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Física Universitaria Volumen 2

7.1 Energía potencial eléctrica

Física Universitaria Volumen 27.1 Energía potencial eléctrica
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Definir el trabajo que realiza una fuerza eléctrica.
  • Definir energía potencial eléctrica.
  • Aplicar el trabajo y la energía potencial en sistemas con cargas eléctricas.

Cuando una carga positiva libre q es acelerada por un campo eléctrico, recibe energía cinética (Figura 7.2). El proceso es análogo al de un objeto que es acelerado por un campo gravitacional, como si la carga bajara por una colina eléctrica donde su energía potencial eléctrica se convierte en energía cinética, aunque, por supuesto, las fuentes de las fuerzas son muy diferentes. Exploremos el trabajo realizado sobre una carga q por el campo eléctrico en este proceso, para poder desarrollar una definición de energía potencial eléctrica.

La primera parte de la figura muestra dos placas cargadas, una positiva y otra negativa. Una carga positiva q se encuentra entre las placas y se desplaza del punto A al B. La segunda parte de la figura muestra una masa m rodando por una colina.
Figura 7.2 Una carga acelerada por un campo eléctrico es análoga a una masa que baja una colina. En ambos casos, la energía potencial disminuye a medida que aumenta la energía cinética, Δ U = Δ K Δ U = Δ K . El trabajo es realizado por una fuerza, pero como esta fuerza es conservativa, podemos escribir W = Δ U W = Δ U .

La fuerza electrostática o de Coulomb es conservativa, lo que significa que el trabajo realizado sobre q es independiente del camino recorrido, como demostraremos más adelante. Esto es exactamente análogo a la fuerza gravitacional. Cuando una fuerza es conservativa, es posible definir una energía potencial asociada a la fuerza. Suele ser más fácil trabajar con la energía potencial (porque solo depende de la posición) que calcular el trabajo directamente.

Para demostrarlo explícitamente, consideremos una carga eléctrica +q+q fija en el origen y mueve otra carga +Q+Q hacia q de manera que, en cada instante, la fuerza aplicada FF equilibra exactamente la fuerza eléctrica FeFe en Q (Figura 7.3). El trabajo realizado por la fuerza aplicada FF sobre la carga Q cambia la energía potencial de Q. Llamamos a esta energía potencial la energía potencial eléctrica de Q.

La figura muestra dos cargas positivas: la carga fija q y la carga de prueba móvil Q y las fuerzas sobre Q cuando se acerca a q, desde el punto P subíndice 1 al punto P subíndice 2.
Figura 7.3 Desplazamiento de la carga "de prueba" Q en presencia de una carga "fuente" fija q.

El trabajo W12W12 realizado por la fuerza aplicada FF cuando la partícula se mueve de P1P1 a P2P2 puede calcularse mediante

W12=P1P2F·dl.W12=P1P2F·dl.

Dado que la fuerza aplicada FF equilibra la fuerza eléctrica FeFe en Q, las dos fuerzas tienen igual magnitud y direcciones opuestas. Por lo tanto, la fuerza aplicada es

F=Fe=kqQr2r^,F=Fe=kqQr2r^,

donde hemos definido positivo para que apunte lejos del origen y r es la distancia al origen. Las direcciones del desplazamiento y de la fuerza aplicada en el sistema en la Figura 7.3 son paralelas, por lo que el trabajo realizado en el sistema es positivo.

Utilizamos la letra U para denotar la energía potencial eléctrica, que tiene unidades de julios (J). Cuando una fuerza conservativa realiza un trabajo negativo, el sistema gana energía potencial. Cuando una fuerza conservativa realiza un trabajo positivo, el sistema pierde energía potencial, ΔU=W.ΔU=W. En el sistema de la Figura 7.3, la fuerza de Coulomb actúa en sentido contrario al desplazamiento, por lo que el trabajo es negativo. Sin embargo, hemos aumentado la energía potencial en el sistema de dos cargas.

