Objetivos de aprendizaje
- Interpretar diagramas fasoriales y aplicarlos a circuitos de ac con resistores, condensadores e inductores.
- Definir la reactancia para un resistor, un condensador y un inductor para ayudar a entender cómo se comporta la corriente en el circuito en comparación con cada uno de estos dispositivos.
En esta sección estudiamos modelos sencillos de fuentes de voltaje alterno conectadas a tres componentes del circuito: (1) un resistor, (2) un condensador y (3) un inductor. La potencia suministrada por una fuente de voltaje alterno tiene una emf dada por
como se muestra en la Figura 15.4. Esta función sinusoidal supone que empezamos a registrar el voltaje cuando es en un momento de Es posible que haya una constante de fase que desplace la función cuando empezamos a medir voltajes, similar a la constante de fase en las ondas que estudiamos en Ondas. Sin embargo, como somos libres de elegir cuándo empezamos a examinar el voltaje, podemos ignorar esta constante de fase por ahora. Podemos medir este voltaje a través de los componentes del circuito utilizando uno de los dos métodos: (1) un enfoque cuantitativo basado en nuestro conocimiento de los circuitos, o (2) un enfoque gráfico que se explica en las próximas secciones.
Resistor
En primer lugar, consideremos un resistor conectado a una fuente de voltaje alterno. A partir de la regla de las tensiones de Kirchhoff, el voltaje instantáneo a través del resistor de la Figura 15.5(a) es
y la corriente instantánea a través del resistor es
Aquí, es la amplitud de la corriente variable en el tiempo. Gráficos de y se muestran en la Figura 15.5(b). Ambas curvas alcanzan sus máximos y mínimos en los mismos momentos, es decir, la corriente que pasa y el voltaje que atraviesa el resistor están en fase.
Las representaciones gráficas de las relaciones de fase entre la corriente y el voltaje suelen ser útiles en el análisis de los circuitos de ac. Estas representaciones se denominan diagramas fasoriales. El diagrama fasorial de se muestra en la Figura 15.6(a), con la corriente en el eje vertical. La flecha (o fasor) gira en sentido contrario a las agujas del reloj con una frecuencia angular constante por lo que lo estamos viendo en un instante en el tiempo. Si la longitud de la flecha corresponde a la amplitud de la corriente la proyección de la flecha giratoria sobre el eje vertical es que es la corriente instantánea.
El eje vertical de un diagrama fasorial puede ser el voltaje o la corriente, según el fasor que se examine. Además, se pueden representar varias magnitudes en el mismo diagrama fasorial. Por ejemplo, tanto el actual y el voltaje se muestran en el diagrama de la Figura 15.6(b). Como tienen la misma frecuencia y están en fase, sus fasores apuntan en la misma dirección y giran juntos. Las longitudes relativas de los dos fasores son arbitrarias porque representan cantidades diferentes; sin embargo, la relación de las longitudes de los dos fasores puede representarse mediante la resistencia, ya que uno es un fasor de voltaje y el otro de corriente.
Condensador
Consideremos ahora un condensador conectado a una fuente de voltaje alterno. A partir de la regla de las tensiones de Kirchhoff, el voltaje instantáneo a través del condensador de la Figura 15.7(a) es
Recordemos que la carga de un condensador viene dada por Esto es cierto en cualquier momento medido en el ciclo de ac del voltaje. En consecuencia, la carga instantánea del condensador es
Dado que la corriente en el circuito es la velocidad a la que la carga entra (o sale) del condensador,
donde es la amplitud de la corriente. Utilizando la relación trigonométrica podemos expresar la corriente instantánea como
Dividiendo entre , obtenemos una ecuación que se parece a la ley de Ohm:
La cantidad es análoga a la resistencia en un circuito de corriente continua en el sentido de que ambas magnitudes son una relación entre un voltaje y una corriente. Por ello, tienen la misma unidad, el ohmio. Sin embargo, hay que tener en cuenta que un condensador almacena y descarga energía eléctrica, mientras que un resistor la disipa. La cantidad se conoce como la reactancia capacitiva del condensador, o la oposición de un condensador a un cambio de corriente. Depende de forma inversa de la frecuencia de la fuente de ac: una alta frecuencia conduce a una baja reactancia capacitiva.
Una comparación de las expresiones para y muestra que hay una diferencia de fase de entre ellos. Cuando estas dos cantidades se grafican juntas, la corriente alcanza un pico de un cuarto de ciclo (o ) por delante del voltaje, como se ilustra en la Figura 15.7(b). La corriente a través de un condensador conduce al voltaje a través de un condensador por o un cuarto de ciclo.
