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Física Universitaria Volumen 2

2.1 Modelo molecular de un gas ideal

Física Universitaria Volumen 22.1 Modelo molecular de un gas ideal
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Aplicar la ley de los gases ideales a situaciones relacionadas con la presión, el volumen, la temperatura y el número de moléculas de un gas.
  • Utilizar la unidad de moles en relación con el número de moléculas y las masas moleculares y macroscópicas.
  • Explicar la ley de los gases ideales en términos de moles y no de número de moléculas.
  • Aplicar la ley del gas de van der Waals a situaciones en las que la ley de los gases ideales es inadecuada.

En esta sección exploramos el comportamiento térmico de los gases. Nuestra palabra “gas” proviene del término flamenco que significa “caos”, utilizado por primera vez para los vapores por el químico del siglo XVII J. B. van Helmont. El término era más apropiado de lo que él sabía, ya que los gases están formados por moléculas que se mueven y chocan entre sí al azar. Esta aleatoriedad hace que la conexión entre los dominios microscópicos y macroscópicos sea más sencilla para gases que para líquidos o sólidos.

¿En qué se diferencian los gases de los sólidos y los líquidos? En condiciones ordinarias, como las del aire que nos rodea, la diferencia es que las moléculas de los gases están mucho más separadas que las de los sólidos y líquidos. Dado que las distancias típicas entre las moléculas son grandes en comparación con el tamaño de una molécula, como se ilustra en la Figura 2.2, las fuerzas entre ellas se consideran insignificantes, excepto cuando entran en contacto entre sí durante colisiones. Además, a temperaturas muy superiores a la de ebullición, el movimiento de las moléculas es rápido y los gases se expanden rápidamente para ocupar todo el volumen accesible. En cambio, en líquidos y sólidos, las moléculas están más juntas y su comportamiento está muy condicionado por las interacciones entre ellas. Las propiedades macroscópicas de estas sustancias dependen en gran medida de las fuerzas entre las moléculas y, dado que muchas moléculas interactúan, los “problemas de muchos cuerpos” resultantes pueden ser extremadamente complicados (vea la sección Física de la materia condensada).

Esta figura ilustra el movimiento de los átomos en un gas. Los átomos se ilustran como pequeñas esferas, muy separadas entre sí. Sus velocidades están representadas por flechas. Las distintas velocidades tienen direcciones diferentes y aleatorias y tienen distintas longitudes.
Figura 2.2 Los átomos y las moléculas de un gas suelen estar muy separados. Como las fuerzas entre ellos son bastante débiles a estas distancias, las propiedades de un gas dependen más del número de átomos por unidad de volumen y de la temperatura que del tipo de átomo.

Las leyes de los gases

En el capítulo anterior vimos una consecuencia del gran espacio intermolecular en los gases: los gases se comprimen fácilmente. En la Tabla 1.2 se muestra que los gases tienen mayores coeficientes de dilatación volumétrica que los sólidos o los líquidos. Estos grandes coeficientes significan que los gases se expanden y se contraen muy rápidamente con los cambios de temperatura. También vimos (en la sección sobre dilatación térmica) que la mayoría de los gases se expanden a la misma velocidad o tienen el mismo coeficiente de expansión (dilatación) volumétrica, ββ. Esto plantea una pregunta: ¿por qué todos los gases actúan casi de la misma manera, cuando todos los líquidos y sólidos tienen tasas de expansión muy diferentes?

Para estudiar cómo se relacionan la presión, la temperatura y el volumen de un gas considere lo que ocurre cuando bombea aire en un neumático de automóvil desinflado. El volumen del neumático aumenta primero en proporción directa a la cantidad de aire inyectado, sin que aumente mucho la presión del neumático. Una vez que el neumático se ha expandido hasta casi su tamaño total, las paredes del neumático limitan su expansión de volumen. Si seguimos bombeando aire en el neumático, la presión aumenta. Cuando el automóvil se pone en marcha y los neumáticos se flexionan, su temperatura aumenta y, por tanto, la presión aumenta aun más (Figura 2.3).

