7.3 Cálculo del potencial eléctrico

Sistemas de cargas puntuales múltiples

Al igual que el campo eléctrico obedece a un principio de superposición, también lo hace el potencial eléctrico. Consideremos un sistema formado por N cargas $q_1,q_2,\text{…},q_N.$ ¿Cuál es el potencial eléctrico neto V en un punto espacial P de estas cargas? Cada una de estas cargas es una carga fuente que produce su propio potencial eléctrico en el punto P, independientemente de cualquier otro cambio que se produzca. Supongamos que $V_1,V_2,\text{…},V_N$ son los potenciales eléctricos en P producidos por las cargas $q_1,q_2,\text{…},q_N,$ respectivamente. Entonces, el potencial eléctrico neto $V_P$ en ese punto es igual a la suma de estos potenciales eléctricos individuales. Esto se puede demostrar fácilmente calculando la energía potencial de una carga de prueba cuando esta se lleva desde el punto de referencia en el infinito hasta el punto P:

Observe que el potencial eléctrico sigue el mismo principio de superposición que el campo eléctrico y la energía potencial eléctrica. Para mostrar esto de forma más explícita, observe que una carga de prueba $q_i$ en el punto P del espacio tiene distancias de $r_1,r_2,\text{…},r_N$ a partir de las N cargas fijadas en el espacio superior, como se muestra en la Figura 7.19. Utilizando nuestra fórmula para el potencial de una carga puntual para cada una de estas cargas (que se supone son puntuales), hallamos que

Por lo tanto, la energía potencial eléctrica de la carga de prueba es

que es la misma que el trabajo para introducir la carga de prueba en el sistema, como se encuentra en la primera sección del capítulo.

Figura 7.19 Notación para las distancias directas de las cargas a un punto espacial P.

El dipolo eléctrico

Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas iguales pero opuestas a una distancia fija. Este sistema se utiliza para modelar muchos sistemas del mundo real, incluidas las interacciones atómicas y moleculares. Uno de estos sistemas es la molécula de agua, en determinadas circunstancias. Estas circunstancias se dan en el interior de un horno de microondas, donde los campos eléctricos con direcciones alternas hacen que las moléculas de agua cambien de orientación. Esta vibración es lo mismo que el calor a nivel molecular.

Ejemplo 7.12

Potencial eléctrico de un dipolo

Consideremos el dipolo en la Figura 7.20 con la magnitud de carga de $q=\mathrm{3,0}\text{nC}$ y la distancia de separación $d=\mathrm{4,0}\text{cm}\text{.}$ ¿Cuál es el potencial en los siguientes lugares del espacio? (a) (0, 0, 1,0 cm); (b) (0, 0, –5,0 cm); (c) (3,0 cm, 0, 2,0 cm).

Figura 7.20 Un diagrama general de un dipolo eléctrico, y la notación para las distancias de las cargas individuales a un punto P en el espacio.

Estrategia

Aplique $V_P=k{\displaystyle \sum _1^N\frac{q_i}{r_i}}$ a cada uno de estos tres puntos.

Solución

1. $V_P=k{\displaystyle \sum _1^N\frac{q_i}{r_i}}=(\mathrm{9,0}\times {10}^9\text{N}·{\text{m}}^2\text{/}{\text{C}}^2)\left(\frac{\mathrm{3,0}\text{nC}}{\mathrm{0,010}\text{m}}-\frac{\mathrm{3,0}\text{nC}}{\mathrm{0,030}\text{m}}\right)=\mathrm{1,8}\times {10}^3\text{V}$
2. $V_P=k{\displaystyle \sum _1^N\frac{q_i}{r_i}}=(\mathrm{9,0}\times {10}^9\text{N}·{\text{m}}^2\text{/}{\text{C}}^2)\left(\frac{\mathrm{3,0}\text{nC}}{\mathrm{0,070}\text{m}}-\frac{\mathrm{3,0}\text{nC}}{\mathrm{0,030}\text{m}}\right)=\mathrm{-5,1}\times {10}^2\text{V}$
3. $V_P=k{\displaystyle \sum _1^N\frac{q_i}{r_i}}=(\mathrm{9,0}\times {10}^9\text{N}·{\text{m}}^2\text{/}{\text{C}}^2)\left(\frac{\mathrm{3,0}\text{nC}}{\mathrm{0,030}\text{m}}-\frac{\mathrm{3,0}\text{nC}}{\mathrm{0,050}\text{m}}\right)=\mathrm{3,6}\times {10}^2\text{V}$

