magnitud como en signo a lo largo de un ciclo, rara vez tiene importancia práctica. Lo que nos preocupa casi siempre es la potencia promediada a lo largo del tiempo, a la que nos referimos como potencia media. Se define por la media temporal de la potencia instantánea durante un ciclo:

Pave=1T0Tp(t)dt,Pave=1T0Tp(t)dt,

donde T=2π/ωT=2π/ω es el periodo de las oscilaciones. Con las sustituciones v(t)=V0senωtv(t)=V0senωt y i(t)=I0sen(ωtϕ),i(t)=I0sen(ωtϕ), esta integral se convierte en

Pave=I0V0T0Tsen(ωtϕ)senωtdt.Pave=I0V0T0Tsen(ωtϕ)senωtdt.

Utilizando la relación trigonométrica sen(AB)=senAcosBsenBcosA,sen(AB)=senAcosBsenBcosA, obtenemos

Pave=I0V0cosϕT0Tsen2ωtdtI0V0senϕT0Tsenωtcosωtdt.Pave=I0V0cosϕT0Tsen2ωtdtI0V0senϕT0Tsenωtcosωtdt.

La evaluación de estas dos integrales da como resultado

1T0Tsen2ωtdt=121T0Tsen2ωtdt=12

y

1T0Tsenωtcosωtdt=0.1T0Tsenωtcosωtdt=0.

Por lo tanto, la potencia media asociada a un elemento del circuito viene dada por

Pave=12I0V0cosϕ.Pave=12I0V0cosϕ.
15.12

En aplicaciones de ingeniería, cosϕcosϕ se conoce como el factor de potencia, que es la cantidad en la que la potencia entregada en el circuito es inferior a la máxima teórica del circuito debido a que voltaje y la corriente están desfasadas. Para un resistor, ϕ=0,ϕ=0, por lo que la potencia media disipada es

Pave=12I0V0.Pave=12I0V0.

Una comparación de p(t) y PavePave se muestra en la Figura 15.16(d). Para hacer Pave=(1/2)I0V0Pave=(1/2)I0V0 se parece a su homólogo de corriente continua, utilizamos los valores rms IrmsyVrmsIrmsyVrms de la corriente y el voltaje. Por definición, se trata de

Irms=iave2yVrms=vave2,Irms=iave2yVrms=vave2,

donde

iave2=1T0Ti2(t)dtvave2=1T0Tv2(t)dt.iave2=1T0Ti2(t)dtvave2=1T0Tv2(t)dt.

Con i(t)=I0sen(ωtϕ)yv(t)=V0senωt,i(t)=I0sen(ωtϕ)yv(t)=V0senωt, obtenemos

Irms=12I0yVrms=12V0.Irms=12I0yVrms=12V0.

Podemos entonces escribir para la potencia media disipada por un resistor,

Pave=12I0V0=IrmsVrms=Irms2R.Pave=12I0V0=IrmsVrms=Irms2R.
15.13

Esta ecuación subraya incluso más por qué se elige el valor cuadrático medio (rms) en la discusión en vez de los valores máximos. Ambas ecuaciones para la potencia media son correctas para la Ecuación 15.13, pero los valores rms en la fórmula dan una representación más limpia, por lo que el factor extra de 1/2 no es necesario.

Los voltajes y corrientes alternas suelen describirse en términos de sus valores cuadráticos medios. Por ejemplo, los 110 V de una toma de corriente doméstica son un valor cuadrático medio. La amplitud de esta fuente es 1102V=156 V.1102V=156 V. Dado que la mayoría de los medidores de ac están calibrados en términos de valores cuadráticos medios, un típico voltímetro de ac colocado en una toma de corriente doméstica leerá 110 V.

Para un condensador y un inductor, ϕ=π/2yπ/2rad,ϕ=π/2yπ/2rad, respectivamente. Dado que cosπ/2=cos(π/2)=0,cosπ/2=cos(π/2)=0, hallamos en la Ecuación 15.12 que la potencia media disipada por cualquiera de estos elementos es Pave=0.Pave=0. Los condensadores e inductores absorben energía del circuito durante un semiciclo y la descargan de nuevo al circuito durante el otro semiciclo. Este comportamiento se ilustra en los gráficos de la Figura 15.16, (b) y (c), que muestran que p(t) oscila sinusoidalmente alrededor de cero.