La figura tiene tres partes, cada una de las cuales muestra un neumático conectado a un manómetro al principio y al final de una etapa de inflado del neumático y muestra las presiones P y P primo respectivamente. En la parte a, la presión de los neumáticos es inicialmente cero. Después de añadir un poco de aire, representado por una flecha identificada como añadir aire, la presión se eleva ligeramente por encima de cero. En la parte b, la presión de los neumáticos está inicialmente a la mitad. Después de añadir un poco de aire, representado por una flecha identificada como añadir aire, la presión sube hasta la marca de los tres cuartos. En la parte c, la presión de los neumáticos está inicialmente en la marca de los tres cuartos. Después de aumentar la temperatura, representada por una flecha identificada como aumento de temperatura, la presión aumenta hasta casi la marca completa.
Figura 2.3 (a) Cuando se bombea aire en un neumático desinflado, su volumen aumenta primero sin que aumente mucho la presión. (b) Cuando el neumático se llena hasta cierto punto, las paredes del neumático se resisten a seguir expandiéndose y la presión aumenta con más aire. (c) Una vez que el neumático está inflado, su presión aumenta con la temperatura.

En la Figura 2.4 se muestran datos de los experimentos de Robert Boyle (1627-1691) que ilustran lo que hoy se llama la ley de Boyle: a temperatura y número de moléculas constantes, la presión absoluta de un gas y su volumen son inversamente proporcionales (recordemos de la sección Mecánica de fluidos que la presión absoluta es la presión real y la presión manométrica es la presión absoluta menos la presión ambiental, normalmente la presión atmosférica). El gráfico de la Figura 2.4 muestra esta relación como una proporcionalidad inversa del volumen a la presión.

Esta figura es un gráfico del volumen (en unidades arbitrarias) en el eje vertical como una función de uno sobre la presión (en pulgadas de mercurio inversas) en el eje horizontal. La escala horizontal va de 0 a 0,04. La escala vertical va de 0 a 60. El gráfico muestra puntos de datos que parecen situarse en una línea recta, comienza con una presión inversa de 0,008 pulgadas inversas de mercurio y un volumen de 11, aproximadamente, y termina con una presión inversa de algo menos de 0,035 pulgadas inversas de mercurio y un volumen de algo menos de 50. Los puntos de datos están muy espaciados en el extremo inferior y se alejan a medida que aumentan la presión y el volumen inversos.
Figura 2.4 Robert Boyle y su ayudante descubrieron que el volumen y la presión son inversamente proporcionales. Aquí sus datos se trazan como V versus 1/p; la linealidad del gráfico muestra la proporcionalidad inversa. El número que aparece como volumen es en realidad la altura en pulgadas del aire en un tubo de vidrio cilíndrico. El volumen real era esa altura multiplicada por el área de la sección transversal del tubo, lo cual Boyle no publicó. Los datos proceden del libro de Boyle A Defence of the Doctrine Touching the Spring and Weight of the Air..., p. 60.1

La Figura 2.5 muestra datos experimentales que ilustran la llamada ley de Charles, en honor a Jacques Charles (1746-1823). La ley de Charles establece que a presión y número de moléculas constantes, el volumen de un gas es proporcional a su temperatura absoluta.

Esta figura es un gráfico del volumen (en unidades arbitrarias) en el eje vertical como una función de temperatura (en kelvin) en el eje horizontal. La escala horizontal va de 0 a 350 K y la vertical de 0 a 140. Se muestran nueve puntos de datos. Los puntos de datos se sitúan en una línea recta y están espaciados uniformemente. Los datos abarcan desde 273 K y un volumen de 108 hasta 313 K y un volumen de 123. Se dibuja una línea identificada como línea extrapolada de mejor ajuste a través de los datos y de vuelta a 0 K. La línea golpea el eje vertical justo por encima del origen.
Figura 2.5 Datos experimentales que demuestran que, a presión constante, el volumen es aproximadamente proporcional a la temperatura. La línea de mejor ajuste pasa aproximadamente por el origen.2

Algo parecido ocurre con la ley de Amonton o ley de Gay-Lussac, la cual establece que a volumen y número de moléculas constantes, la presión es proporcional a la temperatura. Esta ley es la base del termómetro de gas a volumen constante, del que se habló en el capítulo anterior (Las historias de estas leyes y el crédito apropiado para ellas son más complicadas de lo que se puede analizar aquí).

