William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Definir el concepto de flujo.
Describir el flujo eléctrico.
Calcular el flujo eléctrico para una situación dada.

El concepto de flujo describe la cantidad de algo que atraviesa un área determinada. Más formalmente, es el producto punto de un campo vectorial (en este capítulo, el campo eléctrico) con un área. Se puede conceptualizar el flujo de un campo eléctrico como una medida del número de líneas de campo eléctrico que pasan por un área (Figura 6.3). Cuanto mayor sea el área, más líneas de campo la atraviesan y, por lo tanto, mayor es el flujo; del mismo modo, cuanto más fuerte es el campo eléctrico (representado por una mayor densidad de líneas), mayor es el flujo. Por otro lado, si el área gira de manera que el plano esté alineado con las líneas de campo, no pasará ninguna y no habrá flujo.

La figura muestra una zona sombreada en el centro. Varias flechas que apuntan a la derecha se muestran detrás, delante y atravesando la zona sombreada. Estas están marcadas como campo eléctrico.

Figura 6.3 El flujo de un campo eléctrico a través de la zona sombreada capta información sobre el "número" de líneas de campo eléctrico que pasan por la zona. El valor numérico del flujo eléctrico depende de las magnitudes del campo eléctrico y del área, así como de la orientación relativa del área con respecto a la dirección del campo eléctrico.

Una analogía macroscópica que puede ayudar a imaginar esto es poner un aro hula-hula en un río que fluye. Al cambiar el ángulo del aro con respecto a la dirección de la corriente, más o menos del flujo pasará por el aro. Del mismo modo, la cantidad de flujo que pasa a través del aro depende de la fuerza de la corriente y del tamaño del aro. De nuevo, el flujo es un concepto general; también podemos utilizarlo para describir la cantidad de luz solar que incide en un panel solar o la cantidad de energía que recibe un telescopio de una estrella lejana, por ejemplo.

Para cuantificar esta idea, la Figura 6.4(a) muestra una superficie plana $S_{1}$ del área $A_{1}$ que es perpendicular al campo eléctrico uniforme $\vec{E} = E \hat{y} .$ Si N líneas de campo pasan por $S_{1}$ , entonces sabemos por la definición de las líneas de campo eléctrico (Cargas y campos eléctricos) que $N / A_{1} \propto E,$ o $N \propto E A_{1} .$

La cantidad $E A_{1}$ es el flujo eléctrico que atraviesa $S_{1}$ . Representamos el flujo eléctrico a través de una superficie abierta como $S_{1}$ con el símbolo $Φ$ . El flujo eléctrico es una cantidad escalar y tiene una unidad SI de newton-metros al cuadrado por culombio ( $N \cdot m^{2} /C$ ). Observe que $N \propto E A_{1}$ también puede escribirse como $N \propto Φ$ , demostrando que el flujo eléctrico es una medida del número de líneas de campo que cruzan una superficie.

La figura a muestra un área rectangular sombreada en el plano x z. Esto está marcado como S1. Hay tres flechas marcadas como E que pasan por S1. Son paralelas al eje y, y apuntan a lo largo del eje y positivo. La figura b, también tiene el plano S1 y las flechas E. Otro plano, marcado S2 forma un ángulo theta con el plano S1. Su línea de intersección es paralela al eje x. Una flecha marcada como vector n 2 forma un ángulo theta con E.

Figura 6.4 (a) Una superficie plana

S_{1}

del área

A_{1}

es perpendicular al campo eléctrico

E \hat{j}

. Las líneas de campoN cruzan la superficie

S_{1}

. (b) Una superficie

S_{2}

del área

A_{2}

cuya proyección en el plano xz es

S_{1}

. El mismo número de líneas de campo cruzan cada superficie.

Consideremos ahora una superficie plana que no es perpendicular al campo. ¿Cómo representaríamos el flujo eléctrico? La Figura 6.4(b) muestra una superficie $S_{2}$ del área $A_{2}$ que está inclinada en un ángulo $θ$ al plano xz y cuya proyección en dicho plano es $S_{1}$ (área $A_{1}$ ). Las áreas están relacionadas por $A_{2} cos θ = A_{1} .$ Dado que el mismo número de líneas de campo cruza ambos $S_{1}$ y $S_{2}$ , los flujos a través de ambas superficies deben ser iguales. El flujo a través de $S_{2}$ por lo tanto, es $Φ = E A_{1} = E A_{2} cos θ .$ Al designar ${\hat{n}}_{2}$ como un vector unitario normal a $S_{2}$ (vea la Figura 6.4(b)), obtenemos

Φ = \vec{E} \cdot {\hat{n}}_{2} A_{2} .