Importancia

Observe que la evaluación del potencial es mucho más sencilla que la del campo eléctrico, ya que el potencial es un escalar en lugar de un vector.

Consideremos ahora el caso especial cuando la distancia del punto P al dipolo es mucho mayor que la distancia entre las cargas del dipolo, $r\gg d;$ por ejemplo, cuando nos interesamos en el potencial eléctrico debido a una molécula polarizada como una molécula de agua. No está tan lejos (infinito) como para tratar el potencial como cero, pero la distancia es lo suficientemente grande como para simplificar nuestros cálculos en relación con el ejemplo anterior.

Comenzamos señalando que en la Figura 7.21 el potencial viene dado por

donde

Figura 7.21 Un diagrama general de un dipolo eléctrico, y la notación para las distancias de las cargas individuales a un punto P en el espacio.

Esta sigue siendo la fórmula exacta. Para aprovechar el hecho de que $r\gg d,$ reescribimos los radios en términos de coordenadas polares, con $x=r\text{sen}\theta$ y $z=r\text{cos}\theta$. Esto nos da

Podemos simplificar esta expresión sacando r de la raíz,

y luego multiplicando los paréntesis

El último término de la raíz es lo suficientemente pequeño como para ser insignificante (recuerde $r\gg d,$ y por lo tanto ${\left(d\text{/}r\right)}^2$ es extremadamente pequeño, efectivamente cero al nivel que probablemente estaremos midiendo), dejándonos con

Al utilizar la aproximación binomial (un resultado estándar de las matemáticas de las series, cuando $\alpha$ es pequeño)

y al sustituir esto en nuestra fórmula para $V_P$, obtenemos

Esto puede escribirse de manera más conveniente si definimos una nueva cantidad, el momento dipolar eléctrico,

donde estos vectores apuntan de la carga negativa a la positiva. Observe que esto tiene una magnitud qd. Esta cantidad nos permite escribir el potencial en el punto P debido a un dipolo en el origen como

Un diagrama de la aplicación de esta fórmula se muestra en la Figura 7.22.

Figura 7.22 La geometría para la aplicación del potencial de un dipolo.

También hay momentos de orden superior, para cuadrupolos, octupolos, etc. Los verá en futuras clases.

Potencial de las distribuciones de carga continuas

Hemos trabajado mucho con cargas puntuales, pero ¿qué pasa con las distribuciones de cargas continuas? Recordemos de la Ecuación 7.9 que

Podemos tratar una distribución de carga continua como una colección de puntos individuales infinitesimales. De esta forma se obtiene la integral

para el potencial en un punto P. Observe que r es la distancia de cada punto individual de la distribución de cargas al punto P. Como vimos en Cargas y campos eléctricos, las cargas infinitesimales vienen dadas por

donde $\lambda$ es la densidad de carga lineal, $\sigma$ es la carga por unidad de superficie y $\rho$ es la carga por unidad de volumen.

Ejemplo 7.13

Potencial de una línea de carga

Calcule el potencial eléctrico de un cable no conductor con carga uniforme y densidad lineal $\lambda$ (culombios/metro) y la longitud L en un punto que se encuentra en una línea que divide el cable en dos partes iguales.

Estrategia

Para plantear el problema, elegimos las coordenadas cartesianas de forma que se aproveche al máximo la simetría del problema. Colocamos el origen en el centro del cable y orientamos el eje y a lo largo del cable de manera que sus extremos estén en $y=\pm L\text{/}2$. El punto de campo P está en el plano xy y, como la elección de los ejes depende de nosotros, elegimos que el eje x pase por el punto de campo P, como se muestra en la Figura 7.23.

