Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidad
Logo de OpenStax
Física Universitaria Volumen 2

7.3 Cálculo del potencial eléctrico

Física Universitaria Volumen 27.3 Cálculo del potencial eléctrico
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Calcular el potencial debido a una carga puntual.
  • Calcular el potencial de un sistema de múltiples cargas puntuales.
  • Describir un dipolo eléctrico.
  • Definir el momento dipolar.
  • Calcular el potencial de una distribución de carga continua.

Las cargas puntuales, como los electrones, son uno de los elementos fundamentales de la materia. Además, las distribuciones de carga esférica (como la carga en una esfera de metal) crean campos eléctricos externos exactamente igual que una carga puntual. El potencial eléctrico debido a una carga puntual es, por tanto, un caso que debemos considerar.

Podemos utilizar el cálculo para calcular el trabajo necesario para mover una carga de prueba q desde una gran distancia hasta una distancia r de una carga puntual q. Observe la conexión entre el trabajo y el potencial W=qΔV,W=qΔV, como en la última sección, podemos obtener el siguiente resultado.

Potencial eléctrico V de una carga puntual

El potencial eléctrico V de una carga puntual viene dado por

V=kqr(carga puntual)V=kqr(carga puntual)
7.8

donde k es una constante igual a 8,99×109N·m2/C2.8,99×109N·m2/C2.

El potencial en el infinito se elige como cero. Así, V para una carga puntual disminuye con la distancia, mientras que EE para una carga puntual disminuye con la distancia al cuadrado:

E=Fqt=kqr2.E=Fqt=kqr2.

Recordemos que el potencial eléctrico V es un escalar y no tiene dirección, mientras que el campo eléctrico EE es un vector. Para calcular el voltaje debido a una combinación de cargas puntuales, se suman los voltajes individuales como números. Para calcular el campo eléctrico total, hay que sumar los campos individuales como vectores, teniendo en cuenta la magnitud y la dirección. Esto es coherente con el hecho de que V está estrechamente asociado a la energía, un escalar, mientras que EE está estrechamente relacionado con la fuerza, un vector.

Ejemplo 7.10

¿Qué voltaje produce una pequeña carga en una esfera de metal?

Las cargas de la electricidad estática suelen estar en el rango de los nanoculombios (nC) y microculombios (μC)(μC). ¿Cuál es el voltaje a 5,00 cm del centro de una esfera de metal sólida de 1 cm de diámetro que tiene una carga estática de –3,00 nC?

Estrategia

Como ya comentamos en Cargas y campos eléctricos, la carga en una esfera de metal se propaga uniformemente y produce un campo como el de una carga puntual situada en su centro. Por lo tanto, podemos calcular el voltaje utilizando la ecuación V=kqr.V=kqr.

Solución

Al introducir los valores conocidos en la expresión del potencial de una carga puntual, obtenemos
V=kqr=(8,99×109N·m2/C2)(−3,00×10−9C5,00×10−2m)=-539V.V=kqr=(8,99×109N·m2/C2)(−3,00×10−9C5,00×10−2m)=-539V.

Importancia

El valor negativo del voltaje significa que una carga positiva sería atraída desde una distancia mayor, ya que el potencial es menor (más negativo) que a distancias mayores. Por el contrario, una carga negativa sería repelida, como es de esperar.

Ejemplo 7.11

¿Qué es el exceso de carga en un generador Van de Graaff?

Un generador Van de Graaff de demostración tiene una esfera de metal de 25,0 cm de diámetro que produce un voltaje de 100 kV cerca de su superficie (Figura 7.18). ¿Qué exceso de carga reside en la esfera? (Supongamos que cada valor numérico se muestra aquí con tres cifras significativas).
La figura muestra las partes del generador Van de Graaff.
Figura 7.18 El voltaje de este generador Van de Graaff de demostración se mide entre la esfera cargada y tierra. Se toma como referencia el potencial de la Tierra, que es cero. El potencial de la esfera conductora cargada es el mismo que el de una carga puntual igual en su centro.

Estrategia

El potencial en la superficie es el mismo que el de una carga puntual en el centro de la esfera, a 12,5 cm de distancia. (El radio de la esfera es de 12,5 cm). Así, podemos determinar el exceso de carga mediante la ecuación
V=kqr.V=kqr.

Solución

Al resolver para q y al introducir los valores conocidos se obtiene
q=rVk=(0,125m)(100×103V)8,99×109N·m2/C2=1,39×10−6C=1,39μC.q=rVk=(0,125m)(100×103V)8,99×109N·m2/C2=1,39×10−6C=1,39μC.

