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Física Universitaria Volumen 2

6.3 Aplicación de la ley de Gauss

Física Universitaria Volumen 26.3 Aplicación de la ley de Gauss
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar qué son las simetrías esférica, cilíndrica y plana.
  • Reconocer si un sistema dado posee o no una de estas simetrías.
  • Aplicar la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico de un sistema con una de estas simetrías.

La ley de Gauss es muy útil para determinar las expresiones del campo eléctrico, aunque la ley no se refiere directamente al campo eléctrico, sino al flujo eléctrico. Resulta que en situaciones que tienen ciertas simetrías (esféricas, cilíndricas o planas) en la distribución de cargas, podemos deducir el campo eléctrico a partir del conocimiento del flujo eléctrico. En estos sistemas, podemos calcular una superficie gaussiana S sobre la que el campo eléctrico tiene una magnitud constante. Además, si EE es paralelo a n^n^ por todas partes en la superficie, entonces E·n^=E.E·n^=E. (Si EE y n^n^ son antiparalelas en toda la superficie, entonces E·n^=E.E·n^=E.). La ley de Gauss se simplifica entonces a

Φ=SE·n^dA=ESdA=EA=qencε0,Φ=SE·n^dA=ESdA=EA=qencε0,
6.6

donde A es el área de la superficie. Observe que estas simetrías conducen a la transformación de la integral de flujo en un producto de la magnitud del campo eléctrico y un área apropiada. Cuando se utiliza este flujo en la expresión de la ley de Gauss, se obtiene una ecuación algebraica que se puede resolver para la magnitud del campo eléctrico, que se parece a

E~qencε0área.E~qencε0área.

La dirección del campo eléctrico en el punto P se obtiene a partir de la simetría de la distribución de carga y del tipo de carga en la distribución. Por lo tanto, se puede utilizar la ley de Gauss para determinar E.E. A continuación, un resumen de los pasos que seguiremos:

Estrategia de Resolución De Problemas

Ley de Gauss

  1. Identificar la simetría espacial de la distribución de cargas. Este es un primer paso importante que nos permite elegir la superficie gaussiana adecuada. Como ejemplos, una carga puntual aislada tiene simetría esférica, y una línea de carga infinita tiene simetría cilíndrica.
  2. Elegir una superficie gaussiana con la misma simetría que la distribución de cargas e identifique sus consecuencias. Con esta elección, E·n^E·n^ se determina fácilmente sobre la superficie gaussiana.
  3. Evaluar la integral SE·n^dASE·n^dA sobre la superficie gaussiana, es decir, calcular el flujo a través de la superficie. La simetría de la superficie gaussiana nos permite factorizar E·n^E·n^ fuera de la integral.
  4. Determinar la cantidad de carga que encierra la superficie gaussiana. Se trata de una evaluación del lado derecho de la ecuación que representa la ley de Gauss. A menudo es necesario realizar una integración para obtener la carga neta encerrada.
  5. Evaluar el campo eléctrico de la distribución de carga. Ahora se puede calcular el campo utilizando los resultados de los pasos 3 y 4.

Básicamente, solo hay tres tipos de simetría que permiten utilizar la ley de Gauss para deducir el campo eléctrico. Estas son:

  • una distribución de carga con simetría esférica;
  • una distribución de carga con simetría cilíndrica;
  • una distribución de carga con simetría plana.

Para explotar la simetría, realizamos los cálculos en sistemas de coordenadas adecuados y utilizamos el tipo de superficie gaussiana correcta para esa simetría, aplicando los cuatro pasos restantes.

Distribución de la carga con simetría esférica

Una distribución de carga tiene simetría esférica si la densidad de carga depende solo de la distancia a un punto del espacio y no de la dirección. En otras palabras, si gira el sistema, no se ve diferente. Por ejemplo, si una esfera de radio R está cargada uniformemente con una densidad de carga ρ0ρ0 entonces la distribución tiene simetría esférica (Figura 6.21(a)). Por otro lado, si una esfera de radio R se carga de manera que la mitad superior de la esfera tiene una densidad de carga uniforme ρ1ρ1 y la mitad inferior tiene una densidad de carga uniforme ρ2ρ1,ρ2ρ1, entonces la esfera no tiene simetría esférica porque la densidad de carga depende de la dirección (Figura 6.21(b)). Por lo tanto, no es la forma del objeto sino la forma de la distribución de la carga lo que determina si un sistema tiene o no simetría esférica.

La Figura 6.21(c) muestra una esfera con cuatro capas diferentes, cada una con su propia densidad de carga uniforme. Aunque se trata de una situación en la que la densidad de carga en la esfera completa no es uniforme, la función de densidad de carga solo depende de la distancia al centro y no de la dirección. Por lo tanto, esta distribución de carga sí tiene simetría esférica.

