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Física Universitaria Volumen 2

6.4 Conductores en equilibrio electrostático

Física Universitaria Volumen 26.4 Conductores en equilibrio electrostático
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir el campo eléctrico dentro de un conductor en equilibrio.
  • Describir el campo eléctrico inmediatamente fuera de la superficie de un conductor cargado en equilibrio.
  • Explicar por qué si el campo no es el descrito en los dos primeros objetivos, el conductor no está en equilibrio.

Hasta ahora, hemos trabajado generalmente con cargas que ocupan un volumen dentro de un aislante. Ahora estudiamos lo que ocurre cuando se colocan cargas libres en un conductor. Por lo general, en presencia de un campo eléctrico (generalmente externo), la carga libre de un conductor se redistribuye y alcanza muy rápidamente el equilibrio electrostático. La distribución de carga resultante y su campo eléctrico tienen muchas propiedades interesantes, que podemos investigar con la ayuda de la ley de Gauss y el concepto de potencial eléctrico.

El campo eléctrico desaparece dentro de un conductor

Si hay un campo eléctrico en el interior de un conductor, este ejerce fuerzas sobre los electrones libres (también llamados electrones de conducción), que son los electrones del material que no están unidos a un átomo. Entonces, estos electrones libres se aceleran. Sin embargo, las cargas en movimiento significan, por definición, condiciones no estáticas, al contrario de lo que suponemos. Por lo tanto, cuando se alcanza el equilibrio electrostático, la carga se distribuye de tal manera que el campo eléctrico dentro del conductor desaparece.

Si se coloca una pieza de un metal cerca de una carga positiva, los electrones libres del metal son atraídos por la carga positiva externa y migran libremente hacia esa región. La región a la que se desplazan los electrones tiene entonces un exceso de electrones sobre los protones de los átomos y la región desde la que han migrado los electrones tiene más protones que electrones. En consecuencia, el metal desarrolla una región negativa cerca de la carga y una región positiva en el extremo lejano (Figura 6.34). Como vimos en el capítulo anterior, esta separación de cargas eléctricas de igual magnitud y de tipo opuesto se llama polarización. Si se elimina la carga externa, los electrones vuelven a migrar y neutralizan la región positiva.

La figura muestra una esfera y una carga positiva q a cierta distancia de ella. El lado de la esfera orientado hacia q se denomina A y el lado opuesto se denomina B. Los signos menos y los signos más se muestran en las superficies interiores de la esfera en los lados A y B respectivamente. Estos se marcan como menos sigma A y más sigma B respectivamente.
Figura 6.34 Polarización de una esfera de metal por una carga puntual externa + q + q . El lado cercano del metal tiene una carga superficial opuesta en comparación con el lado lejano del metal. Se dice que la esfera está polarizada. Al eliminar la carga externa, la polarización del metal también desaparece.

La polarización del metal solo se produce en presencia de cargas externas. Se puede pensar en esto en términos de campos eléctricos. La carga externa crea un campo eléctrico externo. Cuando el metal se coloca en la región de este campo eléctrico, los electrones y protones del metal experimentan fuerzas eléctricas debidas a este campo eléctrico externo, pero solo los electrones de conducción son libres de moverse en el metal a distancias macroscópicas. El movimiento de los electrones de conducción conduce a la polarización, que crea un campo eléctrico inducido además del campo eléctrico externo (Figura 6.35). El campo eléctrico neto es una suma vectorial de los campos de +q+q y las densidades de carga superficial σAσA y +σB.+σB. Esto significa que el campo neto dentro del conductor es diferente del campo fuera de él.

La figura muestra una esfera y una carga q a cierta distancia de ella. El lado de la esfera orientado hacia q se denomina A y el lado opuesto se denomina B. Las superficies interiores de la esfera en los lados A y B se denominan menos sigma A y más sigma B respectivamente. Un punto P está en la esfera. Dos flechas se originan en P. Se marcan como vector E subíndice A y vector E subíndice B. Una línea punteada biseca el ángulo formado por las dos y conecta P con q. Una tercera flecha se origina en P y apunta en la dirección opuesta a q. Se trata de un vector E marcado con el subíndice q.
Figura 6.35 En presencia de una carga externa q, las cargas de un metal se redistribuyen. El campo eléctrico en cualquier punto tiene tres contribuciones, desde + q + q y las cargas inducidas σ A σ A y + σ B . + σ B . Tenga en cuenta que la distribución de la carga superficial no será uniforme en este caso.