Interactivo

Mire este video para observar lo que ocurre con el flujo cuando el área cambia de tamaño y ángulo, o el campo eléctrico cambia de intensidad.

Vector de área

Para discutir el flujo de un campo vectorial, es útil introducir un vector de área $\vec{A} .$ Esto nos permite escribir la última ecuación de forma más compacta. ¿Cuál debe ser la magnitud del vector de área? ¿Cuál debe ser la dirección del vector de área? ¿Qué implicaciones tiene la respuesta a la pregunta anterior?

El vector de área de una superficie plana de área A tiene la siguiente magnitud y dirección:

La magnitud es igual al área(A)
La dirección es a lo largo de la normal a la superficie ( $\hat{n}$ ); es decir, perpendicular a la superficie.

Dado que la normal a una superficie plana puede apuntar en cualquier dirección desde la superficie, es necesario elegir la dirección del vector de área de una superficie abierta, como se muestra en la Figura 6.5.

La figura muestra dos planos horizontales marcados como A. El primero tiene dos flechas que apuntan hacia arriba desde el plano. El más largo está marcado como vector A y el más corto como vector n. El segundo plano tiene las mismas dos flechas apuntando hacia abajo desde el plano.

Figura 6.5 Hay que elegir la dirección del vector de área de una superficie abierta; podría ser cualquiera de los dos casos que se muestran aquí. El vector de área de una parte de una superficie cerrada se define para apuntar desde el interior del espacio cerrado hacia el exterior. Esta regla da una dirección única.

Dado que $\hat{n}$ es una normal unitaria a una superficie, tiene dos direcciones posibles en cada punto de esa superficie (Figura 6.6(a)). Para una superficie abierta, podemos utilizar cualquier dirección, siempre que seamos coherentes en toda la superficie. La parte (c) de la figura muestra varios casos.

La figura a muestra una superficie rectangular curva. Dos flechas parten de un punto en su centro y apuntan en direcciones opuestas. Ambas son perpendiculares a la superficie. Están marcadas como vector n 1 y vector n 2. La figura b muestra una superficie tridimensional con forma de bombilla. Hay cinco flechas marcadas como vector n, que se originan en varios puntos de la superficie y apuntan hacia afuera, perpendicularmente a la superficie. La figura c muestra tres superficies rectangulares marcadas S1, S2 y S3. Dos flechas marcadas con vector n son perpendiculares a S1 y apuntan en direcciones opuestas. Tres flechas marcadas con vector n son perpendiculares a S2, una de ellas apunta en dirección opuesta a las otras dos. Hay tres flechas perpendiculares a S3. Todos apuntan hacia el exterior desde el mismo lado de la superficie.

Figura 6.6 (a) En cada punto de una superficie surgen dos vectores normales potenciales. (b) La normal exterior se utiliza para calcular el flujo a través de una superficie cerrada. (c) Solo

S_{3}

ha recibido un conjunto coherente de vectores normales que nos permite definir el flujo a través de la superficie.

Sin embargo, si una superficie es cerrada, entonces la superficie encierra un volumen. En ese caso, la dirección del vector normal en cualquier punto de la superficie apunta desde el interior hacia el exterior. En una superficie cerrada como la de Figura 6.6(b), $\hat{n}$ se elige para ser la normal hacia afuera en cada punto, para ser consistente con la convención de signos para la carga eléctrica.

Flujo eléctrico

Ahora que hemos definido el vector área de una superficie, podemos definir el flujo eléctrico de un campo eléctrico uniforme a través de un área plana como el producto escalar del campo eléctrico y el vector de área, como se define en Productos de vectores:

Φ = \vec{E} \cdot \vec{A} (uniforme \vec{E}, superficie plana) .

6.1

La Figura 6.7 muestra el campo eléctrico de un sistema de placas paralelas con carga opuesta y una caja imaginaria entre las placas. El campo eléctrico entre las placas es uniforme y apunta desde la placa positiva hacia la negativa. Un cálculo del flujo de este campo a través de varias caras de la caja muestra que el flujo neto a través de la caja es cero. ¿Por qué el flujo se anula aquí?

