7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial

El electronvoltio

La energía por electrón es muy pequeña en situaciones macroscópicas como la del ejemplo anterior: una pequeña fracción de julio. Pero a escala submicroscópica, esa energía por partícula (electrón, protón o ion) puede ser de gran importancia. Por ejemplo, incluso una pequeña fracción de julio puede ser suficiente para que estas partículas destruyan las moléculas orgánicas y dañen los tejidos vivos. La partícula puede hacer su daño por colisión directa, o puede crear rayos X dañinos, que también pueden infligir daño. Es útil tener una unidad de energía relacionada con los efectos submicroscópicos.

La Figura 7.13 muestra una situación relacionada con la definición de dicha unidad de energía. Un electrón se acelera entre dos placas de metal cargadas, como podría ocurrir en un tubo de televisión o un osciloscopio de modelos antiguos. El electrón adquiere energía cinética que luego se convierte en otra forma: la luz en el tubo de televisión, por ejemplo. (Observe que en términos de energía, "cuesta abajo" para el electrón es "cuesta arriba" para una carga positiva). Dado que la energía está relacionada con el voltaje por $\text{Δ}U=q\text{Δ}V$, podemos pensar en el julio como un coulombiovoltio.

Figura 7.13 Un cañón de electrones típico acelera los electrones utilizando una diferencia de potencial entre dos placas de metal separadas. Por conservación de la energía, la energía cinética tiene que ser igual al cambio de energía potencial, por lo que $KE=qV$. La energía del electrón en electronvoltio es numéricamente igual al voltaje entre las placas. Por ejemplo, una diferencia de potencial de 5.000 V produce electrones de 5.000 eV. La construcción conceptual, es decir, dos placas paralelas con un agujero en una, se muestra en (a), mientras que se muestra un cañón de electrones real en (b).

Un electrón acelerado por una diferencia de potencial de 1 V recibe una energía de 1 eV. De ello se deduce que un electrón acelerado a 50 V gana 50 eV. Una diferencia de potencial de 100.000 V (100 kV) le da a un electrón una energía de 100.000 eV (100 keV), y así sucesivamente. Del mismo modo, un ion con doble carga positiva acelerado a 100 V gana 200 eV de energía. Estas sencillas relaciones entre el voltaje de aceleración y las cargas de las partículas hacen que el electronvoltio sea una unidad de energía sencilla y conveniente en tales circunstancias.

El electronvoltio se emplea habitualmente en los procesos submicroscópicos: las energías de valencia química y las energías de enlace molecular y nuclear son algunas de las cantidades que suelen expresarse en electronvoltios. Por ejemplo, se necesitan unos 5 eV de energía para romper ciertas moléculas orgánicas. Si un protón se acelera desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 30 kV, adquiere una energía de 30 keV (30.000 eV) y puede romper hasta 6.000 de estas moléculas $(30.000\text{eV}÷5\text{eV}\text{por molécula}=6000\text{moléculas).}$ Las energías de decaimiento nuclear son del orden de 1 MeV (1.000.000 eV) por evento y, por tanto, pueden producir daños biológicos importantes.

Conservación de la energía

La energía total de un sistema se conserva si no hay adición (o sustracción) neta debida al trabajo o a la transferencia de calor. Para las fuerzas conservativas, como la fuerza electrostática, la conservación de la energía establece que la energía mecánica es una constante.

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial de un sistema; es decir, $K+U=\text{constante}\text{.}$ Una pérdida de U para una partícula cargada se convierte en un aumento de su K. La conservación de la energía se establece en forma de ecuación como

o

donde i y f representan las condiciones iniciales y finales. Como ya hemos comprobado muchas veces, considerar la energía puede darnos ideas y facilitar la resolución de problemas.

