William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Explicar qué son las simetrías esférica, cilíndrica y plana.
Reconocer si un sistema dado posee o no una de estas simetrías.
Aplicar la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico de un sistema con una de estas simetrías.

La ley de Gauss es muy útil para determinar las expresiones del campo eléctrico, aunque la ley no se refiere directamente al campo eléctrico, sino al flujo eléctrico. Resulta que en situaciones que tienen ciertas simetrías (esféricas, cilíndricas o planas) en la distribución de cargas, podemos deducir el campo eléctrico a partir del conocimiento del flujo eléctrico. En estos sistemas, podemos calcular una superficie gaussiana S sobre la que el campo eléctrico tiene una magnitud constante. Además, si $\vec{E}$ es paralelo a $\hat{n}$ por todas partes en la superficie, entonces $\vec{E} \cdot \hat{n} = E .$ (Si $\vec{E}$ y $\hat{n}$ son antiparalelas en toda la superficie, entonces $\vec{E} \cdot \hat{n} = − E .$ ). La ley de Gauss se simplifica entonces a

Φ = \oint_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} d A = E \oint_{S} d A = E A = \frac{q_{enc}}{ε_{0}},

6.6

donde A es el área de la superficie. Observe que estas simetrías conducen a la transformación de la integral de flujo en un producto de la magnitud del campo eléctrico y un área apropiada. Cuando se utiliza este flujo en la expresión de la ley de Gauss, se obtiene una ecuación algebraica que se puede resolver para la magnitud del campo eléctrico, que se parece a

E ~ \frac{q_{enc}}{ε_{0} área} .

La dirección del campo eléctrico en el punto P se obtiene a partir de la simetría de la distribución de carga y del tipo de carga en la distribución. Por lo tanto, se puede utilizar la ley de Gauss para determinar $\vec{E} .$ A continuación, un resumen de los pasos que seguiremos:

Estrategia de Resolución De Problemas

Ley de Gauss

Identificar la simetría espacial de la distribución de cargas. Este es un primer paso importante que nos permite elegir la superficie gaussiana adecuada. Como ejemplos, una carga puntual aislada tiene simetría esférica, y una línea de carga infinita tiene simetría cilíndrica.
Elegir una superficie gaussiana con la misma simetría que la distribución de cargas e identifique sus consecuencias. Con esta elección, $\vec{E} \cdot \hat{n}$ se determina fácilmente sobre la superficie gaussiana.
Evaluar la integral $\oint_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} d A$ sobre la superficie gaussiana, es decir, calcular el flujo a través de la superficie. La simetría de la superficie gaussiana nos permite factorizar $\vec{E} \cdot \hat{n}$ fuera de la integral.
Determinar la cantidad de carga que encierra la superficie gaussiana. Se trata de una evaluación del lado derecho de la ecuación que representa la ley de Gauss. A menudo es necesario realizar una integración para obtener la carga neta encerrada.
Evaluar el campo eléctrico de la distribución de carga. Ahora se puede calcular el campo utilizando los resultados de los pasos 3 y 4.

Básicamente, solo hay tres tipos de simetría que permiten utilizar la ley de Gauss para deducir el campo eléctrico. Estas son:

una distribución de carga con simetría esférica;
una distribución de carga con simetría cilíndrica;
una distribución de carga con simetría plana.

Para explotar la simetría, realizamos los cálculos en sistemas de coordenadas adecuados y utilizamos el tipo de superficie gaussiana correcta para esa simetría, aplicando los cuatro pasos restantes.

Distribución de la carga con simetría esférica

Una distribución de carga tiene simetría esférica si la densidad de carga depende solo de la distancia a un punto del espacio y no de la dirección. En otras palabras, si gira el sistema, no se ve diferente. Por ejemplo, si una esfera de radio R está cargada uniformemente con una densidad de carga $ρ_{0}$ entonces la distribución tiene simetría esférica (Figura 6.21(a)). Por otro lado, si una esfera de radio R se carga de manera que la mitad superior de la esfera tiene una densidad de carga uniforme $ρ_{1}$ y la mitad inferior tiene una densidad de carga uniforme $ρ_{2} \neq ρ_{1},$ entonces la esfera no tiene simetría esférica porque la densidad de carga depende de la dirección (Figura 6.21(b)). Por lo tanto, no es la forma del objeto sino la forma de la distribución de la carga lo que determina si un sistema tiene o no simetría esférica.