La redistribución de cargas es tal que la suma de las tres contribuciones en cualquier punto P dentro del conductor es

EP=Eq+EB+EA=0.EP=Eq+EB+EA=0.

Ahora, gracias a la ley de Gauss, sabemos que no hay carga neta encerrada por una superficie gaussiana que esté únicamente dentro del volumen del conductor en equilibrio. Eso es, qenc=0qenc=0 y por lo tanto

Eneto=0(en puntos del interior de un conductor).Eneto=0(en puntos del interior de un conductor).
6.13

Carga en un conductor

Una propiedad interesante de un conductor en equilibrio estático es que las cargas adicionales en el conductor terminan en su superficie exterior, independientemente de su origen. La Figura 6.36 ilustra un sistema en el que llevamos una carga positiva externa al interior de la cavidad de un metal y luego toca la superficie interior. Inicialmente, la superficie interior de la cavidad está cargada negativamente y la superficie exterior del conductor está cargada positivamente. Cuando tocamos la superficie interior de la cavidad, la carga inducida se neutraliza, dejando la superficie exterior y todo el metal cargado con una carga neta positiva.

La figura de la izquierda muestra un círculo sombreado con una cavidad en él. Una varilla con una bola en el extremo se introduce en la cavidad de forma que no toque el círculo sombreado. La bola tiene un signo de más. La cavidad tiene signos de menos alrededor. El círculo sombreado tiene signos positivos fuera de él. Una flecha señala desde esta figura a otra de la derecha. La flecha está marcada como que toca dentro de la cavidad. La figura de la derecha es similar a la de la izquierda, salvo que la bola toca el borde de la cavidad. No hay señales en la bola o alrededor de la cavidad. El exterior del círculo sombreado tiene signos de más.
Figura 6.36 Las cargas eléctricas en un conductor migran a la superficie exterior sin importar dónde las ponga inicialmente.

Para ver por qué ocurre esto, observe que la superficie gaussiana en la Figura 6.37 (la línea discontinua) sigue el contorno de la superficie real del conductor y se sitúa a una distancia infinitesimal dentro de ella. Dado que E=0E=0 por todas partes dentro de un conductor,

sE·n^dA=0.sE·n^dA=0.

Así, a partir de la ley de Gauss, no hay carga neta dentro de la superficie gaussiana. Pero la superficie gaussiana se encuentra justo por debajo de la superficie real del conductor; en consecuencia, no hay carga neta dentro del conductor. Cualquier exceso de carga debe estar en su superficie.

La figura muestra una forma irregular. Se muestra una línea de puntos justo dentro del contorno de la forma.
Figura 6.37 La línea discontinua representa una superficie gaussiana que está justo por debajo de la superficie real del conductor.

Esta propiedad particular de los conductores es la base de un método extremadamente preciso desarrollado por Plimpton y Lawton en 1936 para verificar la ley de Gauss y, en consecuencia, la ley de Coulomb. Un esquema de su aparato se muestra en la Figura 6.38. Dos capas esféricas están conectadas entre sí a través de un electrómetro E, un dispositivo que puede detectar una cantidad muy ligera de carga que fluye de una capa a la otra. Cuando se acciona el interruptor S hacia la izquierda, la batería B pone carga en la capa exterior. ¿La carga fluye a través del electrómetro a la capa interior?

No. Hacerlo significaría una violación de la ley de Gauss. Plimpton y Lawton no detectaron ningún flujo y, conociendo la sensibilidad de su electrómetro, concluyeron que si la dependencia radial en la ley de Coulomb fuera 1/r(2+δ)1/r(2+δ), δδ sería menor que 2×10−92×10−91. Las mediciones más recientes sitúan δδ a menos de 3×10−163×10−162, un número tan pequeño que la validez de la ley de Coulomb parece indiscutible.

