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Física Universitaria Volumen 2

2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)

Física Universitaria Volumen 22.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar las relaciones entre magnitudes microscópicas y macroscópicas en un gas.
  • Resolver problemas de mezclas de gases.
  • Resolver problemas que impliquen la distancia y el tiempo entre colisiones de una molécula de gas.

Hemos examinado la presión y la temperatura a partir de sus definiciones macroscópicas. La presión es la fuerza dividida entre el área sobre la que se ejerce la fuerza, y la temperatura se mide con un termómetro. Podemos entender mejor la presión y la temperatura a partir de la teoría cinética de los gases, la teoría que relaciona las propiedades macroscópicas de los gases con el movimiento de las moléculas que los componen. Primero, hacemos dos suposiciones sobre las moléculas en un gas ideal.

  1. Hay un número muy grande N de moléculas, todas idénticas y cada una con una masa m.
  2. Las moléculas obedecen las leyes de Newton y están en movimiento continuo, que es aleatorio e isotrópico, es decir, igual en todas las direcciones.

Para derivar la ley de los gases ideales y la conexión entre cantidades microscópicas, como la energía de una molécula típica, y cantidades macroscópicas, como la temperatura, analizamos una muestra de un gas ideal en un recipiente rígido sobre el que hacemos dos suposiciones más:

  1. Las moléculas son mucho más pequeñas que la distancia promedio entre ellas, por lo que su volumen total es mucho menor que el de su recipiente (que tiene un volumen V). En otras palabras, consideramos la constante b de van der Waals, el volumen de un mol de moléculas de gas es insignificante en comparación con el volumen de un mol de gas en el recipiente.
  2. Las moléculas chocan de forma perfectamente elástica con las paredes del recipiente y entre sí. Otras fuerzas sobre ellas, incluidas la gravedad y las atracciones representadas por la constante a de van der Waals, son insignificantes (como es necesario para la suposición de isotropía).

Las colisiones entre moléculas no aparecen en la derivación de la ley de los gases ideales. Tampoco perturban la derivación, ya que las colisiones entre moléculas que se mueven con velocidades aleatorias dan nuevas velocidades aleatorias. Además, si las velocidades de las moléculas de gas en un recipiente no son inicialmente aleatorias e isótropas, las colisiones moleculares son las que las hacen aleatorias e isótropas.

Hacemos otras suposiciones que simplifican los cálculos pero que no afectan el resultado. Primero, suponemos que el recipiente sea un recuadro rectangular. Segundo, empezamos por considerar los gases monoatómicos, aquellos cuyas moléculas están formadas por átomos individuales, como el helio. Entonces, podemos suponer que los átomos no tienen energía, excepto su energía cinética traslacional; por ejemplo, no tienen energía rotacional ni vibracional (más adelante, discutiremos sobre la validez de esta suposición para gases monoatómicos reales y prescindiremos de ella para considerar gases diatómicos y poliatómicos).

La Figura 2.9 muestra la colisión de una molécula de gas con la pared de un recipiente, de forma que ejerce una fuerza sobre la pared (según la tercera ley de Newton). Estas colisiones son la fuente de la presión en un gas. A medida que aumenta el número de moléculas, aumenta el número de colisiones y, por tanto, la presión. Del mismo modo, si la velocidad media de las moléculas es mayor, la presión del gas es mayor.

La figura es una ilustración de una molécula que choca contra una pared. La molécula se aproxima a la pared con un vector velocidad v, que está en algún ángulo no especificado con respecto a la pared, y se aleja de ella con un vector de velocidad v primo, en algún ángulo no especificado. Un vector de fuerza F apunta directamente a la pared.
Figura 2.9 Cuando una molécula choca con una pared rígida, el componente de su momento perpendicular a la pared se invierte. De este modo, se ejerce una fuerza sobre la pared y se crea una presión.

En una muestra de gas en un recipiente la aleatoriedad del movimiento molecular hace que fluctúe el número de colisiones de las moléculas con cualquier parte de la pared en un tiempo determinado. Sin embargo, debido a que un gran número de moléculas chocan con la pared en un corto periodo, el número de colisiones en las escalas de tiempo y espacio que medimos fluctúa solo en una fracción diminuta, generalmente inobservable, del promedio. Podemos comparar esta situación con la de un casino, donde los resultados de las apuestas son aleatorios y la recaudación del casino fluctúa por minutos y horas. Sin embargo, en periodos largos, como un año, la recaudación del casino se acerca mucho a los promedios esperados de las probabilidades. Un tanque de gasolina tiene muchísimas más moléculas que las que tiene un casino en un año, y las moléculas hacen muchísimas más colisiones en un segundo que las que tiene un casino en sus apuestas.