La figura a muestra una esfera de color uniforme marcada como rho 0. La figura está marcada como esféricamente simétrica. La figura b muestra una esfera cuyas mitades superior e inferior son de diferente color. El hemisferio superior está marcado como rho 1 y el inferior como rho 2. La figura está marcada como no esféricamente simétrica. La figura c muestra una esfera, seccionada para mostrar muchas esferas concéntricas de diferentes colores dentro de ella. La figura está marcada como esféricamente simétrica.
Figura 6.21 Ilustraciones de sistemas esféricamente simétricos y no simétricos. Diferentes sombreados indican diferentes densidades de carga. Las cargas en objetos con forma esférica no significan necesariamente que las cargas estén distribuidas con simetría esférica. Esta simetría se produce solo cuando la densidad de carga no depende de la dirección. En (a), las cargas están distribuidas uniformemente en una esfera. En (b), la mitad superior de la esfera tiene una densidad de carga diferente de la mitad inferior; por lo tanto, (b) no tiene simetría esférica. En (c), las cargas están en capas esféricas de diferentes densidades de carga, lo que significa que la densidad de carga es solo una función de la distancia radial desde el centro; por lo tanto, el sistema tiene simetría esférica.

Una buena forma de determinar si su problema tiene o no simetría esférica es mirar la función de densidad de carga en coordenadas esféricas, ρ(r,θ,ϕ)ρ(r,θ,ϕ). Si la densidad de carga es solo una función de r, es decir ρ=ρ(r)ρ=ρ(r), entonces tiene simetría esférica. Si la densidad depende de θθ o ϕϕ, se podría cambiar por rotación; por lo tanto, no se tendría simetría esférica.

Consecuencias de la simetría

En todos los casos de simetría esférica, el campo eléctrico en cualquier punto debe estar dirigido radialmente, porque la carga y, por consiguiente, el campo deben ser invariantes bajo la rotación. Por lo tanto, utilizando coordenadas esféricas con su origen en el centro de la distribución de carga esférica, podemos escribir la forma esperada del campo eléctrico en un punto P situado a una distancia r del centro:

Simetría esférica:EP=EP(r)r^,Simetría esférica:EP=EP(r)r^,
6.7

donde r^r^ es el vector unitario que apunta en la dirección del origen al campo de puntos P. El componente radial EPEP del campo eléctrico puede ser positivo o negativo. Cuando EP>0,EP>0, el campo eléctrico en los puntos P apunta lejos del origen, y cuando EP<0,EP<0, el campo eléctrico en P apunta hacia el origen.

Superficie gaussiana y cálculos de flujo

Ahora podemos utilizar esta forma del campo eléctrico para obtener el flujo del campo eléctrico a través de la superficie gaussiana. Para la simetría esférica, la superficie gaussiana es una superficie esférica cerrada que tiene el mismo centro que el de la distribución de carga. Así, la dirección del vector área de un elemento de área en la superficie gaussiana en cualquier punto es paralela a la dirección del campo eléctrico en ese punto, ya que ambos están dirigidos radialmente hacia fuera (Figura 6.22).

La figura muestra un círculo marcado como cargas con centro O y radio R. Un círculo concéntrico más grande mostrado con una línea punteada es marcado como superficie gaussiana. Una flecha marcada con r señala el radio del círculo exterior. A lo largo de r se muestra una flecha con la etiqueta vector r. Una pequeña área en la que r toca la superficie gaussiana está resaltada y marcada como P. Desde aquí, otra flecha apunta hacia fuera en la misma dirección que r. Esta flecha se denomina vector E subíndice P. Otra flecha se origina en la punta del vector E subíndice P y apunta hacia afuera en la misma dirección. Se marca como vector delta A.
Figura 6.22 El campo eléctrico en cualquier punto de la superficie esférica de Gauss para una distribución de carga esféricamente simétrica es paralelo al vector del elemento de área en ese punto, dando el flujo como el producto de la magnitud del campo eléctrico y el valor del área. Note que el radio R de la distribución de carga y el radio r de la superficie gaussiana son cantidades diferentes.

La magnitud del campo eléctrico EE debe ser igual en todas partes en una superficie esférica gaussiana concéntrica con la distribución. Para una superficie esférica de radio r,

Φ=SEP·n^dA=EPSdA=EP4πr2.Φ=SEP·n^dA=EPSdA=EP4πr2.

Utilizando la ley de Gauss

Según la ley de Gauss, el flujo que atraviesa una superficie cerrada es igual a la carga total encerrada en la superficie cerrada dividida entre la permitividad del vacío ε0ε0. Supongamos que qencqenc es la carga total encerrada dentro de la distancia r del origen, que es el espacio dentro de la superficie esférica gaussiana de radio r. Esto da la siguiente relación para la ley de Gauss:

4πr2E=qencε0.4πr2E=qencε0.