La figura muestra un círculo marcado E. Está rodeado por dos círculos concéntricos con ranuras. Se trata de dos esferas conductoras concéntricas. Se conectan dos terminales de E, uno a cada círculo. El círculo exterior está conectado a un interruptor S, que conmuta entre dos terminales de una batería. Hay una placa inclinada en la parte superior de los círculos marcada como espejo para ver el electrómetro. Una persona mira el espejo a través de un visor. La línea de visión se refleja desde el espejo hacia E.
Figura 6.38 Una representación del aparato utilizado por Plimpton y Lawton. Cualquier transferencia de carga entre las esferas es detectada por el electrómetro E.

El campo eléctrico en la superficie de un conductor

Si el campo eléctrico tuviera un componente paralelo a la superficie de un conductor, las cargas libres en la superficie se moverían, una situación contraria a la suposición de equilibrio electrostático. Por lo tanto, el campo eléctrico es siempre perpendicular a la superficie de un conductor.

En cualquier punto justo por encima de la superficie de un conductor, la densidad de carga superficial σσ y la magnitud del campo eléctrico E están relacionados por

E=σε0.E=σε0.
6.14

Para ver esto, considere un cilindro gaussiano infinitesimal que rodea un punto de la superficie del conductor, como en la Figura 6.39. El cilindro tiene una cara final interior y otra exterior a la superficie. La altura y la sección transversal del cilindro son δδ y ΔAΔA, respectivamente. Los lados del cilindro son perpendiculares a la superficie del conductor, y sus caras extremas son paralelas a la superficie. Como el cilindro es infinitesimalmente pequeño, la densidad de carga σσ es esencialmente constante sobre la superficie encerrada, por lo que la carga total dentro del cilindro gaussiano es σΔAσΔA. Ahora bien, E es perpendicular a la superficie del conductor en el exterior de este y se desvanece en el interior, ya que de otra manera las cargas se acelerarían y no estaríamos en equilibrio. Por lo tanto, el flujo eléctrico solo atraviesa la cara exterior de la superficie gaussiana y puede escribirse como EΔAEΔA, ya que se supone que el cilindro es lo suficientemente pequeño como para que E sea aproximadamente constante en esa área. De la ley de Gauss,

EΔA=σΔAε0.EΔA=σΔAε0.

Por lo tanto,

E=σε0.E=σε0.
Una superficie marcada como sigma tiene signos de más. Un punto P en la superficie forma el centro de un cilindro. Una flecha marcada como vector E sigue el eje del cilindro y sale de su superficie superior. La superficie superior del cilindro está marcada como delta A y la superficie inferior está marcada como vector E igual a cero. Estas son paralelas a la superficie sigma. La longitud del cilindro se denomina sigma.
Figura 6.39 Una superficie gaussiana cilíndrica infinitesimal rodea el punto P, que está en la superficie del conductor. El campo E E es perpendicular a la superficie del conductor fuera del mismo y desaparece dentro de él.

Ejemplo 6.9

Campo eléctrico de una placa conductora

La placa conductora infinita en la Figura 6.40 tiene una densidad de carga superficial uniforme σσ. Utilice la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico fuera de la placa. Compare este resultado con el calculado anteriormente de forma directa.
Una franja sombreada marcada como E igual a cero tiene signos de más en sus dos bordes interiores. A la derecha de la franja se muestra un rectángulo marcado A que encierra dos signos más. Dos flechas dentro de esta son perpendiculares a la longitud de la franja y apuntan a la derecha. Estas están marcadas como vector E.
Figura 6.40 Vista lateral de una placa conductora infinita y de un cilindro gaussiano con sección transversal A.

Estrategia

Para este caso, utilizamos una superficie gaussiana cilíndrica, de la que se muestra una vista lateral.

Solución

El cálculo del flujo es similar al de una hoja de carga infinita del capítulo anterior, con una excepción importante: La cara izquierda de la superficie gaussiana está dentro del conductor donde E=0,E=0, por lo que el flujo total a través de la superficie gaussiana es EA en lugar de 2EA. Entonces, a partir de la ley de Gauss,
EA=σAε0EA=σAε0

y el campo eléctrico fuera de la placa es

E=σε0.E=σε0.