El cálculo de la fuerza promedio ejercida por las moléculas sobre las paredes del recuadro nos lleva a la ley de los gases ideales y a la conexión entre temperatura y energía cinética molecular (de hecho, tomaremos dos promedios: uno a lo largo del tiempo para obtener la fuerza promedio ejercida por una molécula con una velocidad determinada, y luego otro promedio sobre moléculas con diferentes velocidades). Este enfoque fue desarrollado por Daniel Bernoulli (1700-1782), más conocido en física por sus trabajos sobre la circulación de fluidos (hidrodinámica). Sorprendentemente, Bernoulli hizo este trabajo antes de que Dalton estableciera la idea de que la materia está formada por átomos.

La Figura 2.10 muestra un recipiente lleno de gas y una vista ampliada de una colisión elástica de una molécula de gas con una pared del recipiente desglosada en componentes. Hemos asumido que una molécula es pequeña comparada con la separación de las moléculas en el gas y que su interacción con otras moléculas puede ser ignorada. En estas condiciones, la ley de los gases ideales es válida experimentalmente. Como también hemos asumido que la pared es rígida y las partículas son puntuales, la colisión es elástica (por conservación de la energía: la energía cinética de una partícula no tiene dónde ir). Por lo tanto, la energía cinética de la molécula permanece constante y, por lo tanto, su velocidad y la magnitud de su momento también permanecen constantes. Esta suposición no siempre es válida, y los resultados del resto de este módulo también se obtienen en modelos que permiten a las moléculas intercambiar energía y momento con la pared.

La figura es una ilustración de una molécula que choca contra la pared de una caja de profundidad l. La molécula se aproxima a la pared con un vector velocidad que tiene el componente v x perpendicular y hacia la pared y v y paralela a la pared, luego y se aleja de ella con un vector de velocidad que tiene el componente v primo x perpendicular y lejos de la pared y v primo y paralelo a la pared.
Figura 2.10 El gas en una caja ejerce una presión hacia afuera en sus paredes. Una molécula que colisiona con una pared rígida tiene su velocidad y momento en la dirección x invertida. Esta dirección es perpendicular a la pared. Las componentes de su momento de velocidad en las direcciones y y z no se modifican, lo que significa que no hay ninguna fuerza paralela a la pared.

Si la velocidad de la molécula cambia en la dirección x, su momento cambia de mvxmvx a +mvx.+mvx. Por lo tanto, su cambio de momento es Δmv=+mvx(mvx)=2mvx.Δmv=+mvx(mvx)=2mvx. Según el teorema del momento-impulso dado en el capítulo sobre momento lineal y colisiones, la fuerza ejercida sobre la i-ésima molécula, donde i identifica las moléculas de 1 a N, viene dada por

Fi=ΔpiΔt=2mvixΔt.Fi=ΔpiΔt=2mvixΔt.

(solo en esta ecuación, p representa el momento, no la presión). No hay ninguna fuerza entre la pared y la molécula, excepto mientras la molécula está tocando la pared. Durante el corto tiempo de la colisión, la fuerza entre la molécula y la pared es relativamente grande, pero esa no es la fuerza que buscamos. Estamos buscando la fuerza promedio, así que tomamos ΔtΔt para ser el tiempo promedio entre colisiones de la molécula dada con esta pared, que es el tiempo en el que esperamos calcular una colisión. Supongamos que l represente la longitud de la caja en la dirección x. Entonces, ΔtΔt es el tiempo que la molécula tardaría en atravesar la caja y volver, una distancia 2l, a una velocidad de vx.vx. Así que Δt=2l/vx,Δt=2l/vx, y la expresión de la fuerza se convierte en

Fi=2mvix2l/vix=mvix2l.Fi=2mvix2l/vix=mvix2l.

Esta fuerza se debe a una molécula. Para calcular la fuerza total sobre la pared, F, necesitamos sumar los aportes de todas las moléculas N:

F=i=1NFi=i=1Nmvix2l=mli=1Nvix2.F=i=1NFi=i=1Nmvix2l=mli=1Nvix2.

