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Física Universitaria Volumen 2

4.5 El ciclo de Carnot

Física Universitaria Volumen 24.5 El ciclo de Carnot
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

  • Describir el ciclo de Carnot con las funciones de los cuatro procesos implicados
  • Resumir el principio de Carnot y sus implicaciones
  • Demostrar la equivalencia del principio de Carnot y la segunda ley de la termodinámica

A principios de la década de los años 20 del siglo XIX, Sadi Carnot (1786-1832), un ingeniero francés, se interesó por mejorar la eficiencia de las máquinas térmicas prácticas. En 1824, sus estudios le llevaron a proponer un hipotético ciclo de trabajo con el mayor rendimiento posible entre los mismos dos reservorios, conocido actualmente como ciclo de Carnot. Una máquina que funciona en este ciclo se denomina máquina de Carnot. El ciclo de Carnot es de especial importancia por varias razones. A nivel práctico, este ciclo representa un modelo reversible para la central eléctrica de vapor y el refrigerador, o la bomba de calor. Sin embargo, también es muy importante desde el punto de vista teórico, ya que desempeña un papel fundamental en el desarrollo de otro importante enunciado de la segunda ley de la termodinámica. Por último, como solo intervienen dos reservorios en su funcionamiento, puede utilizarse junto con la segunda ley de la termodinámica para definir una escala de temperatura absoluta que sea realmente independiente de cualquier sustancia utilizada para medir la temperatura.

Con un gas ideal como sustancia de trabajo, las etapas del ciclo de Carnot, representadas por la Figura 4.11, son las siguientes.

  1. Expansión isotérmica. El gas se pone en contacto térmico con un reservorio de calor a una temperatura Th.Th. El gas absorbe el calor QhQh del reservorio de calor y se deja que se expanda isotérmicamente, realizando trabajo W1.W1. Ya que la energía interna EintEint de un gas ideal es una función de la temperatura solamente, el cambio de la energía interna es cero, es decir, ΔEint=0ΔEint=0 durante esta expansión isotérmica. Con la primera ley de la termodinámica, ΔEint=QW,ΔEint=QW, hallamos que el calor absorbido por el gas es
    Qh=W1=nRThlnVNVM.Qh=W1=nRThlnVNVM.
    La figura muestra cuatro etapas del ciclo de Carnot, a saber, la expansión isotérmica, la expansión adiabática, la compresión isotérmica y la compresión adiabática.
    Figura 4.11 Los cuatro procesos del ciclo de Carnot. Se supone que la sustancia de trabajo es un gas ideal cuya trayectoria termodinámica MNOP se representa en Figura 4.12.
    La primera parte de la figura muestra un gráfico correspondiente a cuatro etapas del ciclo de Carnot. El eje x es V y el eje y es p. La segunda parte muestra una flecha descendente Q subíndice h en T subíndice h que se divide en una flecha descendente Q subíndice c en T subíndice c y una flecha derecha W.
    Figura 4.12 El trabajo total que realiza el gas en el ciclo de Carnot se muestra y viene dado por el área encerrada por el bucle MNOPM.
  2. Expansión adiabática. El gas se aísla térmicamente y se deja que se expanda más, realizando trabajo W2.W2. Como esta expansión es adiabática, la temperatura del gas cae, en este caso, de ThaTc.ThaTc. Desde pVγ=constantepVγ=constante y la ecuación de estado de un gas ideal, pV=nRTpV=nRT, tenemos
    TVγ1=constante,TVγ1=constante,
    para que
    ThVNγ1=TcVOγ1.ThVNγ1=TcVOγ1.
  3. Compresión isotérmica. El gas se pone en contacto térmico con un reservorio frío a temperatura TcTc y comprimido isotérmicamente. Durante este proceso, el trabajo W3W3 se hace en el gas y da calor QcQc al reservorio frío. El razonamiento utilizado en el paso 1 da como resultado
    Qc=nRTclnVOVP,Qc=nRTclnVOVP,
    donde QcQc es el calor vertido al reservorio frío por el gas.
  4. Compresión adiabática. El gas se aísla térmicamente y vuelve a su estado inicial por compresión. En este proceso, el trabajo W4W4 se hace en el gas. Como la compresión es adiabática, la temperatura del gas aumenta, de TcaThTcaTh en este caso concreto. El razonamiento del paso 2 da ahora
    TcVPγ1=ThVMγ1.TcVPγ1=ThVMγ1.
    El trabajo total realizado por el gas en el ciclo de Carnot se da por
    W=W1+W2W3W4.W=W1+W2W3W4.

Este trabajo es igual al área que encierra el bucle que se muestra en el diagrama pV de Figura 4.12. Como los estados inicial y final del sistema son los mismos, el cambio de la energía interna del gas en el ciclo debe ser cero, es decir, ΔEint=0ΔEint=0. La primera ley de la termodinámica da entonces

W=QΔEint=(QhQc)0,W=QΔEint=(QhQc)0,

y

W=QhQc.W=QhQc.

