7.5 Superficies Equipotenciales y Conductores

Podemos representar los potenciales eléctricos (voltajes) de forma pictórica, al igual que hicimos dibujos para ilustrar los campos eléctricos. Esto no es sorprendente, ya que ambos conceptos están relacionados. Consideremos la Figura 7.30, que muestra una carga puntual positiva aislada y sus líneas de campo eléctrico que irradian desde una carga positiva y terminan en cargas negativas. Utilizamos flechas rojas para representar la magnitud y la dirección del campo eléctrico, y utilizamos líneas negras para representar los lugares donde el potencial eléctrico es constante. Se denominan superficies equipotenciales en tres dimensiones, o líneas equipotenciales en dos dimensiones. El término equipotencial también se utiliza como sustantivo, refiriéndose a una superficie o línea equipotencial. El potencial de una carga puntual es el mismo en cualquier lugar de una esfera imaginaria de radio r que rodea a la carga. Esto es cierto porque el potencial de una carga puntual viene dado por $V=kq\text{/}r$ y, por tanto, tiene el mismo valor en cualquier punto que esté a una determinada distancia r de la carga. Una esfera equipotencial es un círculo en la vista bidimensional de la Figura 7.30. Como las líneas de campo eléctrico apuntan radialmente lejos de la carga, son perpendiculares a las líneas equipotenciales.

Figura 7.30 Una carga puntual aislada Q con sus líneas de campo eléctrico en rojo y las líneas equipotenciales en negro. El potencial es el mismo a lo largo de cada línea equipotencial, lo que significa que no se requiere ningún trabajo para mover una carga en cualquier lugar a lo largo de una de esas líneas. Se necesita trabajo para mover una carga de una línea equipotencial a otra. Las líneas equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico en todos los casos. Para una versión tridimensional, explore el primer enlace multimedia.

Es importante señalar que las líneas equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de campo eléctrico. No se requiere ningún trabajo para mover una carga a lo largo de un equipotencial, ya que $\text{Δ}V=0$. Así, el trabajo es

El trabajo es cero si la dirección de la fuerza es perpendicular al desplazamiento. La fuerza está en la misma dirección que E, por lo que el movimiento a lo largo de un equipotencial debe ser perpendicular a E. Más precisamente, el trabajo está relacionado con el campo eléctrico por

Observe que en esta ecuación, E y F simbolizan las magnitudes del campo eléctrico y la fuerza, respectivamente. Ni q ni E son cero; d tampoco es cero. Así que $\text{cos}\theta$ debe ser 0, es decir $\theta$ debe ser $90\text{º}$. En otras palabras, el movimiento a lo largo de un equipotencial es perpendicular a E.

Una de las reglas para los campos eléctricos estáticos y los conductores es que el campo eléctrico debe ser perpendicular a la superficie de cualquier conductor. Esto implica que un conductor es una superficie equipotencial en situaciones estáticas. No puede haber una diferencia de voltaje a través de la superficie de un conductor, o las cargas fluirán. Uno de los usos de este hecho es que un conductor puede fijarse en lo que consideramos cero voltios conectándolo a la tierra con un buen conductor, un proceso que se llama puesta a tierra. La puesta a tierra puede ser una herramienta de seguridad útil. Por ejemplo, la puesta a tierra de la capa de metal de un aparato eléctrico garantiza que esté a cero voltios con respecto a la Tierra.

Como un conductor es un equipotencial, puede sustituir a cualquier superficie equipotencial. Por ejemplo, en la Figura 7.30, un conductor esférico cargado puede sustituir a la carga puntual, y el campo eléctrico y las superficies de potencial fuera de él no cambiarán, confirmando la afirmación de que una distribución de carga esférica es equivalente a una carga puntual en su centro.

La Figura 7.31 muestra el campo eléctrico y las líneas equipotenciales para dos cargas iguales y opuestas. Dadas las líneas de campo eléctrico, las líneas equipotenciales se pueden trazar simplemente haciéndolas perpendiculares a las líneas de campo eléctrico. A la inversa, dadas las líneas equipotenciales, como en la Figura 7.32(a), las líneas de campo eléctrico pueden dibujarse haciéndolas perpendiculares a los equipotenciales, como en la Figura 7.32(b).

Figura 7.31 Las líneas de campo eléctrico y las líneas equipotenciales para dos cargas iguales pero opuestas. Las líneas equipotenciales se pueden dibujar haciéndolas perpendiculares a las líneas de campo eléctrico, si se conocen. Observe que el potencial es mayor (más positivo) cerca de la carga positiva y menor (más negativo) cerca de la carga negativa. Para una versión tridimensional, explore el primer enlace multimedia.

