6.4 Conductores en equilibrio electrostático

El campo eléctrico desaparece dentro de un conductor

Si hay un campo eléctrico en el interior de un conductor, este ejerce fuerzas sobre los electrones libres (también llamados electrones de conducción), que son los electrones del material que no están unidos a un átomo. Entonces, estos electrones libres se aceleran. Sin embargo, las cargas en movimiento significan, por definición, condiciones no estáticas, al contrario de lo que suponemos. Por lo tanto, cuando se alcanza el equilibrio electrostático, la carga se distribuye de tal manera que el campo eléctrico dentro del conductor desaparece.

Si se coloca una pieza de un metal cerca de una carga positiva, los electrones libres del metal son atraídos por la carga positiva externa y migran libremente hacia esa región. La región a la que se desplazan los electrones tiene entonces un exceso de electrones sobre los protones de los átomos y la región desde la que han migrado los electrones tiene más protones que electrones. En consecuencia, el metal desarrolla una región negativa cerca de la carga y una región positiva en el extremo lejano (Figura 6.34). Como vimos en el capítulo anterior, esta separación de cargas eléctricas de igual magnitud y de tipo opuesto se llama polarización. Si se elimina la carga externa, los electrones vuelven a migrar y neutralizan la región positiva.

Figura 6.34 Polarización de una esfera de metal por una carga puntual externa $\text{+}q$. El lado cercano del metal tiene una carga superficial opuesta en comparación con el lado lejano del metal. Se dice que la esfera está polarizada. Al eliminar la carga externa, la polarización del metal también desaparece.

La polarización del metal solo se produce en presencia de cargas externas. Se puede pensar en esto en términos de campos eléctricos. La carga externa crea un campo eléctrico externo. Cuando el metal se coloca en la región de este campo eléctrico, los electrones y protones del metal experimentan fuerzas eléctricas debidas a este campo eléctrico externo, pero solo los electrones de conducción son libres de moverse en el metal a distancias macroscópicas. El movimiento de los electrones de conducción conduce a la polarización, que crea un campo eléctrico inducido además del campo eléctrico externo (Figura 6.35). El campo eléctrico neto es una suma vectorial de los campos de $\text{+}q$ y las densidades de carga superficial $\text{−}{\sigma }_A$ y $+{\sigma }_B.$ Esto significa que el campo neto dentro del conductor es diferente del campo fuera de él.

Figura 6.35 En presencia de una carga externa q, las cargas de un metal se redistribuyen. El campo eléctrico en cualquier punto tiene tres contribuciones, desde $\text{+}q$ y las cargas inducidas $\text{−}{\sigma }_A$ y $+{\sigma }_B.$ Tenga en cuenta que la distribución de la carga superficial no será uniforme en este caso.

La redistribución de cargas es tal que la suma de las tres contribuciones en cualquier punto P dentro del conductor es

Ahora, gracias a la ley de Gauss, sabemos que no hay carga neta encerrada por una superficie gaussiana que esté únicamente dentro del volumen del conductor en equilibrio. Eso es, $q_{\text{enc}}=0$ y por lo tanto

Carga en un conductor

Una propiedad interesante de un conductor en equilibrio estático es que las cargas adicionales en el conductor terminan en su superficie exterior, independientemente de su origen. La Figura 6.36 ilustra un sistema en el que llevamos una carga positiva externa al interior de la cavidad de un metal y luego toca la superficie interior. Inicialmente, la superficie interior de la cavidad está cargada negativamente y la superficie exterior del conductor está cargada positivamente. Cuando tocamos la superficie interior de la cavidad, la carga inducida se neutraliza, dejando la superficie exterior y todo el metal cargado con una carga neta positiva.

Figura 6.36 Las cargas eléctricas en un conductor migran a la superficie exterior sin importar dónde las ponga inicialmente.

Para ver por qué ocurre esto, observe que la superficie gaussiana en la Figura 6.37 (la línea discontinua) sigue el contorno de la superficie real del conductor y se sitúa a una distancia infinitesimal dentro de ella. Dado que $E=0$ por todas partes dentro de un conductor,

Así, a partir de la ley de Gauss, no hay carga neta dentro de la superficie gaussiana. Pero la superficie gaussiana se encuentra justo por debajo de la superficie real del conductor; en consecuencia, no hay carga neta dentro del conductor. Cualquier exceso de carga debe estar en su superficie.

Figura 6.37 La línea discontinua representa una superficie gaussiana que está justo por debajo de la superficie real del conductor.

Esta propiedad particular de los conductores es la base de un método extremadamente preciso desarrollado por Plimpton y Lawton en 1936 para verificar la ley de Gauss y, en consecuencia, la ley de Coulomb. Un esquema de su aparato se muestra en la Figura 6.38. Dos capas esféricas están conectadas entre sí a través de un electrómetro E, un dispositivo que puede detectar una cantidad muy ligera de carga que fluye de una capa a la otra. Cuando se acciona el interruptor S hacia la izquierda, la batería B pone carga en la capa exterior. ¿La carga fluye a través del electrómetro a la capa interior?

