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Física Universitaria Volumen 2

15.5 Resonancia en un circuito de ac

Física Universitaria Volumen 215.5 Resonancia en un circuito de ac
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:
  • Determinar la frecuencia angular de resonancia ac máxima para un circuito RLC.
  • Explicar el ancho de la curva de potencia media versus la frecuencia angular y su significado utilizando términos como ancho de banda y factor de calidad.

En el circuito en serie RLC de la Figura 15.11, la amplitud de la corriente es, según la Ecuación 15.10:

I0=V0R2+(ωL1/ωC)2.I0=V0R2+(ωL1/ωC)2.
15.15

Si podemos variar la frecuencia del generador de ac manteniendo constante la amplitud de su voltaje de salida, la corriente cambia en consecuencia. Un gráfico de I0I0 en función de ωω se muestra en la Figura 15.17.

La figura muestra un gráfico de I0 en función de omega. La curva asciende gradualmente, tiene un pico romo en el centro y luego desciende gradualmente hasta su valor original. El valor y en el pico es V0 por R y el valor x es omega 0.
Figura 15.17 En la frecuencia de resonancia de un circuito RLC, ω 0 = 1 / L C , ω 0 = 1 / L C , la amplitud de la corriente está en su valor máximo.

En Oscilaciones encontramos un gráfico similar en el que la amplitud de un oscilador armónico amortiguado se trazaba frente a la frecuencia angular de una fuerza motriz sinusoidal (vea Oscilaciones forzadas). Esta similitud no es solo una coincidencia, como se ha demostrado anteriormente con la aplicación de la regla de las tensiones de Kirchhoff al circuito de la Figura 15.11. Esto da como resultado

Ldidt+iR+qC=V0senωt,Ldidt+iR+qC=V0senωt,
15.16

o

Ld2qdt2+Rdqdt+1Cq=V0senωt,Ld2qdt2+Rdqdt+1Cq=V0senωt,

donde hemos sustituido dq(t)/dt por i(t). Una comparación de la Ecuación 15.16 y de Oscilaciones y Oscilaciones amortiguadas para el movimiento armónico amortiguado demuestra claramente que el circuito en serie RLC controlado es el análogo eléctrico del oscilador armónico amortiguado controlado.

La frecuencia de resonancia f0f0 del circuito RLC es la frecuencia a la que la amplitud de la corriente es máxima y el circuito oscilaría si no fuera alimentado por una fuente de voltaje. Por inspección, esto corresponde a la frecuencia angular ω0=2πf0ω0=2πf0 en la que la impedancia Z en la Ecuación 15.15 es un mínimo, o cuando

ω0L=1ω0Cω0L=1ω0C

y

ω0=1LC.ω0=1LC.
15.17

Esta es la frecuencia angular de resonancia del circuito. Sustituyendo ω0ω0 en la Ecuación 15.9, la Ecuación 15.10 y la Ecuación 15.11, hallamos que en la resonancia,

ϕ=tan−1(0)=0,I0=V0/R,yZ=R.ϕ=tan−1(0)=0,I0=V0/R,yZ=R.

Por lo tanto, en resonancia, un circuito RLC es puramente resistivo, con la emf y la corriente aplicadas en fase.

¿Qué ocurre con la potencia en resonancia? La Ecuación 15.14 nos dice cómo varía la potencia media transferida desde un generador de ac a la combinación RLC con la frecuencia. Además, PavePave alcanza un máximo cuando Z, que depende de la frecuencia, es un mínimo, es decir, cuando XL=XCyZ=R.XL=XCyZ=R. Así, en resonancia, la potencia media de salida de la fuente en un circuito en serie RLC es máxima. Usando la Ecuación 15.14, este máximo es Vrms2/R.Vrms2/R.

La Figura 15.18 es un gráfico típico de PavePave en función a ωω en la región de máxima potencia. El ancho de banda ΔωΔω del pico de resonancia se define como el rango de frecuencias angulares ωω sobre la cual la potencia media PavePave es mayor que la mitad del valor máximo de Pave.Pave. La agudeza del pico se describe mediante una cantidad sin dimensiones conocida como el factor de calidad Q del circuito. Por definición,

Q=ω0Δω,Q=ω0Δω,
15.18

donde ω0ω0 es la frecuencia angular de resonancia. Un Q alto indica un pico de resonancia agudo. Podemos dar Q en términos de los parámetros del circuito como

Q=ω0LR.Q=ω0LR.
15.19
La figura muestra un gráfico de la barra P en función de omega. La curva asciende gradualmente, tiene un pico romo en el centro y luego desciende gradualmente hasta su valor original. El valor y en el pico es V al cuadrado subíndice rms por R y el valor x es omega 0. El valor y cerca del centro de la curva es V al cuadrado subíndice rms por 2R. La anchura de la curva cerca del centro se denomina delta omega.
Figura 15.18 Al igual que la corriente, la potencia media transferida desde un generador de ac a un circuito RLC alcanza su máximo en la frecuencia de resonancia.

Los circuitos resonantes se utilizan habitualmente para pasar o rechazar rangos de frecuencia seleccionados. Esto se hace ajustando el valor de uno de los elementos y, por tanto, "sintonizando" el circuito a una frecuencia de resonancia determinada. Por ejemplo, en las radios, el receptor se sintoniza con la emisora deseada ajustando la frecuencia de resonancia de sus circuitos para que coincida con la frecuencia de la emisora. Si el circuito de sintonía tiene un Q alto, tendrá un ancho de banda pequeño, por lo que las señales de otras emisoras a frecuencias incluso ligeramente diferentes de la frecuencia de resonancia encuentran una alta impedancia y no pasan por el circuito. Los teléfonos móviles funcionan de forma similar, comunicándose con señales de alrededor de 1 GHz que se sintonizan mediante un circuito inductor-condensador. Una de las aplicaciones más comunes de los condensadores es su uso en circuitos de sincronización de ac, basados en la obtención de una frecuencia de resonancia. Un detector de metales también utiliza un desplazamiento de la frecuencia de resonancia en la detección de metales (Figura 15.19).