Se sabe experimentalmente que para gases a baja densidad (de manera que sus moléculas ocupan una fracción insignificante del volumen total) y a temperaturas muy superiores al punto de ebullición estas proporciones se mantienen con una buena aproximación. No es de extrañar que, manteniendo constantes las demás magnitudes, la presión o el volumen sean proporcionales al número de moléculas. Y lo que es más sorprendente, cuando las proporcionalidades se combinan en una sola ecuación, la constante de proporcionalidad es independiente de la composición del gas. La ecuación resultante para todos los gases se aplica en el límite de baja densidad y alta temperatura; es la misma para el oxígeno que para el helio o el hexafluoruro de uranio. Un gas en ese límite se llama gas ideal; obedece a la ley de los gases ideales, que también se llama ecuación de estado de un gas ideal.

Ley de los gases ideales

La ley de los gases ideales establece que

pV=NkBT,pV=NkBT,
2.1

donde p es la presión absoluta de un gas, V es el volumen que ocupa, N es el número de moléculas del gas y T es su temperatura absoluta.

La constante kBkB se denomina constante de Boltzmann en honor al físico austriaco Ludwig Boltzmann (1844-1906) y tiene el valor

kB=1,38×10−23J/K.kB=1,38×10−23J/K.

La ley de los gases ideales describe el comportamiento de cualquier gas real cuando su densidad es lo suficientemente baja o su temperatura lo suficientemente alta como para estar lejos de la licuefacción. Esto abarca muchas situaciones prácticas. En la siguiente sección veremos por qué es independiente del tipo de gas.

En muchas situaciones, la ley de los gases ideales se aplica a una muestra de gas con un número constante de moléculas; por ejemplo, el gas puede estar en un recipiente sellado. Si N es constante, entonces la resolución de N muestra que pV /T es constante. Podemos escribir este hecho en una forma conveniente:

p1V1T1=p2V2T2,p1V1T1=p2V2T2,
2.2

donde los subíndices 1 y 2 se refieren a dos estados cualesquiera del gas en momentos diferentes. De nuevo, la temperatura debe expresarse en kelvin y la presión debe ser la presión absoluta, que es la suma de la presión manométrica y la presión atmosférica.

Ejemplo 2.1

Calcular cambios de presión debido a cambios de temperatura

Suponga que el neumático de su bicicleta está totalmente inflado, con una presión absoluta de 7,00×105Pa7,00×105Pa (una presión manométrica de algo menos de 90,0lb/in.290,0lb/in.2) a una temperatura de 18,0°C.18,0°C. ¿Cuál es la presión después de que su temperatura haya subido a 35,0°C35,0°C en un día caluroso? Suponga que no hay fugas apreciables ni cambios de volumen.

Estrategia

La presión en el neumático cambia solamente por los cambios de temperatura. Conocemos la presión inicial p0=7,00×105Pa,p0=7,00×105Pa, la temperatura inicial T0=18,0°C,T0=18,0°C, y la temperatura final Tf=35,0°C.Tf=35,0°C. Debemos calcular la presión final pf.pf. Como el número de moléculas es constante, podemos utilizar la ecuación
pfVfTf=p0V0T0.pfVfTf=p0V0T0.

Como el volumen es constante, VfVf y V0V0 son los mismos y se dividen. Por lo tanto,

pfTf=p0T0.pfTf=p0T0.

Podemos entonces reordenar esto para despejar pf:pf:

pf=p0TfT0,pf=p0TfT0,

donde la temperatura debe estar en kelvin.

Solución

  1. Convertir temperaturas de grados Celsius a kelvin
    T0=(18,0+273)K=291K,T0=(18,0+273)K=291K,
    Tf=(35,0+273)K=308K.Tf=(35,0+273)K=308K.
  2. Sustituya los valores conocidos en la ecuación,
    pf=p0TfT0=7,00×105Pa(308K291K)=7,41×105Pa.pf=p0TfT0=7,00×105Pa(308K291K)=7,41×105Pa.

Importancia

La temperatura final es cerca de 6%6% mayor que la temperatura original, por lo que la presión final es cerca de 6%6% mayor también. Tome en cuenta que en la ley de los gases ideales hay que utilizar la presión absoluta (ver Mecánica de fluidos) y la temperatura absoluta (ver Temperatura y calor).