Importancia

Se trata de una carga relativamente pequeña, pero que produce un voltaje bastante grande. Aquí tenemos otro indicio de que es difícil almacenar cargas aisladas.

Compruebe Lo Aprendido 7.8

¿Cuál es el potencial dentro de la esfera de metal en el Ejemplo 7.10?

Los voltajes en estos dos ejemplos podrían medirse con un medidor que compare el potencial medido con el potencial de tierra. El potencial de tierra a menudo se toma como cero (en lugar de tomar el potencial en el infinito como cero). Lo importante es la diferencia de potencial entre dos puntos, y muy a menudo se asume tácitamente que algún punto de referencia, como la Tierra o un punto muy lejano, está a potencial cero. Como se ha señalado anteriormente, esto es análogo a tomar el nivel del mar como h=0h=0 al considerar la energía potencial gravitacional Ug=mghUg=mgh.

Sistemas de cargas puntuales múltiples

Al igual que el campo eléctrico obedece a un principio de superposición, también lo hace el potencial eléctrico. Consideremos un sistema formado por N cargas q1,q2,,qN.q1,q2,,qN. ¿Cuál es el potencial eléctrico neto V en un punto espacial P de estas cargas? Cada una de estas cargas es una carga fuente que produce su propio potencial eléctrico en el punto P, independientemente de cualquier otro cambio que se produzca. Supongamos que V1,V2,,VNV1,V2,,VN son los potenciales eléctricos en P producidos por las cargas q1,q2,,qN,q1,q2,,qN, respectivamente. Entonces, el potencial eléctrico neto VPVP en ese punto es igual a la suma de estos potenciales eléctricos individuales. Esto se puede demostrar fácilmente calculando la energía potencial de una carga de prueba cuando esta se lleva desde el punto de referencia en el infinito hasta el punto P:

VP=V1+V2++VN=1NVi.VP=V1+V2++VN=1NVi.

Observe que el potencial eléctrico sigue el mismo principio de superposición que el campo eléctrico y la energía potencial eléctrica. Para mostrar esto de forma más explícita, observe que una carga de prueba qiqi en el punto P del espacio tiene distancias de r1,r2,,rNr1,r2,,rN a partir de las N cargas fijadas en el espacio superior, como se muestra en la Figura 7.19. Utilizando nuestra fórmula para el potencial de una carga puntual para cada una de estas cargas (que se supone son puntuales), hallamos que

VP=1Nkqiri=k1Nqiri.VP=1Nkqiri=k1Nqiri.
7.9

Por lo tanto, la energía potencial eléctrica de la carga de prueba es

UP=qtVP=qtk1Nqiri,UP=qtVP=qtk1Nqiri,

que es la misma que el trabajo para introducir la carga de prueba en el sistema, como se encuentra en la primera sección del capítulo.

La figura muestra N cargas situadas a diferentes distancias de un punto fijo P.
Figura 7.19 Notación para las distancias directas de las cargas a un punto espacial P.

El dipolo eléctrico

Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas iguales pero opuestas a una distancia fija. Este sistema se utiliza para modelar muchos sistemas del mundo real, incluidas las interacciones atómicas y moleculares. Uno de estos sistemas es la molécula de agua, en determinadas circunstancias. Estas circunstancias se dan en el interior de un horno de microondas, donde los campos eléctricos con direcciones alternas hacen que las moléculas de agua cambien de orientación. Esta vibración es lo mismo que el calor a nivel molecular.

Ejemplo 7.12

Potencial eléctrico de un dipolo

Consideremos el dipolo en la Figura 7.20 con la magnitud de carga de q=3,0nCq=3,0nC y la distancia de separación d=4,0cm.d=4,0cm. ¿Cuál es el potencial en los siguientes lugares del espacio? (a) (0, 0, 1,0 cm); (b) (0, 0, –5,0 cm); (c) (3,0 cm, 0, 2,0 cm).
La figura muestra un dipolo eléctrico con dos cargas (3,0 nC y –3,0 nC) situadas a 4,0 cm de distancia en el eje z. El centro del dipolo está en el origen y se marcan otros tres puntos en (0, 0, 1,0 cm), (0, 0, –5,0 cm) y (3,0 cm, 0, 2,0 cm).
Figura 7.20 Un diagrama general de un dipolo eléctrico, y la notación para las distancias de las cargas individuales a un punto P en el espacio.

Estrategia

Aplique VP=k1NqiriVP=k1Nqiri a cada uno de estos tres puntos.