Figura 7.32 (a) Estas líneas equipotenciales podrían medirse con un voltímetro en un experimento de laboratorio. (b) Las líneas de campo eléctrico correspondientes se encuentran dibujándolas perpendicularmente a los equipotenciales. Observe que estos campos son consistentes con dos cargas negativas iguales. Para una versión tridimensional, juegue con el primer enlace multimedia.

Para mejorar su intuición, mostramos una variante tridimensional del potencial en un sistema con dos cargas opuestas. La Figura 7.33 muestra un mapa tridimensional del potencial eléctrico, donde las líneas del mapa corresponden a superficies equipotenciales. La colina está en la carga positiva, y la depresión en la carga negativa. El potencial es cero lejos de las cargas. Observe que el corte a un determinado potencial implica que las cargas están en esferas conductoras de radio finito.

Figura 7.33 Mapa de potencial eléctrico de dos cargas opuestas de igual magnitud en esferas conductoras. El potencial es negativo cerca de la carga negativa y positivo cerca de la carga positiva.

En la Figura 7.34se muestra un mapa bidimensional del plano de la sección transversal que contiene ambas cargas. La línea equdistante de las dos cargas opuestas corresponde al potencial cero, ya que en los puntos de la línea, el potencial positivo de la carga positiva anula el potencial negativo de la carga negativa. Las líneas equipotenciales en el plano transversal son bucles cerrados, que no son necesariamente círculos, ya que en cada punto, el potencial neto es la suma de los potenciales de cada carga.

Figura 7.34 Sección transversal del mapa de potencial eléctrico de dos cargas opuestas de igual magnitud. El potencial es negativo cerca de la carga negativa y positivo cerca de la carga positiva.

Uno de los casos más importantes es el de las conocidas placas conductoras paralelas que se muestran en la Figura 7.35. Entre las placas, los equipotenciales están uniformemente espaciados y paralelos. Se podría mantener el mismo campo colocando placas conductoras en las líneas equipotenciales a los potenciales indicados.

Figura 7.35 El campo eléctrico y las líneas equipotenciales entre dos placas de metal. Observe que el campo eléctrico es perpendicular a los equipotenciales y, por tanto, normal a las placas tanto en su superficie como en el centro de la región entre ellas.

Consideremos las placas paralelas en la Figura 7.2. Estas tienen líneas equipotenciales que son paralelas a las placas en el espacio entre ellas y uniformemente espaciadas. Un ejemplo de ello (con valores de muestra) se ofrece en la Figura 7.35. Podríamos dibujar un conjunto similar de isolíneas equipotenciales para la gravedad en la colina que se muestra en la Figura 7.2. Si la colina tiene alguna extensión con la misma pendiente, las isolíneas a lo largo de esa extensión serían paralelas entre sí. Además, en las regiones de pendiente constante, las isolíneas estarían espaciadas uniformemente. Un ejemplo de líneas topográficas reales se muestra en la Figura 7.36.

Figura 7.36 Un mapa topográfico a lo largo de una cresta tiene líneas de elevación aproximadamente paralelas, similares a las líneas equipotenciales en la Figura 7.35. (a) Un mapa topográfico de la Torre del Diablo, Wyoming. Las líneas que están muy juntas indican un terreno muy escarpado. (b) Una foto en perspectiva de la Torre del Diablo muestra lo escarpados que son sus lados. Observe que la parte superior de la torre tiene la misma forma que el centro del mapa topográfico.

Ejemplo 7.20

Diferencia de potencial entre placas paralelas con carga opuesta

Dos grandes placas conductoras llevan cargas iguales y opuestas, con una densidad de carga superficial $\sigma$ de magnitud $\mathrm{6,81}\times {10}^{\mathrm{-7}}{\text{C/m}}^2,$ como se muestra en la Figura 7.37. La separación entre las placas es $l=\mathrm{6,50}\text{mm}$. (a) ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas? (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? (c) ¿Cuál es la distancia entre planos equipotenciales que difieren en 100 V?

Figura 7.37 El campo eléctrico entre placas paralelas con carga opuesta. Una parte se libera en la placa positiva.

Estrategia

(a) Como las placas se describen como "grandes" y la distancia entre ellas no lo es, aproximaremos cada una de ellas como un plano infinito y aplicaremos el resultado de la ley de Gauss del capítulo anterior.

