7.1 Energía potencial eléctrica

Cuando una carga positiva libre q es acelerada por un campo eléctrico, recibe energía cinética (Figura 7.2). El proceso es análogo al de un objeto que es acelerado por un campo gravitacional, como si la carga bajara por una colina eléctrica donde su energía potencial eléctrica se convierte en energía cinética, aunque, por supuesto, las fuentes de las fuerzas son muy diferentes. Exploremos el trabajo realizado sobre una carga q por el campo eléctrico en este proceso, para poder desarrollar una definición de energía potencial eléctrica.

Figura 7.2 Una carga acelerada por un campo eléctrico es análoga a una masa que baja una colina. En ambos casos, la energía potencial disminuye a medida que aumenta la energía cinética, $–\Delta U=\Delta K$. El trabajo es realizado por una fuerza, pero como esta fuerza es conservativa, podemos escribir $W=–\text{Δ}U$.

La fuerza electrostática o de Coulomb es conservativa, lo que significa que el trabajo realizado sobre q es independiente del camino recorrido, como demostraremos más adelante. Esto es exactamente análogo a la fuerza gravitacional. Cuando una fuerza es conservativa, es posible definir una energía potencial asociada a la fuerza. Suele ser más fácil trabajar con la energía potencial (porque solo depende de la posición) que calcular el trabajo directamente.

Para demostrarlo explícitamente, consideremos una carga eléctrica $+q$ fija en el origen y mueve otra carga $+Q$ hacia q de manera que, en cada instante, la fuerza aplicada $\overrightarrow{\text{F}}$ equilibra exactamente la fuerza eléctrica ${\overrightarrow{\text{F}}}_e$ en Q (Figura 7.3). El trabajo realizado por la fuerza aplicada $\overrightarrow{\text{F}}$ sobre la carga Q cambia la energía potencial de Q. Llamamos a esta energía potencial la energía potencial eléctrica de Q.

Figura 7.3 Desplazamiento de la carga "de prueba" Q en presencia de una carga "fuente" fija q.

El trabajo $W_{12}$ realizado por la fuerza aplicada $\overrightarrow{\text{F}}$ cuando la partícula se mueve de $P_1$ a $P_2$ puede calcularse mediante

Dado que la fuerza aplicada $\overrightarrow{\text{F}}$ equilibra la fuerza eléctrica ${\overrightarrow{\text{F}}}_e$ en Q, las dos fuerzas tienen igual magnitud y direcciones opuestas. Por lo tanto, la fuerza aplicada es

donde hemos definido positivo para que apunte lejos del origen y r es la distancia al origen. Las direcciones del desplazamiento y de la fuerza aplicada en el sistema en la Figura 7.3 son paralelas, por lo que el trabajo realizado en el sistema es positivo.

Utilizamos la letra U para denotar la energía potencial eléctrica, que tiene unidades de julios (J). Cuando una fuerza conservativa realiza un trabajo negativo, el sistema gana energía potencial. Cuando una fuerza conservativa realiza un trabajo positivo, el sistema pierde energía potencial, $\text{Δ}U=\text{−}W.$ En el sistema de la Figura 7.3, la fuerza de Coulomb actúa en sentido contrario al desplazamiento, por lo que el trabajo es negativo. Sin embargo, hemos aumentado la energía potencial en el sistema de dos cargas.

Ejemplo 7.1

Energía cinética de una partícula cargada

Una pieza de papel de aluminio de $+\mathrm{3,0}\text{-nC}$ de carga Q está inicialmente en reposo a una distancia de 10 cm ($r_1$) de un $+\mathrm{5,0}\text{-nC}$ de carga q fija en el origen (Figura 7.4). Naturalmente, la fuerza de Coulomb acelera a Q para que se aleje de q, alcanzando finalmente los 15 cm ($r_2$).

Figura 7.4 La carga Q es repelida por q, por lo que se realiza un trabajo sobre ella y gana energía cinética.