Importancia

Este resultado está de acuerdo con el resultado de la sección anterior, y es coherente con la regla indicada anteriormente.

Ejemplo 6.10

Campo eléctrico entre placas paralelas con carga opuesta

Dos grandes placas conductoras llevan cargas iguales y opuestas, con una densidad de carga superficial σσ de magnitud 6,81×10−7C/m2,6,81×10−7C/m2, como se muestra en la Figura 6.41. La separación entre las placas es l=6,50mml=6,50mm. ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas?
Se muestran dos placas paralelas separadas por una distancia l. La izquierda tiene signos positivos en el interior de su superficie derecha. La placa derecha tiene signos negativos en el interior de su superficie izquierda. Las flechas que van de la placa izquierda a la derecha están marcadas como vector E. Una carga positiva entre las placas tiene una flecha que sale de ella, apuntando a la derecha.
Figura 6.41 El campo eléctrico entre placas paralelas con carga opuesta. Se libera una carga de prueba en la placa positiva.

Estrategia

Observe que el campo eléctrico en la superficie de una placa solo depende de la carga de esa placa. Por lo tanto, aplique E=σ/ε0E=σ/ε0 con los valores dados.

Solución

El campo eléctrico se dirige desde la placa positiva a la negativa, como se muestra en la figura, y su magnitud viene dada por
E=σε0=6,81×10−7C/m28,85×10−12C2/N m2=7,69×104N/C.E=σε0=6,81×10−7C/m28,85×10−12C2/N m2=7,69×104N/C.

Importancia

Esta fórmula es aplicable a más de una placa. Además, los sistemas de dos placas serán importantes más adelante.

Ejemplo 6.11

Una esfera conductora

La esfera conductora aislada (Figura 6.42) tiene un radio R y un exceso de carga q. ¿Cuál es el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera?
Se muestran dos círculos concéntricos. El más pequeño, de radio R, tiene signos de más en su interior. El más grande, con radio r, se muestra con una línea punteada y se marca como S, superficie gaussiana.
Figura 6.42 Una esfera conductora aislada.

Estrategia

La esfera está aislada, por lo que su distribución de cambios en la superficie y el campo eléctrico de esa distribución son esféricamente simétricos. Por lo tanto, podemos representar el campo como E=E(r)r^E=E(r)r^. Para calcular E(r), aplicamos la ley de Gauss sobre una superficie esférica cerrada S de radio r que es concéntrica con la esfera conductora.

Solución

Dado que r es constante y n^=r^n^=r^ en la esfera,
SE·n^dA=E(r)SdA=E(r)4πr2.SE·n^dA=E(r)SdA=E(r)4πr2.

Para r<Rr<R, S está dentro del conductor, por lo que qenc=0,qenc=0, y la ley de Gauss da

E(r)=0,E(r)=0,

como se espera dentro de un conductor. Si r>Rr>R, S encierra el conductor de manera que qenc=q.qenc=q. De la ley de Gauss,

E(r)4πr2=qε0.E(r)4πr2=qε0.

Por lo tanto, el campo eléctrico de la esfera puede escribirse como

E=0(r<R),E=14πε0qr2r^(rR).E=0(r<R),E=14πε0qr2r^(rR).

Importancia

Observe que en la región rRrR, el campo eléctrico debido a una carga q situada en una esfera conductora aislada de radio R es idéntico al campo eléctrico de una carga puntual q situada en el centro de la esfera. La diferencia entre el metal cargado y una carga puntual se produce solo en los puntos espaciales del interior del conductor. Para una carga puntual colocada en el centro de la esfera el campo eléctrico no es cero en los puntos del espacio ocupados por la esfera, pero un conductor con la misma cantidad de carga tiene un campo eléctrico cero en esos puntos (Figura 6.43). Sin embargo, no hay distinción en los puntos exteriores del espacio donde r>Rr>R, y podemos sustituir impunemente el conductor esférico cargado aislado por una carga puntual en su centro.
Se muestra un círculo marcado vector E subíndice dentro igual a cero. Las flechas que lo rodean irradian hacia el exterior. Estas están marcadas vector E subíndice fuera.
Figura 6.43 Campo eléctrico de una esfera de metal cargada positivamente. El campo eléctrico en el interior es cero, y el campo eléctrico en el exterior es igual al campo eléctrico de una carga puntual en el centro, aunque la carga en la esfera de metal está en la superficie.