El ángulo de fase de un generador de ac puede tener cualquier valor. Si cosϕ>0,cosϕ>0, el generador produce energía; si cosϕ<0,cosϕ<0, absorbe la energía. En términos de valores cuadráticos medios, la potencia media de un generador de ac se escribe como

Pave=IrmsVrmscosϕ.Pave=IrmsVrmscosϕ.

Para el generador en un circuito RLC,

tanϕ=XLXCRtanϕ=XLXCR

y

cosϕ=RR2+(XLXC)2=RZ.cosϕ=RR2+(XLXC)2=RZ.

Por lo tanto, la potencia media del generador es

Pave=IrmsVrmscosϕ=VrmsZVrmsRZ=Vrms2RZ2.Pave=IrmsVrmscosϕ=VrmsZVrmsRZ=Vrms2RZ2.
15.14

Esto también puede escribirse como

Pave=Irms2R,Pave=Irms2R,

lo que indica que la potencia producida por el generador se disipa en el resistor. Como podemos ver, la ley de Ohm para el valor eficaz de la ac se obtiene dividiendo el voltaje rms entre la impedancia.

Ejemplo 15.3

Potencia de un generador

Un generador de ac cuya emf viene dada por
v(t)=(4,00V)sen[(1,00×104rad/s)t]v(t)=(4,00V)sen[(1,00×104rad/s)t]

se conecta a un circuito RLC para el que L=2,00×10−3HL=2,00×10−3H, C=4,00×10−6FC=4,00×10−6F, y R=5,00ΩR=5,00Ω. (a) ¿Cuál es voltaje rms en el generador? (b) ¿Cuál es la impedancia del circuito? (c) ¿Cuál es la potencia media de salida del generador?

Estrategia

El voltaje rms es la amplitud del voltaje por 1/21/2. La impedancia del circuito implica la resistencia y las reactancias del condensador y del inductor. La potencia media se calcula mediante la Ecuación 15.14, o más concretamente, la última parte de la ecuación, ya que tenemos la impedancia del circuito Z, el voltaje rms VrmsVrms, y la resistencia R.

Solución

  1. Dado que V0=4,00V,V0=4,00V, el voltaje rms en el generador es
    Vrms=12(4,00V)=2,83V.Vrms=12(4,00V)=2,83V.
  2. La impedancia del circuito es
    Z=R2+(XLXC)2={(5,00Ω)2+[(1,00×104rad/s)(2,00×10−3H)1(1,00×104rad/s)(4,00×10−6F)]2}1/2=7,07Ω.Z=R2+(XLXC)2={(5,00Ω)2+[(1,00×104rad/s)(2,00×10−3H)1(1,00×104rad/s)(4,00×10−6F)]2}1/2=7,07Ω.
  3. A partir de la Ecuación 15.14, la potencia media transferida al circuito es
    Pave=Vrms2RZ2=(2,83V)2(5,00Ω)(7,07Ω)2=0,801W.Pave=Vrms2RZ2=(2,83V)2(5,00Ω)(7,07Ω)2=0,801W.

Importancia

Si la resistencia es mucho mayor que la reactancia del condensador o del inductor, la potencia media es una ecuación del circuito de corriente continua de P=V2/R,P=V2/R, donde V sustituye al voltaje rms

Compruebe Lo Aprendido 15.4

Un voltímetro de ac conectado a los terminales de un generador de ac de 45 Hz marca 7,07 V. Escriba una expresión para la emf del generador.

Compruebe Lo Aprendido 15.5

Demuestre que los voltaje rms a través de un resistor, un condensador y un inductor en un circuito de ac en el que la corriente rms es IrmsIrms vienen dadas por IrmsR,IrmsXC,yIrmsXL,IrmsR,IrmsXC,yIrmsXL, respectivamente. Determine estos valores para los componentes del circuito RLC de Ecuación 15.12.

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