1. ¿Cuál es el trabajo realizado por el campo eléctrico entre $r_1$ y $r_2$?
2. ¿Cuánta energía cinética tiene Q en $r_2$?

Estrategia

Calcule el trabajo con la definición habitual. Como Q partía del reposo, es la misma que la energía cinética.

Solución

Integrando la fuerza sobre la distancia, obtenemos

$$\begin{array}{cc}{W}_{12}\hfill & ={\displaystyle {\int }_{r_1}^{r_2}\overrightarrow{\text{F}}·d\overrightarrow{\text{r}}}={\displaystyle {\int }_{r_1}^{r_2}\frac{kqQ}{r^2}dr={\left[-\frac{kqQ}{r}\right]}_{r_1}^{r_2}}=kqQ\left[\frac{\mathrm{-1}}{r_2}+\frac{1}{r_1}\right]\hfill \\ & =\left(\mathrm{8,99}\times {10}^9{\text{Nm}}^2{\text{/C}}^2\right)\left(\mathrm{5,0}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{C}\right)\left(\mathrm{3,0}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{C}\right)\left[\frac{\mathrm{-1}}{\mathrm{0,15}\text{m}}+\frac{1}{\mathrm{0,10}\text{m}}\right]\hfill \\ & =\mathrm{4,5}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{J}\text{.}\hfill \end{array}$$

Este es también el valor de la energía cinética en $r_2.$

Importancia

La carga Q estaba inicialmente en reposo; el campo eléctrico de q realizó un trabajo sobre Q, por lo que ahora Q tiene una energía cinética igual al trabajo realizado por el campo eléctrico.

En este ejemplo, el trabajo W realizado para acelerar una carga positiva desde el reposo es positivo y resulta de una pérdida en U, o un $\text{Δ}U$. Se puede calcular un valor para U en cualquier punto tomando un punto como referencia y calculando el trabajo necesario para mover una carga al otro punto.

La energía potencial gravitacional y la energía potencial eléctrica son bastante análogas. La energía potencial representa el trabajo realizado por una fuerza conservadora y ofrece una visión adicional sobre la energía y la transformación de la energía sin necesidad de tratar directamente la fuerza. Es mucho más común, por ejemplo, utilizar el concepto de energía potencial eléctrica que tratar la fuerza de Coulomb directamente en aplicaciones del mundo real.

En coordenadas polares con q en el origen y Q situado en r, el vector del elemento de desplazamiento es $d\overrightarrow{\text{l}}=\widehat{\text{r}}dr$ y así el trabajo se convierte en

Observe que este resultado solo depende de los puntos finales y que, por lo demás, es independiente del camino recorrido. Para profundizar en ello, compare la trayectoria $P_1$ a $P_2$ con ruta de acceso $P_1{P}_3{P}_4{P}_2$ en la Figura 7.5.

Figura 7.5 Dos vías de desplazamiento $P_1$ a $P_2.$ El trabajo en los segmentos $P_1{P}_3$ y $P_4{P}_2$ son cero debido a que la fuerza eléctrica es perpendicular al desplazamiento a lo largo de estas trayectorias. Por lo tanto, el trabajo en los caminos $P_1{P}_2$ y $P_1{P}_3{P}_4{P}_2$ son iguales.

Los segmentos $P_1{P}_3$ y $P_4{P}_2$ son arcos de círculos centrados en q. Dado que la fuerza sobre Q apunta hacia o lejos de q, no se realiza ningún trabajo por una fuerza que equilibre la fuerza eléctrica, porque es perpendicular al desplazamiento a lo largo de estos arcos. Por lo tanto, el único trabajo realizado es a lo largo del segmento $P_3{P}_4,$ que es idéntico a $P_1{P}_2.$

Una implicación de este cálculo de trabajo es que si fuéramos a rodear el camino $P_1{P}_3{P}_4{P}_2{P}_1,$ el trabajo neto sería cero (Figura 7.6). Recordemos que así se determina si una fuerza es conservadora o no. Por lo tanto, como la fuerza eléctrica está relacionada con el campo eléctrico por $\overrightarrow{\text{F}}=q\overrightarrow{\text{E}}$, el campo eléctrico es conservador en sí mismo. Eso es,

Observe que Q es una constante.

