7.4 Determinación del campo a partir del potencial

Recordemos que hemos podido, en ciertos sistemas, calcular el potencial integrando sobre el campo eléctrico. Como ya se puede sospechar, esto significa que podemos calcular el campo eléctrico tomando derivadas del potencial, aunque pasar de una cantidad escalar a una vectorial introduce algunas arrugas interesantes. A menudo necesitamos $\overrightarrow{\text{E}}$ para calcular la fuerza en un sistema; como a menudo es más sencillo calcular el potencial directamente, hay sistemas en los que es útil calcular V y luego derivar $\overrightarrow{\text{E}}$ de la misma.

En general, independientemente de que el campo eléctrico sea uniforme, apunta en la dirección del potencial decreciente, porque la fuerza sobre una carga positiva es en la dirección de $\overrightarrow{\text{E}}$ y también en la dirección del potencial inferior V. Además, la magnitud de $\overrightarrow{\text{E}}$ es igual a la tasa de disminución de V con la distancia. Cuanto más rápido disminuya V con la distancia, mayor será el campo eléctrico. Esto nos da el siguiente resultado.

Para los potenciales que cambian continuamente, $\text{Δ}V$ y $\text{Δ}s$ se convierten en infinitesimales, y necesitamos el cálculo diferencial para determinar el campo eléctrico. Como se muestra en la Figura 7.27, si tratamos la distancia $\text{Δ}s$ como muy pequeño para que el campo eléctrico sea esencialmente constante sobre él, hallamos que

Figura 7.27 La componente del campo eléctrico a lo largo del desplazamiento $\text{Δ}s$ viene dada por $E=-\frac{\text{Δ}V}{\text{Δ}s}$. Observe que se supone que A y B están tan cerca que el campo es constante a lo largo de $\text{Δ}s$.

Por tanto, las componentes del campo eléctrico en las direcciones cartesianas vienen dadas por

Con esto se puede definir el operador vectorial "grad" o "del", lo que nos permite calcular el gradiente en un solo paso. En coordenadas cartesianas, toma la forma

Con esta notación, podemos calcular el campo eléctrico a partir del potencial con

un proceso que llamamos cálculo del gradiente del potencial.

Si tenemos un sistema con simetría cilíndrica o esférica, solo tenemos que utilizar el operador en las coordenadas adecuadas:

Ejemplo 7.17

Campo eléctrico de una carga puntual

Calcule el campo eléctrico de una carga puntual a partir del potencial.

Estrategia

Se sabe que el potencial es $V=k\frac{q}{r}$, que tiene una simetría esférica. Por lo tanto, utilizamos el operador del esférico en la fórmula $\overrightarrow{\text{E}}=\text{−}\overrightarrow{\nabla }V$.

Solución

Realizando este cálculo obtenemos

$$\overrightarrow{\text{E}}=\text{−}\left(\widehat{\text{r}}\frac{\partial }{\partial r}+\widehat{\mathit{\text{θ}}}\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+\widehat{\mathit{\text{φ}}}\frac{1}{r\text{sen}\theta }\frac{\partial }{\partial \phi }\right)k\frac{q}{r}=\text{−}kq\left(\widehat{\text{r}}\frac{\partial }{\partial r}\frac{1}{r}+\widehat{\mathit{\text{θ}}}\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\frac{1}{r}+\widehat{\mathit{\text{φ}}}\frac{1}{r\text{sen}\theta }\frac{\partial }{\partial \phi }\frac{1}{r}\right).$$

Esta ecuación se simplifica en

$$\overrightarrow{\text{E}}=\text{−}kq\left(\widehat{\text{r}}\frac{\mathrm{-1}}{r^2}+\widehat{\mathit{\text{θ}}}0+\widehat{\mathit{\text{φ}}}0\right)=k\frac{q}{r^2}\widehat{\text{r}}$$

como se esperaba.

Importancia

No solo hemos obtenido la ecuación para el campo eléctrico de una partícula puntual que hemos visto antes, sino que también tenemos una demostración de que $\overrightarrow{\text{E}}$ apunta en la dirección de la disminución del potencial, como se muestra en la Figura 7.28.

Figura 7.28 Vectores del campo eléctrico dentro y fuera de una esfera uniformemente cargada.

Ejemplo 7.18

Campo eléctrico de un anillo de carga

Utilice el potencial encontrado en el Ejemplo 7.8 para calcular el campo eléctrico a lo largo del eje de un anillo de carga (Figura 7.29).

Figura 7.29 Queremos calcular el campo eléctrico a partir del potencial eléctrico debido a una carga anular.

Estrategia

En este caso, solo nos interesa una dimensión, el eje z. Por lo tanto, utilizamos $E_z=-\frac{\partial V}{\partial z}$

con el potencial $V=k\frac{q_{\text{tot}}}{\sqrt{z^2+R^2}}$ encontrado anteriormente.

Solución

Tomando la derivada del potencial se obtiene

$$E_z=-\frac{\partial }{\partial z}\frac{k{q}_{\text{tot}}}{\sqrt{z^2+R^2}}=k\frac{q_{\text{tot}}z}{{\left(z^2+R^2\right)}^{3\text{/}2}}.$$

Importancia

De nuevo, esto coincide con la ecuación del campo eléctrico encontrada anteriormente. También demuestra un sistema en el que no es necesario utilizar el operador del completo.