Ejemplo 2.2

Calcular el número de moléculas en un metro cúbico de gas

¿Cuántas moléculas hay en un objeto típico, como el gas en un neumático o el agua en un vaso? Este cálculo puede darnos una idea de lo grande que suele ser N. Calculemos el número de moléculas en el aire que un adulto joven y sano típico inhala en una respiración, con un volumen de 500 mL, a temperatura y presión estándar (STP), que se define como 0°C0°C y presión atmosférica (nuestro joven adulto está aparentemente afuera en invierno).

Estrategia

Como la presión, el volumen y la temperatura están especificados, podemos utilizar la ley de los gases ideales, pV=NkBT,pV=NkBT, para calcular a N.

Solución

  1. Identifique los aspectos conocidos.
    T=0°C=273K,p=1,01×105Pa,V=500mL=5×10−4m3,kB=1,38×10−23J/KT=0°C=273K,p=1,01×105Pa,V=500mL=5×10−4m3,kB=1,38×10−23J/K
  2. Sustituya los valores conocidos en la ecuación y despeje N.
    N=pVkBT=(1,01×105Pa)(5×10−4m3)(1,38×10−23J/K)(273K)=1,34×1022moléculasN=pVkBT=(1,01×105Pa)(5×10−4m3)(1,38×10−23J/K)(273K)=1,34×1022moléculas

Importancia

N es enorme, incluso en volúmenes pequeños. Por ejemplo, 1cm31cm3 de un gas a STP contiene 2,68×10192,68×1019 moléculas. Una vez más, note que nuestro resultado para N es el mismo para todos los tipos de gases, incluidas las mezclas.

Como observamos en el capítulo sobre mecánica de fluidos, los pascales son N/m2N/m2, así que Pa·m3=N·m=J.Pa·m3=N·m=J. Así, nuestro resultado para N es adimensional, un número puro que se podría obtener contando (en principio) en vez de midiendo. Como se trata del número de moléculas, ponemos “moléculas” después del número, teniendo en cuenta que es una ayuda para la comunicación más que una unidad.

Moles y número de Avogadro

A menudo es conveniente medir la cantidad de sustancia con una unidad a escala más humana que las moléculas. La unidad del SI para este fin fue desarrollada por el científico italiano Amedeo Avogadro (1776-1856) (trabajó a partir de la hipótesis de que volúmenes iguales de gas a igual presión y temperatura contienen igual número de moléculas, independientemente del tipo de gas. Como se ha mencionado anteriormente, esta hipótesis se ha confirmado cuando se aplica la aproximación del gas ideal). Un mol se define como la cantidad de cualquier sustancia que contiene tantas moléculas como átomos hay en exactamente 12 gramos (0,012 kg) de carbono-12 (técnicamente, deberíamos decir “unidades de fórmula”, no “moléculas”, pero esta distinción es irrelevante para nuestros fines). El número de moléculas en un mol se llama número de Avogadro (NA),(NA), y ahora se sabe que el valor del número de Avogadro es

NA=6,02×1023mol−1.NA=6,02×1023mol−1.

Ahora podemos escribir N=NAnN=NAn, donde n representa el número de moles de una sustancia.

El número de Avogadro relaciona la masa de una cantidad de sustancia en gramos con el número de protones y neutrones de un átomo o molécula (12 para un átomo de carbono-12), que determinan aproximadamente su masa. Es natural definir una unidad de masa tal que la masa de un átomo sea aproximadamente igual a su número de neutrones y protones. La unidad de este tipo aceptada para su uso con el SI es la unidad de masa atómica unificada (u), también llamada dalton. En concreto, un átomo de carbono-12 tiene una masa de exactamente 12 u, de modo que su masa molar M en gramos por mol es numéricamente igual a la masa de un átomo de carbono-12 en u. Esa igualdad es válida para cualquier sustancia. En otras palabras, NANA no es solo la conversión de números de moléculas a moles, sino también la conversión de u a gramos: 6,02×1023u=1g.6,02×1023u=1g. Vea la Figura 2.6.

La ilustración muestra un terreno relativamente llano con una montaña solitaria, identificada como “monte Everest a escala”, y un cielo azul muy por encima de la cima de la montaña. Una flecha vertical de dos puntas, identificada como “pelotas de tenis de mesa”, se extiende entre la tierra y el cielo.
Figura 2.6 ¿Qué tamaño tiene un mol? A nivel macroscópico, el número de pelotas de tenis de mesa de Avogadro cubriría la Tierra hasta una profundidad de unos 40 km.