La Figura 6.21(c) muestra una esfera con cuatro capas diferentes, cada una con su propia densidad de carga uniforme. Aunque se trata de una situación en la que la densidad de carga en la esfera completa no es uniforme, la función de densidad de carga solo depende de la distancia al centro y no de la dirección. Por lo tanto, esta distribución de carga sí tiene simetría esférica.

La figura a muestra una esfera de color uniforme marcada como rho 0. La figura está marcada como esféricamente simétrica. La figura b muestra una esfera cuyas mitades superior e inferior son de diferente color. El hemisferio superior está marcado como rho 1 y el inferior como rho 2. La figura está marcada como no esféricamente simétrica. La figura c muestra una esfera, seccionada para mostrar muchas esferas concéntricas de diferentes colores dentro de ella. La figura está marcada como esféricamente simétrica.

Figura 6.21 Ilustraciones de sistemas esféricamente simétricos y no simétricos. Diferentes sombreados indican diferentes densidades de carga. Las cargas en objetos con forma esférica no significan necesariamente que las cargas estén distribuidas con simetría esférica. Esta simetría se produce solo cuando la densidad de carga no depende de la dirección. En (a), las cargas están distribuidas uniformemente en una esfera. En (b), la mitad superior de la esfera tiene una densidad de carga diferente de la mitad inferior; por lo tanto, (b) no tiene simetría esférica. En (c), las cargas están en capas esféricas de diferentes densidades de carga, lo que significa que la densidad de carga es solo una función de la distancia radial desde el centro; por lo tanto, el sistema tiene simetría esférica.

Una buena forma de determinar si su problema tiene o no simetría esférica es mirar la función de densidad de carga en coordenadas esféricas, $ρ (r, θ, ϕ)$ . Si la densidad de carga es solo una función de r, es decir $ρ = ρ (r)$ , entonces tiene simetría esférica. Si la densidad depende de $θ$ o $ϕ$ , se podría cambiar por rotación; por lo tanto, no se tendría simetría esférica.

Consecuencias de la simetría

En todos los casos de simetría esférica, el campo eléctrico en cualquier punto debe estar dirigido radialmente, porque la carga y, por consiguiente, el campo deben ser invariantes bajo la rotación. Por lo tanto, utilizando coordenadas esféricas con su origen en el centro de la distribución de carga esférica, podemos escribir la forma esperada del campo eléctrico en un punto P situado a una distancia r del centro:

Simetría esférica: {\vec{E}}_{P} = E_{P} (r) \hat{r},

6.7

donde $\hat{r}$ es el vector unitario que apunta en la dirección del origen al campo de puntos P. El componente radial $E_{P}$ del campo eléctrico puede ser positivo o negativo. Cuando $E_{P} > 0,$ el campo eléctrico en los puntos P apunta lejos del origen, y cuando $E_{P} < 0,$ el campo eléctrico en P apunta hacia el origen.

Superficie gaussiana y cálculos de flujo

Ahora podemos utilizar esta forma del campo eléctrico para obtener el flujo del campo eléctrico a través de la superficie gaussiana. Para la simetría esférica, la superficie gaussiana es una superficie esférica cerrada que tiene el mismo centro que el de la distribución de carga. Así, la dirección del vector área de un elemento de área en la superficie gaussiana en cualquier punto es paralela a la dirección del campo eléctrico en ese punto, ya que ambos están dirigidos radialmente hacia fuera (Figura 6.22).

La figura muestra un círculo marcado como cargas con centro O y radio R. Un círculo concéntrico más grande mostrado con una línea punteada es marcado como superficie gaussiana. Una flecha marcada con r señala el radio del círculo exterior. A lo largo de r se muestra una flecha con la etiqueta vector r. Una pequeña área en la que r toca la superficie gaussiana está resaltada y marcada como P. Desde aquí, otra flecha apunta hacia fuera en la misma dirección que r. Esta flecha se denomina vector E subíndice P. Otra flecha se origina en la punta del vector E subíndice P y apunta hacia afuera en la misma dirección. Se marca como vector delta A.