Ejemplo 7.1

Energía cinética de una partícula cargada

Una pieza de papel de aluminio de +3,0-nC+3,0-nC de carga Q está inicialmente en reposo a una distancia de 10 cm (r1r1) de un +5,0-nC+5,0-nC de carga q fija en el origen (Figura 7.4). Naturalmente, la fuerza de Coulomb acelera a Q para que se aleje de q, alcanzando finalmente los 15 cm (r2r2).
La figura muestra dos cargas positivas, q (+5,0nC) y Q (+3,0nC) y la fuerza de repulsión sobre Q, marcada como F subíndice e. Q se encuentra en el subíndice r 1 = 10cm y el vector F subíndice e está hacia el subíndice r 2 = 15cm.
Figura 7.4 La carga Q es repelida por q, por lo que se realiza un trabajo sobre ella y gana energía cinética.
  1. ¿Cuál es el trabajo realizado por el campo eléctrico entre r1r1 y r2r2?
  2. ¿Cuánta energía cinética tiene Q en r2r2?

Estrategia

Calcule el trabajo con la definición habitual. Como Q partía del reposo, es la misma que la energía cinética.

Solución

Integrando la fuerza sobre la distancia, obtenemos
W12=r1r2F·dr=r1r2kqQr2dr=[kqQr]r1r2=kqQ[−1r2+1r1]=(8,99×109Nm2/C2)(5,0×10−9C)(3,0×10−9C)[−10,15m+10,10m]=4,5×10−7J.W12=r1r2F·dr=r1r2kqQr2dr=[kqQr]r1r2=kqQ[−1r2+1r1]=(8,99×109Nm2/C2)(5,0×10−9C)(3,0×10−9C)[−10,15m+10,10m]=4,5×10−7J.

Este es también el valor de la energía cinética en r2.r2.

Importancia

La carga Q estaba inicialmente en reposo; el campo eléctrico de q realizó un trabajo sobre Q, por lo que ahora Q tiene una energía cinética igual al trabajo realizado por el campo eléctrico.

Compruebe Lo Aprendido 7.1

Si Q tiene una masa de 4,00μg,4,00μg, ¿cuál es la velocidad de Q en r2?r2?

En este ejemplo, el trabajo W realizado para acelerar una carga positiva desde el reposo es positivo y resulta de una pérdida en U, o un ΔUΔU. Se puede calcular un valor para U en cualquier punto tomando un punto como referencia y calculando el trabajo necesario para mover una carga al otro punto.

Energía potencial eléctrica

El trabajo W realizado para acelerar una carga positiva desde el reposo es positivo y resulta de una pérdida en U, o de un negativo ΔUΔU. Matemáticamente,

W=ΔU.W=ΔU.
7.1

La energía potencial gravitacional y la energía potencial eléctrica son bastante análogas. La energía potencial representa el trabajo realizado por una fuerza conservadora y ofrece una visión adicional sobre la energía y la transformación de la energía sin necesidad de tratar directamente la fuerza. Es mucho más común, por ejemplo, utilizar el concepto de energía potencial eléctrica que tratar la fuerza de Coulomb directamente en aplicaciones del mundo real.

En coordenadas polares con q en el origen y Q situado en r, el vector del elemento de desplazamiento es dl=r^drdl=r^dr y así el trabajo se convierte en

W12=kqQr1r21r2r^·r^dr=kqQ1r2kqQ1r1.W12=kqQr1r21r2r^·r^dr=kqQ1r2kqQ1r1.

Observe que este resultado solo depende de los puntos finales y que, por lo demás, es independiente del camino recorrido. Para profundizar en ello, compare la trayectoria P1P1 a P2P2 con ruta de acceso P1P3P4P2P1P3P4P2 en la Figura 7.5.

La figura muestra dos cargas positivas, q y Q, y la fuerza de repulsión sobre Q. Hay cuatro puntos P subíndice 1, P subíndice 2, P subíndice 3 y P subíndice 4 donde P subíndice 1, P subíndice 3, P subíndice 2 y P subíndice 4 forman dos segmentos concéntricos centrados en q. La fuerza sobre Q es perpendicular a la dirección del desplazamiento cuando Q se mueve de P subíndice 1 a P subíndice 3 o de P subíndice 3 a P subíndice 2.
Figura 7.5 Dos vías de desplazamiento P 1 P 1 a P 2 . P 2 . El trabajo en los segmentos P 1 P 3 P 1 P 3 y P 4 P 2 P 4 P 2 son cero debido a que la fuerza eléctrica es perpendicular al desplazamiento a lo largo de estas trayectorias. Por lo tanto, el trabajo en los caminos P 1 P 2 P 1 P 2 y P 1 P 3 P 4 P 2 P 1 P 3 P 4 P 2 son iguales.

