8.5 Modelo molecular de un dieléctrico

Podemos entender el efecto de un dieléctrico en la capacitancia eléctrica al observar su comportamiento a nivel molecular. Como vimos en capítulos anteriores, en general, todas las moléculas pueden clasificarse como polares o no polares. Hay una separación neta de cargas positivas y negativas en una molécula polar aislada, mientras que no hay separación de cargas en una molécula no polar aislada (Figura 8.19). En otras palabras, las moléculas polares tienen momentos dipolares eléctricos permanentes y las moléculas no polares, no. Por ejemplo, una molécula de agua es polar y una molécula de oxígeno es no polar. Las moléculas no polares pueden convertirse en polares en presencia de un campo eléctrico externo, lo que se denomina polarización inducida.

Figura 8.19 El concepto de polarización: en un átomo o molécula no polarizada, una nube de electrones con carga negativa se distribuye uniformemente alrededor de los centros con carga positiva, mientras que un átomo o molécula polarizada tiene un exceso de carga negativa en un lado, de modo que el otro lado tiene un exceso de carga positiva. Sin embargo, todo el sistema sigue siendo eléctricamente neutro. La polarización de la carga puede deberse a un campo eléctrico externo. Algunas moléculas y átomos están permanentemente polarizados (dipolos eléctricos) incluso en ausencia de un campo eléctrico externo (moléculas y átomos polares).

Consideremos primero un dieléctrico compuesto por moléculas polares. En ausencia de cualquier campo eléctrico externo, los dipolos eléctricos se orientan aleatoriamente, como se ilustra en la Figura 8.20(a). Sin embargo, si el dieléctrico se coloca en un campo eléctrico externo ${\overrightarrow{E}}_0$, las moléculas polares se alinean con el campo externo, como se muestra en la parte (b) de la figura. Las cargas opuestas de los dipolos adyacentes dentro del volumen del dieléctrico se neutralizan mutuamente, por lo que no hay carga neta dentro del dieléctrico (véanse los círculos discontinuos en la parte (b)). Sin embargo, este no es el caso muy cerca de las superficies superior e inferior que bordean el dieléctrico (la región delimitada por los rectángulos punteados en la parte (b)), donde la alineación sí produce una carga neta. Dado que el campo eléctrico externo simplemente alinea los dipolos, el dieléctrico en su conjunto es neutro, y las cargas superficiales inducidas en sus caras opuestas son iguales y opuestas. Estas cargas superficiales inducidas $+Q_i$ y $\text{−}{Q}_i$ producen un campo eléctrico adicional ${\overrightarrow{E}}_{\text{i}}$ (un campo eléctrico inducido), que se opone al campo externo ${\overrightarrow{E}}_0$, como se ilustra en la parte (c).

Figura 8.20 Un dieléctrico con moléculas polares: (a) en ausencia de un campo eléctrico externo; (b) en presencia de un campo eléctrico externo ${\overrightarrow{E}}_0$. Las líneas discontinuas indican las regiones inmediatamente adyacentes a las placas del condensador. (c) El campo eléctrico inducido ${\overrightarrow{E}}_{\text{i}}$ dentro del dieléctrico producido por la carga superficial inducida $Q_i$ del dieléctrico. Observe que, en realidad, las moléculas individuales no están perfectamente alineadas con un campo externo debido a las fluctuaciones térmicas; sin embargo, la alineación regular es a lo largo de las líneas de campo, como se muestra.

El mismo efecto se produce cuando las moléculas de un dieléctrico no son polares. En este caso, una molécula no polar adquiere un momento dipolar inducido eléctrico porque el campo externo ${\overrightarrow{E}}_0$ provoca una separación entre sus cargas positivas y negativas. Los dipolos inducidos de las moléculas no polares se alinean con ${\overrightarrow{E}}_0$ del mismo modo que se alinean los dipolos permanentes de las moléculas polares (mostrado en la parte (b)). Por lo tanto, el campo eléctrico dentro del dieléctrico se debilita independientemente de que sus moléculas sean polares o no polares.