Solución

  1. VP=k1Nqiri=(9,0×109N·m2/C2)(3,0nC0,010m3,0nC0,030m)=1,8×103VVP=k1Nqiri=(9,0×109N·m2/C2)(3,0nC0,010m3,0nC0,030m)=1,8×103V
  2. VP=k1Nqiri=(9,0×109N·m2/C2)(3,0nC0,070m3,0nC0,030m)=-5,1×102VVP=k1Nqiri=(9,0×109N·m2/C2)(3,0nC0,070m3,0nC0,030m)=-5,1×102V
  3. VP=k1Nqiri=(9,0×109N·m2/C2)(3,0nC0,030m3,0nC0,050m)=3,6×102VVP=k1Nqiri=(9,0×109N·m2/C2)(3,0nC0,030m3,0nC0,050m)=3,6×102V

Importancia

Observe que la evaluación del potencial es mucho más sencilla que la del campo eléctrico, ya que el potencial es un escalar en lugar de un vector.

Compruebe Lo Aprendido 7.9

¿Cuál es el potencial en el eje x? ¿El eje z?

Consideremos ahora el caso especial cuando la distancia del punto P al dipolo es mucho mayor que la distancia entre las cargas del dipolo, rd;rd; por ejemplo, cuando nos interesamos en el potencial eléctrico debido a una molécula polarizada como una molécula de agua. No está tan lejos (infinito) como para tratar el potencial como cero, pero la distancia es lo suficientemente grande como para simplificar nuestros cálculos en relación con el ejemplo anterior.

Comenzamos señalando que en la Figura 7.21 el potencial viene dado por

VP=V++V=k(qr+qr)VP=V++V=k(qr+qr)

donde

r±=x2+(zd2)2.r±=x2+(zd2)2.
La figura muestra un dipolo eléctrico situado en el eje z con centro en el origen. El punto P, situado en (x, 0, z) está a una distancia r del origen.
Figura 7.21 Un diagrama general de un dipolo eléctrico, y la notación para las distancias de las cargas individuales a un punto P en el espacio.

Esta sigue siendo la fórmula exacta. Para aprovechar el hecho de que rd,rd, reescribimos los radios en términos de coordenadas polares, con x=rsenθx=rsenθ y z=rcosθz=rcosθ. Esto nos da

r±=r2sen2θ+(rcosθd2)2.r±=r2sen2θ+(rcosθd2)2.

Podemos simplificar esta expresión sacando r de la raíz,

r±=rsen2θ+(cosθd2r)2r±=rsen2θ+(cosθd2r)2

y luego multiplicando los paréntesis

r±=rsen2θ+cos2θcosθdr+(d2r)2=r1cosθdr+(d2r)2.r±=rsen2θ+cos2θcosθdr+(d2r)2=r1cosθdr+(d2r)2.

El último término de la raíz es lo suficientemente pequeño como para ser insignificante (recuerde rd,rd, y por lo tanto (d/r)2(d/r)2 es extremadamente pequeño, efectivamente cero al nivel que probablemente estaremos midiendo), dejándonos con

r±=r1cosθdr.r±=r1cosθdr.

Al utilizar la aproximación binomial (un resultado estándar de las matemáticas de las series, cuando αα es pequeño)

11α1±α211α1±α2

y al sustituir esto en nuestra fórmula para VPVP, obtenemos

VP=k[qr(1+dcosθ2r)qr(1dcosθ2r)]=kqdcosθr2.VP=k[qr(1+dcosθ2r)qr(1dcosθ2r)]=kqdcosθr2.

Esto puede escribirse de manera más conveniente si definimos una nueva cantidad, el momento dipolar eléctrico,

p=qd,p=qd,
7.10

donde estos vectores apuntan de la carga negativa a la positiva. Observe que esto tiene una magnitud qd. Esta cantidad nos permite escribir el potencial en el punto P debido a un dipolo en el origen como

VP=kp·r^r2.VP=kp·r^r2.
7.11

Un diagrama de la aplicación de esta fórmula se muestra en la Figura 7.22.

La figura muestra dos vectores r y p con un ángulo theta entre ellos.
Figura 7.22 La geometría para la aplicación del potencial de un dipolo.

También hay momentos de orden superior, para cuadrupolos, octupolos, etc. Los verá en futuras clases.

Potencial de las distribuciones de carga continuas

Hemos trabajado mucho con cargas puntuales, pero ¿qué pasa con las distribuciones de cargas continuas? Recordemos de la Ecuación 7.9 que

VP=kqiri.VP=kqiri.