Los segmentos P1P3P1P3 y P4P2P4P2 son arcos de círculos centrados en q. Dado que la fuerza sobre Q apunta hacia o lejos de q, no se realiza ningún trabajo por una fuerza que equilibre la fuerza eléctrica, porque es perpendicular al desplazamiento a lo largo de estos arcos. Por lo tanto, el único trabajo realizado es a lo largo del segmento P3P4,P3P4, que es idéntico a P1P2.P1P2.

Una implicación de este cálculo de trabajo es que si fuéramos a rodear el camino P1P3P4P2P1,P1P3P4P2P1, el trabajo neto sería cero (Figura 7.6). Recordemos que así se determina si una fuerza es conservadora o no. Por lo tanto, como la fuerza eléctrica está relacionada con el campo eléctrico por F=qEF=qE, el campo eléctrico es conservador en sí mismo. Eso es,

E·dl=0.E·dl=0.

Observe que Q es una constante.

La figura muestra dos cargas positivas, q y Q, y la fuerza de repulsión sobre Q. Hay cuatro puntos P subíndice 1, P subíndice 2, P subíndice 3 y P subíndice 4 donde P subíndice 1, P subíndice 3, P subíndice 2 y P subíndice 4 forman dos segmentos concéntricos centrados en q. La dirección de desplazamiento de Q es P subíndice 1, P subíndice 3, P subíndice 4, P subíndice 2, P subíndice 1.
Figura 7.6 Una trayectoria cerrada en un campo eléctrico. El trabajo neto alrededor de este camino es cero.

Otra implicación es que podemos definir una energía potencial eléctrica. Recordemos que el trabajo realizado por una fuerza conservativa se expresa también como la diferencia de energía potencial correspondiente a dicha fuerza. Por lo tanto, el trabajo WrefWref para llevar una carga desde un punto de referencia a un punto de interés puede escribirse como

Wref=rrefrF·dlWref=rrefrF·dl

y, según la Ecuación 7.1, la diferencia de energía potencial (U2U1)(U2U1) de la carga de prueba Q entre los dos puntos es

ΔU=rrefrF·dl.ΔU=rrefrF·dl.

Por lo tanto, podemos escribir una expresión general para la energía potencial de dos cargas puntuales (en coordenadas esféricas):

ΔU=rrefrkqQr2dr=[kqQr]rrefr=kqQ[1r1rref].ΔU=rrefrkqQr2dr=[kqQr]rrefr=kqQ[1r1rref].

Podemos tomar el segundo término como un nivel de referencia constante arbitrario, que sirve como referencia cero:

U(r)=kqQrUref.U(r)=kqQrUref.

Una elección conveniente de referencia que se basa en nuestro sentido común es que cuando las dos cargas están infinitamente alejadas, no hay interacción entre ellas (recuerde la discusión de la energía potencial de referencia en Energía potencial y conservación de la energía). Al tomar la energía potencial de este estado como cero, se elimina el término UrefUref de la ecuación (al igual que cuando decimos que el suelo es de energía potencial cero en un problema de energía potencial gravitacional), y la energía potencial de Q cuando se separa de q por una distancia r asume la forma

U(r)=kqQr(cero de referencia enr=).U(r)=kqQr(cero de referencia enr=).
7.2

Esta fórmula es simétrica con respecto a q y Q, por lo que se describe mejor como la energía potencial del sistema de dos cargas.

Ejemplo 7.2

Energía potencial de una partícula cargada

Una pieza de papel de aluminio de +3,0-nC+3,0-nC de carga Q está inicialmente en reposo a una distancia de 10 cm (r1r1) de un +50,0-nC+50,0-nC de carga q fija en el origen (Figura 7.7). Naturalmente, la fuerza de Coulomb acelera a Q para que se aleje de q, alcanzando finalmente los 15 cm (r2r2).
La figura muestra dos cargas positivas, q (+5,0nC) y Q (+3,0nC) y la fuerza de repulsión sobre Q, marcada como F subíndice e. Q se encuentra en el subíndice r 1 = 10cm y el vector F subíndice e está hacia el subíndice r 2 = 15cm.
Figura 7.7 La carga Q es repelida por q, por lo que se realiza un trabajo sobre ella y pierde energía potencial.

¿Cuál es el cambio en la energía potencial del sistema de dos cargas de r1r1 a r2?r2?