Figura 7.6 Una trayectoria cerrada en un campo eléctrico. El trabajo neto alrededor de este camino es cero.

Otra implicación es que podemos definir una energía potencial eléctrica. Recordemos que el trabajo realizado por una fuerza conservativa se expresa también como la diferencia de energía potencial correspondiente a dicha fuerza. Por lo tanto, el trabajo $W_{\text{ref}}$ para llevar una carga desde un punto de referencia a un punto de interés puede escribirse como

y, según la Ecuación 7.1, la diferencia de energía potencial $(U_2-U_1)$ de la carga de prueba Q entre los dos puntos es

Por lo tanto, podemos escribir una expresión general para la energía potencial de dos cargas puntuales (en coordenadas esféricas):

Podemos tomar el segundo término como un nivel de referencia constante arbitrario, que sirve como referencia cero:

Una elección conveniente de referencia que se basa en nuestro sentido común es que cuando las dos cargas están infinitamente alejadas, no hay interacción entre ellas (recuerde la discusión de la energía potencial de referencia en Energía potencial y conservación de la energía). Al tomar la energía potencial de este estado como cero, se elimina el término $U_{\text{ref}}$ de la ecuación (al igual que cuando decimos que el suelo es de energía potencial cero en un problema de energía potencial gravitacional), y la energía potencial de Q cuando se separa de q por una distancia r asume la forma

Esta fórmula es simétrica con respecto a q y Q, por lo que se describe mejor como la energía potencial del sistema de dos cargas.

Ejemplo 7.2

Energía potencial de una partícula cargada

Una pieza de papel de aluminio de $+\mathrm{3,0}\text{-nC}$ de carga Q está inicialmente en reposo a una distancia de 10 cm ($r_1$) de un $\text{+5}\text{0,0-nC}$ de carga q fija en el origen (Figura 7.7). Naturalmente, la fuerza de Coulomb acelera a Q para que se aleje de q, alcanzando finalmente los 15 cm ($r_2$).

Figura 7.7 La carga Q es repelida por q, por lo que se realiza un trabajo sobre ella y pierde energía potencial.

¿Cuál es el cambio en la energía potencial del sistema de dos cargas de $r_1$ a $r_2?$

Estrategia

Calcule la energía potencial con la definición dada anteriormente $\text{Δ}{U}_{12}=\text{−}{\displaystyle {\int }_{r_1}^{r_2}\overrightarrow{\text{F}}·d\overrightarrow{\text{r}}}.$ Como Q partía del reposo, es la misma que la energía cinética.

Solución

Tenemos

$$\begin{array}{cc}\text{Δ}{U}_{12}\hfill & =\text{−}{\displaystyle {\int }_{r_1}^{r_2}\overrightarrow{\text{F}}·d\overrightarrow{\text{r}}}=\text{−}{\displaystyle {\int }_{r_1}^{r_2}\frac{kqQ}{r^2}dr=\text{−}{\left[-\frac{kqQ}{r}\right]}_{r_1}^{r_2}}=kqQ\left[\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right]\hfill \\ & =\left(\mathrm{8,99}\times {10}^9{\text{Nm}}^2{\text{/C}}^2\right)\left(\mathrm{5,0}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{C}\right)\left(\mathrm{3,0}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{C}\right)\left[\frac{1}{\mathrm{0,15}\text{m}}-\frac{1}{\mathrm{0,10}\text{m}}\right]\hfill \\ & =\mathrm{-4,5}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{J}\text{.}\hfill \end{array}$$

Importancia

El cambio en la energía potencial es negativo, como se esperaba, e igual en magnitud al cambio en la energía cinética en este sistema. Recordemos del Ejemplo 7.1 que el cambio de energía cinética fue positivo.