Figura 7.23 Queremos calcular el potencial eléctrico debido a una línea de carga.

Solución

Consideremos un pequeño elemento de la distribución de carga entre y y $y+dy$. La carga de esta célula es $dq=\lambda dy$ y la distancia de la célula al punto de campo P es $\sqrt{x^2+y^2}.$ Por lo tanto, el potencial se convierte en

$$\begin{array}{cc}{V}_P\hfill & =k{\displaystyle \int \frac{dq}{r}=k{\displaystyle {\int }_{\text{−}L\text{/}2}^{L\text{/}2}\frac{\lambda dy}{\sqrt{x^2+y^2}}=k\lambda {\left[\text{dentro}\left(y+\sqrt{y^2+x^2}\right)\right]}_{\text{−}L\text{/}2}^{L\text{/}2}}}\hfill \\ & =k\lambda \left[\text{dentro}\left(\left(\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(\frac{L}{2}\right)}^2+x^2}\right)-\text{dentro}\left(\left(-\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(-\frac{L}{2}\right)}^2+x^2}\right)\right]\hfill \\ & =k\lambda \text{dentro}\left[\frac{L+\sqrt{L^2+4x^2}}{\text{−}L+\sqrt{L^2+4x^2}}\right].\hfill \end{array}$$

Importancia

Observe que este problema era más sencillo que el equivalente para el campo eléctrico, debido al uso de cantidades escalares. Recordemos que esperamos que el nivel cero del potencial esté en el infinito, cuando tenemos una carga finita. Para examinar esto, tomamos el límite del potencial anterior cuando x se acerca al infinito; en este caso, los términos dentro del logaritmo natural se acercan a uno, y por lo tanto el potencial se acerca a cero en este límite. Observe que podríamos haber hecho este problema de forma equivalente en coordenadas cilíndricas; el único efecto sería sustituir r por x y z por y.

Ejemplo 7.14

Potencial debido a un anillo de carga

Un anillo tiene una densidad de carga uniforme $\lambda$, con unidades de culombios por unidad de metro de arco. Calcule el potencial eléctrico en un punto del eje que pasa por el centro del anillo.

Estrategia

Utilizamos el mismo procedimiento que para el cable cargado. La diferencia aquí es que la carga se distribuye en un círculo. Dividimos el círculo en elementos infinitesimales con forma de arcos en el círculo y utilizamos las coordenadas cilíndricas que se muestran en la Figura 7.24.

Figura 7.24 Queremos calcular el potencial eléctrico debido a un anillo de carga.

Solución

Un elemento general del arco entre $\theta$ y $\theta +d\theta$ es de longitud $Rd\theta$ y, por lo tanto, contiene una carga igual a $\lambda Rd\theta .$ El elemento está a una distancia de $\sqrt{z^2+R^2}$ de P, y por lo tanto el potencial es

$$V_P=k{\displaystyle \int \frac{dq}{r}}=k{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{\lambda Rd\theta }{\sqrt{z^2+R^2}}}=\frac{k\lambda R}{\sqrt{z^2+R^2}}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }d\theta }=\frac{2\pi k\lambda R}{\sqrt{z^2+R^2}}=k\frac{q_{\text{tot}}}{\sqrt{z^2+R^2}}.$$

Importancia

Este resultado es esperado porque cada elemento del anillo está a la misma distancia del punto P. El potencial neto en P es el de la carga total colocada a la distancia común, $\sqrt{z^2+R^2}$.

Ejemplo 7.15

Potencial debido a un disco uniforme de carga

Un disco de radio R tiene una densidad de carga uniforme $\sigma$, con unidades de culombios al cuadrado. Calcule el potencial eléctrico en cualquier punto del eje que pasa por el centro del disco.

Estrategia

Dividimos el disco en celdas en forma de anillo, y utilizamos el resultado para un anillo elaborado en el ejemplo anterior, luego integramos sobre r además de $\theta$. Esto se muestra en la Figura 7.25.

