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Física Universitaria Volumen 2

7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial

Física Universitaria Volumen 27.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Definir potencial eléctrico, voltaje y diferencia de potencial.
  • Definir el electronvoltio.
  • Calcular el potencial eléctrico y la diferencia de potencial a partir de la energía potencial y el campo eléctrico.
  • Describir sistemas en los que el electronvoltio es una unidad útil.
  • Aplicar conservación de la energía a sistemas eléctricos.

Recordemos que anteriormente definimos el campo eléctrico como una cantidad independiente de la carga de prueba en un sistema dado que, sin embargo, nos permitiría calcular la fuerza que resultaría sobre una carga de prueba arbitraria (la suposición por defecto en ausencia de otra información es que la carga de prueba es positiva). Definimos brevemente un campo para la gravedad, pero esta es siempre atractiva, mientras que la fuerza eléctrica puede ser atractiva o repulsiva. Por lo tanto, aunque la energía potencial es perfectamente adecuada en un sistema gravitacional, es conveniente definir una cantidad que nos permita calcular el trabajo sobre una carga independientemente de la magnitud de esta. Calcular el trabajo directamente puede ser difícil, ya que W=F·dW=F·d y la dirección y magnitud de FF pueden ser complejos para múltiples cargas, para objetos con formas extrañas y a lo largo de trayectorias arbitrarias. Pero sabemos que porque F=qEF=qE, el trabajo, y por tanto ΔU,ΔU, es proporcional a la carga de prueba q. Para disponer de una cantidad física independiente de la carga de prueba, definimos el potencial eléctrico V (o simplemente potencial, ya que se entiende que es eléctrico) como la energía potencial por unidad de carga:

Potencial eléctrico

La energía potencial eléctrica por unidad de carga es

V=Uq.V=Uq.
7.4

Como U es proporcional a q, la dependencia sobre q se anula. Por lo tanto, V no depende de q. El cambio en la energía potencial ΔUΔU es crucial, por lo que nos preocupa la diferencia en el potencial o la diferencia de potencial ΔVΔV entre dos puntos, donde

ΔV=VBVA=ΔUq.ΔV=VBVA=ΔUq.

Diferencia de potencial eléctrico

La diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y B, VBVA,VBVA, se define como el cambio de energía potencial de una carga q desplazada de A hacia B, dividido entre la carga. Las unidades de diferencia de potencial son julios por culombio, y Alessandro Volta les dio el nombre de voltios (V).

1V=1J/C1V=1J/C

El conocido término voltaje es el nombre común de la diferencia de potencial eléctrico. Tenga en cuenta que siempre que se cita un voltaje, se entiende que es la diferencia de potencial entre dos puntos. Por ejemplo, toda batería tiene dos terminales y su voltaje es la diferencia de potencial entre ellos. Más fundamentalmente, el punto que elige como cero voltios es arbitrario. Esto es análogo al hecho de que la energía potencial gravitacional tiene un cero arbitrario, como el nivel del mar o quizás el suelo de una sala de conferencias. Conviene subrayar la distinción entre diferencia de potencial y energía potencial eléctrica.

Diferencia de potencial y energía potencial eléctrica

La relación entre la diferencia de potencial (o voltaje) y la energía potencial eléctrica viene dada por

ΔV=ΔUqoΔU=qΔV.ΔV=ΔUqoΔU=qΔV.
7.5

Voltaje no es lo mismo que energía. El voltaje es la energía por unidad de carga. Por lo tanto, una batería de motocicleta y una de automóvil pueden tener el mismo voltaje (más exactamente, la misma diferencia de potencial entre los terminales de la batería) y, sin embargo, una almacena mucha más energía que la otra porque ΔU=qΔV.ΔU=qΔV. La batería del automóvil puede mover más carga que la de la motocicleta, aunque ambas son baterías de 12 V.

