4.5 El ciclo de Carnot

A principios de la década de los años 20 del siglo XIX, Sadi Carnot (1786-1832), un ingeniero francés, se interesó por mejorar la eficiencia de las máquinas térmicas prácticas. En 1824, sus estudios le llevaron a proponer un hipotético ciclo de trabajo con el mayor rendimiento posible entre los mismos dos reservorios, conocido actualmente como ciclo de Carnot. Una máquina que funciona en este ciclo se denomina máquina de Carnot. El ciclo de Carnot es de especial importancia por varias razones. A nivel práctico, este ciclo representa un modelo reversible para la central eléctrica de vapor y el refrigerador, o la bomba de calor. Sin embargo, también es muy importante desde el punto de vista teórico, ya que desempeña un papel fundamental en el desarrollo de otro importante enunciado de la segunda ley de la termodinámica. Por último, como solo intervienen dos reservorios en su funcionamiento, puede utilizarse junto con la segunda ley de la termodinámica para definir una escala de temperatura absoluta que sea realmente independiente de cualquier sustancia utilizada para medir la temperatura.

Con un gas ideal como sustancia de trabajo, las etapas del ciclo de Carnot, representadas por la Figura 4.11, son las siguientes.

1. Expansión isotérmica. El gas se pone en contacto térmico con un reservorio de calor a una temperatura $T_{\text{h}}.$ El gas absorbe el calor $Q_{\text{h}}$ del reservorio de calor y se deja que se expanda isotérmicamente, realizando trabajo $W_1.$ Ya que la energía interna $E_{\text{int}}$ de un gas ideal es una función de la temperatura solamente, el cambio de la energía interna es cero, es decir, $\text{Δ}{E}_{\text{int}}=0$ durante esta expansión isotérmica. Con la primera ley de la termodinámica, $\text{Δ}{E}_{\text{int}}=Q-W,$ hallamos que el calor absorbido por el gas es
   $$Q_{\text{h}}=W_1=nR{T}_{\text{h}}\text{ln}\frac{V_N}{V_M}.$$

   Figura 4.11 Los cuatro procesos del ciclo de Carnot. Se supone que la sustancia de trabajo es un gas ideal cuya trayectoria termodinámica MNOP se representa en Figura 4.12.

   Figura 4.12 El trabajo total que realiza el gas en el ciclo de Carnot se muestra y viene dado por el área encerrada por el bucle MNOPM.
2. Expansión adiabática. El gas se aísla térmicamente y se deja que se expanda más, realizando trabajo $W_2.$ Como esta expansión es adiabática, la temperatura del gas cae, en este caso, de $T_{\text{h}}\text{a}{T}_{\text{c}}.$ Desde $p{V}^{\gamma }=\text{constante}$ y la ecuación de estado de un gas ideal, $pV=nRT$, tenemos
   $$T{V}^{\text{γ}\text{−}\text{1}}=\text{constante},$$
   para que
   $$T_{\text{h}}{V}_N{}^{\gamma -1}=T_{\text{c}}{V}_O{}^{\gamma -1}.$$
3. Compresión isotérmica. El gas se pone en contacto térmico con un reservorio frío a temperatura $T_{\text{c}}$ y comprimido isotérmicamente. Durante este proceso, el trabajo $W_3$ se hace en el gas y da calor $Q_{\text{c}}$ al reservorio frío. El razonamiento utilizado en el paso 1 da como resultado
   $$Q_{\text{c}}=nR{T}_{\text{c}}\text{ln}\frac{V_O}{V_P},$$
   donde $Q_{\text{c}}$ es el calor vertido al reservorio frío por el gas.
4. Compresión adiabática. El gas se aísla térmicamente y vuelve a su estado inicial por compresión. En este proceso, el trabajo $W_4$ se hace en el gas. Como la compresión es adiabática, la temperatura del gas aumenta, de $T_{\text{c}}\text{a}{T}_{\text{h}}$ en este caso concreto. El razonamiento del paso 2 da ahora
   $$T_{\text{c}}{V}_P{}^{\gamma -1}=T_{\text{h}}{V}_M{}^{\gamma -1}.$$
   El trabajo total realizado por el gas en el ciclo de Carnot se da por
   $$W=W_1+W_2-W_3-W_4.$$

Este trabajo es igual al área que encierra el bucle que se muestra en el diagrama pV de Figura 4.12. Como los estados inicial y final del sistema son los mismos, el cambio de la energía interna del gas en el ciclo debe ser cero, es decir, $\text{Δ}{E}_{\text{int}}=0$. La primera ley de la termodinámica da entonces

y

Para calcular el rendimiento de este motor, primero dividimos $Q_{\text{c}}\text{entre}{Q}_{\text{h}}:$