Figura 6.22 El campo eléctrico en cualquier punto de la superficie esférica de Gauss para una distribución de carga esféricamente simétrica es paralelo al vector del elemento de área en ese punto, dando el flujo como el producto de la magnitud del campo eléctrico y el valor del área. Note que el radio R de la distribución de carga y el radio r de la superficie gaussiana son cantidades diferentes.

La magnitud del campo eléctrico $\vec{E}$ debe ser igual en todas partes en una superficie esférica gaussiana concéntrica con la distribución. Para una superficie esférica de radio r,

Φ = \oint_{S} {\vec{E}}_{P} \cdot \hat{n} d A = E_{P} \oint_{S} d A = E_{P} 4 π r^{2} .

Utilizando la ley de Gauss

Según la ley de Gauss, el flujo que atraviesa una superficie cerrada es igual a la carga total encerrada en la superficie cerrada dividida entre la permitividad del vacío $ε_{0}$ . Supongamos que $q_{enc}$ es la carga total encerrada dentro de la distancia r del origen, que es el espacio dentro de la superficie esférica gaussiana de radio r. Esto da la siguiente relación para la ley de Gauss:

4 π r^{2} E = \frac{q_{enc}}{ε_{0}} .

Por lo tanto, el campo eléctrico en el punto P que está a una distancia r del centro de una distribución de carga esféricamente simétrica tiene la siguiente magnitud y dirección:

Magnitud: E (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{enc}}{r^{2}}

6.8

Dirección: radial de O a P o de P a O.

La dirección del campo en el punto P depende de si la carga de la esfera es positiva o negativa. Para una carga neta positiva encerrada dentro de la superficie gaussiana, la dirección es de O a P, y para una carga neta negativa, la dirección es de P a O. Esto es todo lo que necesitamos para una carga puntual, y notará que el resultado anterior es idéntico al de una carga puntual. Sin embargo, la ley de Gauss se vuelve verdaderamente útil en los casos en que la carga ocupa un volumen finito.

Cálculo de la carga encerrada

El caso más interesante es cuando una distribución de carga esférica ocupa un volumen, y entonces se vuelve relevante preguntarse cuál es el campo eléctrico dentro de la distribución de carga. En este caso, la carga encerrada depende de la distancia r del punto de campo en relación con el radio de la distribución de carga R, como la que se muestra en la Figura 6.23.

La figura a muestra un círculo punteado S con centro O y radio r, y un círculo concéntrico más grande con radio R. Una pequeña flecha apunta hacia afuera de S. Esto es marcado como vector E subíndice dentro. S es la superficie gaussiana marcada para el vector E subíndice dentro. La figura b muestra un círculo punteado S con centro O y radio r, y un círculo concéntrico más pequeño con radio R. Una pequeña flecha apunta hacia afuera de S. Esto se marca como vector E subíndice afuera. S es la superficie gaussiana marcada para el vector E subíndice afuera.

Figura 6.23 Una distribución de carga esféricamente simétrica y la superficie gaussiana utilizada para calcular el campo (a) dentro y (b) fuera de la distribución.

Si el punto P se encuentra fuera de la distribución de la carga, es decir, si $r \geq R$ , entonces la superficie gaussiana que contiene a P encierra todas las cargas de la esfera. En este caso, $q_{enc}$ es igual a la carga total de la esfera. Por otro lado, si el punto P está dentro de la distribución de carga esférica, es decir, si $r < R,$ entonces la superficie gaussiana encierra una esfera más pequeña que la esfera de distribución de la carga. En este caso, $q_{enc}$ es menor que la carga total presente en la esfera. En referencia a la Figura 6.23, podemos escribir $q_{enc}$ como

q_{enc} = {\begin{matrix} q_{tot} (carga total) si r \geq R \\ q_{dentro r < R} (solo carga dentro r < R) si r < R \end{matrix} .

El campo en un punto fuera de la distribución de carga también se llama ${\vec{E}}_{fuera}$ , y el campo en un punto dentro de la distribución de carga se llama ${\vec{E}}_{dentro} .$ Centrándonos en los dos tipos de puntos de campo, ya sea dentro o fuera de la distribución de carga, ahora podemos escribir la magnitud del campo eléctrico como

P esfera exterior E_{fuera} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{tot}}{r^{2}}

6.9

P dentro de la esfera E_{dentro} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{dentro r < R}}{r^{2}} .