Estrategia

Calcule la energía potencial con la definición dada anteriormente ΔU12=r1r2F·dr.ΔU12=r1r2F·dr. Como Q partía del reposo, es la misma que la energía cinética.

Solución

Tenemos
ΔU12=r1r2F·dr=r1r2kqQr2dr=[kqQr]r1r2=kqQ[1r21r1]=(8,99×109Nm2/C2)(5,0×10−9C)(3,0×10−9C)[10,15m10,10m]=-4,5×10−7J.ΔU12=r1r2F·dr=r1r2kqQr2dr=[kqQr]r1r2=kqQ[1r21r1]=(8,99×109Nm2/C2)(5,0×10−9C)(3,0×10−9C)[10,15m10,10m]=-4,5×10−7J.

Importancia

El cambio en la energía potencial es negativo, como se esperaba, e igual en magnitud al cambio en la energía cinética en este sistema. Recordemos del Ejemplo 7.1 que el cambio de energía cinética fue positivo.

Compruebe Lo Aprendido 7.2

¿Cuál es la energía potencial de Q respecto a la referencia cero en el infinito en r2r2 en el ejemplo anterior?

Debido a la ley de Coulomb, las fuerzas debidas a múltiples cargas sobre una carga de prueba Q se superponen; pueden calcularse individualmente y luego sumarse. Esto implica que las integrales de trabajo y, por tanto, las energías potenciales resultantes presentan el mismo comportamiento. Para demostrarlo, consideramos un ejemplo de montaje de un sistema de cuatro cargas.

Ejemplo 7.3

Ensamblaje de cuatro cargas positivas

Calcule la cantidad de trabajo que debe realizar un agente externo para reunir cuatro cargas +2,0μC,+2,0μC,+3,0μC,+4,0μC,+3,0μC,+4,0μC, y +5,0μC+5,0μC en los vértices de un cuadrado de lado 1,0 cm, comenzando cada carga desde el infinito (Figura 7.8).
La figura muestra un cuadrado de 1,0cm de lado y cuatro cargas (2,0µC, 3,0µC, 4,0µC y 5,0µC) situadas en cuatro esquinas.
Figura 7.8 ¿Cuánto trabajo se necesita para montar esta configuración de carga?

Estrategia

Introducimos las cargas de una en una, dándoles ubicaciones iniciales en el infinito y calculando el trabajo para llevarlas desde el infinito hasta su ubicación final. Lo hacemos por orden de carga creciente.

Solución

Paso 1. Primero traiga +2,0-μC+2,0-μC de carga al origen. Dado que todavía no hay otras cargas a una distancia finita de esta carga, no se realiza ningún trabajo al traerla desde el infinito,
W1=0.W1=0.

Paso 2. Mientras se mantiene +2,0-μC+2,0-μC de carga fijada en el origen, lleve +3,0-μC+3,0-μC de carga a (x,y,z)=(1,0cm,0,0)(x,y,z)=(1,0cm,0,0) (Figura 7.9). Ahora, la fuerza aplicada debe realizar un trabajo contra la fuerza ejercida por +2,0-μC+2,0-μC de carga fija en el origen. El trabajo realizado es igual al cambio en la energía potencial +3,0-μC+3,0-μC de la carga:

W2=kq1q2r12=(9,0×109N·m2C2)(2,0×10−6C)(3,0×10−6C)1,0×10−2m=5,4J.W2=kq1q2r12=(9,0×109N·m2C2)(2,0×10−6C)(3,0×10−6C)1,0×10−2m=5,4J.
La figura muestra un cuadrado de 1,0cm de lado y dos cargas (2,0µC y 3,0µC) en las esquinas adyacentes.
Figura 7.9 Paso 2. Trabajo W 2 W 2 para llevar + 3,0 - μ C + 3,0 - μ C de carga desde el infinito.

