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Física Universitaria Volumen 2

8.3 Energía almacenada en un condensador

Física Universitaria Volumen 28.3 Energía almacenada en un condensador
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar cómo se almacena la energía en un condensador.
  • Utilizar relaciones energéticas para determinar la energía almacenada en una red de condensadores.

La mayoría de nosotros hemos visto dramatizaciones del personal médico que utiliza un desfibrilador para pasar una corriente eléctrica por el corazón de un paciente y conseguir que lata con normalidad. A menudo con detalles realistas, la persona que aplica la descarga indica a otra que "esta vez sean 400 julios" La energía suministrada por el desfibrilador se almacena en un condensador y puede ajustarse a la situación. A menudo se emplean unidades de julios del SI. Menos dramático es el uso de condensadores en la microelectrónica para suministrar energía cuando se cargan las baterías (Figura 8.15). Los condensadores también se utilizan para suministrar energía a las lámparas de flash de las cámaras.

Esta es una fotografía de una placa de circuito impreso con un CI y otros componentes. La placa de circuito impreso está conectada a un conector USB. Las etiquetas de todos los componentes están impresas en la placa.
Figura 8.15 Los condensadores de la placa de circuito impreso de un dispositivo electrónico siguen una convención de etiquetado que identifica a cada uno con un código que empieza por la letra "C": Windell Oskay)

La energía UCUC almacenada en un condensador es energía potencial electrostática y, por tanto, está relacionada con la carga Q y el voltaje V entre las placas del condensador. Un condensador cargado almacena energía en el campo eléctrico entre sus placas. A medida que el condensador se carga, el campo eléctrico se acumula. Cuando un condensador cargado se desconecta de una batería, su energía permanece en el campo en el espacio entre sus placas.

Para comprender cómo se puede expresar esta energía (en términos de Q y V), consideremos un condensador cargado, vacío y de placas paralelas; es decir, un condensador sin dieléctrico pero con el vacío entre sus placas. El espacio entre sus placas tiene un volumen Ad, y está lleno de un campo electrostático uniforme E. La energía total UCUC del condensador está contenido en este espacio. La densidad energética uEuE en este espacio es simplemente UCUC dividido por el volumen Ad. Si conocemos la densidad de energía, la energía se puede calcular como UC=uE(Ad)UC=uE(Ad). Aprenderemos en Ondas electromagnéticas (después de completar el estudio de las ecuaciones de Maxwell) que la densidad de energía uEuE en una región del espacio libre ocupada por un campo eléctrico E depende solo de la magnitud del campo y es

uE=12ε0E2.uE=12ε0E2.
8.9

Si multiplicamos la densidad de energía por el volumen entre las placas, obtenemos la cantidad de energía almacenada entre las placas de un condensador de placas paralelasUC=uE(Ad)=12ε0E2Ad=12ε0V2d2Ad=12V2ε0Ad=12V2CUC=uE(Ad)=12ε0E2Ad=12ε0V2d2Ad=12V2ε0Ad=12V2C.

En esta derivación, utilizamos el hecho de que el campo eléctrico entre las placas es uniforme, por lo que E=V/dE=V/d y C=ε0A/d.C=ε0A/d. Porque C=Q/VC=Q/V, podemos expresar este resultado en otras formas equivalentes:

UC=12V2C=12Q2C=12QV.UC=12V2C=12Q2C=12QV.
8.10

La expresión en la Ecuación 8.10 para la energía almacenada en un condensador de placas paralelas es generalmente válida para todos los tipos de condensadores. Para ver esto, considere cualquier condensador sin carga (no necesariamente del tipo de placas paralelas). En algún momento, lo conectamos a través de una batería, dándole una diferencia de potencial V=q/CV=q/C entre sus placas. Inicialmente, la carga en las placas es Q=0.Q=0. A medida que el condensador se carga, la carga se va acumulando en sus placas y, al cabo de un tiempo, alcanza el valor Q. Para desplazar una carga infinitesimal dq de la placa negativa a la positiva (de un potencial más bajo a uno más alto), la cantidad de trabajo dW que debe realizarse sobre dq es dW=Vdq=qCdqdW=Vdq=qCdq.

Este trabajo se convierte en la energía almacenada en el campo eléctrico del condensador. Para cargar el condensador hasta una carga Q, el trabajo total requerido es

W=0W(Q)dW=0QqCdq=12Q2C.W=0W(Q)dW=0QqCdq=12Q2C.

Como no se ha especificado la geometría del condensador, esta ecuación es válida para cualquier tipo de condensador. El trabajo total W necesario para cargar un condensador es la energía potencial eléctrica UCUC almacenado en él, o UC=WUC=W. Cuando la carga se expresa en culombios, el potencial se expresa en voltios y la capacitancia se expresa en faradios, esta relación da la energía en julios.