Por lo tanto, el campo eléctrico en el punto P que está a una distancia r del centro de una distribución de carga esféricamente simétrica tiene la siguiente magnitud y dirección:

Magnitud:E(r)=14πε0qencr2Magnitud:E(r)=14πε0qencr2
6.8

Dirección: radial de O a P o de P a O.

La dirección del campo en el punto P depende de si la carga de la esfera es positiva o negativa. Para una carga neta positiva encerrada dentro de la superficie gaussiana, la dirección es de O a P, y para una carga neta negativa, la dirección es de P a O. Esto es todo lo que necesitamos para una carga puntual, y notará que el resultado anterior es idéntico al de una carga puntual. Sin embargo, la ley de Gauss se vuelve verdaderamente útil en los casos en que la carga ocupa un volumen finito.

Cálculo de la carga encerrada

El caso más interesante es cuando una distribución de carga esférica ocupa un volumen, y entonces se vuelve relevante preguntarse cuál es el campo eléctrico dentro de la distribución de carga. En este caso, la carga encerrada depende de la distancia r del punto de campo en relación con el radio de la distribución de carga R, como la que se muestra en la Figura 6.23.

La figura a muestra un círculo punteado S con centro O y radio r, y un círculo concéntrico más grande con radio R. Una pequeña flecha apunta hacia afuera de S. Esto es marcado como vector E subíndice dentro. S es la superficie gaussiana marcada para el vector E subíndice dentro. La figura b muestra un círculo punteado S con centro O y radio r, y un círculo concéntrico más pequeño con radio R. Una pequeña flecha apunta hacia afuera de S. Esto se marca como vector E subíndice afuera. S es la superficie gaussiana marcada para el vector E subíndice afuera.
Figura 6.23 Una distribución de carga esféricamente simétrica y la superficie gaussiana utilizada para calcular el campo (a) dentro y (b) fuera de la distribución.

Si el punto P se encuentra fuera de la distribución de la carga, es decir, si rRrR, entonces la superficie gaussiana que contiene a P encierra todas las cargas de la esfera. En este caso, qencqenc es igual a la carga total de la esfera. Por otro lado, si el punto P está dentro de la distribución de carga esférica, es decir, si r<R,r<R, entonces la superficie gaussiana encierra una esfera más pequeña que la esfera de distribución de la carga. En este caso, qencqenc es menor que la carga total presente en la esfera. En referencia a la Figura 6.23, podemos escribir qencqenc como

qenc={qtot(carga total)sirRqdentror<R(solo carga dentror<R)sir<R.qenc={qtot(carga total)sirRqdentror<R(solo carga dentror<R)sir<R.

El campo en un punto fuera de la distribución de carga también se llama EfueraEfuera, y el campo en un punto dentro de la distribución de carga se llama Edentro.Edentro. Centrándonos en los dos tipos de puntos de campo, ya sea dentro o fuera de la distribución de carga, ahora podemos escribir la magnitud del campo eléctrico como

Pesfera exteriorEfuera=14πε0qtotr2Pesfera exteriorEfuera=14πε0qtotr2
6.9
Pdentro de la esferaEdentro=14πε0qdentror<Rr2.Pdentro de la esferaEdentro=14πε0qdentror<Rr2.
6.10

Observe que el campo eléctrico fuera de una distribución de carga esférica simétrica es idéntico al de una carga puntual en el centro que tiene una carga igual a la carga total de la distribución de carga esférica. Esto es notable ya que las cargas no se encuentran en el centro solamente. A continuación, elaboramos ejemplos concretos de distribuciones de carga esféricas, empezando por el caso de una esfera cargada uniformemente.

Ejemplo 6.6

Esfera con carga uniforme

Una esfera de radio R, como la que se muestra en la Figura 6.23, tiene un volumen de densidad de carga uniforme ρ0ρ0. Halle el campo eléctrico en un punto fuera de la esfera y en un punto dentro de esta.

Estrategia

Aplicar la estrategia de resolución de problemas de la ley de Gauss, en la que ya hemos elaborado el cálculo del flujo.

Solución

La carga encerrada por la superficie gaussiana viene dada por
qenc=ρ0dV=0rρ04πr2dr=ρ0(43πr3).qenc=ρ0dV=0rρ04πr2dr=ρ0(43πr3).

La respuesta para la amplitud del campo eléctrico puede entonces escribirse inmediatamente para un punto fuera de la esfera, marcado como Efuera,Efuera, y un punto dentro de la esfera, marcado como Edentro.Edentro.

Efuera=14πε0qtotr2,qtot=43πR3ρ0,Edentro=qenc4πε0r2=ρ0r3ε0,dado queqenc=43πr3ρ0.Efuera=14πε0qtotr2,qtot=43πR3ρ0,Edentro=qenc4πε0r2=ρ0r3ε0,dado queqenc=43πr3ρ0.