Paso 3. Mientras se mantienen las cargas de +2,0μC+2,0μC y +3,0μC+3,0μC fijadas en sus lugares, triga +4,0-μC+4,0-μC de carga a (x,y,z)=(1,0cm,1,0cm,0)(x,y,z)=(1,0cm,1,0cm,0) (Figura 7.10). El trabajo realizado en este paso es

W3=kq1q3r13+kq2q3r23=(9,0×109N·m2C2)[(2,0×10−6C)(4,0×10−6C)2×10−2m+(3,0×10−6C)(4,0×10−6C)1,0×10−2m]=15,9J.W3=kq1q3r13+kq2q3r23=(9,0×109N·m2C2)[(2,0×10−6C)(4,0×10−6C)2×10−2m+(3,0×10−6C)(4,0×10−6C)1,0×10−2m]=15,9J.
La figura muestra un cuadrado de 1,0cm de lado y tres cargas (2,0µC, 3,0µC y 4,0µC) en tres esquinas.
Figura 7.10 Paso 3. El trabajo W 3 W 3 para llevar + 4,0 - μ C + 4,0 - μ C de carga desde el infinito.

Paso 4. Por último, manteniendo las tres primeras cargas en su sitio, lleva el +5,0-μC+5,0-μC de carga a (x,y,z)=(0,1,0cm,0)(x,y,z)=(0,1,0cm,0) (Figura 7.11). El trabajo realizado aquí es

W4=kq4[q1r14+q2r24+q3r34],=(9,0×109N·m2C2)(5,0×10−6C)[(2,0×10−6C)1,0×10−2m+(3,0×10−6C)2×10−2m+(4,0×10−6C)1,0×10−2m]=36,5J.W4=kq4[q1r14+q2r24+q3r34],=(9,0×109N·m2C2)(5,0×10−6C)[(2,0×10−6C)1,0×10−2m+(3,0×10−6C)2×10−2m+(4,0×10−6C)1,0×10−2m]=36,5J.
La figura muestra un cuadrado de 1,0cm de lado y cuatro cargas (2,0µC, 3,0µC, 4,0µC y 5,0µC) situadas en cuatro esquinas.
Figura 7.11 Paso 4. El trabajo W 4 W 4 para llevar + 5,0 - μ C + 5,0 - μ C de carga desde el infinito.

Por lo tanto, el trabajo total realizado por la fuerza aplicada en el ensamblaje de las cuatro cargas es igual a la suma del trabajo de llevar cada carga desde el infinito hasta su posición final:

WT=W1+W2+W3+W4=0+5,4J+15,9J+36,5J=57,8J.WT=W1+W2+W3+W4=0+5,4J+15,9J+36,5J=57,8J.

Importancia

El trabajo de cada carga depende únicamente de sus interacciones por pares con las demás cargas. No es necesario considerar interacciones más complicadas; el trabajo de la tercera carga solo depende de su interacción con la primera y la segunda carga, la interacción entre la primera y la segunda carga no afecta a la tercera.

Compruebe Lo Aprendido 7.3

¿La energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales es positiva o negativa si las cargas son del mismo signo? ¿Signos opuestos? ¿Cómo se relaciona esto con el trabajo necesario para acercar las cargas desde el infinito?

Observe que la energía potencial eléctrica es positiva si las dos cargas son del mismo tipo, positivo o negativo, y negativa si las dos cargas son de tipos opuestos. Esto tiene sentido si se piensa en el cambio de la energía potencial ΔUΔU al acercar o alejar las dos cargas. Dependiendo de los tipos de carga relativos, puede que tenga que trabajar en el sistema o que el sistema haga el trabajo en usted, es decir, su trabajo es positivo o negativo. Si hay que hacer un trabajo positivo en el sistema (acercar las cargas), entonces la energía del sistema debería aumentar. Si acerca dos cargas positivas o dos cargas negativas, tiene que hacer un trabajo positivo en el sistema, lo que aumenta su energía potencial. Dado que la energía potencial es proporcional a 1/r, la energía potencial aumenta cuandor disminuye entre dos cargas positivas o dos negativas.

Por otro lado, si acerca una carga positiva y otra negativa, tiene que hacer un trabajo negativo sobre el sistema (las cargas tiran de usted), lo que significa que le quita energía al sistema. Esto reduce la energía potencial. Como la energía potencial es negativa en el caso de un par de cargas positivas y negativas, el aumento de 1/r hace que la energía potencial sea más negativa, lo que equivale a una reducción de la energía potencial.

El resultado de la Ejemplo 7.1 puede extenderse a sistemas con cualquier número arbitrario de cargas. En este caso, lo más conveniente es escribir la fórmula como

W12N=k2iNjNqiqjrijparaij.W12N=k2iNjNqiqjrijparaij.
7.3

El factor de 1/2 tiene en cuenta la adición de cada par de cargas dos veces.

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