William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Problemas De Desafío

83.

(a) Se añade una cantidad infinitesimal de calor de forma reversible a un sistema. Combinando la primera y la segunda ley, demuestre que $d U = T d S - d W$ . (b) Cuando se añade calor a un gas ideal, su temperatura y volumen cambian de $T_{1} y V_{1} a T_{2} y V_{2}$ . Demuestre que el cambio de entropía de n moles del gas viene dado por

$Δ S = n C_{v} ln \frac{T_{2}}{T_{1}} + n R ln \frac{V_{2}}{V_{1}}$ .

84.

Utilizando el resultado del problema anterior, demuestre que para un gas ideal que sufre un proceso adiabático, $T V^{γ - 1}$ es constante.

85.

Con la ayuda de los dos problemas anteriores, demuestre que $Δ S$ entre los estados 1 y 2 de n moles un gas ideal viene dado por

$Δ S = n C_{p} ln \frac{T_{2}}{T_{1}} - n R ln \frac{p_{2}}{p_{1}}$ .

86.

Una botella contiene 500 g de helio a 120 atm y $20 ° C$ . La válvula tiene una fuga y todo el gas se escapa lentamente de forma isotérmica a la atmósfera. Utilice los resultados del problema anterior para determinar el cambio resultante en la entropía del universo.

87.

Un gas ideal diatómico es llevado desde un estado de equilibrio inicial a $p_{1} = 0,50 atm$ y $T_{1} = 300 K$ a una etapa final con $p_{2} = 0,20 atm$ y $T_{1} = 500 K .$ Utilice los resultados del problema anterior para determinar el cambio de entropía por mol del gas.

88.

El motor de combustión interna de gasolina funciona en un ciclo que consta de seis partes. Cuatro de estas partes implican, entre otras cosas, fricción, intercambio de calor a través de diferencias de temperatura finitas y aceleraciones del pistón; es irreversible. Sin embargo, está representado por el ciclo de Otto, que es ideal y reversible, que se ilustra a continuación. Se supone que la sustancia de trabajo del ciclo es el aire. Las seis etapas del ciclo de Otto son las siguientes:

Golpe de entrada isobárico(OA). Se introduce una mezcla de gasolina y aire en la cámara de combustión a presión atmosférica $p_{0}$ cuando el pistón se expande, aumentando el volumen del cilindro de cero a $V_{A}$ .
Carrera de compresión adiabática(AB). La temperatura de la mezcla aumenta a medida que el pistón la comprime adiabáticamente desde un volumen $V_{A} a V_{B}$ .
Encendido a volumen constante(BC). La mezcla se enciende con una chispa. La combustión es tan rápida que el pistón no se mueve. Durante este proceso, el calor añadido $Q_{1}$ hace que la presión aumente de $p_{B} a p_{C}$ a un volumen constante $V_{B} (= V_{C})$ .
Expansión adiabática(CD). La mezcla calentada de gasolina y aire se expande contra el pistón, aumentando el volumen de $V_{C} a V_{D}$ . Se denomina carrera de potencia, ya que es la parte del ciclo que entrega la mayor parte de la potencia al cigüeñal.
Escape de volumen constante(DA). Cuando se abre la válvula de escape, una parte de los productos de la combustión se escapa. Durante esta parte del ciclo el pistón casi no se mueve, por lo que el volumen se mantiene constante en $V_{A} (= V_{D})$ . La mayor parte de la energía disponible se pierde aquí, representada por el escape de calor $Q_{2}$ .
Compresión isobárica(AO). La válvula de escape permanece abierta, y la compresión de $V_{A}$ a cero expulsa los productos de combustión restantes.

(a) Utilizando(i) $e = W / Q_{1}$ ; (ii) $W = Q_{1} - Q_{2}$ ; y (iii) $Q_{1} = n C_{v} (T_{C} - T_{B})$ , $Q_{2} = n C_{v} (T_{D} - T_{A})$ , demuestre que

$e = 1 - \frac{T_{D} - T_{A}}{T_{C} - T_{B}}$ .

(b) Utilice el hecho de que los pasos (ii) y (iv) son adiabáticos para demostrar que

$e = 1 - \frac{1}{r^{γ - 1}}$ ,

donde $r = V_{A} / V_{B}$ . La cantidad r se denomina relación de compresión del motor.

(c) En la práctica, r se mantiene en torno a 7. Para valores mayores, la mezcla de gasolina y aire se comprime a temperaturas tan altas que explota antes de que se produzca la chispa finamente sincronizada. Esta preignición provoca el golpeteo del motor y la pérdida de potencia. Demuestre que para $r = 6$ y $γ = 1,4$ (el valor del aire), $e = 0,51$ , o una eficiencia de $51 % .$ Debido a los numerosos procesos irreversibles, un motor de combustión interna real tiene un rendimiento muy inferior a este valor ideal. La eficiencia típica de un motor afinado es de aproximadamente $25 % a 30 %$ .