En el centro se muestra un cubo ABCDKFGH. Se muestra un plano diagonal dentro de él desde KF hasta BC. La superficie superior del cubo, FGHK tiene un plano marcado como menos q ligeramente por encima y paralelo a él. De manera similar, otro plano está marcado como más q y se muestra ligeramente por debajo de la superficie inferior del cubo, paralelo a él. Se muestran pequeñas flechas rojas que apuntan hacia arriba desde el plano inferior, hacia la superficie inferior del cubo, hacia arriba desde la superficie superior del cubo y hacia el plano superior. Estos están marcados como vector E.

Figura 6.7 Flujo eléctrico a través de un cubo, colocado entre dos placas cargadas. El flujo eléctrico a través de la cara inferior(ABCD) es negativo, porque

\vec{E}

está en la dirección opuesta a la normal de la superficie. El flujo eléctrico a través de la cara superior(FGHK) es positivo, porque el campo eléctrico y la normal están en la misma dirección. El flujo eléctrico a través de las otras caras es cero, ya que el campo eléctrico es perpendicular a los vectores normales de esas caras. El flujo eléctrico neto a través del cubo es la suma de los flujos a través de las seis caras. Aquí, el flujo neto a través del cubo es igual a cero. La magnitud del flujo a través del rectángulo BCKF es igual a las magnitudes del flujo a través de las caras superior e inferior.

La razón es que las fuentes del campo eléctrico están fuera de la caja. Por lo tanto, si cualquier línea de campo eléctrico entra en el volumen de la caja, también debe salir en algún lugar de la superficie porque no hay carga en el interior para que las líneas se posen. Por lo tanto, en general, el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es cero si no hay fuentes de campo eléctrico, ya sean cargas positivas o negativas, dentro del volumen encerrado. En general, cuando las líneas de campo salen (o "fluyen fuera") de una superficie cerrada, $Φ$ es positivo; cuando entran (o "fluyen hacia") la superficie, $Φ$ es negativo.

Cualquier superficie lisa y no plana puede ser sustituida por un conjunto de pequeñas superficies aproximadamente planas, como se muestra en la Figura 6.8. Si dividimos una superficie S en pequeñas porciones, observamos que, a medida que las porciones se hacen más pequeñas, pueden ser aproximadas por superficies planas. Esto es similar a la forma en que tratamos la superficie de la Tierra como localmente plana, aunque sabemos que globalmente es aproximadamente esférica.

La figura muestra una superficie ondulada etiquetada como S. Tres flechas etiquetadas como vector n se originan en tres porciones diferentes de la superficie. Las flechas más largas etiquetadas como vector E también se originan en cada porción. En el lateral se muestra una vista ampliada de una porción. Muestra que el vector n es perpendicular a la porción.

Figura 6.8 Una superficie se divide en porciones para hallar el flujo.

Para llevar la cuenta de las porciones, podemos numerarlas de 1 a N. Ahora, definimos el vector de área para cada porción como el área de la porción apuntada en la dirección de la normal. Denotemos el vector de área de la i-ésima porción por $δ {\vec{A}}_{i} .$ (Hemos utilizado el símbolo $δ$ para recordar que el área es de una porción arbitrariamente pequeña) Con porciones suficientemente pequeñas, podemos aproximar el campo eléctrico sobre cualquier porción dada como uniforme. Denotemos el campo eléctrico medio en la ubicación de la i-ésima porción por ${\vec{E}}_{i} .$

{\vec{E}}_{i} = campo eléctrico medio sobre la i -ésima porción .

Por lo tanto, podemos escribir el flujo eléctrico $Φ_{i}$ a través del área de la i-ésima porción como

Φ_{i} = {\vec{E}}_{i} \cdot δ {\vec{A}}_{i} (i -ésima porción) .

El flujo a través de cada una de las porciones individuales puede construirse de esta manera y luego sumarse para darnos una estimación del flujo neto a través de toda la superficie S, que denotamos simplemente como $Φ$ .

Φ = \sum_{i = 1}^{N} Φ_{i} = \sum_{i = 1}^{N} {\vec{E}}_{i} \cdot δ {\vec{A}}_{i} (N estimación de porciones) .