Ejemplo 7.4

Calcular la energía

Tiene una batería de motocicleta de 12,0 V que puede mover 5.000 C de carga, y una batería de automóvil de 12,0 V que puede mover 60.000 C de carga. ¿Cuánta energía aporta cada una? (Se supone que el valor numérico de cada carga es preciso con tres cifras significativas).

Estrategia

Decir que tenemos una batería de 12,0 V significa que sus terminales tienen una diferencia de potencial de 12,0 V. Cuando una batería de este tipo mueve la carga, la hace pasar por una diferencia de potencial de 12,0 V, y la carga recibe un cambio de energía potencial igual a ΔU=qΔV.ΔU=qΔV. Para calcular la salida de energía, multiplicamos la carga movida por la diferencia de potencial.

Solución

Para la batería de la motocicleta, q=5.000Cq=5.000C y ΔV=12,0VΔV=12,0V. La energía total suministrada por la batería de la motocicleta es
ΔUciclo=(5.000C)(12,0V)=(5.000C)(12,0J/C)=6,00×104J.ΔUciclo=(5.000C)(12,0V)=(5.000C)(12,0J/C)=6,00×104J.

Del mismo modo, para la batería del automóvil, q=60.000Cq=60.000C y

ΔUauto=(60.000C)(12,0V)=7,20×105J.ΔUauto=(60.000C)(12,0V)=7,20×105J.

Importancia

El voltaje y la energía están relacionados, pero no son lo mismo. Los voltajes de las baterías son idénticos, pero la energía suministrada por cada una es muy diferente. La batería de un automóvil cuenta con un motor mucho más grande para arrancar que una motocicleta. Tenga en cuenta también que cuando una batería se descarga parte de su energía se utiliza internamente y su voltaje del terminal desciende, como ocurre cuando los faros se atenúan debido a que la batería del automóvil está descargada. La energía suministrada por la batería se sigue calculando como en este ejemplo, pero no toda la energía está disponible para su uso externo.

Compruebe Lo Aprendido 7.4

¿Cuánta energía tiene una batería AAA de 1,5 V que puede mover 100 C?

Observe que las energías calculadas en el ejemplo anterior son valores absolutos. El cambio de energía potencial de la batería es negativo, ya que pierde energía. Estas baterías, al igual que muchos sistemas eléctricos, en realidad mueven carga negativa, electrones en particular. Las baterías repelen los electrones de sus terminales negativos(A) a través de cualquier circuito y los atraen a sus terminales positivos(B), como se muestra en la Figura 7.12. El cambio de potencial es ΔV=VBVA=+12VΔV=VBVA=+12V y la carga q es negativa, por lo que ΔU=qΔVΔU=qΔV es negativo, lo que significa que la energía potencial de la batería disminuyó cuando q se desplazó de A hasta B.

La figura muestra un faro conectado a los terminales de una batería de 12V. La carga q fluye del terminal A de la batería y vuelve al terminal B de la misma.
Figura 7.12 Una batería mueve la carga negativa desde su terminal negativo a través de un faro hasta su terminal positivo. Las combinaciones adecuadas de sustancias químicas en la batería separan las cargas de modo que el terminal negativo tiene un exceso de carga negativa, que es repelida por ella y atraída por el exceso de carga positiva del otro terminal. En términos de potencial, el terminal positivo está a un voltaje más alto que el terminal negativo. En el interior de la batería se mueven tanto las cargas positivas como las negativas.

Ejemplo 7.5

¿Cuántos electrones pasan por un faro cada segundo?

Cuando una batería de automóvil de 12,0 V alimenta un solo faro de 30,0 W, ¿cuántos electrones pasan por ella cada segundo?

Estrategia

Para calcular el número de electrones, primero debemos calcular la carga que se mueve en 1,00 s. La carga desplazada se relaciona con el voltaje y la energía mediante las ecuaciones ΔU=qΔV.ΔU=qΔV. Una lámpara de 30,0 W consume 30,0 julios por segundo. Como la batería pierde energía, tenemos ΔU=−30JΔU=−30J y, como los electrones van del terminal negativo al positivo, vemos que ΔV=+12,0V.ΔV=+12,0V.