Para calcular el rendimiento de este motor, primero dividimos QcentreQh:QcentreQh:

QcQh=TcThlnVO/VPlnVN/VM.QcQh=TcThlnVO/VPlnVN/VM.

Cuando la constante adiabática del paso 2 se divide entre la del paso 4, tenemos

VOVP=VNVM.VOVP=VNVM.

Sustituyendo esto en la ecuación de Qc/Qh,Qc/Qh, obtenemos

QcQh=TcTh.QcQh=TcTh.

Finalmente, con la Ecuación 4.2, tenemos que el rendimiento de esta máquina de Carnot de gas ideal se da por

e=1TcTh.e=1TcTh.
4.5

Una máquina no tiene que seguir necesariamente un ciclo de máquina de Carnot. Sin embargo, todos los motores tienen el mismo efecto neto, es decir, la absorción de calor de un depósito caliente, la producción de trabajo y el desecho de calor a un reservorio frío. Esto nos lleva a preguntarnos: ¿todos los ciclos reversibles que operan entre los mismos dos reservorios tienen el mismo rendimiento? La respuesta a esta pregunta proviene de la segunda ley de la termodinámica, de la que ya hemos hablado: todos los ciclos de máquinas reversibles producen exactamente el mismo rendimiento. Además, como es de esperar, todas las máquinas reales que funcionan entre dos reservorios son menos eficientes que las máquinas reversibles que funcionan entre los mismos dos reservorios. Esto también es una consecuencia de la segunda ley de la termodinámica mostrada anteriormente.

El ciclo de un refrigerador Carnot de gas ideal se representa mediante el diagrama pV de la Figura 4.13. Se trata de una máquina de Carnot que funciona a la inversa. El refrigerador extrae el calor QcQc de un reservorio de temperatura fría a TcTc cuando el gas ideal se expande isotérmicamente. A continuación, el gas se comprime adiabáticamente hasta que su temperatura alcanza Th,Th, tras lo cual una compresión isotérmica del gas resulta en calor QhQh que se derecha a un reservorio de alta temperatura a Th.Th. Finalmente, el ciclo se completa con una expansión adiabática del gas, haciendo que su temperatura descienda a Tc.Tc.

La primera parte de la figura muestra un gráfico para un ciclo del refrigerador de Carnot. El eje x es V y el eje y es p. La segunda parte muestra una flecha ascendente Q subíndice c en T subíndice c que se convierte en flecha Q subíndice h en T subíndice h después de añadir la flecha W desde la izquierda.
Figura 4.13 El trabajo realizado sobre el gas en un ciclo del refrigerador de Carnot se muestra y viene dado por el área encerrada por el bucle MPONM.

El trabajo realizado en el gas ideal es igual al área que encierra la trayectoria del diagrama pV. A partir de la primera ley, este trabajo viene dado por

W=QhQc.W=QhQc.

Un análisis como el realizado para la máquina de Carnot da

QcTc=QhTh.QcTc=QhTh.

Cuando se combina con la Ecuación 4.3, se obtiene

KR=TcThTcKR=TcThTc
4.6

para el coeficiente de rendimiento del refrigerador de Carnot de gas ideal. Del mismo modo, podemos calcular el coeficiente de rendimiento de una bomba de calor de Carnot como

KP=QhQhQc=ThThTc.KP=QhQhQc=ThThTc.
4.7

Hemos hallado las ecuaciones que representan el rendimiento de una máquina de Carnot y el coeficiente de rendimiento de un refrigerador de Carnot o de una bomba de calor de Carnot, suponiendo un gas ideal como sustancia de trabajo en ambos dispositivos. Sin embargo, estas ecuaciones son más generales de lo que implican sus derivaciones. Pronto demostraremos que ambos son válidos independientemente de la sustancia de trabajo.

Carnot resumió su estudio de la máquina de Carnot y del ciclo de Carnot en lo que hoy se conoce como principio de Carnot:

Principio de Carnot

Ninguna máquina que trabaje entre dos reservorios a temperatura constante puede tener un rendimiento mayor que una máquina reversible.

Este principio puede considerarse como otro enunciado de la segunda ley de la termodinámica y puede demostrarse que es equivalente al enunciado de Kelvin y al de Clausius.

Ejemplo 4.2

La máquina de Carnot

Una máquina de Carnot tiene un rendimiento de 0,60 y la temperatura de su reservorio frío es de 300 K. (a) ¿Cuál es la temperatura del reservorio caliente? (b) Si la máquina realiza 300 J de trabajo por ciclo, ¿cuánto calor se extrae del reservorio de alta temperatura por ciclo? (c) ¿Cuánto calor se extrae al reservorio de baja temperatura por ciclo?