Sabiendo que la energía almacenada en un condensador es UC=Q2/(2C)UC=Q2/(2C), ahora podemos calcular la densidad de energía uEuE almacenado en el vacío entre las placas de un condensador de placas paralelas cargado. Solo tenemos que dividir UCUC por el volumen Ad del espacio entre sus placas y tener en cuenta que para un condensador de placas paralelas, tenemos E=σ/ε0E=σ/ε0 y C=ε0A/dC=ε0A/d. Por lo tanto, obtenemos

uE=UCAd=12Q2C1Ad=12Q2ε0A/d1Ad=121ε0(QA)2=σ22ε0=(Eε0)22ε0=ε02E2.uE=UCAd=12Q2C1Ad=12Q2ε0A/d1Ad=121ε0(QA)2=σ22ε0=(Eε0)22ε0=ε02E2.

Vemos que esta expresión para la densidad de energía almacenada en un condensador de placas paralelas está de acuerdo con la relación general expresada en la Ecuación 8.9. Podríamos repetir este cálculo para un condensador esférico o un condensador cilíndrico —o para otros condensadores— y en todos los casos, terminaríamos con la relación general dada por la Ecuación 8.9.

Ejemplo 8.8

Energía almacenada en un condensador

Calcule la energía almacenada en la red de condensadores en la Figura 8.14(a) cuando los condensadores están totalmente cargados y cuando las capacitancias son C1=12,0μF,C2=2,0μF,C1=12,0μF,C2=2,0μF, y C3=4,0μF,C3=4,0μF, respectivamente.

Estrategia

Utilizamos la Ecuación 8.10 para calcular la energía U1U1, U2U2 y U3U3 almacenados en los condensadores 1, 2 y 3, respectivamente. La energía total es la suma de todas estas energías.

Solución

Identificamos C1=12,0μFC1=12,0μF y V1=4,0VV1=4,0V, C2=2,0μFC2=2,0μF y V2=8,0VV2=8,0V, C3=4,0μFC3=4,0μF y V3=8,0V.V3=8,0V. Las energías almacenadas en estos condensadores son
U1=12C1V12=12(12,0μF)(4,0V)2=96μJ,U2=12C2V22=12(2,0μF)(8,0V)2=64μJ,U3=12C3V32=12(4,0μF)(8,0V)2=130μJ.U1=12C1V12=12(12,0μF)(4,0V)2=96μJ,U2=12C2V22=12(2,0μF)(8,0V)2=64μJ,U3=12C3V32=12(4,0μF)(8,0V)2=130μJ.

La energía total almacenada en esta red es

UC=U1+U2+U3=96μJ+64μJ+130μJ=0,29mJ.UC=U1+U2+U3=96μJ+64μJ+130μJ=0,29mJ.

Importancia

Podemos verificar este resultado calculando la energía almacenada en el 40,0-μF40,0-μF condensador, que resulta ser equivalente a toda la red. El voltaje a través de la red es de 12,0 V. La energía total obtenida de este modo coincide con nuestro resultado anterior,UC=12CV2=12(4,0μF)(12,0V)2=0,29mJUC=12CV2=12(4,0μF)(12,0V)2=0,29mJ.

Compruebe Lo Aprendido 8.6

La diferencia de potencial a través de un condensador de 5,0 pF es de 0,40 V. (a) ¿Cuál es la energía almacenada en este condensador? (b) La diferencia de potencial aumenta ahora a 1,20 V. ¿En qué factor se incrementa la energía almacenada?

En una emergencia cardíaca un dispositivo electrónico portátil conocido como desfibrilador externo automático (automated external defibrillator, AED) puede salvar vidas. Un desfibrilador (Figura 8.16) suministra una gran carga en una ráfaga corta, o una descarga, al corazón de una persona para corregir un ritmo cardíaco anormal (una arritmia). Un infarto puede surgir por la aparición de latidos rápidos e irregulares del corazón, llamados fibrilación cardíaca o ventricular. La aplicación de una gran descarga de energía eléctrica puede poner fin a la arritmia y permitir que el marcapasos natural del cuerpo retome su ritmo normal. Hoy en día, es habitual que las ambulancias lleven AED. Los AED también se encuentran en muchos lugares públicos. Están diseñadas para que las utilicen los profanos. El dispositivo diagnostica automáticamente el ritmo cardíaco del paciente y luego aplica la descarga con la energía y la forma de onda adecuadas. La RCP (reanimación cardiopulmonar) se recomienda en muchos casos antes de utilizar un desfibrilador.

Fotografía de un desfibrilador externo automático.
Figura 8.16 Los desfibriladores externos automáticos se encuentran en muchos lugares públicos. Estas unidades portátiles proporcionan instrucciones verbales para su uso en los importantes primeros minutos para una persona que sufre un ataque cardíaco (créditos: Owain Davies).

Ejemplo 8.9

Capacitancia de un desfibrilador cardíaco

Un desfibrilador cardíaco suministra 4,00×102J4,00×102J de energía descargando un condensador inicialmente a 1,00×104V.1,00×104V. ¿Cuál es su capacitancia?

Estrategia

Se nos da UCUC y V, y se nos pide que encontremos la capacitancia C. Resolvemos la Ecuación 8.10 para C y sustituimos.

Solución

Resolviendo esta expresión para C e introduciendo los valores dados se obtiene C=2UCV2=24,00×102J(1,00×104V)2=8,00μF.C=2UCV2=24,00×102J(1,00×104V)2=8,00μF.
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