Solución

Para calcular la carga q movida, resolvemos la ecuación ΔU=qΔV:ΔU=qΔV:
q=ΔUΔV.q=ΔUΔV.

Al introducir los valores de ΔUΔU y ΔVΔV, obtenemos

q=−30,0J+12,0V=−30,0J+12,0J/C=−2,50C.q=−30,0J+12,0V=−30,0J+12,0J/C=−2,50C.

El número de electrones nene es la carga total dividida entre la carga por electrón. Eso es,

ne=−2,50C−1,60×10−19C/e=1,56×1019electrones.ne=−2,50C−1,60×10−19C/e=1,56×1019electrones.

Importancia

Es un número muy grande. No es de extrañar que no observemos habitualmente electrones individuales con tantos presentes en los sistemas ordinarios. De hecho, la electricidad se utilizó durante muchas décadas antes de que se determinara que las cargas móviles en muchas circunstancias eran negativas. La carga positiva que se mueve en dirección opuesta a la carga negativa suele producir efectos idénticos, lo que hace difícil determinar cuál se mueve o si se mueven ambas.

Compruebe Lo Aprendido 7.5

¿Cuántos electrones pasarían por una lámpara de 24,0 W?

El electronvoltio

La energía por electrón es muy pequeña en situaciones macroscópicas como la del ejemplo anterior: una pequeña fracción de julio. Pero a escala submicroscópica, esa energía por partícula (electrón, protón o ion) puede ser de gran importancia. Por ejemplo, incluso una pequeña fracción de julio puede ser suficiente para que estas partículas destruyan las moléculas orgánicas y dañen los tejidos vivos. La partícula puede hacer su daño por colisión directa, o puede crear rayos X dañinos, que también pueden infligir daño. Es útil tener una unidad de energía relacionada con los efectos submicroscópicos.

La Figura 7.13 muestra una situación relacionada con la definición de dicha unidad de energía. Un electrón se acelera entre dos placas de metal cargadas, como podría ocurrir en un tubo de televisión o un osciloscopio de modelos antiguos. El electrón adquiere energía cinética que luego se convierte en otra forma: la luz en el tubo de televisión, por ejemplo. (Observe que en términos de energía, "cuesta abajo" para el electrón es "cuesta arriba" para una carga positiva). Dado que la energía está relacionada con el voltaje por ΔU=qΔVΔU=qΔV, podemos pensar en el julio como un coulombiovoltio.

La parte a muestra un cañón de electrones con dos placas de metal y un electrón entre ellas. Las placas de metal están conectadas a los terminales de una batería y tienen cargas opuestas con una diferencia de potencial V subíndice AB. La parte b muestra la foto de un cañón de electrones.
Figura 7.13 Un cañón de electrones típico acelera los electrones utilizando una diferencia de potencial entre dos placas de metal separadas. Por conservación de la energía, la energía cinética tiene que ser igual al cambio de energía potencial, por lo que K E = q V K E = q V . La energía del electrón en electronvoltio es numéricamente igual al voltaje entre las placas. Por ejemplo, una diferencia de potencial de 5.000 V produce electrones de 5.000 eV. La construcción conceptual, es decir, dos placas paralelas con un agujero en una, se muestra en (a), mientras que se muestra un cañón de electrones real en (b).

Electronvoltio

En la escala submicroscópica, es más conveniente definir una unidad de energía llamada electronvoltio (eV), que es la energía dada a una carga fundamental acelerada a través de una diferencia de potencial de 1 V. En forma de ecuación

1eV=(1,60×10−19C)(1V)=(1,60×10−19C)(1J/C)=1,60×10−19J.1eV=(1,60×10−19C)(1V)=(1,60×10−19C)(1J/C)=1,60×10−19J.