Es interesante observar que la magnitud del campo eléctrico aumenta en el interior del material a medida que se sale, ya que la cantidad de carga encerrada por la superficie gaussiana aumenta con el volumen. En concreto, la carga adjunta crece r3r3, mientras que el campo de cada elemento infinitesimal de carga cae 1/r21/r2 con el resultado neto de que el campo eléctrico dentro de la distribución aumenta en fuerza linealmente con el radio. La magnitud del campo eléctrico fuera de la esfera disminuye a medida que se aleja de las cargas, porque la carga incluida sigue siendo la misma pero la distancia aumenta. La Figura 6.24 muestra la variación de la magnitud del campo eléctrico con la distancia desde el centro de una esfera uniformemente cargada.

La figura muestra un gráfico de E versus r. La curva sube en una línea recta marcada como E proporcional a r, tiene un pico y cae en una línea curva marcada como E proporcional a 1 por r al cuadrado. El pico tiene un valor x de R y un valor y de E subíndice R.
Figura 6.24 El campo eléctrico de una esfera uniformemente cargada y no conductora aumenta en el interior de la esfera hasta un máximo en la superficie y luego disminuye como 1 / r 2 1 / r 2 . Aquí, E R = ρ 0 R 3 ε 0 E R = ρ 0 R 3 ε 0 . El campo eléctrico se debe a una distribución de carga esférica de densidad de carga uniforme y carga total Q en función de la distancia al centro de la distribución.

La dirección del campo eléctrico en cualquier punto P es radialmente hacia fuera desde el origen si ρ0ρ0 es positivo, y hacia adentro (es decir, hacia el centro) si ρ0ρ0 es negativo. El campo eléctrico en algunos puntos representativos del espacio se muestra en la Figura 6.25 cuyas coordenadas radiales r son r=R/2r=R/2, r=Rr=R, y r=2Rr=2R.

La figura muestra tres círculos concéntricos. La más pequeña está punteada y marcada como r igual a R por 2. La del medio está marcada como r igual a R y la más grande, también punteada, está marcada como r igual a 2R. Las flechas marcadas como vector E se originan en cada círculo y apuntan hacia afuera, perpendicularmente a este. Las del círculo exterior son las más pequeñas y las del círculo central son las más largas.
Figura 6.25 Vectores del campo eléctrico dentro y fuera de una esfera uniformemente cargada.

Importancia

Observe que EfueraEfuera tiene la misma forma que la ecuación del campo eléctrico de una carga puntual aislada. Por lo tanto, al determinar el campo eléctrico de una distribución de carga esférica uniforme, podemos suponer que toda la carga dentro de la superficie esférica gaussiana apropiada se encuentra en el centro de la distribución.

Ejemplo 6.7

Esfera con carga no uniforme

Una esfera no conductora de radio R tiene una densidad de carga no uniforme que varía con la distancia a su centro, dada por
ρ(r)=arn(rR;n0),ρ(r)=arn(rR;n0),

donde a es una constante. Requerimos n0n0 para que la densidad de carga no esté indefinida en r=0r=0. Halle el campo eléctrico en un punto fuera de la esfera y en un punto dentro de esta.

Estrategia

Aplique la estrategia de la ley de Gauss dada anteriormente, en la que se calculan las integrales de carga cerrada por separado para los casos dentro y fuera de la esfera.

Solución

Como la función de densidad de carga dada solo tiene una dependencia radial y ninguna dependencia de la dirección, tenemos una situación esféricamente simétrica. Por lo tanto, la magnitud del campo eléctrico en cualquier punto está dada arriba y la dirección es radial. Solo tenemos que calcular la carga cerradaqenc,qenc, que depende de la ubicación del punto de campo.

Una nota sobre los símbolos: Utilizamos rr para localizar las cargas en la distribución de cargas y r para localizar el (los) punto(s) de campo en la(s) superficie(s) gaussiana(s). La letra R se utiliza para el radio de la distribución de la carga.

Como la densidad de carga no es constante aquí, necesitamos integrar la función de densidad de carga sobre el volumen encerrado por la superficie gaussiana. Por lo tanto, planteamos el problema para las cargas en una capa esférica, digamos entre rr y r+dr,r+dr, como se muestra en la Figura 6.26. El volumen de cargas en la capa de anchura infinitesimal es igual al producto del área de la superficie 4πr24πr2 y el espesor drdr. Multiplicando el volumen por la densidad en este lugar, que es arnarn, da la carga en la capa:

dq=arn4πr2dr.dq=arn4πr2dr.
La figura muestra cuatro círculos concéntricos. Empezando por el más pequeño, sus radios están marcados: r primo, r primo más d r primo, R y r. El círculo más externo está punteado y etiquetado como superficie gaussiana.
Figura 6.26 Simetría esférica con distribución de carga no uniforme. En este tipo de problema, necesitamos cuatro radios: R es el radio de la distribución de carga, r es el radio de la superficie gaussiana, r r es el radio interior de la capa esférica, y r + d r r + d r es el radio exterior de la capa esférica. La capa esférica se utiliza para calcular la carga encerrada en la superficie gaussiana. La gama para r r es de 0 a r para el campo en un punto dentro de la distribución de carga y de 0 a R para el campo en un punto fuera de la distribución de carga. Si r > R r > R , entonces la superficie gaussiana encierra más volumen que la distribución de carga, pero el volumen adicional no contribuye a q enc q enc .