6.10

Observe que el campo eléctrico fuera de una distribución de carga esférica simétrica es idéntico al de una carga puntual en el centro que tiene una carga igual a la carga total de la distribución de carga esférica. Esto es notable ya que las cargas no se encuentran en el centro solamente. A continuación, elaboramos ejemplos concretos de distribuciones de carga esféricas, empezando por el caso de una esfera cargada uniformemente.

Ejemplo 6.6

Esfera con carga uniforme

Una esfera de radio R, como la que se muestra en la Figura 6.23, tiene un volumen de densidad de carga uniforme

ρ_{0}

. Halle el campo eléctrico en un punto fuera de la esfera y en un punto dentro de esta.

Estrategia

Aplicar la estrategia de resolución de problemas de la ley de Gauss, en la que ya hemos elaborado el cálculo del flujo.

Solución

La carga encerrada por la superficie gaussiana viene dada por

q_{enc} = {\int ρ}_{0} d V = \int_{0}^{r} ρ_{0} 4 π {r^{'}}^{2} d r^{'} = ρ_{0} (\frac{4}{3} π r^{3}) .

La respuesta para la amplitud del campo eléctrico puede entonces escribirse inmediatamente para un punto fuera de la esfera, marcado como $E_{fuera},$ y un punto dentro de la esfera, marcado como $E_{dentro} .$

\begin{matrix} E_{fuera} & = & \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{tot}}{r^{2}}, q_{tot} = \frac{4}{3} π R^{3} ρ_{0}, \\ E_{dentro} & = & \frac{q_{enc}}{4 π ε_{0} r^{2}} = \frac{ρ_{0} r}{3 ε_{0}}, dado que q_{enc} = \frac{4}{3} π r^{3} ρ_{0} . \end{matrix}

Es interesante observar que la magnitud del campo eléctrico aumenta en el interior del material a medida que se sale, ya que la cantidad de carga encerrada por la superficie gaussiana aumenta con el volumen. En concreto, la carga adjunta crece $\propto r^{3}$ , mientras que el campo de cada elemento infinitesimal de carga cae $\propto 1 / r^{2}$ con el resultado neto de que el campo eléctrico dentro de la distribución aumenta en fuerza linealmente con el radio. La magnitud del campo eléctrico fuera de la esfera disminuye a medida que se aleja de las cargas, porque la carga incluida sigue siendo la misma pero la distancia aumenta. La Figura 6.24 muestra la variación de la magnitud del campo eléctrico con la distancia desde el centro de una esfera uniformemente cargada.

La figura muestra un gráfico de E versus r. La curva sube en una línea recta marcada como E proporcional a r, tiene un pico y cae en una línea curva marcada como E proporcional a 1 por r al cuadrado. El pico tiene un valor x de R y un valor y de E subíndice R.

Figura 6.24 El campo eléctrico de una esfera uniformemente cargada y no conductora aumenta en el interior de la esfera hasta un máximo en la superficie y luego disminuye como

1 / r^{2}

. Aquí,

E_{R} = \frac{ρ_{0} R}{3 ε_{0}}

. El campo eléctrico se debe a una distribución de carga esférica de densidad de carga uniforme y carga total Q en función de la distancia al centro de la distribución.

La dirección del campo eléctrico en cualquier punto P es radialmente hacia fuera desde el origen si $ρ_{0}$ es positivo, y hacia adentro (es decir, hacia el centro) si $ρ_{0}$ es negativo. El campo eléctrico en algunos puntos representativos del espacio se muestra en la Figura 6.25 cuyas coordenadas radiales r son $r = R / 2$ , $r = R$ , y $r = 2 R$ .

La figura muestra tres círculos concéntricos. La más pequeña está punteada y marcada como r igual a R por 2. La del medio está marcada como r igual a R y la más grande, también punteada, está marcada como r igual a 2R. Las flechas marcadas como vector E se originan en cada círculo y apuntan hacia afuera, perpendicularmente a este. Las del círculo exterior son las más pequeñas y las del círculo central son las más largas.

Figura 6.25 Vectores del campo eléctrico dentro y fuera de una esfera uniformemente cargada.