El diagrama fasorial correspondiente se muestra en la Figura 15.8. Aquí, la relación entre y se representa haciendo que sus fasores giren a la misma frecuencia angular, con el fasor de la corriente a la cabeza por
Hasta ahora, hemos utilizado exclusivamente los valores de pico de la corriente o el voltaje en nuestra discusión, es decir, y Sin embargo, si promediamos los valores de corriente o voltaje, estos valores son cero. Por lo tanto, a menudo utilizamos una segunda convención llamada valor cuadrático medio, o valor eficaz, en las discusiones sobre la corriente y el voltaje. El rms funciona a la inversa de la terminología. Primero, se eleva la función al cuadrado, después se toma la media y, por último, se halla la raíz cuadrada. Como resultado, los valores eficaces de la corriente y el voltaje no son cero. Los aparatos y dispositivos se citan habitualmente con valores rms para su funcionamiento, en lugar de valores de pico. Indicamos los valores rms con un subíndice unido a una letra mayúscula (como ).
Aunque un condensador es básicamente un circuito abierto, una corriente rms, o el valor cuadrático medio de la corriente, en un circuito con un voltaje alterno aplicado a un condensador. Considera que
donde es la corriente de pico en un sistema de ac. El voltaje rms, o valor cuadrático medio del voltaje, es
donde es el voltaje de pico en un sistema de ac. La corriente rms aparece porque el voltaje se invierte continuamente, cargando y descargando el condensador. Si la frecuencia llega a cero, lo que sería un voltaje continuo, tiende a infinito, y la corriente es cero una vez cargado el condensador. A frecuencias muy altas, la reactancia del condensador tiende a cero: tiene una reactancia despreciable y no impide la corriente (actúa como un simple cable).
Inductor
Por último, consideremos un inductor conectado a una fuente de voltaje alterno. A partir de la regla de las tensiones de Kirchhoff, el voltaje a través del inductor L de la Figura 15.9(a) es
La fuerza electromotriz a través de un inductor es igual a sin embargo, la diferencia de potencial a través del inductor es , ya que si consideramos que el voltaje alrededor del bucle debe ser igual a cero, el voltaje obtenido de la fuente de ac debe disiparse a través del inductor. Por lo tanto, conectando esto con la fuente de voltaje alterno, tenemos
El actual se encuentra integrando esta ecuación. Como el circuito no contiene una fuente de emf constante, no hay corriente constante en el circuito. Por lo tanto, podemos establecer la constante de integración, que representa la corriente constante en el circuito, igual a cero, y tenemos
donde La relación entre y también puede escribirse de forma análoga a la ley de Ohm:
La cantidad se conoce como la reactancia inductiva del inductor, o la oposición de un inductor a un cambio de corriente; su unidad es también el ohmio. Tenga en cuenta que varía directamente en función de la frecuencia de la fuente de ac: la alta frecuencia provoca una alta reactancia inductiva.
Una diferencia de fase de rad se produce entre la corriente que pasa y el voltaje a través del inductor. En la Ecuación 15.6 y la Ecuación 15.7, la corriente que atraviesa un inductor se retrasa con respecto a la diferencia de potencial en el mismo en o un cuarto de ciclo. El diagrama fasorial para este caso se muestra en la Figura 15.10.
Interactivo
Una animación de la Universidad de Nueva Gales del Sur Circuitos ac ilustra algunos de los conceptos que tratamos en este capítulo. También incluyen diagramas de ondas y fasoriales que evolucionan con el tiempo para que puedas hacerte una mejor idea de cómo cambia cada uno con el tiempo.
Ejemplo 15.1
Circuitos simples de ac
Un generador de ac produce una emf de amplitud 10 V a una frecuencia Determine los voltajes y las corrientes que atraviesan los elementos del circuito cuando el generador está conectado a (a) un resistor de , (b) un condensador de y (c) un inductor de 15 mH.Estrategia
Todo el voltaje alterno a través de cada dispositivo es el mismo que el voltaje de la fuente. Podemos determinar las corrientes encontrando la reactancia X de cada dispositivo y resolviendo la corriente pico medianteSolución
El voltaje en los terminales de la fuente esdonde es la frecuencia angular. Como v(t) es también el voltaje a través de cada uno de los elementos, tenemos
a. Cuando la amplitud de la corriente a través del resistor es
así que
b. A partir de la Ecuación 15.3, la reactancia capacitiva es
por lo que el valor máximo de la corriente es
y la corriente instantánea viene dada por
c. A partir de la Ecuación 15.8, la reactancia inductiva es
Por lo tanto, la corriente máxima es
y la corriente instantánea es
Importancia
Aunque el voltaje a través de cada dispositivo es el mismo, la corriente de pico tiene valores diferentes, dependiendo de la reactancia. La reactancia de cada dispositivo depende de los valores de resistencia, capacitancia o inductancia.Compruebe Lo Aprendido 15.2
Repita el Ejemplo 15.1 para una fuente de ac de 20 V de amplitud y 100 Hz de frecuencia.