No. Hacerlo significaría una violación de la ley de Gauss. Plimpton y Lawton no detectaron ningún flujo y, conociendo la sensibilidad de su electrómetro, concluyeron que si la dependencia radial en la ley de Coulomb fuera $1\text{/}{r}^{(2+\delta )}$, $\delta$ sería menor que $2\times {10}^{\mathrm{-9}}$¹. Las mediciones más recientes sitúan $\delta$ a menos de $3\times {10}^{\mathrm{-16}}$², un número tan pequeño que la validez de la ley de Coulomb parece indiscutible.

Figura 6.38 Una representación del aparato utilizado por Plimpton y Lawton. Cualquier transferencia de carga entre las esferas es detectada por el electrómetro E.

El campo eléctrico en la superficie de un conductor

Si el campo eléctrico tuviera un componente paralelo a la superficie de un conductor, las cargas libres en la superficie se moverían, una situación contraria a la suposición de equilibrio electrostático. Por lo tanto, el campo eléctrico es siempre perpendicular a la superficie de un conductor.

En cualquier punto justo por encima de la superficie de un conductor, la densidad de carga superficial $\sigma$ y la magnitud del campo eléctrico E están relacionados por

Para ver esto, considere un cilindro gaussiano infinitesimal que rodea un punto de la superficie del conductor, como en la Figura 6.39. El cilindro tiene una cara final interior y otra exterior a la superficie. La altura y la sección transversal del cilindro son $\delta$ y $\text{Δ}A$, respectivamente. Los lados del cilindro son perpendiculares a la superficie del conductor, y sus caras extremas son paralelas a la superficie. Como el cilindro es infinitesimalmente pequeño, la densidad de carga $\sigma$ es esencialmente constante sobre la superficie encerrada, por lo que la carga total dentro del cilindro gaussiano es $\sigma \text{Δ}A$. Ahora bien, E es perpendicular a la superficie del conductor en el exterior de este y se desvanece en el interior, ya que de otra manera las cargas se acelerarían y no estaríamos en equilibrio. Por lo tanto, el flujo eléctrico solo atraviesa la cara exterior de la superficie gaussiana y puede escribirse como $E\text{Δ}A$, ya que se supone que el cilindro es lo suficientemente pequeño como para que E sea aproximadamente constante en esa área. De la ley de Gauss,

Por lo tanto,

Figura 6.39 Una superficie gaussiana cilíndrica infinitesimal rodea el punto P, que está en la superficie del conductor. El campo $\overrightarrow{\text{E}}$ es perpendicular a la superficie del conductor fuera del mismo y desaparece dentro de él.

Ejemplo 6.9

Campo eléctrico de una placa conductora

La placa conductora infinita en la Figura 6.40 tiene una densidad de carga superficial uniforme $\sigma$. Utilice la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico fuera de la placa. Compare este resultado con el calculado anteriormente de forma directa.

Figura 6.40 Vista lateral de una placa conductora infinita y de un cilindro gaussiano con sección transversal A.

Estrategia

Para este caso, utilizamos una superficie gaussiana cilíndrica, de la que se muestra una vista lateral.

Solución

El cálculo del flujo es similar al de una hoja de carga infinita del capítulo anterior, con una excepción importante: La cara izquierda de la superficie gaussiana está dentro del conductor donde $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0},$ por lo que el flujo total a través de la superficie gaussiana es EA en lugar de 2EA. Entonces, a partir de la ley de Gauss,

$$EA=\frac{\sigma A}{{\epsilon }_0}$$

y el campo eléctrico fuera de la placa es

$$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}.$$

Importancia

Este resultado está de acuerdo con el resultado de la sección anterior, y es coherente con la regla indicada anteriormente.

Ejemplo 6.10

Campo eléctrico entre placas paralelas con carga opuesta

Dos grandes placas conductoras llevan cargas iguales y opuestas, con una densidad de carga superficial $\sigma$ de magnitud $\mathrm{6,81}\times {10}^{\mathrm{-7}}{\text{C/m}}^2,$ como se muestra en la Figura 6.41. La separación entre las placas es $l=\mathrm{6,50}\text{mm}$. ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas?

Figura 6.41 El campo eléctrico entre placas paralelas con carga opuesta. Se libera una carga de prueba en la placa positiva.

Estrategia

Observe que el campo eléctrico en la superficie de una placa solo depende de la carga de esa placa. Por lo tanto, aplique $E=\sigma \text{/}{\epsilon }_0$ con los valores dados.

Solución

El campo eléctrico se dirige desde la placa positiva a la negativa, como se muestra en la figura, y su magnitud viene dada por

$$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}=\frac{\mathrm{6,81}\times {10}^{\mathrm{-7}}{\text{C/m}}^2}{\mathrm{8,85}\times {10}^{\mathrm{-12}}{\text{C}}^2{\text{/N m}}^2}=\mathrm{7,69}\times {10}^4\text{N/C}\text{.}$$

Importancia

Esta fórmula es aplicable a más de una placa. Además, los sistemas de dos placas serán importantes más adelante.

