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Física Universitaria Volumen 2

8.5 Modelo molecular de un dieléctrico

Física Universitaria Volumen 28.5 Modelo molecular de un dieléctrico
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar la polarización de un dieléctrico en un campo eléctrico uniforme.
  • Describir el efecto de un dieléctrico polarizado sobre el campo eléctrico entre las placas del condensador.
  • Explicar la ruptura dieléctrica.

Podemos entender el efecto de un dieléctrico en la capacitancia eléctrica al observar su comportamiento a nivel molecular. Como vimos en capítulos anteriores, en general, todas las moléculas pueden clasificarse como polares o no polares. Hay una separación neta de cargas positivas y negativas en una molécula polar aislada, mientras que no hay separación de cargas en una molécula no polar aislada (Figura 8.19). En otras palabras, las moléculas polares tienen momentos dipolares eléctricos permanentes y las moléculas no polares, no. Por ejemplo, una molécula de agua es polar y una molécula de oxígeno es no polar. Las moléculas no polares pueden convertirse en polares en presencia de un campo eléctrico externo, lo que se denomina polarización inducida.

Las figuras muestran una vista a gran escala de un átomo. La figura a muestra un átomo no polarizado, con protones y neutrones en el centro y una nube circular de electrones rodeando el núcleo. La figura b muestra un átomo polarizado y cargas externas positivas y negativas. El átomo tiene forma oblonga y la nube de electrones es atraída hacia la carga externa positiva, y el núcleo es atraído hacia la carga externa negativa. La figura c muestra otro átomo polarizado oblongo.
Figura 8.19 El concepto de polarización: en un átomo o molécula no polarizada, una nube de electrones con carga negativa se distribuye uniformemente alrededor de los centros con carga positiva, mientras que un átomo o molécula polarizada tiene un exceso de carga negativa en un lado, de modo que el otro lado tiene un exceso de carga positiva. Sin embargo, todo el sistema sigue siendo eléctricamente neutro. La polarización de la carga puede deberse a un campo eléctrico externo. Algunas moléculas y átomos están permanentemente polarizados (dipolos eléctricos) incluso en ausencia de un campo eléctrico externo (moléculas y átomos polares).

Consideremos primero un dieléctrico compuesto por moléculas polares. En ausencia de cualquier campo eléctrico externo, los dipolos eléctricos se orientan aleatoriamente, como se ilustra en la Figura 8.20(a). Sin embargo, si el dieléctrico se coloca en un campo eléctrico externo E0E0, las moléculas polares se alinean con el campo externo, como se muestra en la parte (b) de la figura. Las cargas opuestas de los dipolos adyacentes dentro del volumen del dieléctrico se neutralizan mutuamente, por lo que no hay carga neta dentro del dieléctrico (véanse los círculos discontinuos en la parte (b)). Sin embargo, este no es el caso muy cerca de las superficies superior e inferior que bordean el dieléctrico (la región delimitada por los rectángulos punteados en la parte (b)), donde la alineación sí produce una carga neta. Dado que el campo eléctrico externo simplemente alinea los dipolos, el dieléctrico en su conjunto es neutro, y las cargas superficiales inducidas en sus caras opuestas son iguales y opuestas. Estas cargas superficiales inducidas +Qi+Qi y QiQi producen un campo eléctrico adicional EiEi (un campo eléctrico inducido), que se opone al campo externo E0E0, como se ilustra en la parte (c).