(a) Campo en un punto fuera de la distribución de la carga. En este caso, la superficie gaussiana, que contiene el punto de campo P, tiene un radio r mayor que el radio R de la distribución de carga, r>Rr>R. Por lo tanto, todas las cargas de la distribución de carga están encerradas en la superficie gaussiana. Tenga en cuenta que el espacio entre r=Rr=R y r=rr=r está vacío de cargas y, por tanto, no contribuye a la integral sobre el volumen encerrado por la superficie gaussiana:

qenc=dq=0Rarn4πr2dr=4πan+3Rn+3.qenc=dq=0Rarn4πr2dr=4πan+3Rn+3.

Esto se utiliza en el resultado general para EfueraEfuera anterior para obtener el campo eléctrico en un punto fuera de la distribución de carga como

Efuera=[aRn+3ε0(n+3)]1r2r^,Efuera=[aRn+3ε0(n+3)]1r2r^,

donde r^r^ es un vector unitario en la dirección del origen al punto de campo en la superficie gaussiana.

(b) Campo en un punto dentro de la distribución de carga. La superficie gaussiana está ahora enterrada dentro de la distribución de carga, con r<Rr<R. Por lo tanto, solo las cargas de la distribución que están a una distancia r del centro de la distribución esférica de cargas cuentan en rencrenc:

qenc=0rarn4πr2dr=4πan+3rn+3.qenc=0rarn4πr2dr=4πan+3rn+3.

Ahora, utilizando el resultado general anterior para Edentro,Edentro, calculamos el campo eléctrico en un punto que está a una distancia r del centro y está dentro de la distribución de carga como

Edentro=[aε0(n+3)]rn+1r^,Edentro=[aε0(n+3)]rn+1r^,

donde la información sobre la dirección se incluye utilizando el vector radial unitario.

Compruebe Lo Aprendido 6.4

Compruebe que los campos eléctricos de la esfera se reducen a los valores correctos para una carga puntual.

Distribución de la carga con simetría cilíndrica

Una distribución de carga tiene simetría cilíndrica si la densidad de carga depende solo de la distancia r del eje de un cilindro y no debe variar a lo largo del eje o con la dirección alrededor del eje. En otras palabras, si su sistema varía si lo gira alrededor del eje, o lo desplaza a lo largo del eje, no tiene simetría cilíndrica.

La Figura 6.27 muestra cuatro situaciones en las que las cargas se distribuyen en un cilindro. Una densidad de carga uniforme ρ0.ρ0. en un alambre recto infinito tiene una simetría cilíndrica, y lo mismo ocurre con un cilindro infinitamente largo con densidad de carga constante ρ0.ρ0. Un cilindro infinitamente largo que tiene diferentes densidades de carga a lo largo de su longitud, como una densidad de carga ρ1ρ1 para z>0z>0 y ρ2ρ1ρ2ρ1 para z<0z<0, no tiene una simetría cilíndrica utilizable para este curso. Tampoco lo hace un cilindro en el que la densidad de carga varía con la dirección, como una densidad de carga ρ1ρ1 para 0θ<π0θ<π y ρ2ρ1ρ2ρ1 para πθ<2ππθ<2π. Un sistema con capas cilíndricas concéntricas, cada una con densidades de carga uniformes, aunque diferentes en las distintas capas, como en la Figura 6.27(d), sí tiene simetría cilíndrica si son infinitamente largas. El requisito de longitud infinita se debe a que la densidad de carga cambia a lo largo del eje de un cilindro finito. En los sistemas reales, no tenemos cilindros infinitos; sin embargo, si el objeto cilíndrico es considerablemente más largo que el radio de él que nos interesa, entonces la aproximación de un cilindro infinito resulta útil.

