William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Describir cómo varía la corriente en un resistor, un condensador y un inductor mientras están en serie con una fuente de alimentación de ac.
Utilizar fasores para comprender el ángulo de fase de un circuito de ac de resistores, condensadores e inductores y entender lo que significa ese ángulo de fase.
Calcular la impedancia de un circuito.

El circuito de ac que se muestra en la Figura 15.11, llamado circuito en serie RLC, es una combinación en serie de un resistor, un condensador y un inductor conectados a través de una fuente de ac. Produce una emf de

v (t) = V_{0} sen ω t .

La figura a muestra un circuito con una fuente de voltaje alterno conectada a un resistor, un condensador y un inductor en serie. La fuente está marcada como V0 seno omega t. La figura b muestra ondas sinusoidales de voltaje y corriente de CA en el mismo gráfico. El voltaje tiene una mayor amplitud que la corriente y su máximo valor está marcado V0 en el eje y. El valor máximo de la corriente está marcado como I0. Las dos curvas tienen la misma longitud de onda pero están desfasadas. La curva de voltaje se etiqueta V paréntesis t paréntesis igual a V0 seno omega t. La curva actual se denomina I paréntesis t paréntesis igual a I0 seno paréntesis omega t menos phi paréntesis.

Figura 15.11 (a) Un circuito en serie RLC. (b) Una comparación del voltaje de salida del generador y la corriente. El valor de la diferencia de fase

ϕ

depende de los valores de R, C y L.

Como los elementos están en serie, la misma corriente fluye a través de cada elemento en todos los momentos. La fase relativa entre la corriente y la emf no es evidente cuando los tres elementos están presentes. En consecuencia, representamos la corriente mediante la expresión general

i (t) = I_{0} sen (ω t - ϕ),

donde $I_{0}$ es la amplitud de la corriente y $ϕ$ es el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje aplicado. El ángulo de fase es, por tanto, la cantidad en la que el voltaje y la corriente están desfasados entre sí en un circuito. Nuestra tarea es hallar $I_{0} y ϕ .$

Un diagrama fasorial que incluya $i (t), v_{R} (t), v_{C} (t), y v_{L} (t)$ es útil para analizar el circuito. Como se muestra en la Figura 15.12, el fasor que representa $v_{R} (t)$ apunta en la misma dirección que el fasor para $i (t);$ su amplitud es $V_{R} = I_{0} R .$ El $v_{C} (t)$ fasor se retrasa el fasor i(t) en $π / 2$ rad y tiene la amplitud $V_{C} = I_{0} X_{C} .$ El fasor de $v_{L} (t)$ conduce el fasor i(t) por $π / 2$ rad y tiene la amplitud $V_{L} = I_{0} X_{L} .$

La figura muestra los ejes de coordenadas, con cuatro flechas que parten del origen. La flecha V subíndice R apunta hacia arriba y hacia la derecha, formando un ángulo omega t menos phi con el eje x. Su intercepción y es V subíndice R paréntesis t paréntesis. La flecha I0 está a lo largo de la flecha V subíndice R, pero es más corta que ella. La flecha V subíndice L apunta hacia arriba y hacia la izquierda y es perpendicular a V subíndice R. Hace un intercepto y V subíndice L paréntesis t paréntesis. La flecha V subíndice C apunta hacia abajo y a la derecha. Es perpendicular a V subíndice R. Hace una intercepción y V subíndice C paréntesis t paréntesis. Tres flechas etiquetadas como omega son perpendiculares a V subíndice R, V subíndice L y V subíndice C, que se muestran cerca de sus puntas.

Figura 15.12 El diagrama fasorial del circuito en serie RLC de la Figura 15.11.

En cualquier instante, el voltaje a través de la combinación RLC es $v_{R} (t) + v_{L} (t) + v_{C} (t) = v (t),$ la emf de la fuente. Dado que un componente de una suma de vectores es la suma de los componentes de los vectores individuales, por ejemplo, ${(A + B)}_{y} = A_{y} + B_{y}$ - la proyección de la suma vectorial de los fasores sobre el eje vertical es la suma de las proyecciones verticales de los fasores individuales. Por lo tanto, si sumamos vectorialmente los fasores que representan $v_{R} (t), v_{L} (t), y v_{C} (t)$ y luego hallamos la proyección de la resultante sobre el eje vertical, obtenemos

v_{R} (t) + v_{L} (t) + v_{C} (t) = v (t) = V_{0} sen ω t .