Esta estimación del flujo mejora a medida que se reduce el tamaño de las porciones. Sin embargo, cuando se utilizan porciones más pequeñas se necesitan más para cubrir la misma superficie. En el límite de porciones infinitesimales se puede considerar que tienen un área dA y una normal unitaria $\hat{n}$ . Como los elementos son infinitesimales se puede suponer que son planos, y ${\vec{E}}_{i}$ puede tomarse como constante sobre cualquier elemento. Entonces el flujo $d Φ$ a través de un área dA viene dada por $d Φ = \vec{E} \cdot \hat{n} d A .$ Es positivo cuando el ángulo entre ${\vec{E}}_{i}$ y $\hat{n}$ es menor de $90 °$ y negativo cuando el ángulo es mayor de $90 °$ . El flujo neto es la suma de los elementos de flujo infinitesimales en toda la superficie. Con porciones infinitesimales, se necesitan infinitas porciones, y el límite de la suma se convierte en una integral de superficie. Con $\int_{S}$ que representa la integral sobre S,

Φ = \int_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} d A = \int_{S} \vec{E} \cdot d \vec{A} (superficie abierta) .

6.2

En la práctica, las integrales de superficie se calculan tomando las antiderivadas de ambas dimensiones que definen el área, siendo los bordes de la superficie en cuestión los límites de la integral.

Para distinguir entre el flujo a través de una superficie abierta como la de la Figura 6.4 y el flujo a través de una superficie cerrada (una que limita completamente algún volumen), representamos el flujo a través de una superficie cerrada mediante

Φ = \oint_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} d A = \oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{A} (superficie cerrada)

6.3

donde el círculo que atraviesa el símbolo de la integral significa simplemente que la superficie es cerrada, y que estamos integrando sobre toda ella. Si solo integra sobre una parte de una superficie cerrada, significa que está tratando un subconjunto de ella como una superficie abierta.

Ejemplo 6.1

Flujo de un campo eléctrico uniforme

Un campo eléctrico constante de magnitud

E_{0}

apunta en la dirección del eje z positivo (Figura 6.9). ¿Cuál es el flujo eléctrico que atraviesa un rectángulo de lados a y b en el (a) plano xy y en el (b) plano xz?

Se muestra una porción rectangular en el plano xy. Su lado a lo largo del eje x es de longitud a y su lado a lo largo del eje y es de longitud b. Las flechas etiquetadas E con el subíndice 0 se originan en el plano y apuntan en la dirección z positiva.

Figura 6.9 El cálculo del flujo de

E_{0}

a través de una superficie rectangular.

Estrategia

Aplicar la definición de flujo

Φ = \vec{E} \cdot \vec{A} (uniforme \vec{E})

, donde la definición de producto punto es crucial.

Solución

En este caso, $Φ = {\vec{E}}_{0} \cdot \vec{A} = E_{0} A = E_{0} a b .$
Aquí, la dirección del vector área es a lo largo del eje y positivo o hacia el eje y negativo. Por lo tanto, el producto escalar del campo eléctrico con el vector área es cero, dando un flujo cero.

Importancia

Las direcciones relativas del campo eléctrico y del área pueden hacer que el flujo a través del área sea cero.

Ejemplo 6.2

Flujo de un campo eléctrico uniforme a través de una superficie cerrada

Un campo eléctrico constante de magnitud

E_{0}

apunta en la dirección del eje z positivo (Figura 6.10). ¿Cuál es el flujo eléctrico neto que atraviesa un cubo?

Figura 6.10 El cálculo del flujo de

E_{0}

a través de una superficie cúbica cerrada.

Estrategia

Aplicar la definición de flujo

Φ = \vec{E} \cdot \vec{A} (uniforme \vec{E})

, observando que una superficie cerrada elimina la ambigüedad en la dirección del vector área.

Solución

A través de la cara superior del cubo,

Φ = {\vec{E}}_{0} \cdot \vec{A} = E_{0} A .

A través de la cara inferior del cubo, $Φ = {\vec{E}}_{0} \cdot \vec{A} = − E_{0} A,$ porque el vector área aquí apunta hacia abajo.

A lo largo de los otros cuatro lados, la dirección del vector área es perpendicular a la dirección del campo eléctrico. Por lo tanto, el producto escalar del campo eléctrico con el vector área es cero, dando un flujo cero.

El flujo neto es $Φ_{neto} = E_{0} A - E_{0} A + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$ .

Importancia

El flujo neto de un campo eléctrico uniforme a través de una superficie cerrada es cero.