Las figuras a hasta d muestran un cilindro. En la figura a, marcada como cilíndrica simétrica, el cilindro está uniformemente coloreado y marcado como rho cero. En la figura b, marcada como no cilíndrica, las mitades superior e inferior del cilindro son de diferente color. La parte superior está marcada como rho 1 y la inferior como rho 2. En la figura c, marcada como no cilíndrica, las mitades izquierda y derecha del cilindro son de diferente color. La izquierda está marcada como rho 1 y la derecha como rho 2. En la figura d, se ven muchas secciones concéntricas dentro del cilindro. La figura está marcada como cilíndricamente simétrica.
Figura 6.27 Para determinar si una distribución de carga dada tiene simetría cilíndrica, observe la sección transversal de un cilindro "infinitamente largo". Si la densidad de carga no depende del ángulo polar de la sección transversal o a lo largo del eje, entonces se tiene simetría cilíndrica. (a) La densidad de carga es constante en el cilindro; (b) la mitad superior del cilindro tiene una densidad de carga diferente de la mitad inferior; (c) la mitad izquierda del cilindro tiene una densidad de carga diferente de la mitad derecha; (d) las cargas son constantes en diferentes anillos cilíndricos, pero la densidad no depende del ángulo polar. Los casos (a) y (d) tienen simetría cilíndrica, mientras que (b) y (c) no.

Consecuencias de la simetría

En todos los casos de simetría cilíndrica, el campo eléctrico EPEP en cualquier punto P también debe mostrar simetría cilíndrica.

Simetría cilíndrica EP=EP(r)r^EP=EP(r)r^,

donde r es la distancia al eje y r^r^ es un vector unitario dirigido perpendicularmente fuera del eje (Figura 6.28).

Se muestra un cilindro con una línea de puntos. Se destaca una porción circular dentro del cilindro, en su centro. El radio de la circunferencia y el del cilindro se marcan r. El punto en el que r toca el cilindro se marca como P. Una flecha marcada vector r origina en P y apunta hacia el exterior en la misma línea que r.
Figura 6.28 El campo eléctrico en una situación de simetría cilíndrica depende solo de la distancia al eje. La dirección del campo eléctrico se aleja del eje para las cargas positivas y se acerca al eje para las cargas negativas.

Superficie gaussiana y cálculo de flujos

Para aprovechar la dependencia direccional y funcional del campo eléctrico, elegimos una superficie gaussiana cerrada en forma de cilindro con el mismo eje que el de la distribución de carga. El flujo a través de esta superficie de radio s y altura L es fácil de calcular si dividimos nuestra tarea en dos partes: (a) un flujo a través de los extremos planos y (b) un flujo a través de la superficie curva (Figura 6.29).

La figura muestra un cilindro de longitud L. Una línea perpendicular al eje conecta el eje con el punto P de la superficie del cilindro. Una flecha marcada como vector delta A apunta hacia fuera de P en la misma dirección que la línea. Otra flecha marcada como vector E subíndice P se origina en la punta de la primera flecha y apunta en la misma dirección. Una tercera flecha marcada como vector delta A apunta hacia fuera de la superficie superior del cilindro, perpendicular a él. Una flecha marcada vector E se origina en la base de la tercera flecha y es perpendicular a ella.
Figura 6.29 La superficie gaussiana en el caso de simetría cilíndrica. El campo eléctrico en un área es paralelo o perpendicular a la normal del área de la superficie gaussiana.

El campo eléctrico es perpendicular al lado cilíndrico y paralelo a los extremos planos de la superficie. El flujo que atraviesa la parte cilíndrica es

SE·n^dA=ESdA=E(2πrL),SE·n^dA=ESdA=E(2πrL),

mientras que el flujo a través de las tapas de los extremos es cero porque E·n^=0E·n^=0 allí. Por lo tanto, el flujo es

SE·n^dA=E(2πrL)+0+0=2πrLE.SE·n^dA=E(2πrL)+0+0=2πrLE.

Utilizando la ley de Gauss

Según la ley de Gauss, el flujo debe ser igual a la cantidad de carga dentro del volumen encerrado por esta superficie, dividido por la permitividad del espacio libre. Cuando hace el cálculo para un cilindro de longitud L, halla que qencqenc de la ley de Gauss es directamente proporcional a L. Escribámosla como carga por unidad de longitud (λenc)(λenc) por la longitud L:

qenc=λencL.qenc=λencL.

Por lo tanto, la ley de Gauss para cualquier distribución de carga cilíndrica simétrica arroja la siguiente magnitud del campo eléctrico a una distancia s del eje:

Magnitud:E(r)=λenc2πε01r.Magnitud:E(r)=λenc2πε01r.

La carga por unidad de longitud λencλenc depende de si el punto de campo está dentro o fuera del cilindro de distribución de la carga, al igual que hemos visto para la distribución esférica.