Ahora, dejando que msms represente la masa de una muestra de una sustancia, tenemos ms=nM.ms=nM. Si m representa la masa de una molécula, tenemos M=NAm.M=NAm.

Compruebe Lo Aprendido 2.1

La cantidad diaria recomendada de vitamina B3B3, o niacina, C6NH5O2,C6NH5O2, para mujeres que no están embarazadas ni amamantando, es de 14 mg. Calcule el número de moléculas de niacina en esa cantidad.

Compruebe Lo Aprendido 2.2

La densidad del aire en un aula (p=1,00atm(p=1,00atm y T=20°C)T=20°C) es de 1,28kg/m31,28kg/m3. ¿A qué presión es la densidad 0,600kg/m30,600kg/m3 si la temperatura se mantiene constante?

La ley de los gases ideales reformulada con uso de moles

Una expresión muy común de la ley de los gases ideales utiliza el número de moles en una muestra, n, en vez del número de moléculas, N. Partimos de la ley de los gases ideales,

pV=NkBT,pV=NkBT,

y de multiplicar y dividir el lado derecho de la ecuación por y entre el número de Avogadro NA.NA. Esto nos da

pV=NNANAkBT.pV=NNANAkBT.

Tome en cuenta que n=N/NAn=N/NA es el número de moles. Definimos la constante universal de los gases como R=NAkB,R=NAkB, y obtenemos la ley de los gases ideales en términos de moles.

Ley de los gases ideales (en términos de moles)

En términos de número de moles n, la ley de los gases ideales se escribe como

pV=nRT.pV=nRT.
2.3

En unidades del SI,

R=NAkB=(6,02×1023mol−1)(1,38×10−23JK)=8,31Jmol·K.R=NAkB=(6,02×1023mol−1)(1,38×10−23JK)=8,31Jmol·K.

En otras unidades,

R=1,99calmol·K=0,0821L·atmmol·K.R=1,99calmol·K=0,0821L·atmmol·K.

Se puede utilizar cualquier valor de R que sea más conveniente para un problema específico.

Ejemplo 2.3

Densidad del aire a STP y en un globo aerostático

Calcule la densidad del aire seco (a) en condiciones estándar y (b) en un globo de aire caliente a una temperatura de 120°C120°C. El aire seco es, aproximadamente, 78%N2,21%O2,78%N2,21%O2, y 1%Ar1%Ar.

Estrategia y solución

  1. Se nos pide que hallemos la densidad, o masa por metro cúbico. Podemos empezar por calcular la masa molar. Si tenemos cien moléculas, de las cuales 78 son de nitrógeno, 21 de oxígeno y 1 de argón, la masa molecular promedio es 78mN2+21mO2+mAr10078mN2+21mO2+mAr100, o la masa de cada constituyente multiplicada por su porcentaje. Lo mismo ocurre con la masa molar, que por tanto es
    M=0,78MN2+0,21MO2+0,01MAr=29,0g/mol.M=0,78MN2+0,21MO2+0,01MAr=29,0g/mol.
    Ahora podemos calcular el número de moles por metro cúbico. Usamos la ley de los gases ideales en términos de moles, pV=nRT,pV=nRT, con p=1,00atmp=1,00atm, T=273KT=273K, V=1m3V=1m3 y R=8,31J/mol·KR=8,31J/mol·K. La opción más conveniente para R en este caso es R=8,31J/mol·KR=8,31J/mol·K porque las cantidades conocidas están en unidades del SI:
    n=pVRT=(1,00×105Pa)(1m3)(8,31J/mol·K)(273K)=44,1mol.n=pVRT=(1,00×105Pa)(1m3)(8,31J/mol·K)(273K)=44,1mol.
    Entonces, la masa msms de ese aire es
    ms=nM=(44,1mol)(29,0g/mol)=1.290g=1,28kg.ms=nM=(44,1mol)(29,0g/mol)=1.290g=1,28kg.
    Finalmente la densidad del aire a STP es
    ρ=msV=1,28kg1m3=1,28kg/m3.ρ=msV=1,28kg1m3=1,28kg/m3.
  2. La presión del aire en el interior del globo sigue siendo de 1 atm porque el fondo del globo está abierto a la atmósfera. El cálculo es el mismo, salvo que utilizamos una temperatura de 120°C120°C, que es 393 K. Podemos repetir el cálculo en (a), o simplemente observar que la densidad es proporcional al número de moles, que es inversamente proporcional a la temperatura. Entonces, utilizando los subíndices 1 para el aire a STP y 2 para el aire caliente, tenemos
    ρ2=T1T2ρ1=273K393K(1,28kg/m3)=0,889kg/m3.ρ2=T1T2ρ1=273K393K(1,28kg/m3)=0,889kg/m3.

