William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Describir cómo la potencia media de un circuito de ac puede escribirse en términos de corriente y voltaje pico y de voltaje y corriente rms.
Determinar la relación entre el ángulo de fase de la corriente y el voltaje y la potencia media, conocida como factor de potencia.

Un elemento del circuito disipa o produce energía según $P = I V,$ donde I es la corriente que atraviesa el elemento y V es el voltaje a través de él. Como la corriente y el voltaje dependen del tiempo en un circuito de ac, la potencia instantánea $p (t) = i (t) v (t)$ también depende del tiempo. En la Figura 15.16 se muestra un gráfico de p(t) para varios elementos del circuito. Para un resistor, i(t) y v(t) están en fase y, por tanto, tienen siempre el mismo signo (vea la Figura 15.5). Para un condensador o un inductor, los signos relativos de i(t) y v(t) varían a lo largo de un ciclo debido a sus diferencias de fase (vea la Figura 15.7 y la Figura 15.9). En consecuencia, p(t) es positivo en algunos momentos y negativo en otros, lo que indica que los elementos capacitivos e inductivos producen energía en algunos instantes y la absorben en otros.

Las figuras de la a a la d muestran las ondas sinusoidales en los gráficos de P versus t. Todos tienen la misma amplitud y frecuencia. La figura a está marcada como resistor. La barra P es igual a la mitad de I0 V0. La onda sinusoidal está por encima del eje de las x, siendo 0 el valor mínimo de la y. Comienza en un valle. La figura b está marcada como condensador. La barra P es igual a 0. La posición de equilibrio de la onda sinusoidal está en el eje x. Comienza en equilibrio con una pendiente positiva. La figura c está marcada como inductor. La barra P es igual a 0. La posición de equilibrio de la onda sinusoidal está en el eje x. Comienza en el equilibrio con una pendiente negativa. La figura d está marcada como fuente de ac. La barra P es igual a la mitad de I0 V0 cos de phi. La posición de equilibrio de la onda sinusoidal está por encima del eje de las x, y su valor mínimo en el eje y es negativo.

Figura 15.16 Gráfico de la potencia instantánea para varios elementos del circuito. (a) Para el resistor,

P_{ave} = I_{0} V_{0} / 2,

mientras que para (b) el condensador y (c) el inductor,

P_{ave} = 0 .

(d) Para la fuente,

P_{ave} = I_{0} V_{0} (cos ϕ) / 2,

que puede ser positiva, negativa o cero, según

ϕ .

Como la potencia instantánea varía tanto en magnitud como en signo a lo largo de un ciclo, rara vez tiene importancia práctica. Lo que nos preocupa casi siempre es la potencia promediada a lo largo del tiempo, a la que nos referimos como potencia media. Se define por la media temporal de la potencia instantánea durante un ciclo:

P_{ave} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} p (t) d t,

donde $T = 2 π / ω$ es el periodo de las oscilaciones. Con las sustituciones $v (t) = V_{0} sen ω t$ y $i (t) = I_{0} sen (ω t - ϕ),$ esta integral se convierte en

P_{ave} = \frac{I_{0} V_{0}}{T} \int_{0}^{T} sen (ω t - ϕ) sen ω t d t .

Utilizando la relación trigonométrica $sen (A - B) = sen A cos B - sen B cos A,$ obtenemos

P_{ave} = \frac{I_{0} V_{0} cos ϕ}{T} \int_{0}^{T} {sen}^{2} ω t d t - \frac{I_{0} V_{0} sen ϕ}{T} \int_{0}^{T} sen ω t cos ω t d t .

La evaluación de estas dos integrales da como resultado

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} {sen}^{2} ω t d t = \frac{1}{2}

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} sen ω t cos ω t d t = 0 .

Por lo tanto, la potencia media asociada a un elemento del circuito viene dada por

P_{ave} = \frac{1}{2} I_{0} V_{0} cos ϕ .

15.12

En aplicaciones de ingeniería, $cos ϕ$ se conoce como el factor de potencia, que es la cantidad en la que la potencia entregada en el circuito es inferior a la máxima teórica del circuito debido a que voltaje y la corriente están desfasadas. Para un resistor, $ϕ = 0,$ por lo que la potencia media disipada es

P_{ave} = \frac{1}{2} I_{0} V_{0} .

Una comparación de p(t) y $P_{ave}$ se muestra en la Figura 15.16(d). Para hacer $P_{ave} = (1 / 2) I_{0} V_{0}$ se parece a su homólogo de corriente continua, utilizamos los valores rms $I_{rms} y V_{rms}$ de la corriente y el voltaje. Por definición, se trata de

I_{rms} = \sqrt{i_{ave}^{2}} y V_{rms} = \sqrt{v_{ave}^{2}},

donde

i_{ave}^{2} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2} (t) d t y v_{ave}^{2} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v^{2} (t) d t .

Con $i (t) = I_{0} sen (ω t - ϕ) y v (t) = V_{0} sen ω t,$ obtenemos

I_{rms} = \frac{1}{\sqrt{2}} I_{0} y V_{rms} = \frac{1}{\sqrt{2}} V_{0} .

Podemos entonces escribir para la potencia media disipada por un resistor,

P_{ave} = \frac{1}{2} I_{0} V_{0} = I_{rms} V_{rms} = I_{rms}^{2} R .