(b) Utilice $\text{Δ}{V}_{AB}=\text{−}{\displaystyle {\int }_A^B\overrightarrow{\text{E}}·d\overrightarrow{\text{l}}}$.

(c) Dado que el campo eléctrico es constante, halle la relación entre 100 V y la diferencia de potencial total; luego calcule esta fracción de la distancia.

Solución

1. El campo eléctrico se dirige desde la placa positiva a la negativa como se muestra en la figura, y su magnitud viene dada por
   $$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}=\frac{\mathrm{6,81}\times {10}^{\mathrm{-7}}{\text{C/m}}^2}{\mathrm{8,85}\times {10}^{\mathrm{-12}}{\text{C}}^2\text{/}\text{N}·{\text{m}}^2}=\mathrm{7,69}\times {10}^4\text{V/m}\text{.}$$
2. Para calcular la diferencia de potencial $\text{Δ}V$ entre las placas, utilizamos un camino desde la placa negativa a la positiva que está dirigido contra el campo. El vector de desplazamiento $d\overrightarrow{\text{l}}$ y el campo eléctrico $\overrightarrow{\text{E}}$ son antiparalelos por lo que $\overrightarrow{\text{E}}·d\overrightarrow{\text{l}}=\text{−}Edl.$ La diferencia de potencial entre las placas positiva y la negativa es entonces
   $$\text{Δ}V=\text{−}{\displaystyle \int E·dl=E{\displaystyle \int dl=El}}=(\mathrm{7,69}\times {10}^4\text{V/m})(\mathrm{6,50}\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{m})=500\text{V}\text{.}$$
3. La diferencia de potencial total es de 500 V, por lo que 1/5 de la distancia entre las placas será la distancia entre diferencias de potencial de 100 V. La distancia entre las placas es de 6,5 mm, por lo que habrá 1,3 mm entre diferencias de potencial de 100 V.

Importancia

Ahora ha visto un cálculo numérico de las localizaciones de los equipotenciales entre dos placas paralelas cargadas.

Distribución de las cargas en los conductores

En el Ejemplo 7.19 con una carga puntual, encontramos que las superficies equipotenciales tenían forma de esferas, con la carga puntual en el centro. Dado que una esfera conductora en equilibrio electroestático es una superficie equipotencial esférica, deberíamos esperar que pudiéramos sustituir una de las superficies en el Ejemplo 7.19 por una esfera conductora y tener una solución idéntica fuera de la esfera. Sin embargo, el interior será bastante diferente.

Figura 7.38 Una esfera conductora aislada.

Para investigar esto, considere la esfera conductora aislada de la Figura 7.38 que tiene un radio R y un exceso de carga q. Para hallar el campo eléctrico tanto dentro como fuera de la esfera, hay que tener en cuenta que la esfera está aislada, por lo que su distribución de cambios en la superficie y el campo eléctrico de esa distribución son esféricamente simétricos. Por lo tanto, podemos representar el campo como $\overrightarrow{\text{E}}=E(r)\widehat{\text{r}}.$ Para calcular E(r), aplicamos la ley de Gauss sobre una superficie esférica cerrada S de radio r que es concéntrica con la esfera conductora. Dado que r es constante y $\widehat{\text{n}}=\widehat{\text{r}}$ en la esfera,

$${\displaystyle \underset{S}{\oint }\overrightarrow{\text{E}}·\widehat{\text{n}}}da=E(r){\displaystyle \oint da}=E(r)4\pi r^2.$$

Para $r<R$, S está dentro del conductor, por lo que recordemos de nuestro estudio anterior de la ley de Gauss que $q_{\text{enc}}=0$ y la ley de Gauss da $E\left(r\right)=0$, como se espera dentro de un conductor en equilibrio. Si $r>R$, S encierra el conductor de manera que $q_{\text{enc}}=q.$ De la ley de Gauss,

$$E(r)4\pi r^2=\frac{q}{{\epsilon }_0}.$$

Por lo tanto, el campo eléctrico de la esfera puede escribirse como

$$\begin{array}{ccccc}E\hfill & =\hfill & 0\hfill & & (r<R),\hfill \\ E\hfill & =\hfill & \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\widehat{\text{r}}\hfill & & (r\ge R).\hfill \end{array}$$

Como se esperaba, en la región $r\ge R,$ el campo eléctrico debido a una carga q situada en una esfera conductora aislada de radio R es idéntico al campo eléctrico de una carga puntual q situada en el centro de la esfera.