Ahora usamos la definición del promedio, que denotamos con una barra, para calcular la fuerza:

F=Nml(1Ni=1Nvix2)=Nmvx2l.F=Nml(1Ni=1Nvix2)=Nmvx2l.

Queremos la fuerza en términos de la velocidad v, en vez del componente x de la velocidad. Tome en cuenta que la velocidad total al cuadrado es la suma de los cuadrados de sus componentes, por lo que

v2=vx2+vy2+vz2.v2=vx2+vy2+vz2.

Con la suposición de isotropía, los tres promedios del lado derecho son iguales, por lo que

v2=3vix2.v2=3vix2.

Al sustituir esto en la expresión de F se obtiene

F=Nmv23l.F=Nmv23l.

La presión es F/A, por lo que obtenemos

p=FA=Nmv23Al=Nmv23V,p=FA=Nmv23Al=Nmv23V,

donde usamos V=AlV=Al para el volumen. Esto da el importante resultado

pV=13Nmv2.pV=13Nmv2.
2.5

Al combinar esta ecuación con pV=NkBTpV=NkBT da

13Nmv2=NkBT.13Nmv2=NkBT.

Podemos obtener la energía cinética promedio de una molécula, 12mv212mv2, del lado izquierdo de la ecuación al dividir N y multiplicar por 3/2.

Energía cinética promedio por molécula

La energía cinética promedio de una molécula es directamente proporcional a su temperatura absoluta:

K=12mv2=32kBT.K=12mv2=32kBT.
2.6

La ecuación K=32kBTK=32kBT es la energía cinética promedio por molécula. Tome en cuenta, en particular, que nada de lo contenido en esta ecuación depende de la masa molecular (ni de cualquier otra propiedad) del gas, de la presión ni de cualquier otra cosa que no sea la temperatura. Si unas muestras de gas de helio y xenón con masas moleculares muy diferentes están a la misma temperatura, las moléculas tienen la misma energía cinética promedio.

La energía interna de un sistema termodinámico es la suma de las energías mecánicas de todas las moléculas que lo componen. Ahora podemos dar una ecuación para la energía interna de un gas ideal monoatómico. En un gas así, la única energía de las moléculas es su energía cinética traslacional. Por lo tanto, al denotar la energía interna por Eint,Eint, simplemente tenemos Eint=NK,Eint=NK, o

Eint=32NkBT.Eint=32NkBT.
2.7

A menudo, nos gustaría usar esta ecuación en términos de moles:

Eint=32nRT.Eint=32nRT.

Podemos despejar K=12mv2=32kBTK=12mv2=32kBT para una rapidez típica de una molécula en un gas ideal en términos de temperatura para determinar lo que se conoce como velocidad media cuadrática (rms) de una molécula.

Velocidad rms de una molécula

La velocidad media cuadrática (rms) de una molécula, o la raíz cuadrada del promedio del cuadrado de la velocidadv2v2, es

vrms=v2=3kBTm.vrms=v2=3kBTm.
2.8

La velocidad rms no es el promedio ni la rapidez más probable de las moléculas, como veremos en la sección Distribución de las velocidades moleculares, pero proporciona una estimación fácilmente calculable de la velocidad de las moléculas que está relacionada con su energía cinética. De nuevo podemos escribir esta ecuación en términos de la constante de los gases R y la masa molar M en kg/mol:

vrms=3RTM.vrms=3RTM.
2.9

Hacemos un paréntesis para responder una pregunta que tal vez se le haya ocurrido: cuando aplicamos el modelo a átomos en vez de a partículas puntuales teóricas, ¿la energía cinética rotacional cambia nuestros resultados? Para responder esta pregunta tenemos que recurrir a la mecánica cuántica. En la mecánica cuántica la energía cinética rotacional no puede tomar cualquier valor; está limitada a un conjunto discreto de valores, y el valor más pequeño es inversamente proporcional a la inercia rotacional. La inercia rotacional de un átomo es minúscula porque casi toda su masa está en el núcleo, el cual suele tener un radio inferior a 10−14m10−14m. Así, la energía rotacional mínima de un átomo es mucho más que 12kBT12kBT para cualquier temperatura alcanzable, y la energía disponible no es suficiente para hacer girar un átomo. Volveremos a este punto cuando hablemos de gases diatómicos y poliatómicos en la siguiente sección.