La figura muestra una gráfica de bucle cerrado con cuatro puntos A, B, C y D. El eje x es V y el eje y es p. El valor de V en A y D es igual y en B y C es igual.

89.

A continuación se muestra un ciclodiesel ideal. Este ciclo consta de cinco golpes. En este caso, solo se introduce aire en la cámara durante la carrera de admisión OA. A continuación, el aire se comprime adiabáticamente desde el estado A hasta el estado B, elevando su temperatura lo suficiente como para que, cuando se añada combustible durante la carrera de potencia BC, se encienda. Después de que el encendido termina en C, hay una nueva carrera de potencia adiabática CD. Por último, se produce un escape a volumen constante a medida que la presión desciende de $p_{D}$ a $p_{A}$ , seguido de un nuevo escape cuando el pistón comprime el volumen de la cámara hasta cero.

(a) Utilice $W = Q_{1} - Q_{2}$ , $Q_{1} = n C_{p} (T_{C} - T_{B})$ , y $Q_{2} = n C_{v} (T_{D} - T_{A})$ para demostrar que $e = \frac{W}{Q_{1}} = 1 - \frac{T_{D} - T_{A}}{γ (T_{C} - T_{B})}$ .

(b) Utilice el hecho de que $A \to B$ y $C \to D$ son adiabáticos para demostrar que

$e = 1 - \frac{1}{γ} \frac{{(\frac{V_{C}}{V_{D}})}^{γ} - {(\frac{V_{B}}{V_{A}})}^{γ}}{(\frac{V_{C}}{V_{D}}) - (\frac{V_{B}}{V_{A}})}$ .

(c) Como no hay preignición (recuerde que la cámara no contiene combustible durante la compresión), la relación de compresión puede ser mayor que la de un motor de gasolina. Típicamente, $V_{A} / V_{B} = 15 y V_{D} / V_{C} = 5$ . Para estos valores y $γ = 1,4,$ demuestre que $ε = 0,56$ , o una eficiencia de $56 %$ . Los motores diésel funcionan en realidad con una eficiencia de aproximadamente $30 % a 35 %$ en comparación con $25 % a 30 %$ para motores de gasolina.

La figura muestra una gráfica de bucle cerrado con cuatro puntos A, B, C y D. El eje x es V y el eje y es p. El valor de V en A y D es igual y el valor de p en B y C es igual.

90.

Considere un ciclo Joule de gas ideal, también llamado ciclo de Brayton, que se muestra a continuación. Halle la fórmula de la eficiencia del motor que utiliza este ciclo en términos de $P_{1}$ , $P_{2}$ , y $γ$ .

La figura muestra un gráfico de bucle cerrado con cuatro puntos 1, 2, 3 y 4. El eje x es V y el eje y es p. El valor de p en 1 y 4 es igual y en 2 y 3 es igual

91.

Deduzca una fórmula para el coeficiente de rendimiento de un refrigerador que utiliza un gas ideal como sustancia de trabajo que opera en el ciclo mostrado a continuación en términos de las propiedades de los tres estados marcados como 1, 2 y 3.

La figura muestra un gráfico de bucle cerrado con tres puntos 1, 2 y 3. El eje x es V y el eje y es p. El valor de V en 1 y 2 es igual y el valor de p en 2 y 3 es igual.

92.

Dos moles de gas nitrógeno, con $γ = 7 / 5$ para los gases diatómicos ideales, ocupan un volumen de $10^{−2} m^{3}$ en un cilindro aislado a una temperatura de 300 K. El gas se comprime adiabáticamente y de forma reversible hasta alcanzar un volumen de 5 L. El émbolo del cilindro se bloquea en su lugar y se retira el aislamiento alrededor del cilindro. A continuación, el cilindro conductor del calor se coloca en un baño de 300 K. El calor del gas comprimido sale del gas, y la temperatura del gas vuelve a ser de 300 K. A continuación, el gas se expande lentamente a la temperatura fija de 300 K hasta que el volumen del gas se convierte en $10^{−2} m^{3}$ , realizando así un ciclo completo para el gas. Para el ciclo completo, calcule (a) el trabajo realizado por el gas, (b) el calor que entra o sale del gas, (c) el cambio en la energía interna del gas y (d) el cambio en la entropía del gas.

93.

Un refrigerador de Carnot, que funciona entre $0 ° C$ y $30 ° C$ se utiliza para enfriar un cubo de agua que contiene $10^{−2} m^{3}$ de agua de $30 ° C$ a $5 ° C$ en 2 horas. Calcule la cantidad total de trabajo necesaria.