Cuando la constante adiabática del paso 2 se divide entre la del paso 4, tenemos

Sustituyendo esto en la ecuación de $Q_{\text{c}}\text{/}{Q}_{\text{h}},$ obtenemos

Finalmente, con la Ecuación 4.2, tenemos que el rendimiento de esta máquina de Carnot de gas ideal se da por

Una máquina no tiene que seguir necesariamente un ciclo de máquina de Carnot. Sin embargo, todos los motores tienen el mismo efecto neto, es decir, la absorción de calor de un depósito caliente, la producción de trabajo y el desecho de calor a un reservorio frío. Esto nos lleva a preguntarnos: ¿todos los ciclos reversibles que operan entre los mismos dos reservorios tienen el mismo rendimiento? La respuesta a esta pregunta proviene de la segunda ley de la termodinámica, de la que ya hemos hablado: todos los ciclos de máquinas reversibles producen exactamente el mismo rendimiento. Además, como es de esperar, todas las máquinas reales que funcionan entre dos reservorios son menos eficientes que las máquinas reversibles que funcionan entre los mismos dos reservorios. Esto también es una consecuencia de la segunda ley de la termodinámica mostrada anteriormente.

El ciclo de un refrigerador Carnot de gas ideal se representa mediante el diagrama pV de la Figura 4.13. Se trata de una máquina de Carnot que funciona a la inversa. El refrigerador extrae el calor $Q_{\text{c}}$ de un reservorio de temperatura fría a $T_{\text{c}}$ cuando el gas ideal se expande isotérmicamente. A continuación, el gas se comprime adiabáticamente hasta que su temperatura alcanza $T_{\text{h}},$ tras lo cual una compresión isotérmica del gas resulta en calor $Q_{\text{h}}$ que se derecha a un reservorio de alta temperatura a $T_{\text{h}}.$ Finalmente, el ciclo se completa con una expansión adiabática del gas, haciendo que su temperatura descienda a $T_{\text{c}}.$

Figura 4.13 El trabajo realizado sobre el gas en un ciclo del refrigerador de Carnot se muestra y viene dado por el área encerrada por el bucle MPONM.

El trabajo realizado en el gas ideal es igual al área que encierra la trayectoria del diagrama pV. A partir de la primera ley, este trabajo viene dado por

Un análisis como el realizado para la máquina de Carnot da

Cuando se combina con la Ecuación 4.3, se obtiene

para el coeficiente de rendimiento del refrigerador de Carnot de gas ideal. Del mismo modo, podemos calcular el coeficiente de rendimiento de una bomba de calor de Carnot como

Hemos hallado las ecuaciones que representan el rendimiento de una máquina de Carnot y el coeficiente de rendimiento de un refrigerador de Carnot o de una bomba de calor de Carnot, suponiendo un gas ideal como sustancia de trabajo en ambos dispositivos. Sin embargo, estas ecuaciones son más generales de lo que implican sus derivaciones. Pronto demostraremos que ambos son válidos independientemente de la sustancia de trabajo.

Carnot resumió su estudio de la máquina de Carnot y del ciclo de Carnot en lo que hoy se conoce como principio de Carnot:

Este principio puede considerarse como otro enunciado de la segunda ley de la termodinámica y puede demostrarse que es equivalente al enunciado de Kelvin y al de Clausius.

En términos de costos energéticos, la bomba de calor es un medio muy económico para calentar edificios (Figura 4.14). Contrasta este método con la transformación de la energía eléctrica directamente en calor con elementos calefactores resistivos. En este caso, una unidad de energía eléctrica proporciona como máximo una unidad de calor. Por desgracia, las bombas de calor tienen problemas que limitan su utilidad. Su adquisición es bastante costosa en comparación con los elementos calefactores resistivos y, como muestra el coeficiente de rendimiento de una bomba de calor de Carnot, son menos eficaces a medida que disminuye la temperatura exterior. De hecho, por debajo de unos $\mathrm{–10}\text{°C}$, el calor que proporcionan es menor que la energía se utiliza para su funcionamiento.

Figura 4.14 Fotografía de una bomba de calor (caja grande) situada en el exterior de una casa. Esta bomba de calor se ubica en una zona de clima cálido, como el sur de Estados Unidos, ya que sería demasiado ineficiente ubicada en la mitad norte de Estados Unidos (créditos: modificación de un trabajo de Peter Stevens).