Ejemplo 2.4

Calcular la energía cinética y la rapidez de una molécula de gas

(a) ¿Cuál es la energía cinética promedio de una molécula de gas a 20,0°C20,0°C (temperatura ambiente)? (b) Calcule la velocidad rms de una molécula de nitrógeno (N2)(N2) a esta temperatura.

Estrategia

(a) Lo conocido en la ecuación de la energía cinética promedio es la temperatura:
K=12mv2=32kBT.K=12mv2=32kBT.

Antes de sustituir valores en esta ecuación debemos convertir la temperatura dada en kelvin: T=(20,0+273)K=293K.T=(20,0+273)K=293K. Podemos calcular la velocidad rms de una molécula de nitrógeno mediante la ecuación

vrms=v2=3kBTm,vrms=v2=3kBTm,

pero primero debemos hallar la masa de una molécula de nitrógeno. Al obtener la masa molar del nitrógeno N2N2 de la tabla periódica, hallamos

m=MNA=2(14,0067)×10−3kg/mol)6,02×1023mol-1=4,65×10−26kg.m=MNA=2(14,0067)×10−3kg/mol)6,02×1023mol-1=4,65×10−26kg.

Solución

  1. La temperatura por sí sola es suficiente para calcular la energía cinética traslacional promedio. Al sustituir la temperatura en la ecuación de la energía cinética traslacional se obtiene
    K=32kBT=32(1,38×10−23J/K)(293K)=6,07×10−21J.K=32kBT=32(1,38×10−23J/K)(293K)=6,07×10−21J.
  2. Al sustituir esta masa y el valor de kBkB en la ecuación de vrmsvrms produce
    vrms=3kBTm=3(1,38×10−23J/K)(293K)4,65×10−26kg=511m/s.vrms=3kBTm=3(1,38×10−23J/K)(293K)4,65×10−26kg=511m/s.

Importancia

Note que la energía cinética promedio de la molécula es independiente del tipo de molécula. La energía cinética traslacional promedio solo depende de la temperatura absoluta. La energía cinética es muy pequeña en comparación con las energías macroscópicas, por lo que no sentimos cuando una molécula de aire golpea nuestra piel. Por otro lado, es mucho mayor que la típica diferencia de energía potencial gravitacional cuando una molécula se mueve, por ejemplo, de la parte superior a la inferior de una habitación, por lo que nuestra desestimación de la gravitación está justificada en situaciones típicas del mundo real. La velocidad rms de la molécula de nitrógeno es sorprendentemente grande. Estas grandes velocidades moleculares no producen el movimiento macroscópico del aire, ya que las moléculas se mueven en todas las direcciones con igual probabilidad. La trayectoria libre media (la distancia que una molécula recorre en promedio entre colisiones, que se analiza un poco más adelante en esta sección) de las moléculas en el aire es muy pequeña, por lo que las moléculas se mueven rápidamente pero no llegan muy lejos en un segundo. El alto valor de la velocidad rms se refleja en la velocidad del sonido, que es de unos 340 m/s a temperatura ambiente. Cuanto mayor sea la velocidad rms de las moléculas de aire, más rápido se podrán transmitir las vibraciones sonoras a través del aire. La velocidad del sonido aumenta con la temperatura y es mayor en los gases con masas moleculares pequeñas, como el helio (vea la Figura 2.11).
En la parte a de la figura los círculos representan moléculas distribuidas en un gas. Una flecha en cada círculo representa el vector velocidad de la molécula. Las ubicaciones de las moléculas y sus magnitudes y direcciones de velocidad están distribuidas al azar. En la parte b de la figura, un arco representa el frente de onda de una onda sonora en el gas. Las velocidades de las moléculas cercanas al arco están orientadas de forma casi perpendicular al arco, y por tanto paralelas a la dirección de propagación de la onda.
Figura 2.11 (a) En un gas ordinario, tantas moléculas se mueven tan rápido que chocan miles de millones de veces cada segundo. (b) Las moléculas individuales no se mueven muy lejos en una pequeña cantidad de tiempo, pero perturbaciones como las ondas sonoras se transmiten a velocidades relacionadas con las velocidades moleculares.

Ejemplo 2.5

Calcular la temperatura: Velocidad de escape de átomos de helio

Para escapar de la gravedad de la Tierra, un objeto cercano a la cima de la atmósfera (a una altitud de 100 km) debe alejarse de la Tierra a 11,1 km/s. Esta velocidad se denomina velocidad de escape. ¿A qué temperatura los átomos de helio tendrían una velocidad rms igual a la velocidad de escape?