Un electrón acelerado por una diferencia de potencial de 1 V recibe una energía de 1 eV. De ello se deduce que un electrón acelerado a 50 V gana 50 eV. Una diferencia de potencial de 100.000 V (100 kV) le da a un electrón una energía de 100.000 eV (100 keV), y así sucesivamente. Del mismo modo, un ion con doble carga positiva acelerado a 100 V gana 200 eV de energía. Estas sencillas relaciones entre el voltaje de aceleración y las cargas de las partículas hacen que el electronvoltio sea una unidad de energía sencilla y conveniente en tales circunstancias.

El electronvoltio se emplea habitualmente en los procesos submicroscópicos: las energías de valencia química y las energías de enlace molecular y nuclear son algunas de las cantidades que suelen expresarse en electronvoltios. Por ejemplo, se necesitan unos 5 eV de energía para romper ciertas moléculas orgánicas. Si un protón se acelera desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 30 kV, adquiere una energía de 30 keV (30.000 eV) y puede romper hasta 6.000 de estas moléculas (30.000eV÷5eVpor molécula=6000moléculas).(30.000eV÷5eVpor molécula=6000moléculas). Las energías de decaimiento nuclear son del orden de 1 MeV (1.000.000 eV) por evento y, por tanto, pueden producir daños biológicos importantes.

Conservación de la energía

La energía total de un sistema se conserva si no hay adición (o sustracción) neta debida al trabajo o a la transferencia de calor. Para las fuerzas conservativas, como la fuerza electrostática, la conservación de la energía establece que la energía mecánica es una constante.

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial de un sistema; es decir, K+U=constante.K+U=constante. Una pérdida de U para una partícula cargada se convierte en un aumento de su K. La conservación de la energía se establece en forma de ecuación como

K+U=constanteK+U=constante

o

Ki+Ui=Kf+UfKi+Ui=Kf+Uf

donde i y f representan las condiciones iniciales y finales. Como ya hemos comprobado muchas veces, considerar la energía puede darnos ideas y facilitar la resolución de problemas.

Ejemplo 7.6

Energía potencial eléctrica convertida en energía cinética

Calcule la velocidad final de un electrón libre acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 100 V (supongamos que este valor numérico tiene una precisión de tres cifras significativas).

Estrategia

Tenemos un sistema en el que solo hay fuerzas conservativas. Suponiendo que el electrón se acelera en el vacío e ignorando la fuerza gravitacional (comprobaremos esta suposición más adelante), toda la energía potencial eléctrica se convierte en energía cinética. Podemos identificar las formas de energía inicial y final para que sean Ki=0,Kf=12mv2,Ui=qV,Uf=0.Ki=0,Kf=12mv2,Ui=qV,Uf=0.

Solución

La conservación de la energía establece que
Ki+Ui=Kf+Uf.Ki+Ui=Kf+Uf.

Introduciendo las formas identificadas anteriormente, obtenemos

qV=mv22.qV=mv22.

Resolvemos esto para v:

v=2qVm.v=2qVm.

Introduciendo los valores de q, V y m se obtiene

v=2(−1,60×10−19C)(100J/C)9,11×10−31kg=5,93×106m/s.v=2(−1,60×10−19C)(100J/C)9,11×10−31kg=5,93×106m/s.

Importancia

Observe que tanto la carga como el voltaje inicial son negativas, como en la Figura 7.13. A partir de la discusión sobre la carga eléctrica y el campo eléctrico, sabemos que las fuerzas electrostáticas sobre las partículas pequeñas son generalmente muy grandes comparadas con la fuerza gravitacional. La gran velocidad final confirma que la fuerza gravitacional es efectivamente insignificante en este caso. La gran velocidad también indica lo fácil que es acelerar los electrones con voltajes pequeños debido a su escasa masa. En los cañones de electrones se suelen utilizar voltajes muy superiores a los 100 V de este problema. Estos voltajes más elevados producen velocidades de los electrones tan grandes que hay que tener en cuenta los efectos de la relatividad especial, por lo que se reservan para un capítulo posterior (Relatividad). Por eso, en este ejemplo consideramos un voltaje bajo (con precisión).