Ejemplo 6.3

Flujo eléctrico a través de un plano, Método Integral

Un campo eléctrico uniforme

\vec{E}

de magnitud 10 N/C se dirige paralelamente al plano yzen

30 °

sobre el plano xy, como se muestra en la Figura 6.11. Cuál es el flujo eléctrico que atraviesa la superficie plana de área

6,0 m^{2}

situado en el plano xz? Supongamos que

\hat{n}

puntos en la dirección y positiva.

Se muestra una superficie rectangular S en el plano xz. Tres flechas etiquetadas como vector n se originan en tres puntos de la superficie y apuntan en la dirección y positiva. Tres flechas más largas etiquetadas como vector E también se originan en los mismos puntos. Hacen un ángulo de 30 grados con el vector n.

Figura 6.11 El campo eléctrico produce un flujo eléctrico neto a través de la superficie S.

Estrategia

Aplique

Φ = \int_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} d A

, donde la dirección y la magnitud del campo eléctrico son constantes.

Solución

El ángulo entre el campo eléctrico uniforme

\vec{E}

y la unidad normal

\hat{n}

a la superficie plana es

30 °

. Como tanto la dirección como la magnitud son constantes, E queda fuera de la integral. Todo lo que queda es una integral de superficie sobre dA, que es A. Por lo tanto, utilizando la ecuación de superficie abierta, hallamos que el flujo eléctrico a través de la superficie es

\begin{matrix} Φ & = \int_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} d A = E A cos θ \\ = (10 N/C) (6,0 m^{2}) (cos 30 °) = 52 N \cdot m^{2} /C . \end{matrix}

Importancia

De nuevo, las direcciones relativas del campo y del área importan, y la ecuación general con la integral se simplificará al simple producto punto del área y el campo eléctrico.

Compruebe Lo Aprendido 6.1

¿Qué ángulo debe haber entre el campo eléctrico y la superficie mostrada en la Figura 6.11 en el ejemplo anterior para que no pase ningún flujo eléctrico por la superficie?

Ejemplo 6.4

Campo eléctrico no homogéneo

¿Cuál es el flujo total del campo eléctrico

\vec{E} = c y^{2} \hat{k}

a través de la superficie rectangular mostrada en la Figura 6.12?

Se muestra un rectángulo marcado como S en el plano xy. Su lado a lo largo del eje y es de longitud a y el del eje x mide b. Se marca una franja en el rectángulo, con su longitud paralela al eje x. Su longitud es b y su anchura es dy. Su área se etiqueta dA igual a b dy. Se muestran dos flechas perpendiculares a S, vector n igual a vector k y el vector E igual a cy al cuadrado vector k. Estos apuntan en la dirección z positiva.

Figura 6.12 Dado que el campo eléctrico no es constante sobre la superficie, es necesaria una integración para determinar el flujo.

Estrategia

Aplique

Φ = \int_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} d A

. Suponemos que la normal unitaria

\hat{n}

a los puntos de la superficie dada en la dirección z positiva, por lo que

\hat{n} = \hat{k} .

Como el campo eléctrico no es uniforme sobre la superficie, es necesario dividir la superficie en franjas infinitesimales a lo largo de las cuales

\vec{E}

es esencialmente constante. Como se muestra en la Figura 6.12, estas tiras son paralelas al eje x, y cada tira tiene un área

d A = b d y .

Solución

A partir de la integral de superficie abierta, hallamos que el flujo neto a través de la superficie rectangular es

\begin{matrix} Φ & = \int_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} d A = \int_{0}^{a} (c y^{2} \hat{k}) \cdot \hat{k} (b d y) \\ = c b \int_{0}^{a} y^{2} d y = \frac{1}{3} a^{3} b c . \end{matrix}

Importancia

Para un campo eléctrico no constante, se requiere el método integral.

Compruebe Lo Aprendido 6.2

Si el campo eléctrico en el Ejemplo 6.4 es $\vec{E} = m x \hat{k},$ ¿cuál es el flujo que atraviesa el área rectangular?

6.1 Flujo eléctrico

Vector de área

Flujo eléctrico

Flujo de un campo eléctrico uniforme

Estrategia

Solución

Importancia

Flujo de un campo eléctrico uniforme a través de una superficie cerrada

Estrategia

Solución

Importancia

Flujo eléctrico a través de un plano, Método Integral

Estrategia

Solución

Importancia

Campo eléctrico no homogéneo

Estrategia

Solución

Importancia