Importancia

Utilizando los métodos del Principio de Arquímedes y flotabilidad, podemos calcular que la fuerza neta sobre 2.200m32.200m3 de aire a 120°C120°C es de FbFg=ρatmósferaVgρaire calienteVg=8,49×103N,FbFg=ρatmósferaVgρaire calienteVg=8,49×103N, o suficiente para levantar unos 867 kg. La densidad de masa y la densidad molar del aire a STP, halladas anteriormente, son, a menudo, números útiles. A partir de la densidad molar, podemos determinar fácilmente otro número útil, el volumen de un mol de cualquier gas ideal a STP, que es 22,4 L.

Compruebe Lo Aprendido 2.3

Los líquidos y los sólidos tienen densidades sobre el orden de 1.000 veces mayores que los gases. Explique cómo esto implica que las distancias entre las moléculas de los gases son sobre el orden de 10 veces mayores que el tamaño de sus moléculas.

La ley de los gases ideales está estrechamente relacionada con la energía: las unidades en ambos lados de la ecuación son julios. El lado derecho de la ecuación de la ley de los gases ideales es NkBT.NkBT. Este término es aproximadamente la energía cinética traslacional total (que, al hablar de gases, se refiere a la energía traslacional de una molécula, no a la vibracional de sus átomos ni a la rotacional) de N moléculas a una temperatura absoluta T, como veremos formalmente en la siguiente sección. El lado izquierdo de la ecuación de la ley de los gases ideales es pV. Como se mencionó en el ejemplo sobre el número de moléculas de un gas ideal, la presión multiplicada por el volumen tiene unidades de energía. La energía de un gas puede modificarse cuando el gas realiza un trabajo al aumentar su volumen, algo que exploramos en el capítulo anterior, y la cantidad de trabajo está relacionada con la presión. Este es el proceso que se produce en motores y turbinas de gasolina o de vapor, como veremos en el próximo capítulo.

Estrategia de Resolución De Problemas

Ley de los gases ideales

Paso 1. Examine la situación para determinar que se trata de un gas ideal. La mayoría de los gases son casi ideales, a menos que estén cerca del punto de ebullición o a presiones muy superiores a la atmosférica.

Paso 2. Haga una lista de las cantidades que se dan o pueden deducirse del problema tal y como está planteado (identifique las cantidades conocidas).

Paso 3. Identifique exactamente lo que hay que determinar en el problema (identifique las cantidades desconocidas). Una lista escrita es útil.

Paso 4. Determine si se conoce o se pide el número de moléculas o el número de moles para decidir si se utiliza la ley de los gases ideales como pV=NkBT,pV=NkBT, donde N es el número de moléculas, o pV=nRT,pV=nRT, donde n es el número de moles.

Paso 5. Convierta los valores conocidos en unidades adecuadas del SI (K para temperatura, Pa para presión, m3m3 para volumen, moléculas para N y moles para n). Si las unidades de los aspectos conocidos son coherentes con uno de los valores que no son de SI de R, puede dejarlos en esas unidades. Asegúrese de utilizar temperatura y presión absolutas.

Paso 6. Despeje la ley de los gases ideales para la cantidad a determinar (la cantidad desconocida). Es posible que tenga que tomar una relación entre los estados finales y los estados iniciales para eliminar las cantidades desconocidas que se mantienen fijas.

Paso 7. Sustituya las cantidades conocidas, junto con sus unidades, en la ecuación apropiada y obtenga soluciones numéricas completas con unidades.

Paso 8. Compruebe la respuesta para ver si es razonable: ¿tiene sentido?

