William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Enunciar la ley de Gauss.
Explicar las condiciones en las que se puede utilizar la ley de Gauss.
Aplicar la ley de Gauss en sistemas adecuados.

Ahora podemos determinar el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria debido a una distribución de carga arbitraria. Descubrimos que si una superficie cerrada no tiene ninguna carga en su interior en la que pueda terminar una línea de campo eléctrico, entonces cualquier línea de campo eléctrico que entre en la superficie por un punto debe salir necesariamente por algún otro punto de la superficie. Por lo tanto, si una superficie cerrada no tiene ninguna carga dentro del volumen encerrado, entonces el flujo eléctrico a través de la superficie es cero. Ahora, ¿qué sucede con el flujo eléctrico si hay algunas cargas dentro del volumen encerrado? La ley de Gauss da una respuesta cuantitativa a esta cuestión.

Para hacernos una idea de lo que podemos esperar, calculemos el flujo eléctrico a través de una superficie esférica alrededor de una carga puntual positiva q, puesto que ya conocemos el campo eléctrico en tal situación. Recordemos que cuando colocamos la carga puntual en el origen de un sistema de coordenadas, el campo eléctrico en un punto P que está a una distancia r de la carga en el origen viene dado por

{\vec{E}}_{P} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q}{r^{2}} \hat{r},

donde $\hat{r}$ es el vector radial desde la carga en el origen hasta el punto P. Podemos utilizar este campo eléctrico para calcular el flujo a través de la superficie esférica de radio r, como se muestra en la Figura 6.13.

Se muestra una esfera marcada como S con radio R. En su centro, hay un pequeño círculo con un signo más, marcado como q. Una pequeña área en la esfera está marcada como dA. Dos flechas apuntan hacia afuera desde aquí, perpendiculares a la superficie de la esfera. La flecha más pequeña está marcada como vector n igual a vector r. La flecha más larga está marcada como vector E.

Figura 6.13 Una superficie esférica cerrada que rodea una carga puntual q.

A continuación, aplicamos $Φ = \int_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} d A$ a este sistema y sustituimos los valores conocidos. En la esfera, $\hat{n} = \hat{r}$ y $r = R$ , por lo que para un área infinitesimal dA,

d Φ = \vec{E} \cdot \hat{n} d A = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q}{R^{2}} \hat{r} \cdot \hat{r} d A = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q}{R^{2}} d A .

Ahora hallamos el flujo neto integrando este flujo sobre la superficie de la esfera:

Φ = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q}{R^{2}} \oint_{S} d A = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q}{R^{2}} (4 π R^{2}) = \frac{q}{ε_{0}} .

donde la superficie total de la superficie esférica es $4 π R^{2} .$ Esto da el flujo a través de la superficie esférica cerrada en el radio r como

Φ = \frac{q}{ε_{0}} .

6.4

Un hecho destacable de esta ecuación es que el flujo es independiente del tamaño de la superficie esférica. Esto puede atribuirse directamente al hecho de que el campo eléctrico de una carga puntual disminuye a medida a $1 / r^{2}$ con la distancia, lo que simplemente anula la tasa de aumento $r^{2}$ de la superficie.

Imagen de las líneas de campo eléctrico

Una forma alternativa de ver por qué el flujo a través de una superficie esférica cerrada es independiente del radio de la superficie es observar las líneas de campo eléctrico. Observe que cada línea de campo de q que perfora la superficie en el radio $R_{1}$ también perfora la superficie en $R_{2}$ (Figura 6.14).

La figura muestra tres círculos concéntricos. El más pequeño en el centro está marcado como q, el del medio tiene radio R1 y el más grande tiene radio R2. Ocho flechas irradian desde el centro en las ocho direcciones.

Figura 6.14 El flujo a través de superficies esféricas de radios

R_{1}

y

R_{2}

que encierran una carga q son iguales, independientemente del tamaño de la superficie, ya que todas las líneas de campo E que atraviesan una superficie desde la dirección interior a la exterior también atraviesan la otra superficie en la misma dirección.

Por lo tanto, el número neto de líneas de campo eléctrico que atraviesan las dos superficies desde la dirección interior a la exterior es igual. Este número neto de líneas de campo eléctrico, que se obtiene restando el número de líneas en la dirección de fuera a dentro del número de líneas en la dirección de dentro a fuera, da una medida visual del flujo eléctrico a través de las superficies.

Se puede ver que si no se incluyen cargas dentro de una superficie cerrada, entonces el flujo eléctrico que la atraviesa debe ser cero. Una línea de campo típica entra en la superficie en $d A_{1}$ y la deja en $d A_{2} .$ Toda línea que entre en la superficie debe salir también de ella. Por lo tanto, el "flujo" neto de las líneas de campo hacia o desde la superficie es cero (Figura 6.15(a)). Lo mismo ocurre si se incluyen cargas de signo igual y opuesto en el interior de la superficie cerrada, de modo que la carga total incluida es cero (parte (b)). Una superficie que incluye la misma cantidad de carga tiene el mismo número de líneas de campo que la cruzan, independientemente de la forma o el tamaño de la superficie, siempre que la superficie encierre la misma cantidad de carga (parte (c)).

