15.5 Resonancia en un circuito de ac

En el circuito en serie RLC de la Figura 15.11, la amplitud de la corriente es, según la Ecuación 15.10:

Si podemos variar la frecuencia del generador de ac manteniendo constante la amplitud de su voltaje de salida, la corriente cambia en consecuencia. Un gráfico de $I_0$ en función de $\text{ω}$ se muestra en la Figura 15.17.

Figura 15.17 En la frecuencia de resonancia de un circuito RLC, ${\text{ω}}_0=\sqrt{1\text{/}LC},$ la amplitud de la corriente está en su valor máximo.

En Oscilaciones encontramos un gráfico similar en el que la amplitud de un oscilador armónico amortiguado se trazaba frente a la frecuencia angular de una fuerza motriz sinusoidal (vea Oscilaciones forzadas). Esta similitud no es solo una coincidencia, como se ha demostrado anteriormente con la aplicación de la regla de las tensiones de Kirchhoff al circuito de la Figura 15.11. Esto da como resultado

o

donde hemos sustituido dq(t)/dt por i(t). Una comparación de la Ecuación 15.16 y de Oscilaciones y Oscilaciones amortiguadas para el movimiento armónico amortiguado demuestra claramente que el circuito en serie RLC controlado es el análogo eléctrico del oscilador armónico amortiguado controlado.

La frecuencia de resonancia $f_0$ del circuito RLC es la frecuencia a la que la amplitud de la corriente es máxima y el circuito oscilaría si no fuera alimentado por una fuente de voltaje. Por inspección, esto corresponde a la frecuencia angular ${\text{ω}}_0=2\pi f_0$ en la que la impedancia Z en la Ecuación 15.15 es un mínimo, o cuando

y

Esta es la frecuencia angular de resonancia del circuito. Sustituyendo ${\text{ω}}_0$ en la Ecuación 15.9, la Ecuación 15.10 y la Ecuación 15.11, hallamos que en la resonancia,

Por lo tanto, en resonancia, un circuito RLC es puramente resistivo, con la emf y la corriente aplicadas en fase.

¿Qué ocurre con la potencia en resonancia? La Ecuación 15.14 nos dice cómo varía la potencia media transferida desde un generador de ac a la combinación RLC con la frecuencia. Además, $P_{\text{ave}}$ alcanza un máximo cuando Z, que depende de la frecuencia, es un mínimo, es decir, cuando $X_L=X_C\text{y}Z=R.$ Así, en resonancia, la potencia media de salida de la fuente en un circuito en serie RLC es máxima. Usando la Ecuación 15.14, este máximo es $V_{\text{rms}}^2\text{/}R.$

La Figura 15.18 es un gráfico típico de $P_{\text{ave}}$ en función a $\text{ω}$ en la región de máxima potencia. El ancho de banda $\text{Δ}\text{ω}$ del pico de resonancia se define como el rango de frecuencias angulares $\text{ω}$ sobre la cual la potencia media $P_{\text{ave}}$ es mayor que la mitad del valor máximo de $P_{\text{ave}}.$ La agudeza del pico se describe mediante una cantidad sin dimensiones conocida como el factor de calidad Q del circuito. Por definición,

donde ${\text{ω}}_0$ es la frecuencia angular de resonancia. Un Q alto indica un pico de resonancia agudo. Podemos dar Q en términos de los parámetros del circuito como

Figura 15.18 Al igual que la corriente, la potencia media transferida desde un generador de ac a un circuito RLC alcanza su máximo en la frecuencia de resonancia.

Los circuitos resonantes se utilizan habitualmente para pasar o rechazar rangos de frecuencia seleccionados. Esto se hace ajustando el valor de uno de los elementos y, por tanto, "sintonizando" el circuito a una frecuencia de resonancia determinada. Por ejemplo, en las radios, el receptor se sintoniza con la emisora deseada ajustando la frecuencia de resonancia de sus circuitos para que coincida con la frecuencia de la emisora. Si el circuito de sintonía tiene un Q alto, tendrá un ancho de banda pequeño, por lo que las señales de otras emisoras a frecuencias incluso ligeramente diferentes de la frecuencia de resonancia encuentran una alta impedancia y no pasan por el circuito. Los teléfonos móviles funcionan de forma similar, comunicándose con señales de alrededor de 1 GHz que se sintonizan mediante un circuito inductor-condensador. Una de las aplicaciones más comunes de los condensadores es su uso en circuitos de sincronización de ac, basados en la obtención de una frecuencia de resonancia. Un detector de metales también utiliza un desplazamiento de la frecuencia de resonancia en la detección de metales (Figura 15.19).

Figura 15.19 Cuando un detector de metales se acerca a un trozo de metal, la autoinducción de una de sus bobinas cambia. Esto provoca un cambio en la frecuencia de resonancia de un circuito que contiene la bobina. Ese desplazamiento es detectado por los circuitos y transmitido al buceador por medio de los auriculares (créditos: modificación del trabajo de Eric Lippmann, de la Marina de EE. UU.).