La figura a muestra un material dieléctrico con moléculas de forma oblonga en su interior. Cada molécula tiene un signo positivo en un lado y un signo negativo en el otro. Todas están dispuestas al azar. La figura b muestra las mismas moléculas ahora perfectamente alineadas en filas y columnas, con el extremo negativo de cada molécula en la parte superior. Un campo eléctrico externo E0 apunta hacia abajo. Una línea discontinua engloba los signos negativos de todas las moléculas de la fila superior. Asimismo, una línea discontinua engloba los signos positivos de todas las moléculas de la fila inferior. La figura c muestra signos negativos en la parte superior del dieléctrico, marcados como menos Qi, y signos positivos en la parte inferior, marcados como más Qi. El campo inducido Ei dentro del dieléctrico, apunta hacia arriba.
Figura 8.20 Un dieléctrico con moléculas polares: (a) en ausencia de un campo eléctrico externo; (b) en presencia de un campo eléctrico externo E 0 E 0 . Las líneas discontinuas indican las regiones inmediatamente adyacentes a las placas del condensador. (c) El campo eléctrico inducido E i E i dentro del dieléctrico producido por la carga superficial inducida Q i Q i del dieléctrico. Observe que, en realidad, las moléculas individuales no están perfectamente alineadas con un campo externo debido a las fluctuaciones térmicas; sin embargo, la alineación regular es a lo largo de las líneas de campo, como se muestra.

El mismo efecto se produce cuando las moléculas de un dieléctrico no son polares. En este caso, una molécula no polar adquiere un momento dipolar inducido eléctrico porque el campo externo E0E0 provoca una separación entre sus cargas positivas y negativas. Los dipolos inducidos de las moléculas no polares se alinean con E0E0 del mismo modo que se alinean los dipolos permanentes de las moléculas polares (mostrado en la parte (b)). Por lo tanto, el campo eléctrico dentro del dieléctrico se debilita independientemente de que sus moléculas sean polares o no polares.

Por lo tanto, cuando la región entre las placas paralelas de un condensador cargado, como el que se muestra en la Figura 8.21(a), se llena con un dieléctrico, dentro del dieléctrico hay un campo eléctrico E0E0 gracias a la carga libre Q0Q0 en las placas del condensador y un campo eléctrico EiEi debido a la carga inducida QiQi en las superficies del dieléctrico. Su suma vectorial da el campo eléctrico neto EE dentro del dieléctrico entre las placas del condensador (mostrado en la parte (b) de la figura):

E=E0+Ei.E=E0+Ei.
8.13

Este campo neto puede considerarse como el campo producido por una carga efectiva Q0QiQ0Qi en el condensador.

La figura a muestra un condensador vacío cargado. Las flechas que representan el campo eléctrico E0 van de la placa positiva a la negativa. La figura b muestra un condensador cargado lleno de dieléctrico. Las flechas que representan el campo eléctrico E van de la placa positiva a la negativa. El dieléctrico tiene cargas negativas acumuladas cerca de la superficie de la placa positiva y cargas positivas acumuladas cerca de la superficie de la placa negativa.
Figura 8.21 Campo eléctrico: (a) en un condensador vacío, el campo eléctrico E 0 E 0 . (b) En un condensador relleno de dieléctrico, el campo eléctrico E E .

En la mayoría de los dieléctricos, el campo eléctrico neto EE es proporcional al campo E0E0 producido por la carga libre. En términos de estos dos campos eléctricos, la constante dieléctrica κκ del material se define como

κ=E0E.κ=E0E.
8.14

Dado que E0E0 y EiEi apuntan en direcciones opuestas, la magnitud E es menor que la magnitud E0E0 y, por lo tanto, κ>1.κ>1. Al Combinar la Ecuación 8.14 con la Ecuación 8.13, y al reordenar los términos, se obtiene la siguiente expresión para el campo eléctrico inducido en un dieléctrico:

