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Física Universitaria Volumen 2

7.4 Determinación del campo a partir del potencial

Física Universitaria Volumen 27.4 Determinación del campo a partir del potencial
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar cómo calcular el campo eléctrico en un sistema a partir del potencial dado.
  • Calcular el campo eléctrico en una dirección determinada a partir de un potencial dado.
  • Calcular el campo eléctrico en el espacio a partir de un potencial dado.

Recordemos que hemos podido, en ciertos sistemas, calcular el potencial integrando sobre el campo eléctrico. Como ya se puede sospechar, esto significa que podemos calcular el campo eléctrico tomando derivadas del potencial, aunque pasar de una cantidad escalar a una vectorial introduce algunas arrugas interesantes. A menudo necesitamos EE para calcular la fuerza en un sistema; como a menudo es más sencillo calcular el potencial directamente, hay sistemas en los que es útil calcular V y luego derivar EE de la misma.

En general, independientemente de que el campo eléctrico sea uniforme, apunta en la dirección del potencial decreciente, porque la fuerza sobre una carga positiva es en la dirección de EE y también en la dirección del potencial inferior V. Además, la magnitud de EE es igual a la tasa de disminución de V con la distancia. Cuanto más rápido disminuya V con la distancia, mayor será el campo eléctrico. Esto nos da el siguiente resultado.

Relación entre voltaje y campo eléctrico uniforme

En forma de ecuación, la relación entre voltaje y campo eléctrico uniforme es

E=ΔVΔsE=ΔVΔs

donde ΔsΔs es la distancia en la que el cambio de potencial ΔVΔV tiene lugar. El signo menos nos dice que E apunta en la dirección de la disminución del potencial. Se dice que el campo eléctrico es el gradiente (como en grado o pendiente) del potencial eléctrico.

Para los potenciales que cambian continuamente, ΔVΔV y ΔsΔs se convierten en infinitesimales, y necesitamos el cálculo diferencial para determinar el campo eléctrico. Como se muestra en la Figura 7.27, si tratamos la distancia ΔsΔs como muy pequeño para que el campo eléctrico sea esencialmente constante sobre él, hallamos que

Es=dVds.Es=dVds.
La figura muestra la componente del campo eléctrico de dos puntos A y B separados por una distancia delta s y que tienen una diferencia de potencial delta V.
Figura 7.27 La componente del campo eléctrico a lo largo del desplazamiento Δ s Δ s viene dada por E = Δ V Δ s E = Δ V Δ s . Observe que se supone que A y B están tan cerca que el campo es constante a lo largo de Δ s Δ s .

Por tanto, las componentes del campo eléctrico en las direcciones cartesianas vienen dadas por

Ex=Vx,Ey=Vy,Ez=Vz.Ex=Vx,Ey=Vy,Ez=Vz.
7.13

Con esto se puede definir el operador vectorial "grad" o "del", lo que nos permite calcular el gradiente en un solo paso. En coordenadas cartesianas, toma la forma

=i^x+j^y+k^z.=i^x+j^y+k^z.
7.14

Con esta notación, podemos calcular el campo eléctrico a partir del potencial con

E=V,E=V,
7.15

un proceso que llamamos cálculo del gradiente del potencial.

Si tenemos un sistema con simetría cilíndrica o esférica, solo tenemos que utilizar el operador en las coordenadas adecuadas:

Cilíndrica:=r^r+φ^1rφ+z^zCilíndrica:=r^r+φ^1rφ+z^z
7.16
Esférico:=r^r+θ^1rθ+φ^1rsenθφEsférico:=r^r+θ^1rθ+φ^1rsenθφ
7.17

Ejemplo 7.17

Campo eléctrico de una carga puntual

Calcule el campo eléctrico de una carga puntual a partir del potencial.

Estrategia

Se sabe que el potencial es V=kqrV=kqr, que tiene una simetría esférica. Por lo tanto, utilizamos el operador del esférico en la fórmula E=VE=V.

Solución

Realizando este cálculo obtenemos
E=(r^r+θ^1rθ+φ^1rsenθφ)kqr=kq(r^r1r+θ^1rθ1r+φ^1rsenθφ1r).E=(r^r+θ^1rθ+φ^1rsenθφ)kqr=kq(r^r1r+θ^1rθ1r+φ^1rsenθφ1r).

Esta ecuación se simplifica en

E=kq(r^−1r2+θ^0+φ^0)=kqr2r^E=kq(r^−1r2+θ^0+φ^0)=kqr2r^

como se esperaba.

Importancia

No solo hemos obtenido la ecuación para el campo eléctrico de una partícula puntual que hemos visto antes, sino que también tenemos una demostración de que EE apunta en la dirección de la disminución del potencial, como se muestra en la Figura 7.28.
La figura muestra una carga Q y vectores de campo eléctrico radialmente hacia afuera de Q.
Figura 7.28 Vectores del campo eléctrico dentro y fuera de una esfera uniformemente cargada.

Ejemplo 7.18

Campo eléctrico de un anillo de carga

Utilice el potencial encontrado en el Ejemplo 7.8 para calcular el campo eléctrico a lo largo del eje de un anillo de carga (Figura 7.29).
La figura muestra un anillo de carga situado en el plano xy con su centro en el origen. El punto P está situado en el eje z a una distancia z del origen.
Figura 7.29 Queremos calcular el campo eléctrico a partir del potencial eléctrico debido a una carga anular.

Estrategia

En este caso, solo nos interesa una dimensión, el eje z. Por lo tanto, utilizamos Ez=VzEz=Vz

con el potencial V=kqtotz2+R2V=kqtotz2+R2 encontrado anteriormente.

Solución

Tomando la derivada del potencial se obtiene
Ez=zkqtotz2+R2=kqtotz(z2+R2)3/2.Ez=zkqtotz2+R2=kqtotz(z2+R2)3/2.

Importancia

De nuevo, esto coincide con la ecuación del campo eléctrico encontrada anteriormente. También demuestra un sistema en el que no es necesario utilizar el operador del completo.

Compruebe Lo Aprendido 7.11

¿Qué sistema de coordenadas utilizaría para calcular el campo eléctrico de un dipolo?

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