Estrategia

Identifique las incógnitas y los aspectos conocidos y determine qué ecuaciones usar para resolver el problema.

Solución

  1. Identifique los aspectos conocidos: v es la velocidad de escape, 11,1 km/s.
  2. Identifique las incógnitas: Tenemos que hallar la temperatura, T. También tenemos que hallar la masa m del átomo de helio.
  3. Determine qué ecuaciones son necesarias.
    • Para obtener la masa m del átomo de helio, podemos usar la información de la tabla periódica:
      m=MNA.m=MNA.
    • Para hallar la temperatura T, podemos reordenar
      12mv2=32kBT12mv2=32kBT
      para producir
      T=mv23kB.T=mv23kB.
  4. Sustituya los valores conocidos en las ecuaciones y despeje las incógnitas,
    m=MNA=4,0026×10−3kg/mol6,02×1023mol=6,65×10−27kgm=MNA=4,0026×10−3kg/mol6,02×1023mol=6,65×10−27kg
    y
    T=(6,65×10−27kg)(11,1×103m/s)23(1,38×10−23J/K)=1,98×104K.T=(6,65×10−27kg)(11,1×103m/s)23(1,38×10−23J/K)=1,98×104K.

Importancia

Esta temperatura es mucho más alta que la temperatura atmosférica, que es de 250 K aproximadamente (−25°C o10°F)(−25°C o10°F) a gran elevación. Quedan muy pocos átomos de helio en la atmósfera, pero muchos estaban presentes cuando se formó la atmósfera y siempre se crean más por decaimiento radiactivo (vea el capítulo sobre física nuclear). La justificación de la pérdida de átomos de helio es que un pequeño número de átomos de helio tiene velocidades superiores a la velocidad de escape de la Tierra incluso a temperaturas normales. La velocidad de un átomo de helio cambia de una colisión a otra, de modo que en cualquier instante existe una pequeña posibilidad, pero que no llega a ser cero, de que la velocidad del átomo sea mayor que la velocidad de escape. La probabilidad es lo suficientemente alta como para que, a lo largo de la vida de la Tierra, casi todos los átomos de helio que han estado en la atmósfera hayan alcanzado la velocidad de escape a gran altura y hayan escapado de la atracción gravitacional de la Tierra. Las moléculas más pesadas, como las del oxígeno, del nitrógeno y del agua, tienen velocidades rms menores, por lo que es mucho menos probable que alguna de ellas tenga velocidades superiores a la de escape. De hecho, la probabilidad es tan pequeña que se necesitan miles de millones de años para perder cantidades significativas de moléculas más pesadas de la atmósfera. La Figura 2.12 muestra el efecto de la falta de atmósfera en la Luna. Como la atracción gravitacional de la Luna es mucho más débil, ha perdido casi toda su atmósfera. En ejercicios de este capítulo se comparan las atmósferas de la Tierra y de otros cuerpos.
Fotografía de un astronauta conduciendo el rover lunar en la Luna. La imagen y la sombra del rover son muy nítidas. El cielo está oscuro.
Figura 2.12 Esta fotografía del comandante del Apolo 17, Eugene Cernan, conduciendo el rover lunar en la Luna en 1972, parece haber sido tomada de noche con un gran foco. De hecho, la luz viene del Sol. Como la aceleración debido a la gravedad en la Luna es tan baja (aproximadamente 1/6 de la de la Tierra), la velocidad de escape de la Luna es mucho menor. Por ello, las moléculas de gas se escapan muy fácilmente de la Luna, dejándola prácticamente sin atmósfera. Incluso durante el día, el cielo es negro porque no hay gas que disperse la luz solar (créditos: Harrison H. Schmitt/Administración Nacional de Aeronáutica y Espacio [National Aeronautics and Space Administration, NASA]).

Compruebe Lo Aprendido 2.4

Si considera un objeto muy pequeño, como un grano de polen, en un gas, entonces el número de moléculas que golpean su superficie también sería relativamente pequeño. ¿Esperaría que el grano de polen experimentara alguna fluctuación de presión debido a fluctuaciones estadísticas del número de moléculas de gas que lo golpean en un tiempo determinado?