La suma vectorial de los fasores se muestra en la Figura 15.13. El fasor resultante tiene una amplitud $V_{0}$ y se dirige a un ángulo $ϕ$ con respecto al fasor $v_{R} (t),$ o i(t). La proyección de este fasor resultante sobre el eje vertical es $v (t) = V_{0} sen ω t .$ Podemos determinar fácilmente las cantidades desconocidas $I_{0}$ y $ϕ$ a partir de la geometría del diagrama fasorial. Para el ángulo de fase,

ϕ = {tan}^{−1} \frac{V_{L} - V_{C}}{V_{R}} = {tan}^{−1} \frac{I_{0} X_{L} - I_{0} X_{C}}{I_{0} R},

y tras la cancelación de $I_{0},$ esto se convierte en

ϕ = {tan}^{−1} \frac{X_{L} - X_{C}}{R} .

15.9

Además, a partir del teorema de Pitágoras,

V_{0} = \sqrt{V_{R}^{2} + {(V_{L} - V_{C})}^{2}} = \sqrt{{(I_{0} R)}^{2} + {(I_{0} X_{L} - I_{0} X_{C})}^{2}} = I_{0} \sqrt{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}} .

Tres flechas parten del origen en el eje de coordenadas. La flecha V subíndice R apunta hacia arriba y hacia la derecha, formando un ángulo omega t menos phi con el eje x. La flecha V0 apunta hacia arriba y hacia la derecha, formando un ángulo omega t con el eje x. Realiza un ángulo phi con la flecha V subíndice R. Realiza un intercepto y marcado V0 seno omega t. La tercera flecha está marcada como V subíndice L menos V subíndice C. Apunta hacia arriba y hacia la izquierda y es perpendicular a la flecha V subíndice R. Las líneas punteadas indican que el rectángulo formado con su lado más largo siendo V subíndice R y su lado más corto siendo V subíndice L menos V subíndice C, tendría la flecha V0 como diagonal. Cerca de la punta del subíndice R de V se muestra una flecha marcada como omega, perpendicular a ella.

Figura 15.13 La resultante de los fasores para

v_{L} (t)

,

v_{C} (t)

, y

v_{R} (t)

es igual al fasor para

v (t) = V_{0} sen ω t .

El fasor i(t) (que no se muestra) está alineado con el fasor

v_{R} (t)

.

La amplitud de la corriente es, por tanto, la versión ac de la ley de Ohm:

I_{0} = \frac{V_{0}}{\sqrt{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}}} = \frac{V_{0}}{Z},

15.10

donde

Z = \sqrt{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}}

15.11

se conoce como la impedancia del circuito. Su unidad es el ohmio, y es el análogo ac a la resistencia en un circuito dc, que mide el efecto combinado de la resistencia, la reactancia capacitiva y la reactancia inductiva (Figura 15.14).

Fotografía de condensadores de potencia en una central eléctrica.

Figura 15.14 Los condensadores de potencia se utilizan para equilibrar la impedancia de la inductancia efectiva en las líneas de transmisión.

El circuito RLC es análogo a la rueda de un automóvil que circula por una carretera ondulada (Figura 15.15). Los baches regularmente espaciados en la carretera hacen subir y bajar la rueda; del mismo modo que una fuente de voltaje aumenta y disminuye. El amortiguador actúa como la resistencia del circuito RLC, amortiguando y limitando la amplitud de la oscilación. La energía dentro del sistema de ruedas va y viene entre la energía cinética y la potencial almacenada en el resorte del automóvil, de forma análoga al cambio entre una corriente máxima, con energía almacenada en un inductor, y la ausencia de corriente, con energía almacenada en el campo eléctrico de un condensador. La amplitud del movimiento de la rueda es máxima si los baches de la carretera se producen a la frecuencia de resonancia, lo cual describimos con más detalle en la sección Resonancia en un circuito de ac.