Compruebe Lo Aprendido 6.6

Compruebe lo aprendido ¿Cómo cambiará el sistema anterior si hay objetos cargados externos a la esfera?

Para un conductor con una cavidad, si ponemos una carga +q+q dentro de la cavidad, entonces la separación de la carga tiene lugar en el conductor, con una cantidad qq de carga en la superficie interior y una cantidad +q+q de carga en la superficie exterior (Figura 6.44(a)). Para el mismo conductor con una carga +q+q fuera de ella, no hay exceso de carga en la superficie interior; tanto las cargas positivas como las negativas inducidas residen en la superficie exterior (Figura 6.44(b)).

La figura a muestra una esfera de metal con una cavidad en su interior. La esfera tiene un vector E igual a cero. Tiene signos de más alrededor. La cavidad tiene signos de menos alrededor. Una carga positiva más q está dentro de la cavidad. La figura b muestra la misma esfera de metal con una cavidad en ella. La esfera tiene un vector E igual a cero. No hay nada dentro de la cavidad. Una carga positiva marcada como más q está fuera de la esfera. El lado de la esfera orientado hacia q tiene signos negativos. El lado opuesto tiene signos de más.
Figura 6.44 (a) Una carga dentro de una cavidad en un metal. La distribución de las cargas en la superficie exterior no depende de cómo se distribuyen las cargas en la superficie interior, ya que el campo E dentro del cuerpo del metal es cero. Sin embargo, la magnitud de la carga en la superficie exterior depende de la magnitud de la carga en el interior. (b) Una carga fuera de un conductor que contiene una cavidad interior. La cavidad sigues sin tener carga. La polarización de las cargas en el conductor se produce en la superficie.

Si un conductor tiene dos cavidades, una de ellas con carga +qa+qa en su interior y el otro una carga qb,qb, la polarización del conductor resulta en qaqa en la superficie interior de la cavidad a, +qb+qb en la superficie interior de la cavidad b y qaqbqaqb en la superficie exterior (Figura 6.45). Las cargas en las superficies pueden no estar uniformemente repartidas; su distribución depende de la geometría. La única regla que se cumple es que cuando se ha alcanzado el equilibrio, la distribución de cargas en un conductor es tal que el campo eléctrico por la distribución de cargas en el conductor cancela el campo eléctrico de las cargas externas en todos los puntos del espacio dentro del cuerpo del conductor.

La figura muestra una esfera aplanada, con un vector E igual a cero. Tiene dos cavidades esféricas en su interior. Su superficie exterior de la esfera aplanada está marcada sin carga inducida en el exterior. La cavidad izquierda tiene una carga negativa q en su interior, a la izquierda. La superficie izquierda de esta cavidad tiene muchos signos más y la superficie derecha tiene un solo signo más. La cavidad derecha tiene una carga positiva q en su interior, a la derecha. La superficie derecha de esta cavidad tiene muchos signos menos y la superficie izquierda tiene un solo signo menos.
Figura 6.45 Las cargas inducidas por dos cargas iguales y opuestas en dos cavidades separadas de un conductor. Si la carga neta en la cavidad es distinta de cero, la superficie externa se carga en la cantidad de la carga neta.

Notas a pie de página

  • 1S. Plimpton y W. Lawton. 1936. "A Very Accurate Test of Coulomb’s Law of Force between Charges”. Physical Review 50, n.º 11: 1066, doi:10.1103/PhysRev.50.1066
  • 2E. Williams, J. Faller y H. Hill. 1971. “New Experimental Test of Coulomb’s Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass”. Physical Review Letters 26, N.º 12: 721, doi:10.1103/PhysRevLett.26.721
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