Para hallar el potencial eléctrico dentro y fuera de la esfera, observe que para $r\ge R,$ el potencial debe ser el mismo que el de una carga puntual aislada q situada en $r=0$,

$$V(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}(r\ge R)$$

simplemente debido a la similitud del campo eléctrico.

Para $r<R,E=0,$ por lo que V(r) es constante en esta región. Dado que $V(R)=q\text{/}4\pi {\epsilon }_{0}R,$

$$V(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{R}(r<R).$$

Utilizaremos este resultado para demostrar que

$${\sigma }_1{R}_1={\sigma }_2{R}_2,$$

para dos esferas conductoras de radios $R_1\text{y}{R}_2$, con densidades de carga superficial ${\sigma }_1\text{y}{\sigma }_2$ respectivamente, que están conectadas por un cable fino, como se muestra en la Figura 7.39. Las esferas están suficientemente separadas para que cada una pueda ser tratada como si estuviera aislada (aparte del cable). Observe que la conexión por el cable significa que todo este sistema debe ser equipotencial.

Figura 7.39 Dos esferas conductoras están conectadas por un fino cable conductor.

Acabamos de ver que el potencial eléctrico en la superficie de una esfera conductora aislada y cargada de radio R es

$$V=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{R}.$$

Ahora, las esferas están conectadas por un conductor y en consecuencia están al mismo potencial; por lo tanto

$$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1}{R_1}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_2}{R_2},$$

y

$$\frac{q_1}{R_1}=\frac{q_2}{R_2}.$$

La carga neta de una esfera conductora y su densidad de carga superficial están relacionadas por $q=\sigma (4\pi R^2).$ Sustituyendo esta ecuación en la anterior, hallamos que

$${\sigma }_1{R}_1={\sigma }_2{R}_2.$$

Evidentemente, dos esferas conectadas por un cable fino no constituyen un conductor típico con un radio de curvatura variable. Sin embargo, este resultado proporciona al menos una idea cualitativa de cómo varía la densidad de carga en la superficie de un conductor. La ecuación indica que donde el radio de curvatura es grande (puntos B y D en la Figura 7.40), $\sigma$ y E son pequeños.

Del mismo modo, las cargas tienden a ser más densas allí donde la curvatura de la superficie es mayor, como demuestra la distribución de cargas en el metal de forma extraña (Figura 7.40). La densidad de carga superficial es mayor en los lugares con un radio de curvatura pequeño que en los lugares con un radio de curvatura grande.

Figura 7.40 La densidad de carga superficial y el campo eléctrico de un conductor son mayores en las regiones con radios de curvatura más pequeños.

Una aplicación práctica de este fenómeno es el pararrayos, que no es más que una barra de metal conectada a tierra con un extremo afilado que apunta hacia arriba. Como la carga positiva se acumula en el suelo debido a una nube cargada negativamente en lo alto, el campo eléctrico alrededor del punto agudo se hace muy grande. Cuando el campo alcanza un valor de aproximadamente $\mathrm{3,0}\times {10}^6\text{N/C}$ (la resistencia dieléctrica del aire), los iones libres del aire se aceleran hasta alcanzar energías tan altas que sus colisiones con las moléculas de aire realmente ionizan las moléculas. Los electrones libres resultantes en el aire fluyen entonces a través de la varilla hacia la Tierra, neutralizando así parte de la carga positiva. Esto evita que el campo eléctrico entre la nube y el suelo sea lo suficientemente grande como para producir un rayo en la región que rodea al pararrayos.

Una importante aplicación de los campos eléctricos y las líneas equipotenciales es el corazón. El corazón depende de las señales eléctricas para mantener su ritmo. El movimiento de las señales eléctricas hace que las cámaras del corazón se contraigan y se relajen. Cuando una persona sufre un infarto, el movimiento de estas señales eléctricas puede verse alterado. Se puede utilizar un marcapasos artificial y un desfibrilador para iniciar el ritmo de las señales eléctricas. Las líneas equipotenciales alrededor del corazón, su eje y la región torácica son formas útiles de controlar la estructura y las funciones del corazón. Un electrocardiograma (ECG) mide las pequeñas señales eléctricas que se generan durante la actividad del corazón.

Interactivo

Juegue con esta simulación para mover cargas puntuales en el campo de juego y luego ver el campo eléctrico, los voltajes, las líneas equipotenciales y mucho más.