Estrategia

A partir de la dependencia de la temperatura del rendimiento térmico de la máquina de Carnot podemos obtener la temperatura del reservorio caliente. Entonces, a partir de la definición del rendimiento, podemos calcular el calor eliminado cuando se da el trabajo que realiza el motor. Por último, la conservación de la energía llevará a la cantidad de calor que se debe verter al reservorio frío.

Solución

  1. Desde e=1Tc/The=1Tc/Th tenemos
    0,60=1300KTh,0,60=1300KTh,
    para que la temperatura del reservorio caliente sea
    Th=300K10,60=750K.Th=300K10,60=750K.
  2. Por definición, el rendimiento del motor es e=W/Qe=W/Q, de modo que el calor extraído del reservorio de alta temperatura por ciclo es
    Qh=We=300J0,60=500J.Qh=We=300J0,60=500J.
  3. A partir de la primera ley, el calor que escapa al reservorio de baja temperatura por ciclo por el motor es
    Qc=QhW=500J300J=200J.Qc=QhW=500J300J=200J.

Importancia

Una máquina de Carnot tiene el rendimiento máximo posible de conversión de calor en trabajo entre dos reservorios, pero esto no significa necesariamente que sea 100%100% eficiente. A medida que aumenta la diferencia de temperaturas entre el reservorio caliente y el frío aumenta el rendimiento de una máquina de Carnot.

Ejemplo 4.3

Una bomba de calor de Carnot

Imaginemos que una bomba de calor de Carnot funciona entre una temperatura exterior de 0°C0°C y una temperatura interior de 20,0°C20,0°C. ¿Cuál es el trabajo necesario si el calor suministrado al interior de la casa es de 30,0 kJ?

Estrategia

Como se supone que la bomba de calor es una bomba de Carnot, su coeficiente de rendimiento viene dado por KP=Qh/W=Th/(ThTc).KP=Qh/W=Th/(ThTc). Así, podemos calcular el trabajo W a partir del calor entregado Qh.Qh.

Solución

El trabajo necesario se obtiene de
W=Qh/KP=Qh(ThTc)/Th=30kJ×(293K273K)/293K=2kJ.W=Qh/KP=Qh(ThTc)/Th=30kJ×(293K273K)/293K=2kJ.

Importancia

Hay que tener en cuenta que este trabajo no solo depende del calor que se suministra a la casa, sino también de las temperaturas exteriores e interiores. La dependencia de la temperatura exterior hace que su uso sea poco práctico en zonas donde la temperatura exterior es mucho más fría que la temperatura ambiente.

En términos de costos energéticos, la bomba de calor es un medio muy económico para calentar edificios (Figura 4.14). Contrasta este método con la transformación de la energía eléctrica directamente en calor con elementos calefactores resistivos. En este caso, una unidad de energía eléctrica proporciona como máximo una unidad de calor. Por desgracia, las bombas de calor tienen problemas que limitan su utilidad. Su adquisición es bastante costosa en comparación con los elementos calefactores resistivos y, como muestra el coeficiente de rendimiento de una bomba de calor de Carnot, son menos eficaces a medida que disminuye la temperatura exterior. De hecho, por debajo de unos –10°C–10°C, el calor que proporcionan es menor que la energía se utiliza para su funcionamiento.

La foto muestra una bomba de calor.
Figura 4.14 Fotografía de una bomba de calor (caja grande) situada en el exterior de una casa. Esta bomba de calor se ubica en una zona de clima cálido, como el sur de Estados Unidos, ya que sería demasiado ineficiente ubicada en la mitad norte de Estados Unidos (créditos: modificación de un trabajo de Peter Stevens).

Compruebe Lo Aprendido 4.3

Una máquina de Carnot funciona entre reservorios a 400°C400°C y 30°C30°C. (a) ¿Cuál es el rendimiento de la máquina? (b) Si la máquina realiza 5,0 J de trabajo por ciclo, ¿cuánto calor por ciclo absorbe del reservorio de alta temperatura? (c) ¿Cuánto calor por ciclo escapa al reservorio de temperatura fría? (d) ¿Qué temperaturas en el reservorio frío darían el rendimiento mínimo y máximo?

Compruebe Lo Aprendido 4.4

Un refrigerador de Carnot funciona entre dos reservorios de calor cuyas temperaturas son 0°C0°C y 25°C25°C. (a) ¿Cuál es el coeficiente de rendimiento del refrigerador? (b) Si se realizan 200 J de trabajo sobre la sustancia activa por ciclo, ¿cuánto calor por ciclo se extrae del reservorio frío? (c) ¿Cuánto calor por ciclo se desecha al reservorio caliente?

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