Compruebe Lo Aprendido 7.6

¿Cómo cambiaría este ejemplo con un positrón? Un positrón es idéntico a un electrón, salvo que la carga es positiva.

Voltaje y campo eléctrico

Hasta ahora, hemos explorado la relación entre el voltaje y la energía. Ahora queremos explorar la relación entre el voltaje y el campo eléctrico. Comenzaremos con el caso general de un campo no uniforme EE. Recordemos que nuestra fórmula general para la energía potencial de una carga de prueba q en el punto P respecto al punto de referencia R es

UP=RPF·dl.UP=RPF·dl.

Cuando sustituimos en la definición de campo eléctrico (E=F/q),(E=F/q), esto se convierte en

UP=qRPE·dl.UP=qRPE·dl.

Aplicando nuestra definición de potencial (V=U/q)(V=U/q) a esta energía potencial, hallamos que, en general,

VP=RPE·dl.VP=RPE·dl.
7.6

De nuestra discusión anterior sobre la energía potencial de una carga en un campo eléctrico, el resultado es independiente del camino elegido y, por lo tanto, podemos elegir el camino integral que sea más conveniente.

Consideremos el caso especial de una carga puntual positiva q en el origen. Para calcular el potencial causado por q a una distancia r del origen respecto a una referencia de 0 en el infinito (recordemos que hicimos lo mismo para la energía potencial), supongamos que P=rP=r y R=,R=, con dl=dr=r^drdl=dr=r^dr y usamos E=kqr2r^.E=kqr2r^. Cuando evaluamos la integral

VP=RPE·dlVP=RPE·dl

para este sistema, tenemos

Vr=rkqr2r^·r^dr,Vr=rkqr2r^·r^dr,

que se simplifica a

Vr=rkqr2dr=kqrkq=kqr.Vr=rkqr2dr=kqrkq=kqr.

Este resultado,

Vr=kqrVr=kqr

es la forma estándar del potencial de una carga puntual. Esto se analizará más a fondo en la siguiente sección.

Para estudiar otro caso especial interesante, supongamos que un campo eléctrico uniforme EE se produce al colocar una diferencia de potencial (o voltaje) ΔVΔV a través de dos placas de metal paralelas, marcadas como A y B (Figura 7.14). El estudio de esta situación nos dirá qué voltaje es necesario para producir una determinada intensidad de campo eléctrico. También revelará una relación más fundamental entre el potencial eléctrico y el campo eléctrico.

La figura muestra el campo eléctrico entre dos placas (A y B) con cargas opuestas. Las placas están separadas por una distancia d y tienen una diferencia de potencial V subíndice AB. Una carga positiva q se encuentra entre las placas y se mueve de A hasta B.
Figura 7.14 La relación entre V y E para placas conductoras paralelas es E = V / d E = V / d . (Tenga en cuenta que Δ V = V A B Δ V = V A B en magnitud. Para una carga que se desplaza de la placa A a un potencial más alto a la placa B a un potencial más bajo, es necesario incluir un signo menos como se indica a continuación Δ V = V A V B = V A B . Δ V = V A V B = V A B . ).

Desde el punto de vista de un físico, o bien ΔVΔV o EE pueden utilizarse para describir cualquier interacción entre cargas. Sin embargo, ΔVΔV es una cantidad escalar y no tiene dirección, mientras que EE es una cantidad vectorial, que tiene tanto magnitud como dirección. (Observe que la magnitud del campo eléctrico, una cantidad escalar, se representa por E). La relación entre ΔVΔV y EE se pone de manifiesto calculando el trabajo realizado por la fuerza eléctrica al desplazar una carga del punto A al punto B. Pero, como se ha señalado anteriormente, las distribuciones de carga arbitrarias requieren cálculo. Por lo tanto, consideramos que un campo eléctrico uniforme es un caso especial interesante.