Por lo tanto, cuando la región entre las placas paralelas de un condensador cargado, como el que se muestra en la Figura 8.21(a), se llena con un dieléctrico, dentro del dieléctrico hay un campo eléctrico ${\overrightarrow{E}}_0$ gracias a la carga libre $Q_0$ en las placas del condensador y un campo eléctrico ${\overrightarrow{E}}_{\text{i}}$ debido a la carga inducida $Q_i$ en las superficies del dieléctrico. Su suma vectorial da el campo eléctrico neto $\overrightarrow{E}$ dentro del dieléctrico entre las placas del condensador (mostrado en la parte (b) de la figura):

Este campo neto puede considerarse como el campo producido por una carga efectiva $Q_0-Q_i$ en el condensador.

Figura 8.21 Campo eléctrico: (a) en un condensador vacío, el campo eléctrico ${\overrightarrow{E}}_0$. (b) En un condensador relleno de dieléctrico, el campo eléctrico $\overrightarrow{E}$.

En la mayoría de los dieléctricos, el campo eléctrico neto $\overrightarrow{E}$ es proporcional al campo ${\overrightarrow{E}}_0$ producido por la carga libre. En términos de estos dos campos eléctricos, la constante dieléctrica $\kappa$ del material se define como

Dado que ${\overrightarrow{E}}_0$ y ${\overrightarrow{E}}_{\text{i}}$ apuntan en direcciones opuestas, la magnitud E es menor que la magnitud $E_0$ y, por lo tanto, $\kappa >1.$ Al Combinar la Ecuación 8.14 con la Ecuación 8.13, y al reordenar los términos, se obtiene la siguiente expresión para el campo eléctrico inducido en un dieléctrico:

Cuando la magnitud de un campo eléctrico externo es demasiado grande, las moléculas del material dieléctrico comienzan a ionizarse. Una molécula o un átomo se ionizan cuando uno o más electrones se desprenden de ellos y se convierten en electrones libres, que ya no están unidos a la estructura molecular o atómica. Cuando esto sucede, el material puede conducir, permitiendo así que la carga se mueva a través del dieléctrico de una placa del condensador a la otra. Este fenómeno se denomina ruptura dieléctrica (la Figura 8.1 muestra patrones típicos de trayectorias aleatorias de descarga eléctrica durante la ruptura dieléctrica). El valor crítico, $E_{\text{c}}$, del campo eléctrico al que se ionizan las moléculas de un aislante se denomina resistencia dieléctrica del material. La resistencia dieléctrica impone un límite al voltaje que puede aplicarse para una determinada separación de placas en un condensador. Por ejemplo, la resistencia dieléctrica del aire es $E_{\text{c}}=\mathrm{3,0}\text{MV/m}$, por lo que para un condensador lleno de aire con una separación de placas de $d=\mathrm{1,00}\text{mm},$ el límite de la diferencia de potencial que puede aplicarse con seguridad a través de sus placas sin provocar una ruptura dieléctrica es $V=E_{\text{c}}d=(\mathrm{3,0}\times {10}^6\text{V/m})(\mathrm{1,00}\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{m})=\mathrm{3,0}\text{kV}$.

Sin embargo, este límite se convierte en 60,0 kV cuando el mismo condensador se llena de Teflon™, cuya resistencia dieléctrica es de aproximadamente $\mathrm{60,0}\text{MV/m}$. Debido a este límite impuesto por la resistencia dieléctrica, la cantidad de carga que puede almacenar un condensador lleno de aire es solo $Q_0={\kappa }_{\text{aire}}{C}_0(\mathrm{3,0}\text{kV)}$ y la carga almacenada en el mismo condensador relleno de Teflon™ puede ser de hasta

que es unas 42 veces mayor que la carga almacenada en un condensador lleno de aire. Los valores típicos de las constantes dieléctricas y las resistencias dieléctricas de varios materiales se indican en la Tabla 8.1. Observe que la constante dieléctrica $\kappa$ es exactamente 1,0 para el vacío (el espacio vacío sirve como condición de referencia) y muy cercano a 1,0 para el aire en condiciones normales (presión normal a temperatura ambiente). Estos dos valores son tan cercanos que, de hecho, las propiedades de un condensador lleno de aire son esencialmente las mismas que las de un condensador vacío.