Voltaje y campo eléctrico

Hasta ahora, hemos explorado la relación entre el voltaje y la energía. Ahora queremos explorar la relación entre el voltaje y el campo eléctrico. Comenzaremos con el caso general de un campo no uniforme $\overrightarrow{\text{E}}$. Recordemos que nuestra fórmula general para la energía potencial de una carga de prueba q en el punto P respecto al punto de referencia R es

Cuando sustituimos en la definición de campo eléctrico $(\overrightarrow{\text{E}}=\overrightarrow{\text{F}}\text{/}q),$ esto se convierte en

Aplicando nuestra definición de potencial $(V=U\text{/}q)$ a esta energía potencial, hallamos que, en general,

De nuestra discusión anterior sobre la energía potencial de una carga en un campo eléctrico, el resultado es independiente del camino elegido y, por lo tanto, podemos elegir el camino integral que sea más conveniente.

Consideremos el caso especial de una carga puntual positiva q en el origen. Para calcular el potencial causado por q a una distancia r del origen respecto a una referencia de 0 en el infinito (recordemos que hicimos lo mismo para la energía potencial), supongamos que $P=r$ y $R=\infty ,$ con $d\overrightarrow{\text{l}}=d\overrightarrow{\text{r}}=\widehat{\text{r}}dr$ y usamos $\overrightarrow{\text{E}}=\frac{kq}{r^2}\widehat{\text{r}}.$ Cuando evaluamos la integral

para este sistema, tenemos

que se simplifica a

Este resultado,

es la forma estándar del potencial de una carga puntual. Esto se analizará más a fondo en la siguiente sección.

Para estudiar otro caso especial interesante, supongamos que un campo eléctrico uniforme $\overrightarrow{\text{E}}$ se produce al colocar una diferencia de potencial (o voltaje) $\text{Δ}V$ a través de dos placas de metal paralelas, marcadas como A y B (Figura 7.14). El estudio de esta situación nos dirá qué voltaje es necesario para producir una determinada intensidad de campo eléctrico. También revelará una relación más fundamental entre el potencial eléctrico y el campo eléctrico.

Figura 7.14 La relación entre V y E para placas conductoras paralelas es $E=V/d$. (Tenga en cuenta que $\text{Δ}V=V_{AB}$ en magnitud. Para una carga que se desplaza de la placa A a un potencial más alto a la placa B a un potencial más bajo, es necesario incluir un signo menos como se indica a continuación $\text{−}\text{Δ}V=V_A-V_B=V_{AB}.$).

Desde el punto de vista de un físico, o bien $\text{Δ}V$ o $\overrightarrow{\text{E}}$ pueden utilizarse para describir cualquier interacción entre cargas. Sin embargo, $\text{Δ}V$ es una cantidad escalar y no tiene dirección, mientras que $\overrightarrow{\text{E}}$ es una cantidad vectorial, que tiene tanto magnitud como dirección. (Observe que la magnitud del campo eléctrico, una cantidad escalar, se representa por E). La relación entre $\text{Δ}V$ y $\overrightarrow{\text{E}}$ se pone de manifiesto calculando el trabajo realizado por la fuerza eléctrica al desplazar una carga del punto A al punto B. Pero, como se ha señalado anteriormente, las distribuciones de carga arbitrarias requieren cálculo. Por lo tanto, consideramos que un campo eléctrico uniforme es un caso especial interesante.

El trabajo realizado por el campo eléctrico en la Figura 7.14 para mover una carga positiva q desde A, la placa positiva de mayor potencial, hasta B, la placa negativa de menor potencial, es

La diferencia de potencial entre los puntos A y B es

Al introducir esto en la expresión del trabajo se obtiene

El trabajo es $W=\overrightarrow{\text{F}}·\overrightarrow{\text{d}}=Fd\text{cos}\theta$; aquí $\text{cos}\theta =1$, ya que la trayectoria es paralela al campo. Por lo tanto, $W=Fd$. Dado que $F=qE$, vemos que $W=qEd$.