Ei=(1κ1)E0.Ei=(1κ1)E0.
8.15

Cuando la magnitud de un campo eléctrico externo es demasiado grande, las moléculas del material dieléctrico comienzan a ionizarse. Una molécula o un átomo se ionizan cuando uno o más electrones se desprenden de ellos y se convierten en electrones libres, que ya no están unidos a la estructura molecular o atómica. Cuando esto sucede, el material puede conducir, permitiendo así que la carga se mueva a través del dieléctrico de una placa del condensador a la otra. Este fenómeno se denomina ruptura dieléctrica (la Figura 8.1 muestra patrones típicos de trayectorias aleatorias de descarga eléctrica durante la ruptura dieléctrica). El valor crítico, EcEc, del campo eléctrico al que se ionizan las moléculas de un aislante se denomina resistencia dieléctrica del material. La resistencia dieléctrica impone un límite al voltaje que puede aplicarse para una determinada separación de placas en un condensador. Por ejemplo, la resistencia dieléctrica del aire es Ec=3,0MV/mEc=3,0MV/m, por lo que para un condensador lleno de aire con una separación de placas de d=1,00mm,d=1,00mm, el límite de la diferencia de potencial que puede aplicarse con seguridad a través de sus placas sin provocar una ruptura dieléctrica es V=Ecd=(3,0×106V/m)(1,00×10−3m)=3,0kVV=Ecd=(3,0×106V/m)(1,00×10−3m)=3,0kV.

Sin embargo, este límite se convierte en 60,0 kV cuando el mismo condensador se llena de Teflon™, cuya resistencia dieléctrica es de aproximadamente 60,0MV/m60,0MV/m. Debido a este límite impuesto por la resistencia dieléctrica, la cantidad de carga que puede almacenar un condensador lleno de aire es solo Q0=κaireC0(3,0kV)Q0=κaireC0(3,0kV) y la carga almacenada en el mismo condensador relleno de Teflon™ puede ser de hasta

Q=κteflónC0(60,0kV)=κteflónQ0κaire(3,0kV)(60,0kV)=20κteflónκaireQ0=202,11,00059Q042Q0,Q=κteflónC0(60,0kV)=κteflónQ0κaire(3,0kV)(60,0kV)=20κteflónκaireQ0=202,11,00059Q042Q0,

que es unas 42 veces mayor que la carga almacenada en un condensador lleno de aire. Los valores típicos de las constantes dieléctricas y las resistencias dieléctricas de varios materiales se indican en la Tabla 8.1. Observe que la constante dieléctrica κκ es exactamente 1,0 para el vacío (el espacio vacío sirve como condición de referencia) y muy cercano a 1,0 para el aire en condiciones normales (presión normal a temperatura ambiente). Estos dos valores son tan cercanos que, de hecho, las propiedades de un condensador lleno de aire son esencialmente las mismas que las de un condensador vacío.

Material Constante dieléctrica κκ Resistencia dieléctrica Ec[×106V/m]Ec[×106V/m]
Vacío 1
Aire seco (1 atm) 1,00059 3,0
Teflon™ 2,1 60 a 173
Parafina 2,3 11
Aceite de silicona 2,5 10 a 15
Poliestireno 2,56 19,7
Nylon 3,4 14
Papel 3,7 16
Cuarzo fundido 3,78 8
Vidrio 4 a 6 9,8 a 13,8
Hormigón 4,5
Baquelita 4,9 24
Diamante 5,5 2.000
Vidrio Pyrex 5,6 14
Mica 6,0 118
Goma de neopreno 6,7 15,7 a 26,7
Agua 80
Ácido sulfúrico 84 a 100
Dióxido de titanio 86 a 173
Titanato de estroncio 310 8
Titanato de bario De 1.200 a 10.000
Titanato de calcio y cobre > 250.000
Tabla 8.1 Valores representativos de las constantes dieléctricas y las resistencias dieléctricas de varios materiales a temperatura ambiente

No todas las sustancias de la tabla son buenos aislantes, a pesar de sus elevadas constantes dieléctricas. El agua, por ejemplo, está formada por moléculas polares y tiene una gran constante dieléctrica de aproximadamente 80. Es más probable que en una molécula de agua los electrones se encuentren alrededor del núcleo de oxígeno que alrededor de los núcleos de hidrógeno. Esto hace que el extremo de oxígeno de la molécula sea ligeramente negativo y deja el extremo de hidrógenos ligeramente positivo, lo que hace que la molécula se alinee fácilmente a lo largo de un campo eléctrico externo y, por lo tanto, el agua tiene una gran constante dieléctrica. Sin embargo, la naturaleza polar de las moléculas de agua también hace que esta sea un buen disolvente para muchas sustancias, lo que produce efectos indeseables, porque cualquier concentración de iones libres en el agua conduce la electricidad.