Cálculo de la carga encerrada

Supongamos que R es el radio del cilindro dentro del cual se distribuyen las cargas de forma cilíndrica y simétrica. Supongamos que el punto de campo P está a una distancia s del eje (el lado de la superficie gaussiana incluye el punto de campo P). Cuando r>Rr>R (es decir, cuando P está fuera de la distribución de carga), la superficie gaussiana incluye toda la carga en el cilindro de radio R y longitud L. Cuando r<Rr<R (P se encuentra dentro de la distribución de carga), entonces solo la carga dentro de un cilindro de radio s y longitud L está encerrada por la superficie gaussiana:

λencL={(carga total)sirR(solo carga dentror<R)sir<R.λencL={(carga total)sirR(solo carga dentror<R)sir<R.

Ejemplo 6.8

Capa cilíndrica cargada uniformemente

Una capa cilíndrica no conductora muy larga de radio R tiene una densidad de carga superficial uniformeσ0.σ0. Halle el campo eléctrico (a) en un punto fuera de la capa y (b) en un punto dentro de esta.

Estrategia

Aplique la estrategia de la ley de Gauss dada anteriormente, donde tratamos los casos dentro y fuera de la capa por separado.

Solución

  1. Campo eléctrico en un punto fuera de la capa. Para un punto fuera de la capa cilíndrica, la superficie gaussiana es la superficie de un cilindro de radio r>Rr>R y la longitud L, como se muestra en la Figura 6.30. La carga encerrada por el cilindro gaussiano es igual a la carga de la capa cilíndrica de longitud L. Por lo tanto, λencλenc viene dada por
    λenc=σ02πRLL=2πRσ0.λenc=σ02πRLL=2πRσ0.
    Se muestran dos cilindros que comparten el mismo eje. El exterior tiene una longitud L, que es menor que la del cilindro interior. Una línea perpendicular al eje conecta el eje con el punto P de la superficie del cilindro exterior. Una flecha marcada vector r apunta hacia afuera de P en la misma dirección que la línea. Otra flecha marcada como vector E subíndice afuera se origina en la punta de la primera flecha y apunta en la misma dirección.
    Figura 6.30 Una superficie gaussiana que rodea una capa cilíndrica.

    Por lo tanto, el campo eléctrico en un punto P fuera de la capa a una distancia r del eje es
    E=2πRσ02πεo1rr^=Rσ0εo1rr^(r>R)E=2πRσ02πεo1rr^=Rσ0εo1rr^(r>R)
    donde r^r^ es un vector unitario, perpendicular al eje y apuntando hacia fuera, como se muestra en la figura. El campo eléctrico en P apunta en la dirección de r^r^ dado en la Figura 6.30 si σ0>0σ0>0 y en dirección contraria a r^r^ si σ0<0σ0<0.
  2. Campo eléctrico en un punto del interior de la capa. Para un punto dentro de la capa cilíndrica, la superficie gaussiana es un cilindro cuyo radio r es menor que R (Figura 6.31). Esto significa que no se incluyen cargas dentro de la superficie gaussiana:
    λenc=0.λenc=0.
    Se muestran dos cilindros que comparten el mismo eje. El interior tiene una longitud L, que es menor que la del cilindro exterior. Una flecha marcada con el subíndice E dentro se origina en un punto P del cilindro interior y apunta hacia afuera, perpendicular al eje.
    Figura 6.31 Una superficie gaussiana dentro de una capa cilíndrica.

    Esto da la siguiente ecuación para la magnitud del campo eléctrico EdentroEdentro en un punto cuyo r es menor que R de la capa de cargas.
    Edentro2πrL=0(r<R),Edentro2πrL=0(r<R),
    Esto nos da
    Edentro=0(r<R).Edentro=0(r<R).

Importancia

Observe que el resultado dentro de la capa es exactamente lo que deberíamos esperar: si no hay carga encerrada, el campo eléctrico es cero. Fuera de la capa, el resultado es idéntico al de un cable con carga uniforme Rσ0.Rσ0.

Compruebe Lo Aprendido 6.5

Un cable recto y delgado tiene una densidad de carga lineal uniforme λ0.λ0. Calcule el campo eléctrico a una distancia d del cable, donde d es mucho menor que la longitud del cable.

Distribución de la carga con simetría plana

La simetría plana de la densidad de carga se obtiene cuando las cargas se reparten uniformemente en una gran superficie plana. En la simetría plana, todos los puntos de un plano paralelo al plano de carga son idénticos con respecto a las cargas.

Consecuencias de la simetría

Tomamos el plano de la distribución de la carga como el plano xy y hallamos el campo eléctrico en un punto espacial P con coordenadas (x, y, z). Dado que la densidad de carga es la misma en todas las coordenadas (x, y) del plano z=0z=0, por simetría, el campo eléctrico en P no puede depender de las coordenadas x o y del punto P, como se muestra en la Figura 6.32. Por lo tanto, el campo eléctrico en P solo puede depender de la distancia al plano y tiene una dirección hacia el plano o fuera de él. Es decir, el campo eléctrico en P solo tiene un componente z que no es cero.