El trabajo realizado por el campo eléctrico en la Figura 7.14 para mover una carga positiva q desde A, la placa positiva de mayor potencial, hasta B, la placa negativa de menor potencial, es

W=ΔU=qΔV.W=ΔU=qΔV.

La diferencia de potencial entre los puntos A y B es

ΔV=(VBVA)=VAVB=VAB.ΔV=(VBVA)=VAVB=VAB.

Al introducir esto en la expresión del trabajo se obtiene

W=qVAB.W=qVAB.

El trabajo es W=F·d=FdcosθW=F·d=Fdcosθ; aquí cosθ=1cosθ=1, ya que la trayectoria es paralela al campo. Por lo tanto, W=FdW=Fd. Dado que F=qEF=qE, vemos que W=qEdW=qEd.

Al sustituir esta expresión del trabajo en la ecuación anterior se obtiene

qEd=qVAB.qEd=qVAB.

La carga se anula, por lo que obtenemos para el voltaje entre los puntos A y B

VAB=EdE=VABd}(solo campoE uniforme)VAB=EdE=VABd}(solo campoE uniforme)

donde d es la distancia de A hasta B, o la distancia entre las placas en la Figura 7.14. Observe que esta ecuación implica que las unidades del campo eléctrico son voltios por metro. Ya sabemos que las unidades para el campo eléctrico son newtons por culombio; por tanto, la siguiente relación entre unidades es válida:

1N/C=1V/m.1N/C=1V/m.

Además, podemos extender esto a la forma integral. Al sustituir la Ecuación 7.5 en nuestra definición de la diferencia de potencial entre los puntos A y B, obtenemos

VBA=VBVA=RBE·dl+RAE·dlVBA=VBVA=RBE·dl+RAE·dl

que se simplifica a

VBVA=ABE·dl.VBVA=ABE·dl.

Como demostración, a partir de esto podemos calcular la diferencia de potencial entre dos puntos (A y B) que equidistan de una carga puntual q en el origen, como se muestra en la Figura 7.15.

La figura muestra una carga q equidistante de dos puntos, A y B.
Figura 7.15 El arco para calcular la diferencia de potencial entre dos puntos que equidistan de una carga puntual en el origen.

Para ello, integramos alrededor de un arco de círculo de radio constante r entre A y B, lo que significa que dejamos que dl=rφ^dφ,dl=rφ^dφ, mientras se utiliza E=kqr2r^E=kqr2r^. Por lo tanto,

ΔVBA=VBVA=ABE·dlΔVBA=VBVA=ABE·dl
7.7

para este sistema se convierte en

VBVA=ABkqr2r^·rφ^dφ.VBVA=ABkqr2r^·rφ^dφ.

Sin embargo, r^·φ^=0r^·φ^=0 y por lo tanto

VBVA=0.VBVA=0.

Este resultado, de que no hay diferencia de potencial a lo largo de un radio constante desde una carga puntual, será útil cuando mapeemos los potenciales.

Ejemplo 7.7

¿Cuál es el voltaje máximo posible entre dos placas?

El aire seco puede soportar una intensidad de campo eléctrico máxima de aproximadamente 3,0×106V/m.3,0×106V/m. Por encima de ese valor, el campo crea la suficiente ionización en el aire como para convertirlo en conductor. Esto permite una descarga o chispa que reduce el campo. ¿Cuál es entonces el voltaje máximo entre dos placas conductoras paralelas separadas por 2,5 cm de aire seco?

Estrategia

Nos dan el campo eléctrico máximo E entre las placas y la distancia d entre ellas. Podemos utilizar la ecuación VAB=EdVAB=Ed para calcular el voltaje máximo.