15.13

Esta ecuación subraya incluso más por qué se elige el valor cuadrático medio (rms) en la discusión en vez de los valores máximos. Ambas ecuaciones para la potencia media son correctas para la Ecuación 15.13, pero los valores rms en la fórmula dan una representación más limpia, por lo que el factor extra de 1/2 no es necesario.

Los voltajes y corrientes alternas suelen describirse en términos de sus valores cuadráticos medios. Por ejemplo, los 110 V de una toma de corriente doméstica son un valor cuadrático medio. La amplitud de esta fuente es $110 \sqrt{2} V = 156 V .$ Dado que la mayoría de los medidores de ac están calibrados en términos de valores cuadráticos medios, un típico voltímetro de ac colocado en una toma de corriente doméstica leerá 110 V.

Para un condensador y un inductor, $ϕ = π / 2 y - π / 2 rad,$ respectivamente. Dado que $cos π / 2 = cos (− π / 2) = 0,$ hallamos en la Ecuación 15.12 que la potencia media disipada por cualquiera de estos elementos es $P_{ave} = 0 .$ Los condensadores e inductores absorben energía del circuito durante un semiciclo y la descargan de nuevo al circuito durante el otro semiciclo. Este comportamiento se ilustra en los gráficos de la Figura 15.16, (b) y (c), que muestran que p(t) oscila sinusoidalmente alrededor de cero.

El ángulo de fase de un generador de ac puede tener cualquier valor. Si $cos ϕ > 0,$ el generador produce energía; si $cos ϕ < 0,$ absorbe la energía. En términos de valores cuadráticos medios, la potencia media de un generador de ac se escribe como

P_{ave} = I_{rms} V_{rms} cos ϕ .

Para el generador en un circuito RLC,

tan ϕ = \frac{X_{L} - X_{C}}{R}

cos ϕ = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}}} = \frac{R}{Z} .

Por lo tanto, la potencia media del generador es

P_{ave} = I_{rms} V_{rms} cos ϕ = \frac{V_{rms}}{Z} V_{rms} \frac{R}{Z} = \frac{V_{rms}^{2} R}{Z^{2}} .

15.14

Esto también puede escribirse como

P_{ave} = I_{rms}^{2} R,

lo que indica que la potencia producida por el generador se disipa en el resistor. Como podemos ver, la ley de Ohm para el valor eficaz de la ac se obtiene dividiendo el voltaje rms entre la impedancia.

Ejemplo 15.3

Potencia de un generador

Un generador de ac cuya emf viene dada por

v (t) = (4,00 V) sen [(1,00 \times 10^{4} rad / s) t]

se conecta a un circuito RLC para el que $L = 2,00 \times 10^{−3} H$ , $C = 4,00 \times 10^{−6} F$ , y $R = 5,00 Ω$ . (a) ¿Cuál es voltaje rms en el generador? (b) ¿Cuál es la impedancia del circuito? (c) ¿Cuál es la potencia media de salida del generador?

Estrategia

El voltaje rms es la amplitud del voltaje por

1 / \sqrt{2}

. La impedancia del circuito implica la resistencia y las reactancias del condensador y del inductor. La potencia media se calcula mediante la Ecuación 15.14, o más concretamente, la última parte de la ecuación, ya que tenemos la impedancia del circuito Z, el voltaje rms

V_{rms}

, y la resistencia R.

Solución

Dado que $V_{0} = 4,00 V,$ el voltaje rms en el generador es
$V_{rms} = \frac{1}{\sqrt{2}} (4,00 V) = 2,83 V .$
La impedancia del circuito es
$\begin{matrix} Z & = \sqrt{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}} \\ = {{(5,00 Ω)}^{2} + {[(1,00 \times 10^{4} rad/s) (2,00 \times 10^{−3} H) - \frac{1}{(1,00 \times 10^{4} rad/s) (4,00 \times 10^{−6} F)}]}^{2}}^{1 / 2} \\ = 7,07 Ω . \end{matrix}$
A partir de la Ecuación 15.14, la potencia media transferida al circuito es
$P_{ave} = \frac{V_{rms}^{2} R}{Z^{2}} = \frac{{(2,83 V)}^{2} (5,00 Ω)}{{(7,07 Ω)}^{2}} = 0,801 W .$

Importancia

Si la resistencia es mucho mayor que la reactancia del condensador o del inductor, la potencia media es una ecuación del circuito de corriente continua de

P = V^{2} / R,

donde V sustituye al voltaje rms

Compruebe Lo Aprendido 15.4

Un voltímetro de ac conectado a los terminales de un generador de ac de 45 Hz marca 7,07 V. Escriba una expresión para la emf del generador.

Compruebe Lo Aprendido 15.5

Demuestre que los voltaje rms a través de un resistor, un condensador y un inductor en un circuito de ac en el que la corriente rms es $I_{rms}$ vienen dadas por $I_{rms} R, I_{rms} X_{C}, y I_{rms} X_{L},$ respectivamente. Determine estos valores para los componentes del circuito RLC de Ecuación 15.12.

15.4 Potencia en un circuito de ac

Potencia de un generador

Estrategia

Solución

Importancia