La figura a muestra una forma tridimensional irregular marcada como S. Un pequeño círculo con un signo más, marcado como q está fuera de ella. Tres flechas marcadas como vector E se originan en q y pasan a través de S. Las áreas donde las flechas perforan la superficie de S están resaltados. El área en el que una flecha entra en la forma está marcada como dA1 y el área en el que la flecha sale de la forma está marcada como dA2. La figura b muestra un óvalo con dos pequeños círculos en su interior. Estos están marcados como más y menos. Tres flechas desde el exterior del óvalo apuntan al círculo marcado como menos. Tres flechas apuntan de más a menos. Tres flechas señalan desde más hasta el exterior del óvalo. La figura c tiene una forma irregular marcada como S2. Dentro de ella hay un círculo llamado S1. En su centro hay un pequeño círculo marcado con un signo más. Seis flechas irradian desde aquí en diferentes direcciones.

Figura 6.15 Entender el flujo en términos de líneas de campo. (a) El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada debido a una carga fuera de esa superficie es cero. (b) Las cargas están encerradas, pero como la carga neta incluida es cero, el flujo neto a través de la superficie cerrada también es cero. (c) La forma y el tamaño de las superficies que encierran una carga no importa porque todas las superficies que encierran la misma carga tienen el mismo flujo.

Enunciado de la ley de Gauss

La ley de Gauss generaliza este resultado al caso de cualquier número y cualquier ubicación de cargas en el espacio interior de la superficie cerrada. Según la ley de Gauss, el flujo del campo eléctrico $\vec{E}$ a través de cualquier superficie cerrada, también llamada superficie gaussiana, es igual a la carga neta encerrada $(q_{enc})$ dividida entre la permitividad del espacio libre $(ε_{0})$ :

Φ_{Superficie cerrada} = \frac{q_{enc}}{ε_{0}} .

Esta ecuación es válida para cargas de cualquier signo, porque definimos que el vector área de una superficie cerrada apunta hacia afuera. Si la carga encerrada es negativa (ver la Figura 6.16(b)), entonces el flujo a través de cualquiera de los dos $S o S'$ es negativo.

La figura a tiene una forma irregular marcada como S. Dentro de ella hay un círculo marcado como S primo. En su centro hay un pequeño círculo marcado con un signo más. Seis flechas irradian desde aquí en diferentes direcciones. La figura b tiene la misma forma irregular S y el círculo S primo. En su centro hay un pequeño círculo marcado como menos. Seis flechas de diferentes direcciones irradian hacia el interior a menos.

Figura 6.16 El flujo eléctrico que atraviesa cualquier superficie cerrada que rodea una carga puntual q viene dado por la ley de Gauss. (a) La carga encerrada es positiva. (b) La carga encerrada es negativa.

La superficie gaussiana no tiene por qué corresponder a un objeto físico real; de hecho, rara vez lo hará. Es una construcción matemática que puede tener cualquier forma, siempre que sea cerrada. Sin embargo, como nuestro objetivo es integrar el flujo sobre él, tendemos a elegir formas muy simétricas.

Si las cargas son de puntos discretas, entonces simplemente las sumamos. Si la carga está descrita por una distribución continua, entonces necesitamos integrar adecuadamente para calcular la carga total que reside dentro del volumen encerrado. Por ejemplo, el flujo a través de la superficie gaussiana S de la Figura 6.17 es $Φ = (q_{1} + q_{2} + q_{5}) / ε_{0} .$ Observe que $q_{enc}$ es simplemente la suma de las cargas puntuales. Si la distribución de la carga fuera continua, tendríamos que integrar adecuadamente para calcular la carga total dentro de la superficie gaussiana.

La figura muestra una forma irregular marcada como S. Dentro de ella hay cargas marcadas como positivas q1 y negativas q2 y q5. Fuera de S se encuentran las cargas marcadas como positivas q3, q4, q6 y q N menos 1 y negativas q7 y q N.

Figura 6.17 El flujo a través de la superficie gaussiana mostrada, debido a la distribución de carga, es

Φ = | q_{1} | + | q_{2} | + | q_{5} | / ε_{0} .

Recordemos que el principio de superposición es válido para el campo eléctrico. Por lo tanto, el campo eléctrico total en cualquier punto, incluidos los de la superficie gaussiana elegida, es la suma de todos los campos eléctricos presentes en este punto. Esto nos permite escribir la ley de Gauss en términos del campo eléctrico total.