Importancia

Observe que

E_{fuera}

tiene la misma forma que la ecuación del campo eléctrico de una carga puntual aislada. Por lo tanto, al determinar el campo eléctrico de una distribución de carga esférica uniforme, podemos suponer que toda la carga dentro de la superficie esférica gaussiana apropiada se encuentra en el centro de la distribución.

Ejemplo 6.7

Esfera con carga no uniforme

Una esfera no conductora de radio R tiene una densidad de carga no uniforme que varía con la distancia a su centro, dada por

ρ (r) = a r^{n} (r \leq R; n \geq 0),

donde a es una constante. Requerimos $n \geq 0$ para que la densidad de carga no esté indefinida en $r = 0$ . Halle el campo eléctrico en un punto fuera de la esfera y en un punto dentro de esta.

Estrategia

Aplique la estrategia de la ley de Gauss dada anteriormente, en la que se calculan las integrales de carga cerrada por separado para los casos dentro y fuera de la esfera.

Solución

Como la función de densidad de carga dada solo tiene una dependencia radial y ninguna dependencia de la dirección, tenemos una situación esféricamente simétrica. Por lo tanto, la magnitud del campo eléctrico en cualquier punto está dada arriba y la dirección es radial. Solo tenemos que calcular la carga cerrada

q_{enc},

que depende de la ubicación del punto de campo.

Una nota sobre los símbolos: Utilizamos $r^{'}$ para localizar las cargas en la distribución de cargas y r para localizar el (los) punto(s) de campo en la(s) superficie(s) gaussiana(s). La letra R se utiliza para el radio de la distribución de la carga.

Como la densidad de carga no es constante aquí, necesitamos integrar la función de densidad de carga sobre el volumen encerrado por la superficie gaussiana. Por lo tanto, planteamos el problema para las cargas en una capa esférica, digamos entre $r^{'}$ y $r^{'} + d r^{'},$ como se muestra en la Figura 6.26. El volumen de cargas en la capa de anchura infinitesimal es igual al producto del área de la superficie $4 π {r^{'}}^{2}$ y el espesor $d r^{'}$ . Multiplicando el volumen por la densidad en este lugar, que es $a {r^{'}}^{n}$ , da la carga en la capa:

d q = a {r^{'}}^{n} 4 π {r^{'}}^{2} d r^{'} .

La figura muestra cuatro círculos concéntricos. Empezando por el más pequeño, sus radios están marcados: r primo, r primo más d r primo, R y r. El círculo más externo está punteado y etiquetado como superficie gaussiana.

Figura 6.26 Simetría esférica con distribución de carga no uniforme. En este tipo de problema, necesitamos cuatro radios: R es el radio de la distribución de carga, r es el radio de la superficie gaussiana,

r^{'}

es el radio interior de la capa esférica, y

r^{'} + d r^{'}

es el radio exterior de la capa esférica. La capa esférica se utiliza para calcular la carga encerrada en la superficie gaussiana. La gama para

r^{'}

es de 0 a r para el campo en un punto dentro de la distribución de carga y de 0 a R para el campo en un punto fuera de la distribución de carga. Si

r > R

, entonces la superficie gaussiana encierra más volumen que la distribución de carga, pero el volumen adicional no contribuye a

q_{enc}

.

(a) Campo en un punto fuera de la distribución de la carga. En este caso, la superficie gaussiana, que contiene el punto de campo P, tiene un radio r mayor que el radio R de la distribución de carga, $r > R$ . Por lo tanto, todas las cargas de la distribución de carga están encerradas en la superficie gaussiana. Tenga en cuenta que el espacio entre $r^{'} = R$ y $r^{'} = r$ está vacío de cargas y, por tanto, no contribuye a la integral sobre el volumen encerrado por la superficie gaussiana:

q_{enc} = \int d q = \int_{0}^{R} a {r^{'}}^{n} 4 π {r^{'}}^{2} d r^{'} = \frac{4 π a}{n + 3} R^{n + 3} .

Esto se utiliza en el resultado general para ${\vec{E}}_{fuera}$ anterior para obtener el campo eléctrico en un punto fuera de la distribución de carga como

{\vec{E}}_{fuera} = [\frac{a R^{n + 3}}{ε_{0} (n + 3)}] \frac{1}{r^{2}} \hat{r},

donde $\hat{r}$ es un vector unitario en la dirección del origen al punto de campo en la superficie gaussiana.