Debido a la ley de Coulomb, las fuerzas debidas a múltiples cargas sobre una carga de prueba Q se superponen; pueden calcularse individualmente y luego sumarse. Esto implica que las integrales de trabajo y, por tanto, las energías potenciales resultantes presentan el mismo comportamiento. Para demostrarlo, consideramos un ejemplo de montaje de un sistema de cuatro cargas.

Ejemplo 7.3

Ensamblaje de cuatro cargas positivas

Calcule la cantidad de trabajo que debe realizar un agente externo para reunir cuatro cargas $+\mathrm{2,0}\mu \text{C},$$+\mathrm{3,0}\mu \text{C},+\mathrm{4,0}\mu \text{C},$ y $+\mathrm{5,0}\mu \text{C}$ en los vértices de un cuadrado de lado 1,0 cm, comenzando cada carga desde el infinito (Figura 7.8).

Figura 7.8 ¿Cuánto trabajo se necesita para montar esta configuración de carga?

Estrategia

Introducimos las cargas de una en una, dándoles ubicaciones iniciales en el infinito y calculando el trabajo para llevarlas desde el infinito hasta su ubicación final. Lo hacemos por orden de carga creciente.

Solución

Paso 1. Primero traiga $+\mathrm{2,0}\text{-}\mu \text{C}$ de carga al origen. Dado que todavía no hay otras cargas a una distancia finita de esta carga, no se realiza ningún trabajo al traerla desde el infinito,

$$W_1=0.$$

Paso 2. Mientras se mantiene $+\mathrm{2,0}\text{-}\mu \text{C}$ de carga fijada en el origen, lleve $+\mathrm{3,0}\text{-}\mu \text{C}$ de carga a $(x,y,z)=(\mathrm{1,0}\text{cm},0,0)$ (Figura 7.9). Ahora, la fuerza aplicada debe realizar un trabajo contra la fuerza ejercida por $+\mathrm{2,0}\text{-}\mu \text{C}$ de carga fija en el origen. El trabajo realizado es igual al cambio en la energía potencial $+\mathrm{3,0}\text{-}\mu \text{C}$ de la carga:

$$W_2=k\frac{q_1{q}_2}{r_{12}}=\left(\mathrm{9,0}\times {10}^9\frac{\text{N}·{\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\right)\frac{\left(\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}\right)\left(\mathrm{3,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}\right)}{\mathrm{1,0}\times {10}^{\mathrm{-2}}\text{m}}=\mathrm{5,4}\text{J}\text{.}$$

Figura 7.9 Paso 2. Trabajo $W_2$ para llevar $+\mathrm{3,0}\text{-}\mu \text{C}$ de carga desde el infinito.

Paso 3. Mientras se mantienen las cargas de $+\mathrm{2,0}\mu \text{C}$ y $+\mathrm{3,0}\mu \text{C}$ fijadas en sus lugares, triga $+\mathrm{4,0}\text{-}\mu \text{C}$ de carga a $(x,y,z)=(\mathrm{1,0}\text{cm},\mathrm{1,0}\text{cm},0)$ (Figura 7.10). El trabajo realizado en este paso es

$$\begin{array}{cc}{W}_3\hfill & =k\frac{q_1{q}_3}{r_{13}}+k\frac{q_2{q}_3}{r_{23}}\hfill \\ & =\left(\mathrm{9,0}\times {10}^9\frac{\text{N}·{\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\right)\left[\frac{\left(\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}\right)\left(\mathrm{4,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}\right)}{\sqrt{2}\times {10}^{\mathrm{-2}}\text{m}}+\frac{\left(\mathrm{3,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}\right)\left(\mathrm{4,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}\right)}{\mathrm{1,0}\times {10}^{\mathrm{-2}}\text{m}}\right]=\mathrm{15,9}\text{J}\text{.}\hfill \end{array}$$

Figura 7.10 Paso 3. El trabajo $W_3$ para llevar $+\mathrm{4,0}\text{-}\mu \text{C}$ de carga desde el infinito.