La figura muestra una rueda de un automóvil. Las flechas muestran el movimiento de subida y bajada de su resorte amortiguador.

Figura 15.15 En un automóvil, el amortiguador amortigua el movimiento y disipa la energía. Esto es muy parecido a la resistencia en un circuito RLC. La masa y el resorte determinan la frecuencia de resonancia.

Estrategia de Resolución De Problemas

Circuitos de ac

Para analizar un circuito de ac que contiene resistores, condensadores e inductores es útil pensar en la reactancia de cada dispositivo y calcular la reactancia equivalente utilizando las reglas que usamos en el pasado para la resistencia equivalente. Los fasores son un gran método para determinar si la emf del circuito tiene fase positiva o negativa (es decir, adelanta o retrasa otros valores). A veces se utiliza el recurso mnemotécnico de "ELI el hombre ICE" para recordar que la emf (E) conduce la corriente (I) en un inductor (L) y la corriente (I) conduce la emf (E) en un condensador (C).

Utilice los siguientes pasos para determinar la emf del circuito mediante fasores:

Dibuje los fasores del voltaje a través de cada dispositivo: resistor, condensador e inductor, incluido el ángulo de fase en el circuito.
Si hay un condensador y un inductor, calcule el voltaje neto de estos dos fasores, ya que son antiparalelos.
Calcule el fasor equivalente a partir del fasor del paso 2 y el fasor del resistor utilizando trigonometría o componentes de los fasores. El fasor equivalente encontrado es la emf del circuito.

Ejemplo 15.2

Un circuito en serie RLC

La salida de un generador de ac conectado a una combinación en serie RLC tiene una frecuencia de 200 Hz y una amplitud de 0,100 V. Si

R = 4,00 Ω,

L = 3,00 \times 10^{−3} H,

y

C = 8,00 \times 10^{−4} F,

¿cuáles son (a) la reactancia capacitiva, (b) la reactancia inductiva, (c) la impedancia, (d) la amplitud de la corriente y (e) la diferencia de fase entre la corriente y la emf del generador?

Estrategia

Las reactancias y la impedancia en (a)-(c) se encuentran mediante sustituciones en la Ecuación 15.3, la Ecuación 15.8 y la Ecuación 15.11, respectivamente. La amplitud de la corriente se calcula a partir del voltaje de pico y la impedancia. El desfase entre la corriente y la emf se calcula mediante la tangente inversa de la diferencia entre las reactancias dividida entre la resistencia.

Solución

A partir de la Ecuación 15.3, la reactancia capacitiva es
$X_{C} = \frac{1}{ω C} = \frac{1}{2 π (200 Hz) (8,00 \times 10^{−4} F)} = 0,995 Ω .$
A partir de la Ecuación 15.8, la reactancia inductiva es
$X_{L} = ω L = 2 π (200 Hz) (3,00 \times 10^{−3} H) = 3,77 Ω .$
Sustituyendo los valores de R, $X_{C}$ y $X_{L}$ en la Ecuación 15.11, obtenemos para la impedancia
$Z = \sqrt{{(4,00 Ω)}^{2} + {(3,77 Ω - 0,995 Ω)}^{2}} = 4,87 Ω .$
La amplitud de la corriente es
$I_{0} = \frac{V_{0}}{Z} = \frac{0,100 V}{4,87 Ω} = 2,05 \times 10^{−2} A .$
A partir de la Ecuación 15.9, la diferencia de fase entre la corriente y la emf es
$ϕ = {tan}^{−1} \frac{X_{L} - X_{C}}{R} = {tan}^{−1} \frac{2,77 Ω}{4,00 Ω} = 0,607 rad .$

Importancia

El ángulo de fase es positivo porque la reactancia del inductor es mayor que la del condensador.

Compruebe Lo Aprendido 15.3

Calcule los voltajes a través del resistor, del condensador y del inductor en el circuito de la Figura 15.11 utilizando $v (t) = V_{0} sen ω t$ como la salida del generador de ac.

15.3 Circuitos en serie RLC con ac

Circuitos de ac

Un circuito en serie RLC

Estrategia

Solución

Importancia