Ejemplo 6.11

Una esfera conductora

La esfera conductora aislada (Figura 6.42) tiene un radio R y un exceso de carga q. ¿Cuál es el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera?

Figura 6.42 Una esfera conductora aislada.

Estrategia

La esfera está aislada, por lo que su distribución de cambios en la superficie y el campo eléctrico de esa distribución son esféricamente simétricos. Por lo tanto, podemos representar el campo como $\overrightarrow{\text{E}}=E(r)\widehat{\text{r}}$. Para calcular E(r), aplicamos la ley de Gauss sobre una superficie esférica cerrada S de radio r que es concéntrica con la esfera conductora.

Solución

Dado que r es constante y $\widehat{\text{n}}=\widehat{\text{r}}$ en la esfera,

$${\displaystyle {\oint }_S\overrightarrow{\text{E}}·\widehat{\text{n}}dA=E(r)}{\displaystyle {\oint }_{S}dA}=E(r)4\pi r^2.$$

Para $r<R$, S está dentro del conductor, por lo que $q_{\text{enc}}=0,$ y la ley de Gauss da

$$E\left(r\right)=0,$$

como se espera dentro de un conductor. Si $r>R$, S encierra el conductor de manera que $q_{\text{enc}}=q.$ De la ley de Gauss,

$$E(r)4\pi r^2=\frac{q}{{\epsilon }_0}.$$

Por lo tanto, el campo eléctrico de la esfera puede escribirse como

$$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{\text{E}}\hfill & =\hfill & \overrightarrow{0}\hfill & & (r<R),\hfill \\ \overrightarrow{\text{E}}\hfill & =\hfill & \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\widehat{\text{r}}\hfill & & (r\ge R).\hfill \end{array}$$

Importancia

Observe que en la región $r\ge R$, el campo eléctrico debido a una carga q situada en una esfera conductora aislada de radio R es idéntico al campo eléctrico de una carga puntual q situada en el centro de la esfera. La diferencia entre el metal cargado y una carga puntual se produce solo en los puntos espaciales del interior del conductor. Para una carga puntual colocada en el centro de la esfera el campo eléctrico no es cero en los puntos del espacio ocupados por la esfera, pero un conductor con la misma cantidad de carga tiene un campo eléctrico cero en esos puntos (Figura 6.43). Sin embargo, no hay distinción en los puntos exteriores del espacio donde $r>R$, y podemos sustituir impunemente el conductor esférico cargado aislado por una carga puntual en su centro.

Figura 6.43 Campo eléctrico de una esfera de metal cargada positivamente. El campo eléctrico en el interior es cero, y el campo eléctrico en el exterior es igual al campo eléctrico de una carga puntual en el centro, aunque la carga en la esfera de metal está en la superficie.

Para un conductor con una cavidad, si ponemos una carga $+q$ dentro de la cavidad, entonces la separación de la carga tiene lugar en el conductor, con una cantidad $\text{−}q$ de carga en la superficie interior y una cantidad $+q$ de carga en la superficie exterior (Figura 6.44(a)). Para el mismo conductor con una carga $+q$ fuera de ella, no hay exceso de carga en la superficie interior; tanto las cargas positivas como las negativas inducidas residen en la superficie exterior (Figura 6.44(b)).

Figura 6.44 (a) Una carga dentro de una cavidad en un metal. La distribución de las cargas en la superficie exterior no depende de cómo se distribuyen las cargas en la superficie interior, ya que el campo E dentro del cuerpo del metal es cero. Sin embargo, la magnitud de la carga en la superficie exterior depende de la magnitud de la carga en el interior. (b) Una carga fuera de un conductor que contiene una cavidad interior. La cavidad sigues sin tener carga. La polarización de las cargas en el conductor se produce en la superficie.

Si un conductor tiene dos cavidades, una de ellas con carga $+q_a$ en su interior y el otro una carga $\text{−}{q}_b,$ la polarización del conductor resulta en $\text{−}{q}_a$ en la superficie interior de la cavidad a, $+q_b$ en la superficie interior de la cavidad b y $q_a-q_b$ en la superficie exterior (Figura 6.45). Las cargas en las superficies pueden no estar uniformemente repartidas; su distribución depende de la geometría. La única regla que se cumple es que cuando se ha alcanzado el equilibrio, la distribución de cargas en un conductor es tal que el campo eléctrico por la distribución de cargas en el conductor cancela el campo eléctrico de las cargas externas en todos los puntos del espacio dentro del cuerpo del conductor.

Figura 6.45 Las cargas inducidas por dos cargas iguales y opuestas en dos cavidades separadas de un conductor. Si la carga neta en la cavidad es distinta de cero, la superficie externa se carga en la cantidad de la carga neta.