Figura 7.25 Queremos calcular el potencial eléctrico debido a un disco de carga.

Solución

Una celda de anchura infinitesimal entre las coordenadas cilíndricas r y $r+dr$ que se muestra en la Figura 7.25 será un anillo de cargas cuyo potencial eléctrico $d{V}_P$ en el punto de campo tiene la siguiente expresión

$$d{V}_P=k\frac{dq}{\sqrt{z^2+r^2}}$$

donde

$$dq=\sigma 2\pi rdr.$$

La superposición de potenciales de todos los anillos infinitesimales que componen el disco da el potencial neto en el punto P. Esto se consigue integrando desde $r=0$ a $r=R$:

$$\begin{array}{cc}{V}_P\hfill & ={\displaystyle \int d{V}_P}=k2\pi \sigma {\displaystyle {\int }_0^R\frac{rdr}{\sqrt{z^2+r^2}}},\hfill \\ & =k2\pi \sigma \left(\sqrt{z^2+R^2}-\sqrt{z^2}\right).\hfill \end{array}$$

Importancia

El procedimiento básico para un disco es integrar primero alrededor de $\theta$ y luego sobre r. Esto se ha demostrado para una densidad de carga uniforme (constante). A menudo, la densidad de carga variará con r, y entonces la última integral dará resultados diferentes.

Ejemplo 7.16

Potencial debido a un cable con carga infinita

Calcule el potencial eléctrico debido a un cable infinitamente largo y uniformemente cargado.

Estrategia

Dado que ya hemos calculado el potencial de un cable finito de longitud L en el Ejemplo 7.7, podríamos preguntarnos si tomando $L\to \infty$ en nuestro resultado anterior funcionará:

$$V_P=\underset{L\to \infty }{\text{lim}}k\lambda \text{dentro}\left(\frac{L+\sqrt{L^2+4x^2}}{\text{−}L+\sqrt{L^2+4x^2}}\right).$$

Sin embargo, este límite no existe porque el argumento del logaritmo se convierte en [2/0] como $L\to \infty$, por lo que esta forma de calcular V de un cable infinito no funciona. La razón de este problema puede deberse a que las cargas no están localizadas en un espacio determinado, sino que continúan hasta el infinito en la dirección del cable. Por lo tanto, nuestra suposición (tácita) de que el potencial cero debe estar a una distancia infinita del cable ya no es válida.

Para evitar esta dificultad en el cálculo de los límites, utilicemos la definición de potencial integrando sobre el campo eléctrico del apartado anterior, y el valor del campo eléctrico de esta configuración de carga del capítulo anterior.

Solución

Utilizamos la integral

$$V_P=\text{−}{\displaystyle {\int }_R^P\overrightarrow{\text{E}}·d\overrightarrow{\text{l}}}$$

donde R es una distancia finita de la línea de carga, como se muestra en la Figura 7.26.

Figura 7.26 Puntos de interés para calcular el potencial de una línea de carga infinita.

Con esta configuración, utilizamos ${\overrightarrow{\text{E}}}_P=2k\lambda \frac{1}{s}\widehat{\text{s}}$ y $d\overrightarrow{\text{l}}=d\overrightarrow{\text{s}}$ para obtener

$$V_P-V_R=\text{−}{\displaystyle {\int }_R^{P}2k\lambda \frac{1}{s}ds}=\mathrm{-2}k\lambda \text{dentro}\frac{s_P}{s_R}.$$

Ahora, si definimos el potencial de referencia $V_R=0$ a $s_R=1\text{m,}$ esto se simplifica a

$$V_P=\mathrm{-2}k\lambda \text{dentro}{s}_P.$$

Observe que esta forma del potencial es bastante utilizable; es 0 a 1 m y es indefinido en el infinito, por lo que no podríamos utilizar este último como referencia.

Importancia

Aunque calcular el potencial directamente puede ser bastante conveniente, acabamos de calcular un sistema para el que esta estrategia no funciona bien. En estos casos, volver a la definición de potencial en términos de campo eléctrico puede ofrecer un camino a seguir.