Presión de vapor, presión parcial y ley de Dalton

La presión que crearía un gas si ocupara el volumen total disponible se llama presión parcial del gas. Si dos o más gases se mezclan, llegarán a equilibrio térmico como consecuencia de colisiones entre moléculas; el proceso es análogo a la conducción del calor descrita en el capítulo sobre temperatura y calor. Como hemos visto en la teoría cinética, cuando los gases tienen la misma temperatura sus moléculas tienen la misma energía cinética promedio. Así, cada gas obedece a la ley de los gases ideales por separado y ejerce sobre las paredes de un recipiente la misma presión que ejercería si estuviera solo. Por lo tanto, en una mezcla de gases, la presión total es la suma de las presiones parciales de los gases componentes, suponiendo un comportamiento ideal de los gases y sin reacciones químicas entre los componentes. Esta ley se conoce como ley de presiones parciales de Dalton, en honor al científico inglés John Dalton (1766-1844) que la propuso. La ley de Dalton es coherente con el hecho de que las presiones se suman según el principio de Pascal.

En una mezcla de gases ideales en equilibrio térmico, el número de moléculas de cada gas es proporcional a su presión parcial. Este resultado se desprende de la aplicación de la ley de los gases ideales a cada uno de ellos en la forma p/n=RT/V.p/n=RT/V. Dado que el lado derecho es el mismo para cualquier gas a una temperatura determinada en un recipiente de un volumen determinado, el lado izquierdo también es el mismo.

  • La presión parcial es la presión que crearía un gas si existiera solo.
  • La ley de Dalton establece que la presión total es la suma de las presiones parciales de todos los gases presentes.
  • Para dos gases cualesquiera (identificados como 1 y 2) en equilibrio en un recipiente, p1n1=p2n2.p1n1=p2n2.

Una aplicación importante de la presión parcial es que, en química, funciona como la concentración de un gas para determinar la tasa de una reacción. Aquí solo mencionamos que la presión parcial de oxígeno en los pulmones de una persona es fundamental para la vida y la salud. Respirar aire con una presión parcial de oxígeno inferior a 0,16 atm puede perjudicar la coordinación y el juicio, especialmente en personas no aclimatadas a una gran altura. Presiones parciales más bajas de O2O2 tienen efectos más graves; las presiones parciales inferiores a 0,06 atm pueden ser rápidamente mortales, y es probable que se produzcan daños permanentes incluso si se rescata a la persona. Sin embargo, la sensación de necesidad de respirar, como cuando se aguanta la respiración, está causada mucho más por las altas concentraciones de dióxido de carbono en la sangre que por las bajas concentraciones de oxígeno. Así, si una pequeña habitación o un armario se llenan de aire con una baja concentración de oxígeno, quizás porque se almacena allí una bombona con fugas de algún gas comprimido, una persona no sentirá ninguna sensación de “asfixia” y puede sufrir convulsiones o perder el conocimiento sin notar nada malo. Los ingenieros de seguridad prestan mucha atención a este peligro.

Otra aplicación importante de la presión parcial es la presión de vapor, que es la presión parcial de un vapor en la que está en equilibrio con la fase líquida (o sólida, en el caso de la sublimación) de la misma sustancia. A cualquier temperatura, la presión parcial del agua en el aire no puede superar la presión de vapor del agua a esa temperatura, ya que siempre que la presión parcial alcanza la presión de vapor, el agua se condensa fuera del aire. El rocío es un ejemplo de esta condensación. La temperatura a la que se produce la condensación de una muestra de aire se denomina punto de rocío. Se mide fácilmente al enfriar lentamente una bola de metal; el punto de rocío es la temperatura a la que aparece la condensación por primera vez en la bola.

Las presiones de vapor del agua a algunas temperaturas de interés para la meteorología se indican en la Tabla 2.2.

T (°C)(°C) Presión de vapor (Pa)
0 610,5
3 757,9
5 872,3
8 1.073
10 1.228
13 1.497
15 1.705
18 2.063
20 2.338
23 2.809
25 3.167
30 4.243
35 5.623
40 7.376
Tabla 2.2 Presión de vapor del agua a distintas temperaturas

La humedad relativa (HR) a una temperatura T se define por

HR=Presión parcial de vapor de agua aTPresión de vapor del agua aT×100%.HR=Presión parcial de vapor de agua aTPresión de vapor del agua aT×100%.

Una humedad relativa de 100%100% significa que la presión parcial del agua es igual a la presión de vapor; en otras palabras, el aire está saturado de agua.