Solución

La diferencia de potencial o voltaje entre las placas es
VAB=Ed.VAB=Ed.

Al introducir los valores dados para E y d se obtiene

VAB=(3,0×106V/m)(0,025m)=7,5×104VVAB=(3,0×106V/m)(0,025m)=7,5×104V

o

VAB=75kV.VAB=75kV.

(La respuesta se cita con solo dos dígitos, ya que la intensidad de campo máxima es aproximada).

Importancia

Una de las implicaciones de este resultado es que se necesitan unos 75 kV para hacer saltar una chispa a través de un hueco de 2,5 cm (1 pulgada) o 150 kV para una chispa de 5 cm. Esto limita los voltajes que pueden existir entre los conductores, quizás en una línea de transmisión de potencia. Un voltaje menor puede provocar una chispa si hay espinas en la superficie, ya que las puntas afiladas tienen mayor intensidad de campo que las superficies lisas. El aire húmedo se descompone con una menor intensidad de campo, lo que significa que un voltaje menor hará saltar una chispa a través del aire húmedo. Los voltajes más grandes se pueden acumular con la electricidad estática en días secos (Figura 7.16).
La primera foto muestra una cámara de chispas y la segunda foto muestra su funcionamiento.
Figura 7.16 Se utiliza una cámara de chispas para trazar las trayectorias de las partículas de alta energía. La ionización que crean las partículas al pasar por el gas entre las placas permite que salte una chispa. Las chispas son perpendiculares a las placas, siguiendo las líneas de campo eléctrico entre ellas. La diferencia de potencial entre placas adyacentes no es lo suficientemente alta como para provocar chispas sin la ionización que producen las partículas de los experimentos con aceleradores (o los rayos cósmicos). Esta forma de detector es ahora arcaica y ya no se utiliza, excepto para fines de demostración. (crédito b: modificación de la obra de Jack Collins).

Ejemplo 7.8

Campo y fuerza dentro de un cañón de electrones

Un cañón de electrones (Figura 7.13) tiene placas paralelas separadas por 4,00 cm y da a los electrones 25,0 keV de energía. (a) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico entre las placas? (b) ¿Qué fuerza ejercería este campo sobre un trozo de plástico con 0,500-μC0,500-μC de carga que se mete entre las placas?

Estrategia

Dado que el voltaje y la separación de las placas están dadas, la intensidad del campo eléctrico puede calcularse directamente a partir de la expresión E=VABdE=VABd. Una vez que conocemos la intensidad del campo eléctrico, podemos calcular la fuerza sobre una carga utilizando F=qE.F=qE. Como el campo eléctrico está en una sola dirección, podemos escribir esta ecuación en términos de las magnitudes, F=qEF=qE.

Solución

  1. La expresión para la magnitud del campo eléctrico entre dos placas de metal uniformes es
    E=VABd.E=VABd.
    Dado que el electrón es una carga única y recibe 25,0 keV de energía, la diferencia de potencial debe ser de 25,0 kV. Al introducir este valor para VABVAB y la separación de las placas de 0,0400 m, obtenemos
    E=25,0kV0,0400m=6,25×105V/m.E=25,0kV0,0400m=6,25×105V/m.
  2. La magnitud de la fuerza sobre una carga en un campo eléctrico se obtiene a partir de la ecuación
    F=qE.F=qE.
    Al sustraer los valores conocidos se obtiene
    F=(0,500×10−6C)(6,25×105V/m)=0,313N.F=(0,500×10−6C)(6,25×105V/m)=0,313N.

Importancia

Observe que las unidades son newtons, ya que 1V/m=1N/C1V/m=1N/C. Como el campo eléctrico es uniforme entre las placas, la fuerza sobre la carga es la misma sin importar dónde se encuentre la carga entre las placas.