Ecuación de estado de van der Waals

Hemos señalado repetidamente que la ley de los gases ideales es una aproximación. ¿Cómo se puede mejorar? La ecuación de estado de van der Waals (llamada así por el físico holandés Johannes van der Waals, 1837-1923) la mejora teniendo en cuenta dos factores. Primero, las fuerzas de atracción entre las moléculas, que son más fuertes a mayor densidad y reducen la presión, se tienen en cuenta y añaden a la presión un término igual al cuadrado de la densidad molar multiplicado por un coeficiente positivo a. Segundo, el volumen de las moléculas está representado por una constante positiva b, que puede considerarse como el volumen de un mol de moléculas. Esto se resta del volumen total para obtener el volumen remanente en el que pueden moverse las moléculas. Las constantes a y b se determinan experimentalmente para cada gas. La ecuación resultante es

[p+a(nV)2](Vnb)=nRT.[p+a(nV)2](Vnb)=nRT.
2.4

En el límite de baja densidad (n pequeña), los términos a y b son insignificantes, y tenemos la ley de los gases ideales como deberíamos para la baja densidad. Por otro lado, si VnbVnb es pequeña, lo que significa que las moléculas están muy juntas, la presión debe ser mayor para dar la misma nRT, como esperaríamos en la situación de un gas muy comprimido. Sin embargo, el aumento de la presión es menor de lo que sugiere ese argumento porque a alta densidad el término (n/V)2(n/V)2 es significativo. Como es positivo, provoca una presión menor para dar la misma nRT.

La ecuación de estado de van der Waals funciona bien para la mayoría de los gases en una amplia variedad de condiciones. Como veremos en el siguiente módulo, incluso predice la transición gas-líquido.

Diagramas pV

Podemos examinar aspectos del comportamiento de una sustancia trazando un diagrama pV, que es un gráfico de presión versus volumen. Cuando la sustancia se comporta como un gas ideal, la ley de los gases ideales pV=nRTpV=nRT describe la relación entre su presión y su volumen. En un diagrama pV es común trazar una isoterma, que es una curva que muestra p como una función de V con el número de moléculas y la temperatura fijos. Entonces, para un gas ideal, pV=constante.pV=constante. Por ejemplo, el volumen del gas disminuye al aumentar la presión. El gráfico resultante es una hipérbola.

Sin embargo, si asumimos la ecuación de estado de van der Waals, las isotermas se vuelven más interesantes, como se muestra en la Figura 2.7. A altas temperaturas, las curvas son hipérbolas aproximadas, y representan un comportamiento aproximadamente ideal a varias temperaturas fijas. A temperaturas más bajas, las curvas se parecen cada vez menos a las hipérbolas, es decir, el gas no se comporta de forma ideal. Hay una temperatura crítica TcTc en la que la curva tiene un punto con pendiente cero. Por debajo de esa temperatura, las curvas no disminuyen de forma monótona, sino que cada una de ellas tiene una “joroba”, lo que significa que, para un determinado rango de volumen, el aumento de este incrementa la presión.

La figura es un trazado de presión, p, en el eje vertical como una función de volumen, V, en el eje horizontal a cinco temperaturas diferentes. Todas las curvas comienzan con presiones altas para los volúmenes más bajos y van disminuyendo. Las dos curvas superiores, en rojo, disminuyen monótonamente con una pendiente gradualmente decreciente. Estas curvas están marcadas con T mayor que T c. La curva del medio, en morado, está marcada como T c. Esta curva disminuye rápidamente, tiene un punto de inflexión y luego sigue disminuyendo gradualmente. Las dos curvas más bajas, en azul, disminuyen hasta un estrecho mínimo, luego aumentan hasta un amplio máximo y después disminuyen gradualmente. Estas curvas están marcadas con T menor que T c. Los mínimos de presión de las curvas inferiores se producen en volúmenes ligeramente inferiores al volumen en el que se encuentra el punto de silla de la curva T c.
Figura 2.7 Diagrama pV para un gas de van der Waals a distintas temperaturas. Las curvas rojas se calculan a temperaturas superiores a la temperatura crítica y las azules a temperaturas inferiores. Las curvas azules tienen una oscilación en la que el volumen (V) aumenta con el aumento de la temperatura(T), una situación imposible, por lo que deben corregirse como en la Figura 2.8 (créditos: “Eman”/Wikimedia Commons).