Paso 4. Por último, manteniendo las tres primeras cargas en su sitio, lleva el $+\mathrm{5,0}\text{-}\mu \text{C}$ de carga a $(x,y,z)=(0,\mathrm{1,0}\text{cm},0)$ (Figura 7.11). El trabajo realizado aquí es

$$\begin{array}{cc}{W}_4\hfill & =k{q}_4\left[\frac{q_1}{r_{14}}+\frac{q_2}{r_{24}}+\frac{q_3}{r_{34}}\right],\hfill \\ & =\left(\mathrm{9,0}\times {10}^9\frac{\text{N}·{\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\right)\left(\mathrm{5,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}\right)\left[\frac{\left(\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}\right)}{\mathrm{1,0}\times {10}^{\mathrm{-2}}\text{m}}+\frac{\left(\mathrm{3,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}\right)}{\sqrt{2}\times {10}^{\mathrm{-2}}\text{m}}+\frac{\left(\mathrm{4,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}\right)}{\mathrm{1,0}\times {10}^{\mathrm{-2}}\text{m}}\right]=\mathrm{36,5}\text{J}\text{.}\hfill \end{array}$$

Figura 7.11 Paso 4. El trabajo $W_4$ para llevar $+\mathrm{5,0}\text{-}\mu \text{C}$ de carga desde el infinito.

Por lo tanto, el trabajo total realizado por la fuerza aplicada en el ensamblaje de las cuatro cargas es igual a la suma del trabajo de llevar cada carga desde el infinito hasta su posición final:

$$W_{\text{T}}=W_1+W_2+W_3+W_4=0+\mathrm{5,4}\text{J}+\mathrm{15,9}\text{J}+\mathrm{36,5}\text{J}=\mathrm{57,8}\text{J}\text{.}$$

Importancia

El trabajo de cada carga depende únicamente de sus interacciones por pares con las demás cargas. No es necesario considerar interacciones más complicadas; el trabajo de la tercera carga solo depende de su interacción con la primera y la segunda carga, la interacción entre la primera y la segunda carga no afecta a la tercera.

Observe que la energía potencial eléctrica es positiva si las dos cargas son del mismo tipo, positivo o negativo, y negativa si las dos cargas son de tipos opuestos. Esto tiene sentido si se piensa en el cambio de la energía potencial $\text{Δ}U$ al acercar o alejar las dos cargas. Dependiendo de los tipos de carga relativos, puede que tenga que trabajar en el sistema o que el sistema haga el trabajo en usted, es decir, su trabajo es positivo o negativo. Si hay que hacer un trabajo positivo en el sistema (acercar las cargas), entonces la energía del sistema debería aumentar. Si acerca dos cargas positivas o dos cargas negativas, tiene que hacer un trabajo positivo en el sistema, lo que aumenta su energía potencial. Dado que la energía potencial es proporcional a 1/r, la energía potencial aumenta cuandor disminuye entre dos cargas positivas o dos negativas.

Por otro lado, si acerca una carga positiva y otra negativa, tiene que hacer un trabajo negativo sobre el sistema (las cargas tiran de usted), lo que significa que le quita energía al sistema. Esto reduce la energía potencial. Como la energía potencial es negativa en el caso de un par de cargas positivas y negativas, el aumento de 1/r hace que la energía potencial sea más negativa, lo que equivale a una reducción de la energía potencial.

El resultado de la Ejemplo 7.1 puede extenderse a sistemas con cualquier número arbitrario de cargas. En este caso, lo más conveniente es escribir la fórmula como

El factor de 1/2 tiene en cuenta la adición de cada par de cargas dos veces.