Fotografía de un buceador subacuático utilizando un detector de metales.
Figura 15.19 Cuando un detector de metales se acerca a un trozo de metal, la autoinducción de una de sus bobinas cambia. Esto provoca un cambio en la frecuencia de resonancia de un circuito que contiene la bobina. Ese desplazamiento es detectado por los circuitos y transmitido al buceador por medio de los auriculares (créditos: modificación del trabajo de Eric Lippmann, de la Marina de EE. UU.).

Ejemplo 15.4

Resonancia en un circuito RLC en serie

(a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia de un circuito que utiliza los valores de voltaje y LRC conectados en serie del Ejemplo 15.1? (b) Si el generador de ac se ajusta a esta frecuencia sin cambiar la amplitud del voltaje de salida, ¿cuál es la amplitud de la corriente?

Estrategia

La frecuencia de resonancia de un circuito RLC se calcula a partir de la Ecuación 15.17, que proviene de un equilibrio entre las reactancias del condensador y del inductor. Como el circuito está en resonancia, la impedancia es igual al resistor. A continuación, la corriente de pico se calcula mediante la división del voltaje entre la resistencia.

Solución

  1. La frecuencia de resonancia se calcula con la Ecuación 15.17:
    f0=12π1LC=12π1(3,00×10−3H)(8,00×10−4F)=1,03×102Hz.f0=12π1LC=12π1(3,00×10−3H)(8,00×10−4F)=1,03×102Hz.
  2. En resonancia, la impedancia del circuito es puramente resistiva, y la amplitud de la corriente es
    I0=0,100V4,00Ω=2,50×10−2A.I0=0,100V4,00Ω=2,50×10−2A.

Importancia

Si el circuito no estuviera ajustado a la frecuencia de resonancia, necesitaríamos la impedancia de todo el circuito para calcular la corriente.

Ejemplo 15.5

Transferencia de potencia en un circuito en serie RLC en resonancia

(a) ¿Cuál es la frecuencia angular de resonancia de un circuito RLC con R=0,200Ω,R=0,200Ω, L=4,00×10−3H,L=4,00×10−3H, y C=2,00×10−6F?C=2,00×10−6F? (b) Si una fuente de ac de amplitud constante 4,00 V se ajusta a esta frecuencia, ¿cuál es la potencia media transferida al circuito? (c) Determine Q y el ancho de banda de este circuito.

Estrategia

La frecuencia angular de resonancia se calcula a partir de la Ecuación 15.17. La potencia media se calcula a partir del voltaje rms y la resistencia del circuito. El factor de calidad se calcula a partir de la Ecuación 15.19 y conociendo la frecuencia de resonancia. El ancho de banda se calcula a partir de la Ecuación 15.18 y conociendo el factor de calidad.

Solución

  1. La frecuencia angular de resonancia es
    ω0=1LC=1(4,00×10−3H)(2,00×10−6F)=1,12×104rad/s.ω0=1LC=1(4,00×10−3H)(2,00×10−6F)=1,12×104rad/s.
  2. A esta frecuencia, la potencia media transferida al circuito es máxima. Es
    Pave=Vrms2R=[(1/2)(4,00V)]20,200Ω=40,0W.Pave=Vrms2R=[(1/2)(4,00V)]20,200Ω=40,0W.
  3. El factor de calidad del circuito es
    Q=ω0LR=(1,12×104rad/s)(4,00×10−3H)0,200Ω=224.Q=ω0LR=(1,12×104rad/s)(4,00×10−3H)0,200Ω=224.

Entonces calculamos para el ancho de banda

Δω=ω0Q=1,12×104rad/s224=50,0rad/s.Δω=ω0Q=1,12×104rad/s224=50,0rad/s.

Importancia

Si se desea un ancho de banda más estrecho, una resistencia más baja o una inductancia más alta ayudarían. Sin embargo, una resistencia más baja aumenta la potencia transferida al circuito, lo que puede no ser deseable, dependiendo de la potencia máxima que se pueda transferir.

Compruebe Lo Aprendido 15.6

En el circuito de la Figura 15.11, L=2,0×10−3H,L=2,0×10−3H, C=5,0×10−4F,C=5,0×10−4F, y R=40Ω.R=40Ω. (a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia? (b) ¿Cuál es la impedancia del circuito en la resonancia? (c) Si la amplitud del voltaje es de 10 V, ¿cuál es i(t) en la resonancia? (d) La frecuencia del generador de ac se cambia ahora a 200 Hz. Calcule el desfase entre la corriente y la emf del generador.

Compruebe Lo Aprendido 15.7

¿Qué ocurre con la frecuencia de resonancia de un circuito en serie RLC cuando las siguientes cantidades se incrementan en un factor de 4: (a) la capacitancia, (b) la autoinducción y (c) la resistencia?

Compruebe Lo Aprendido 15.8

La frecuencia angular de resonancia de un circuito en serie RLC es 4,0×102rad/s.4,0×102rad/s. Una fuente de ac que funciona a esta frecuencia transfiere una potencia media de 2,0×10−2W2,0×10−2W al circuito La resistencia del circuito es 0,50Ω.0,50Ω. Escriba una expresión para la emf de la fuente.

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