Tal comportamiento no sería físico. En cambio, se entiende que las curvas describen una transición de fase líquido-gas. La parte oscilante de la curva se sustituye por una línea horizontal, lo que muestra que a medida que el volumen aumenta a temperatura constante, la presión se mantiene constante. Este comportamiento se corresponde con la ebullición y la condensación; cuando una sustancia está a su temperatura de ebullición para una presión determinada, puede aumentar su volumen a medida que parte del líquido se convierte en gas, o disminuir a medida que parte del gas se convierte en líquido, sin que cambie la temperatura ni la presión.

En la Figura 2.8 se muestran isotermas similares que son más realistas que las basadas en la ecuación de van der Waals. Las partes empinadas de las curvas a la izquierda de la región de transición muestran la fase líquida, que es casi incompresible: una ligera disminución del volumen requiere un gran aumento de presión. Las partes planas muestran la transición líquido-gas; las regiones azules que definen representan combinaciones de presión y volumen en las que pueden coexistir líquido y gas.

La figura tiene dos trazados de presión, p, en el eje vertical como una función de volumen, V, en el eje horizontal a varias temperaturas diferentes. La figura a muestra seis isotermas identificadas, de abajo a arriba, T 1, T 2, T C, T 3, T 4 y T 5. Una nota en el gráfico nos indica que estas temperaturas también están en orden creciente. Los gráficos muestran que la presión generalmente disminuye con el aumento del volumen para todas las temperaturas, excepto a bajas temperaturas cuando la presión es constante como una función de volumen durante un cambio de fase. El cambio de fase ocupa una región en el trazado sombreada en azul e identificada como región de equilibrio líquido-vapor. La figura b es el mismo trazado, ampliado para mostrar el diagrama p V en y alrededor de la región de vapor líquido sombreada. Por encima de la región sombreada, las curvas disminuyen monótonamente. La curva que todavía está fuera, pero apenas toca el pico de la región de vapor líquido, está identificada como isoterma crítica, T c. El punto en el que esta curva se encuentra con la región sombreada está identificado como punto crítico. La región a la izquierda de la región sombreada y a presiones inferiores a la del punto crítico es la región líquida. La región a la derecha de la región sombreada es la región de vapor. El borde derecho de la región sombreada es la curva de saturación. La región por encima de la isoterma crítica se etiqueta como gas verdadero pero no ideal.
Figura 2.8 Diagramas pV. (a) Cada curva (isoterma) representa la relación entre p y V a una temperatura fija; las curvas superiores son a temperaturas más altas. Las curvas inferiores no son hipérbolas porque el gas ya no es un gas ideal. (b) Una porción expandida del diagrama pV para bajas temperaturas, donde la fase puede cambiar de gas a líquido. El término “vapor” se refiere a la fase gaseosa cuando existe a una temperatura inferior a la de ebullición.

Las isotermas anteriores TcTc no pasan por la transición líquido-gas. Por lo tanto, el líquido no puede existir por encima de esa temperatura, que es la temperatura crítica (descrita en el capítulo sobre temperatura y calor). A una presión suficientemente baja por encima de esa temperatura, el gas tiene la densidad de un líquido pero no se condensa; se dice que el gas es supercrítico. A mayor presión, es sólido. El dióxido de carbono, por ejemplo, no tiene fase líquida a una temperatura superior a 31,0°C31,0°C. La presión crítica es la presión máxima a la que puede existir el líquido. El punto en el diagrama pV a presión y temperatura críticas es el punto crítico (que aprendió en el capítulo sobre temperatura y calor). En la Tabla 2.1 se enumeran temperaturas y presiones críticas representativas.

Sustancia Temperatura crítica Presión crítica
K °C°C Pa atm
Agua 647,4 374,3 22,12×10622,12×106 219,0
Dióxido de azufre 430,7 157,6 7,88×1067,88×106 78,0
Amoníaco 405,5 132,4 11,28×10611,28×106 111,7
Dióxido de carbono 304,2 31,1 7,39×1067,39×106 73,2
Oxígeno 154,8 –118,4 5,08×1065,08×106 50,3
Nitrógeno 126,2 –146,9 3,39×1063,39×106 33,6
Hidrógeno 33,3 –239,9 1,30×1061,30×106 12,9
Helio 5,3 –267,9 0,229×1060,229×106 2,27
Tabla 2.1 Temperaturas y presiones críticas para diversas sustancias

Notas a pie de página

  • 1http://bvpb.mcu.es/en/consulta/registro.cmd?id=406806
  • 2http://chemed.chem.purdue.edu/genchem/history/charles.html
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