Al sustituir esta expresión del trabajo en la ecuación anterior se obtiene

La carga se anula, por lo que obtenemos para el voltaje entre los puntos A y B

donde d es la distancia de A hasta B, o la distancia entre las placas en la Figura 7.14. Observe que esta ecuación implica que las unidades del campo eléctrico son voltios por metro. Ya sabemos que las unidades para el campo eléctrico son newtons por culombio; por tanto, la siguiente relación entre unidades es válida:

Además, podemos extender esto a la forma integral. Al sustituir la Ecuación 7.5 en nuestra definición de la diferencia de potencial entre los puntos A y B, obtenemos

que se simplifica a

Como demostración, a partir de esto podemos calcular la diferencia de potencial entre dos puntos (A y B) que equidistan de una carga puntual q en el origen, como se muestra en la Figura 7.15.

Figura 7.15 El arco para calcular la diferencia de potencial entre dos puntos que equidistan de una carga puntual en el origen.

Para ello, integramos alrededor de un arco de círculo de radio constante r entre A y B, lo que significa que dejamos que $d\overrightarrow{\text{l}}=r\widehat{\phi }d\phi ,$ mientras se utiliza $\overrightarrow{\text{E}}=\frac{kq}{r^2}\widehat{\text{r}}$. Por lo tanto,

para este sistema se convierte en

Sin embargo, $\widehat{\text{r}}·\widehat{\phi }=0$ y por lo tanto

Este resultado, de que no hay diferencia de potencial a lo largo de un radio constante desde una carga puntual, será útil cuando mapeemos los potenciales.

Ejemplo 7.7

¿Cuál es el voltaje máximo posible entre dos placas?

El aire seco puede soportar una intensidad de campo eléctrico máxima de aproximadamente $\mathrm{3,0}\times {10}^6\text{V/m}\text{.}$ Por encima de ese valor, el campo crea la suficiente ionización en el aire como para convertirlo en conductor. Esto permite una descarga o chispa que reduce el campo. ¿Cuál es entonces el voltaje máximo entre dos placas conductoras paralelas separadas por 2,5 cm de aire seco?

Estrategia

Nos dan el campo eléctrico máximo E entre las placas y la distancia d entre ellas. Podemos utilizar la ecuación $V_{AB}=Ed$ para calcular el voltaje máximo.

Solución

La diferencia de potencial o voltaje entre las placas es

$$V_{AB}=Ed.$$

Al introducir los valores dados para E y d se obtiene

$$V_{AB}=(\mathrm{3,0}\times {10}^6\text{V/m})(\mathrm{0,025}\text{m})=\mathrm{7,5}\times {10}^4\text{V}$$

o

$$V_{AB}=75\text{kV}\text{.}$$

(La respuesta se cita con solo dos dígitos, ya que la intensidad de campo máxima es aproximada).

Importancia

Una de las implicaciones de este resultado es que se necesitan unos 75 kV para hacer saltar una chispa a través de un hueco de 2,5 cm (1 pulgada) o 150 kV para una chispa de 5 cm. Esto limita los voltajes que pueden existir entre los conductores, quizás en una línea de transmisión de potencia. Un voltaje menor puede provocar una chispa si hay espinas en la superficie, ya que las puntas afiladas tienen mayor intensidad de campo que las superficies lisas. El aire húmedo se descompone con una menor intensidad de campo, lo que significa que un voltaje menor hará saltar una chispa a través del aire húmedo. Los voltajes más grandes se pueden acumular con la electricidad estática en días secos (Figura 7.16).

Figura 7.16 Se utiliza una cámara de chispas para trazar las trayectorias de las partículas de alta energía. La ionización que crean las partículas al pasar por el gas entre las placas permite que salte una chispa. Las chispas son perpendiculares a las placas, siguiendo las líneas de campo eléctrico entre ellas. La diferencia de potencial entre placas adyacentes no es lo suficientemente alta como para provocar chispas sin la ionización que producen las partículas de los experimentos con aceleradores (o los rayos cósmicos). Esta forma de detector es ahora arcaica y ya no se utiliza, excepto para fines de demostración. (crédito b: modificación de la obra de Jack Collins).