Ejemplo 7.9

Cálculo del potencial de una carga puntual

Dada una carga puntual q=+2,0nCq=+2,0nC en el origen, calcule la diferencia de potencial entre el punto P1P1 a una distancia a=4,0cma=4,0cm de q, y P2P2 a una distancia b=12,0cmb=12,0cm de q, donde los dos puntos tienen un ángulo de φ=24°φ=24° entre ellos (Figura 7.17).
La figura muestra dos puntos, P subíndice 1 y P subíndice 2, a distancias a y b del origen y con un ángulo phi entre ellos.
Figura 7.17 Calcule la diferencia de potencial entre P 1 P 1 y P 2 P 2 .

Estrategia

Hágalo en dos pasos. El primer paso es utilizar VBVA=ABE·dlVBVA=ABE·dl y supongamos que A=a=4,0cmA=a=4,0cm y B=b=12,0cm,B=b=12,0cm, con dl=dr=r^drdl=dr=r^dr y E=kqr2r^.E=kqr2r^. Entonces realice la integral. El segundo paso es integrar VBVA=ABE·dlVBVA=ABE·dl alrededor de un arco de radio constante r, lo que significa que suponemos que dl=rφ^dφdl=rφ^dφ con límites 0φ24°,0φ24°, aún utilizando E=kqr2r^E=kqr2r^. A continuación, sume los dos resultados.

Solución

Para la primera parte, VBVA=ABE·dlVBVA=ABE·dl para este sistema se convierte en VbVa=abkqr2r^·r^drVbVa=abkqr2r^·r^dr lo que equivale a
ΔV=abkqr2dr=kq[1a1b]=(8,99×109Nm2/C2)(2,0×10−9C)[10,040m10,12m]=300V.ΔV=abkqr2dr=kq[1a1b]=(8,99×109Nm2/C2)(2,0×10−9C)[10,040m10,12m]=300V.

Para el segundo paso, VBVA=ABE·dlVBVA=ABE·dl se convierte en ΔV=024°kqr2r^·rφ^dφΔV=024°kqr2r^·rφ^dφ, pero r^·φ^=0r^·φ^=0 y por lo tanto ΔV=0.ΔV=0. Sumando las dos partes, obtenemos 300 V.

Importancia

Demostramos el uso de la forma integral de la diferencia de potencial para obtener un resultado numérico. Observe que, en este sistema en particular, también podríamos haber utilizado la fórmula del potencial debido a una carga puntual en los dos puntos y simplemente tomar la diferencia.

Compruebe Lo Aprendido 7.7

A partir de los ejemplos, ¿cómo varía la energía de un rayo con la altura de las nubes desde el suelo? Considere el sistema nube-tierra como dos placas paralelas.

Antes de presentar los problemas relacionados con la electrostática, sugerimos una estrategia de resolución de problemas para este tema.

Estrategia de Resolución De Problemas

Electroestática

  1. Estudie la situación para determinar si hay electricidad estática; puede tratarse de cargas estacionarias separadas, las fuerzas entre ellas y los campos eléctricos que crean.
  2. Identifique el sistema de interés. Esto incluye anotar el número, los lugares y los tipos de cargas involucradas.
  3. Identifique exactamente lo que hay que determinar en el problema (identificar las incógnitas). Es útil tener una lista escrita. Determine si la fuerza de Coulomb debe considerarse directamente (si es así, puede ser útil dibujar un diagrama de cuerpo libre, utilizando líneas de campo eléctrico).
  4. Haga una lista de lo que se da o puede deducirse del problema tal y como está planteado (identificar los conocidos). Es importante distinguir la fuerza de Coulomb F del campo eléctrico E, por ejemplo.
  5. Resuelva la ecuación apropiada para la cantidad a determinar (la incógnita) o dibuje las líneas de campo como se pide.
  6. Examine la respuesta para ver si es razonable: ¿tiene sentido? ¿Las unidades son correctas y las cifras son razonables?
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