Ley de Gauss

El flujo $Φ$ del campo eléctrico $\vec{E}$ a través de cualquier superficie cerrada S (una superficie gaussiana) es igual a la carga neta encerrada $(q_{enc})$ dividida entre la permitividad del espacio libre $(ε_{0}) :$

Φ = \oint_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} d A = \frac{q_{enc}}{ε_{0}} .

6.5

Para utilizar la ley de Gauss de forma eficaz, hay que tener claro qué representa cada término de la ecuación. El campo $\vec{E}$ es el campo eléctrico total en cada punto de la superficie gaussiana. Este campo total incluye las contribuciones de las cargas tanto dentro como fuera de la superficie gaussiana. Sin embargo, $q_{enc}$ es solo la carga dentro de la superficie gaussiana. Por último, la superficie gaussiana es cualquier superficie cerrada en el espacio. Esa superficie puede coincidir con la superficie real de un conductor, o puede ser una superficie geométrica imaginaria. El único requisito impuesto a una superficie gaussiana es que sea cerrada (Figura 6.18).

La figura muestra una botella que parece un frasco invertido cuyo cuello es alargado, doblado hacia arriba, retorcido, llevado al interior de la botella y unido con su base, teniendo así una sola superficie.

Figura 6.18 Una botella de Klein parcialmente llena de un líquido. ¿Podría utilizarse la botella de Klein como superficie gaussiana?

Ejemplo 6.5

Flujo eléctrico a través de superficies gaussianas

Calcule el flujo eléctrico a través de cada superficie gaussiana mostrada en la Figura 6.19.

Las figuras a hasta d muestran formas irregulares y la figura e muestra un cubo. La figura a tiene una carga en el interior de la forma marcada como más 2,0 mu C. La figura b tiene una carga en el interior de la forma marcada como menos 2,0 mu C. La figura c tiene una carga en el interior de la forma marcada como más 2,0 mu C y dos cargas en el exterior marcadas como más 4 mu C y menos 2,0 mu C. La figura d tiene tres cargas en el interior de la forma marcadas como menos 1,0 mu C, menos 4,0 mu C y más 6,0 mu C y dos cargas en el exterior de la forma marcadas como menos 5,0 mu C y más 4,0 mu C. La figura e tiene tres cargas en el interior marcadas como más 4,0 mu C, más 6,0 mu C y menos 10,0 mu C y dos cargas en el exterior del cubo marcadas como más 5,0 mu C y 3,0 mu C.

Figura 6.19 Varias superficies y cargas gaussianas.

Estrategia

A partir de la ley de Gauss, el flujo que atraviesa cada superficie viene dado por

q_{enc} / ε_{0},

donde

q_{enc}

es la carga que encierra esa superficie.

Solución

Para las superficies y cargas mostradas, hallamos

$Φ = \frac{2,0 μ C}{ε_{0}} = 2,3 \times 10^{5} N \cdot m^{2} /C .$
$Φ = \frac{−2,0 μ C}{ε_{0}} = −2,3 \times 10^{5} N \cdot m^{2} /C .$
$Φ = \frac{2,0 μ C}{ε_{0}} = 2,3 \times 10^{5} N \cdot m^{2} /C .$
$Φ = \frac{−4,0 μ C + 6,0 μ C - 1,0 μ C}{ε_{0}} = 1,1 \times 10^{5} N \cdot m^{2} /C .$
$Φ = \frac{4,0 μ C + 6,0 μ C - 10,0 μ C}{ε_{0}} = 0 .$

Importancia

En el caso especial de una superficie cerrada, los cálculos de flujo se convierten en una suma de cargas. En la próxima sección, esto nos permitirá trabajar con sistemas más complejos.

Compruebe Lo Aprendido 6.3

Calcule el flujo eléctrico a través de la superficie cúbica cerrada para cada distribución de carga mostrada en la Figura 6.20.

Las figuras a hasta d muestran un cuboide con una esquina en el origen de los ejes de coordenadas. En la figura a, hay una carga más 3,0 mu C en la superficie paralela al plano yz. En la figura b, hay una carga menos 3,0 mu C en la superficie paralela al plano yz. En la figura c, hay una carga más 3,0 mu C en la superficie paralela al plano yz, una carga menos 3,0 mu C en el eje y fuera de la forma, y una carga más 6,0 mu C fuera de la forma. En la figura d, hay una carga menos 3,0 mu C en el eje y fuera de la forma y cargas más 3,0 mu C y más 6,0 mu C fuera de la forma.

Figura 6.20 Una superficie cúbica gaussiana con varias distribuciones de carga.

Interactivo

Utilice esta simulación para ajustar la magnitud de la carga y el radio de la superficie gaussiana que la rodea. Observe cómo afecta esto al flujo total y a la magnitud del campo eléctrico en la superficie gaussiana.

6.2 Explicar la ley de Gauss