Podemos tratar una distribución de carga continua como una colección de puntos individuales infinitesimales. De esta forma se obtiene la integral

VP=kdqrVP=kdqr
7.12

para el potencial en un punto P. Observe que r es la distancia de cada punto individual de la distribución de cargas al punto P. Como vimos en Cargas y campos eléctricos, las cargas infinitesimales vienen dadas por

dq={λdl(una dimensión)σdA(dos dimensiones)ρdV(tres dimensiones)dq={λdl(una dimensión)σdA(dos dimensiones)ρdV(tres dimensiones)

donde λλ es la densidad de carga lineal, σσ es la carga por unidad de superficie y ρρ es la carga por unidad de volumen.

Ejemplo 7.13

Potencial de una línea de carga

Calcule el potencial eléctrico de un cable no conductor con carga uniforme y densidad lineal λλ (culombios/metro) y la longitud L en un punto que se encuentra en una línea que divide el cable en dos partes iguales.

Estrategia

Para plantear el problema, elegimos las coordenadas cartesianas de forma que se aproveche al máximo la simetría del problema. Colocamos el origen en el centro del cable y orientamos el eje y a lo largo del cable de manera que sus extremos estén en y=±L/2y=±L/2. El punto de campo P está en el plano xy y, como la elección de los ejes depende de nosotros, elegimos que el eje x pase por el punto de campo P, como se muestra en la Figura 7.23.
La figura muestra una carga de línea en el eje y con su centro en el origen. El punto P está situado en el eje x a una distancia x del origen.
Figura 7.23 Queremos calcular el potencial eléctrico debido a una línea de carga.

Solución

Consideremos un pequeño elemento de la distribución de carga entre y y y+dyy+dy. La carga de esta célula es dq=λdydq=λdy y la distancia de la célula al punto de campo P es x2+y2.x2+y2. Por lo tanto, el potencial se convierte en
VP=kdqr=kL/2L/2λdyx2+y2=kλ[dentro(y+y2+x2)]L/2L/2=kλ[dentro((L2)+(L2)2+x2)dentro((L2)+(L2)2+x2)]=kλdentro[L+L2+4x2L+L2+4x2].VP=kdqr=kL/2L/2λdyx2+y2=kλ[dentro(y+y2+x2)]L/2L/2=kλ[dentro((L2)+(L2)2+x2)dentro((L2)+(L2)2+x2)]=kλdentro[L+L2+4x2L+L2+4x2].

Importancia

Observe que este problema era más sencillo que el equivalente para el campo eléctrico, debido al uso de cantidades escalares. Recordemos que esperamos que el nivel cero del potencial esté en el infinito, cuando tenemos una carga finita. Para examinar esto, tomamos el límite del potencial anterior cuando x se acerca al infinito; en este caso, los términos dentro del logaritmo natural se acercan a uno, y por lo tanto el potencial se acerca a cero en este límite. Observe que podríamos haber hecho este problema de forma equivalente en coordenadas cilíndricas; el único efecto sería sustituir r por x y z por y.

Ejemplo 7.14

Potencial debido a un anillo de carga

Un anillo tiene una densidad de carga uniforme λλ, con unidades de culombios por unidad de metro de arco. Calcule el potencial eléctrico en un punto del eje que pasa por el centro del anillo.

Estrategia

Utilizamos el mismo procedimiento que para el cable cargado. La diferencia aquí es que la carga se distribuye en un círculo. Dividimos el círculo en elementos infinitesimales con forma de arcos en el círculo y utilizamos las coordenadas cilíndricas que se muestran en la Figura 7.24.
La figura muestra un anillo de carga situado en el plano xy con su centro en el origen. El punto P está situado en el eje z a una distancia z del origen.
Figura 7.24 Queremos calcular el potencial eléctrico debido a un anillo de carga.

Solución

Un elemento general del arco entre θθ y θ+dθθ+dθ es de longitud RdθRdθ y, por lo tanto, contiene una carga igual a λRdθ.λRdθ. El elemento está a una distancia de z2+R2z2+R2 de P, y por lo tanto el potencial es
VP=kdqr=k02πλRdθz2+R2=kλRz2+R202πdθ=2πkλRz2+R2=kqtotz2+R2.VP=kdqr=k02πλRdθz2+R2=kλRz2+R202πdθ=2πkλRz2+R2=kqtotz2+R2.

Importancia

Este resultado es esperado porque cada elemento del anillo está a la misma distancia del punto P. El potencial neto en P es el de la carga total colocada a la distancia común, z2+R2z2+R2.