Cargas uniformes en el plano xy: E=E(z)z^E=E(z)z^

donde z es la distancia al plano y z^z^ es el vector unitario normal al plano. Tenga en cuenta que en este sistema, E(z)=E(z),E(z)=E(z), aunque, por supuesto, apuntan en direcciones opuestas.

La figura muestra un plano. Los puntos q1 y q2 están en el plano, equidistantes de su centro. Las líneas conectan estos puntos con un punto P sobre el plano. Las flechas marcadas vector E1 y vector E2 se originan en el punto P y apuntan en direcciones opuestas a las líneas que conectan P con q1 y q2 respectivamente. Una tercera flecha desde P biseca el ángulo formado por las dos primeras flechas. Se trata de un vector marcado como E subíndice net.
Figura 6.32 Los componentes del campo eléctrico paralelos a un plano de cargas anulan las dos cargas situadas simétricamente desde el punto P del campo. Para cualquier punto P y carga q 1 , q 1 , siempre podemos calcular un q 2 q 2 con este efecto.

Superficie gaussiana y cálculo de flujos

En el presente caso, una superficie gaussiana conveniente es una caja, ya que el campo eléctrico esperado apunta en una sola dirección. Para mantener la simetría de la caja gaussiana con respecto al plano de las cargas, la tomamos para abarcar el plano de las cargas, de manera que una cara que contiene el punto de campo P se toma paralela al plano de las cargas. En la Figura 6.33, se han sombreado los lados I y II de la superficie gaussiana (la caja) que son paralelos al plano infinito. Son las únicas superficies que generan un flujo que no es cero porque el campo eléctrico y los vectores de área de las otras caras son perpendiculares entre sí.

La figura muestra un cuboide y un plano que pasa por su centro. Las superficies superior e inferior del cubo son paralelas al plano y se marcan Lado 1 y Lado 2 respectivamente. Una flecha marcada como vector E subíndice P se origina en el punto P en el centro de la superficie superior y apunta hacia arriba, perpendicular a la superficie. Otra flecha marcada como vector delta A también apunta hacia arriba desde la superficie superior. Dos flechas marcadas como vector E y vector delta A apuntan hacia abajo desde la superficie inferior. Una flecha vector delta A se origina en la superficie derecha y apunta hacia afuera, perpendicular a la superficie. Otra flecha sale de su base. Está marcada como vector E y apunta hacia arriba.
Figura 6.33 Una lámina delgada cargada y la caja gaussiana para hallar el campo eléctrico en el punto de campo P. La normal a cada cara de la caja es desde el interior de la caja hacia el exterior. En dos caras de la caja, los campos eléctricos son paralelos a los vectores de área, y en las otras cuatro caras, los campos eléctricos son perpendiculares a los vectores de área.

Supongamos que A es el área de la superficie sombreada en cada lado del plano y EPEP es la magnitud del campo eléctrico en el punto P. Como los lados I y II están a la misma distancia del plano, el campo eléctrico tiene la misma magnitud en los puntos de estos planos, aunque las direcciones del campo eléctrico en estos puntos de los dos planos son opuestas entre sí.

Magnitud en I o II E(z)=EP.E(z)=EP.

Si la carga en el plano es positiva, entonces la dirección del campo eléctrico y los vectores de área son como se muestra en la Figura 6.33. Por lo tanto, hallamos para el flujo del campo eléctrico a través de la caja

Φ=SEP·n^dA=EPA+EPA+0+0+0+0=2EPAΦ=SEP·n^dA=EPA+EPA+0+0+0+0=2EPA
6.11

donde los ceros son para el flujo a través de los otros lados de la caja. Observe que si la carga del plano es negativa, las direcciones del campo eléctrico y de los vectores de área para los planos I y II son opuestas entre sí, y obtenemos un signo negativo para el flujo. Según la ley de Gauss, el flujo debe ser igual a qenc/ε0qenc/ε0. De la Figura 6.33 vemos que las cargas dentro del volumen encerrado por la caja gaussiana residen en un área A del plano xy. Por lo tanto,

qenc=σ0A.qenc=σ0A.
6.12

Utilizando las ecuaciones para el flujo y la carga encerrada en la ley de Gauss, podemos determinar inmediatamente el campo eléctrico en un punto a la altura z de un plano uniformemente cargado en el plano xy:

EP=σ02ε0n^.EP=σ02ε0n^.

La dirección del campo depende del signo de la carga en el plano y del lado del plano donde se encuentra el punto de campo P. Observe que por encima del plano, n^=+z^n^=+z^, mientras que por debajo del plano, n^=z^n^=z^.

Le sorprenderá observar que el campo eléctrico no depende realmente de la distancia al plano; esto es un efecto de la suposición de que el plano es infinito. En términos prácticos, el resultado dado anteriormente sigue siendo una aproximación útil para planos finitos cerca del centro.

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