No todas las sustancias de la tabla son buenos aislantes, a pesar de sus elevadas constantes dieléctricas. El agua, por ejemplo, está formada por moléculas polares y tiene una gran constante dieléctrica de aproximadamente 80. Es más probable que en una molécula de agua los electrones se encuentren alrededor del núcleo de oxígeno que alrededor de los núcleos de hidrógeno. Esto hace que el extremo de oxígeno de la molécula sea ligeramente negativo y deja el extremo de hidrógenos ligeramente positivo, lo que hace que la molécula se alinee fácilmente a lo largo de un campo eléctrico externo y, por lo tanto, el agua tiene una gran constante dieléctrica. Sin embargo, la naturaleza polar de las moléculas de agua también hace que esta sea un buen disolvente para muchas sustancias, lo que produce efectos indeseables, porque cualquier concentración de iones libres en el agua conduce la electricidad.

Ejemplo 8.12

Inserción de un dieléctrico en un condensador conectado a una batería

Cuando una batería de voltaje $V_0$ se conecta a través de un condensador vacío de capacitancia $C_0$, la carga en sus placas es $Q_0$, y el campo eléctrico entre sus placas es $E_0$. Un dieléctrico de constante dieléctrica $\kappa$ se inserta entre las placas mientras la batería permanece en su lugar, como se muestra en la Figura 8.22. (a) Calcule la capacitancia C, el voltaje V a través del condensador y el campo eléctrico E entre las placas después de insertar el dieléctrico. (b) Obtenga una expresión para la carga libre Q en las placas del condensador lleno y la carga inducida $Q_{\text{i}}$ en la superficie dieléctrica en términos de la carga original de la placa $Q_0$.

Figura 8.22 Se inserta un dieléctrico en el condensador cargado mientras este permanece conectado a la batería.

Estrategia

Identificamos los valores conocidos $V_0$, $C_0$,$E_0$, $\kappa$ y $Q_0$. Nuestra tarea es expresar los valores desconocidos en términos de estos valores conocidos.

Solución

(a) La capacitancia del condensador lleno es $C=\kappa C_0$. Como la batería siempre está conectada a las placas del condensador, la diferencia de potencial entre ellas no cambia; por lo tanto, $V=V_0$. Por ello, el campo eléctrico en el condensador lleno es el mismo que el campo en el condensador vacío, por lo que podemos obtener directamente que

$$E=\frac{V}{d}=\frac{V_0}{d}=E_0.$$

(b) Para el condensador lleno, la carga libre en las placas es

$$Q=CV=(\kappa C_0)V_0=\kappa (C_0{V}_0)=\kappa Q_0.$$

El campo eléctrico E en el condensador lleno se debe a la carga efectiva $Q-Q_{\text{i}}$ (Figura 8.22(b)). Dado que $E=E_0$, tenemos

$$\frac{Q-Q_{\text{i}}}{{\epsilon }_{0}A}=\frac{Q_0}{{\epsilon }_{0}A}.$$

Resolviendo esta ecuación para $Q_{\text{i}}$, obtenemos para la carga inducida

$$Q_{\text{i}}=Q-Q_0=\kappa Q_0-Q_0=(\kappa -1)Q_0.$$

Importancia

Observe que para materiales con constantes dieléctricas superiores a 2 (vea la Tabla 8.1), la carga inducida en la superficie del dieléctrico es mayor que la carga en las placas de un condensador de vacío. Lo contrario ocurre con los gases, como el aire, cuya constante dieléctrica es inferior a 2.