Ejemplo 2.6

Calcular la humedad relativa

¿Cuál es la humedad relativa cuando la temperatura del aire es 25°C25°C y el punto de rocío es 15°C15°C?

Estrategia

Simplemente buscamos la presión de vapor a la temperatura dada y la del punto de rocío y hallamos la relación.

Solución

HR=Presión parcial de vapor de agua a15°CPresión parcial de vapor de agua a25°C×100%=1.705Pa3167Pa×100%=53,8%.HR=Presión parcial de vapor de agua a15°CPresión parcial de vapor de agua a25°C×100%=1.705Pa3167Pa×100%=53,8%.

Importancia

La HR es importante para nuestra comodidad. El valor de 53,8%53,8% está dentro del rango de 40%a60%40%a60% recomendado para la comodidad en espacios interiores.

Como se ha señalado en el capítulo sobre temperatura y calor, la temperatura casi nunca desciende por debajo del punto de rocío, ya que cuando alcanza el punto de rocío o de congelación el agua se condensa y libera una cantidad relativamente grande de calor de vaporización latente.

Trayectoria libre media y tiempo libre medio

Ahora consideramos las colisiones explícitamente. El primer paso habitual (que es el único que daremos) es calcular la trayectoria libre media, λ,λ, la distancia promedio que recorre una molécula entre colisiones con otras moléculas y el tiempo libre medio ττ, el tiempo promedio entre las colisiones de una molécula. Si suponemos que todas las moléculas son esferas con un radio r, entonces una molécula colisionará con otra si sus centros están a una distancia de 2r entre sí. Para una partícula dada, decimos que el área de un círculo con ese radio, 4πr24πr2, es la “sección transversal” de las colisiones. A medida que la partícula se desplaza traza un cilindro con esa área de sección transversal. La trayectoria libre media es la longitud λλ tal que el número esperado de otras moléculas en un cilindro de longitud λλ y sección transversal 4πr24πr2 es 1. Si ignoramos temporalmente el movimiento de las moléculas distintas de la que estamos viendo, el número esperado es la densidad numérica de moléculas, N/V, por el volumen, y el volumen es 4πr2λ4πr2λ, por lo que tenemos (N/V)4πr2λ=1,(N/V)4πr2λ=1, o

λ=V4πr2N.λ=V4πr2N.

Tener en cuenta el movimiento de todas las moléculas dificulta mucho el cálculo, pero el único cambio es un factor de 2.2. El resultado es

λ=V42πr2N.λ=V42πr2N.
2.10

En un gas ideal podemos sustituir V/N=kBT/pV/N=kBT/p para obtener

λ=kBT42πr2p.λ=kBT42πr2p.
2.11

El tiempo libre medio ττ es simplemente la trayectoria libre media dividida entre una velocidad típica, y la elección habitual es la velocidad rms. Entonces,

τ=kBT42πr2pvrms.τ=kBT42πr2pvrms.
2.12

Ejemplo 2.7

Calcular el tiempo libre medio

Calcule el tiempo libre medio de los átomos de argón (M=39,9g/mol)(M=39,9g/mol) a una temperatura de 0°C0°C y una presión de 1,00 atm. Tomemos que el radio de un átomo de argón es 1,70×10−10m.1,70×10−10m.

Solución

  1. Identifique los aspectos conocidos y conviértalos en unidades del SI. Sabemos que la masa molar es 0,0399 kg/mol, la temperatura es 273 K, la presión es 1,01×105Pa,1,01×105Pa, y el radio es 1,70×10−10m.1,70×10−10m.
  2. Calcule la velocidad rms: vrms=3RTM=413msvrms=3RTM=413ms.
  3. Sustituir en la ecuación para el tiempo libre medio:
    τ=kBT42πr2pvrms=(1,38×10−23J/K)(273K)42π(1,70×10−10m)2(1,01×105Pa)(413m/s)=1,76×10−10s.τ=kBT42πr2pvrms=(1,38×10−23J/K)(273K)42π(1,70×10−10m)2(1,01×105Pa)(413m/s)=1,76×10−10s.

Importancia

Apenas podemos comparar este resultado con nuestra intuición sobre las moléculas de los gases, pero nos da una imagen de moléculas que chocan con una frecuencia extremadamente alta.

Compruebe Lo Aprendido 2.5

¿Qué tiene una trayectoria libre media más larga, el agua líquida o el vapor de agua en el aire?

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