Ejemplo 7.15

Potencial debido a un disco uniforme de carga

Un disco de radio R tiene una densidad de carga uniforme σσ, con unidades de culombios al cuadrado. Calcule el potencial eléctrico en cualquier punto del eje que pasa por el centro del disco.

Estrategia

Dividimos el disco en celdas en forma de anillo, y utilizamos el resultado para un anillo elaborado en el ejemplo anterior, luego integramos sobre r además de θθ. Esto se muestra en la Figura 7.25.
La figura muestra un disco de carga situado en el plano xy con su centro en el origen. El punto P está situado en el eje z a una distancia z del origen.
Figura 7.25 Queremos calcular el potencial eléctrico debido a un disco de carga.

Solución

Una celda de anchura infinitesimal entre las coordenadas cilíndricas r y r+drr+dr que se muestra en la Figura 7.25 será un anillo de cargas cuyo potencial eléctrico dVPdVP en el punto de campo tiene la siguiente expresión
dVP=kdqz2+r2dVP=kdqz2+r2

donde

dq=σ2πrdr.dq=σ2πrdr.

La superposición de potenciales de todos los anillos infinitesimales que componen el disco da el potencial neto en el punto P. Esto se consigue integrando desde r=0r=0 a r=Rr=R:

VP=dVP=k2πσ0Rrdrz2+r2,=k2πσ(z2+R2z2).VP=dVP=k2πσ0Rrdrz2+r2,=k2πσ(z2+R2z2).

Importancia

El procedimiento básico para un disco es integrar primero alrededor de θθ y luego sobre r. Esto se ha demostrado para una densidad de carga uniforme (constante). A menudo, la densidad de carga variará con r, y entonces la última integral dará resultados diferentes.

Ejemplo 7.16

Potencial debido a un cable con carga infinita

Calcule el potencial eléctrico debido a un cable infinitamente largo y uniformemente cargado.

Estrategia

Dado que ya hemos calculado el potencial de un cable finito de longitud L en el Ejemplo 7.7, podríamos preguntarnos si tomando LL en nuestro resultado anterior funcionará:
VP=limLkλdentro(L+L2+4x2L+L2+4x2).VP=limLkλdentro(L+L2+4x2L+L2+4x2).

Sin embargo, este límite no existe porque el argumento del logaritmo se convierte en [2/0] como LL, por lo que esta forma de calcular V de un cable infinito no funciona. La razón de este problema puede deberse a que las cargas no están localizadas en un espacio determinado, sino que continúan hasta el infinito en la dirección del cable. Por lo tanto, nuestra suposición (tácita) de que el potencial cero debe estar a una distancia infinita del cable ya no es válida.

Para evitar esta dificultad en el cálculo de los límites, utilicemos la definición de potencial integrando sobre el campo eléctrico del apartado anterior, y el valor del campo eléctrico de esta configuración de carga del capítulo anterior.

Solución

Utilizamos la integral
VP=RPE·dlVP=RPE·dl

donde R es una distancia finita de la línea de carga, como se muestra en la Figura 7.26.

La figura muestra una carga lineal infinita en el eje z. Los puntos P y R están situados en el eje x.
Figura 7.26 Puntos de interés para calcular el potencial de una línea de carga infinita.

Con esta configuración, utilizamos EP=2kλ1ss^EP=2kλ1ss^ y dl=dsdl=ds para obtener

VPVR=RP2kλ1sds=−2kλdentrosPsR.VPVR=RP2kλ1sds=−2kλdentrosPsR.

Ahora, si definimos el potencial de referencia VR=0VR=0 a sR=1m,sR=1m, esto se simplifica a

VP=−2kλdentrosP.VP=−2kλdentrosP.

Observe que esta forma del potencial es bastante utilizable; es 0 a 1 m y es indefinido en el infinito, por lo que no podríamos utilizar este último como referencia.

Importancia

Aunque calcular el potencial directamente puede ser bastante conveniente, acabamos de calcular un sistema para el que esta estrategia no funciona bien. En estos casos, volver a la definición de potencial en términos de campo eléctrico puede ofrecer un camino a seguir.

Compruebe Lo Aprendido 7.10

¿Cuál es el potencial en el eje de un anillo de carga no uniforme, donde la densidad de carga es λ(θ)=λcosθλ(θ)=λcosθ?

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro es Creative Commons Attribution License 4.0 y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/f%C3%ADsica-universitaria-volumen-2/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/f%C3%ADsica-universitaria-volumen-2/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 29 oct. 2021 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution License 4.0 license. El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.