(b) Campo en un punto dentro de la distribución de carga. La superficie gaussiana está ahora enterrada dentro de la distribución de carga, con $r < R$ . Por lo tanto, solo las cargas de la distribución que están a una distancia r del centro de la distribución esférica de cargas cuentan en $r_{enc}$ :

q_{enc} = \int_{0}^{r} a {r^{'}}^{n} 4 π {r^{'}}^{2} d r^{'} = \frac{4 π a}{n + 3} r^{n + 3} .

Ahora, utilizando el resultado general anterior para ${\vec{E}}_{dentro},$ calculamos el campo eléctrico en un punto que está a una distancia r del centro y está dentro de la distribución de carga como

{\vec{E}}_{dentro} = [\frac{a}{ε_{0} (n + 3)}] r^{n + 1} \hat{r},

donde la información sobre la dirección se incluye utilizando el vector radial unitario.

Compruebe Lo Aprendido 6.4

Compruebe que los campos eléctricos de la esfera se reducen a los valores correctos para una carga puntual.

Distribución de la carga con simetría cilíndrica

Una distribución de carga tiene simetría cilíndrica si la densidad de carga depende solo de la distancia r del eje de un cilindro y no debe variar a lo largo del eje o con la dirección alrededor del eje. En otras palabras, si su sistema varía si lo gira alrededor del eje, o lo desplaza a lo largo del eje, no tiene simetría cilíndrica.

La Figura 6.27 muestra cuatro situaciones en las que las cargas se distribuyen en un cilindro. Una densidad de carga uniforme $ρ_{0} .$ en un alambre recto infinito tiene una simetría cilíndrica, y lo mismo ocurre con un cilindro infinitamente largo con densidad de carga constante $ρ_{0} .$ Un cilindro infinitamente largo que tiene diferentes densidades de carga a lo largo de su longitud, como una densidad de carga $ρ_{1}$ para $z > 0$ y $ρ_{2} \neq ρ_{1}$ para $z < 0$ , no tiene una simetría cilíndrica utilizable para este curso. Tampoco lo hace un cilindro en el que la densidad de carga varía con la dirección, como una densidad de carga $ρ_{1}$ para $0 \leq θ < π$ y $ρ_{2} \neq ρ_{1}$ para $π \leq θ < 2 π$ . Un sistema con capas cilíndricas concéntricas, cada una con densidades de carga uniformes, aunque diferentes en las distintas capas, como en la Figura 6.27(d), sí tiene simetría cilíndrica si son infinitamente largas. El requisito de longitud infinita se debe a que la densidad de carga cambia a lo largo del eje de un cilindro finito. En los sistemas reales, no tenemos cilindros infinitos; sin embargo, si el objeto cilíndrico es considerablemente más largo que el radio de él que nos interesa, entonces la aproximación de un cilindro infinito resulta útil.

Las figuras a hasta d muestran un cilindro. En la figura a, marcada como cilíndrica simétrica, el cilindro está uniformemente coloreado y marcado como rho cero. En la figura b, marcada como no cilíndrica, las mitades superior e inferior del cilindro son de diferente color. La parte superior está marcada como rho 1 y la inferior como rho 2. En la figura c, marcada como no cilíndrica, las mitades izquierda y derecha del cilindro son de diferente color. La izquierda está marcada como rho 1 y la derecha como rho 2. En la figura d, se ven muchas secciones concéntricas dentro del cilindro. La figura está marcada como cilíndricamente simétrica.

Figura 6.27 Para determinar si una distribución de carga dada tiene simetría cilíndrica, observe la sección transversal de un cilindro "infinitamente largo". Si la densidad de carga no depende del ángulo polar de la sección transversal o a lo largo del eje, entonces se tiene simetría cilíndrica. (a) La densidad de carga es constante en el cilindro; (b) la mitad superior del cilindro tiene una densidad de carga diferente de la mitad inferior; (c) la mitad izquierda del cilindro tiene una densidad de carga diferente de la mitad derecha; (d) las cargas son constantes en diferentes anillos cilíndricos, pero la densidad no depende del ángulo polar. Los casos (a) y (d) tienen simetría cilíndrica, mientras que (b) y (c) no.