Ejemplo 7.9

Cálculo del potencial de una carga puntual

Dada una carga puntual $q=+\mathrm{2,0}\text{nC}$ en el origen, calcule la diferencia de potencial entre el punto $P_1$ a una distancia $a=\mathrm{4,0}\text{cm}$ de q, y $P_2$ a una distancia $b=\mathrm{12,0}\text{cm}$ de q, donde los dos puntos tienen un ángulo de $\phi =24\text{°}$ entre ellos (Figura 7.17).

Figura 7.17 Calcule la diferencia de potencial entre $P_1$ y $P_2$.

Estrategia

Hágalo en dos pasos. El primer paso es utilizar $V_B-V_A=\text{−}{\displaystyle {\int }_A^B\overrightarrow{\text{E}}·d\overrightarrow{\text{l}}}$ y supongamos que $A=a=\mathrm{4,0}\text{cm}$ y $B=b=\mathrm{12,0}\text{cm},$ con $d\overrightarrow{\text{l}}=d\overrightarrow{\text{r}}=\widehat{\text{r}}dr$ y $\overrightarrow{\text{E}}=\frac{kq}{r^2}\widehat{\text{r}}.$ Entonces realice la integral. El segundo paso es integrar $V_B-V_A=\text{−}{\displaystyle {\int }_A^B\overrightarrow{\text{E}}·d\overrightarrow{\text{l}}}$ alrededor de un arco de radio constante r, lo que significa que suponemos que $d\overrightarrow{\text{l}}=r\widehat{\phi }d\phi$ con límites $0\le \phi \le 24\text{°},$ aún utilizando $\overrightarrow{\text{E}}=\frac{kq}{r^2}\widehat{\text{r}}$. A continuación, sume los dos resultados.

Solución

Para la primera parte, $V_B-V_A=\text{−}{\displaystyle {\int }_A^B\overrightarrow{\text{E}}·d\overrightarrow{\text{l}}}$ para este sistema se convierte en $V_b-V_a=\text{−}{\displaystyle {\int }_a^b\frac{kq}{r^2}\widehat{\text{r}}·\widehat{\text{r}}dr}$ lo que equivale a

$$\begin{array}{cc}\text{Δ}V& =\text{−}{\displaystyle {\int }_a^b\frac{kq}{r^2}dr}=kq\left[\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right]\hfill \\ & =\left(\mathrm{8,99}\times {10}^9{\text{Nm}}^2{\text{/C}}^2\right)\left(\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{C}\right)\left[\frac{1}{\mathrm{0,040}\text{m}}-\frac{1}{\mathrm{0,12}\text{m}}\right]=300\text{V}\text{.}\hfill \end{array}$$

Para el segundo paso, $V_B-V_A=\text{−}{\displaystyle {\int }_A^B\overrightarrow{\text{E}}·d\overrightarrow{\text{l}}}$ se convierte en $\text{Δ}V=\text{−}{\displaystyle {\int }_0^{24\text{°}}\frac{kq}{r^2}\widehat{\text{r}}·r\widehat{\phi }d\phi }$, pero $\widehat{\text{r}}·\widehat{\phi }=0$ y por lo tanto $\text{Δ}V=0.$ Sumando las dos partes, obtenemos 300 V.

Importancia

Demostramos el uso de la forma integral de la diferencia de potencial para obtener un resultado numérico. Observe que, en este sistema en particular, también podríamos haber utilizado la fórmula del potencial debido a una carga puntual en los dos puntos y simplemente tomar la diferencia.

Antes de presentar los problemas relacionados con la electrostática, sugerimos una estrategia de resolución de problemas para este tema.