Ejemplo 8.11

Campo eléctrico y carga superficial inducida

Supongamos que la distancia entre las placas del condensador en el Ejemplo 8.10 es de 2,0 mm y el área de cada placa es 4,5×10−3m24,5×10−3m2. Determine: (a) el campo eléctrico entre las placas antes y después de insertar el Teflon™, y (b) la carga superficial inducida en las superficies de Teflon™.

Estrategia

En la parte (a), sabemos que el voltaje en el condensador vacío es V0=40VV0=40V, por lo que para calcular los campos eléctricos utilizamos la relación V=EdV=Ed y la Ecuación 8.14. En la parte (b), al conocer la magnitud del campo eléctrico, utilizamos la expresión para la magnitud del campo eléctrico cerca de una placa cargada E=σ/ε0E=σ/ε0, donde σσ es una densidad de carga superficial uniforme causada por la carga superficial. Utilizamos el valor de la carga libre Q0=8,0×10−10CQ0=8,0×10−10C obtenido en el Ejemplo 8.10.

Solución

  1. El campo eléctrico E0E0 entre las placas de un condensador vacío es
    E0=V0d=40V2,0×10−3m=2,0×104V/m.E0=V0d=40V2,0×10−3m=2,0×104V/m.
    El campo eléctrico E con el Teflon™ colocado es
    E=1κE0=12,12,0×104V/m=9,5×103V/m.E=1κE0=12,12,0×104V/m=9,5×103V/m.
  2. La carga efectiva del condensador es la diferencia entre la carga libre Q0Q0 y la carga inducida QiQi. El campo eléctrico en el Teflon™ es causado por esta carga efectiva. Por lo tanto,
    E=1ε0σ=1ε0Q0QiA.E=1ε0σ=1ε0Q0QiA.
    Invertimos esta ecuación para obtener QiQi, lo que da como resultado
    Qi=Q0ε0AE=8,0×10−10C(8,85×10−12C2N·m2)(4,5×10−3m2)(9,5×103Vm)=4,2×10−10C=0,42nC.Qi=Q0ε0AE=8,0×10−10C(8,85×10−12C2N·m2)(4,5×10−3m2)(9,5×103Vm)=4,2×10−10C=0,42nC.

Ejemplo 8.12

Inserción de un dieléctrico en un condensador conectado a una batería

Cuando una batería de voltaje V0V0 se conecta a través de un condensador vacío de capacitancia C0C0, la carga en sus placas es Q0Q0, y el campo eléctrico entre sus placas es E0E0. Un dieléctrico de constante dieléctrica κκ se inserta entre las placas mientras la batería permanece en su lugar, como se muestra en la Figura 8.22. (a) Calcule la capacitancia C, el voltaje V a través del condensador y el campo eléctrico E entre las placas después de insertar el dieléctrico. (b) Obtenga una expresión para la carga libre Q en las placas del condensador lleno y la carga inducida QiQi en la superficie dieléctrica en términos de la carga original de la placa Q0Q0.
La figura a muestra un condensador conectado a una batería. El condensador tiene un voltaje V0 a través de él. Las placas positiva y negativa del condensador tienen carga más Q0 y menos Q0 respectivamente. La figura b muestra el mismo condensador con un dieléctrico insertado en él. La carga en las placas positiva y negativa es ahora más Q y menos Q respectivamente. Las cargas negativas se muestran acumuladas cerca de la superficie interior de la placa positiva. Estas están marcadas menos Qi. Las cargas positivas se muestran acumuladas cerca de la superficie interior de la placa negativa. Estas están marcadas más Qi.
Figura 8.22 Se inserta un dieléctrico en el condensador cargado mientras este permanece conectado a la batería.

Estrategia

Identificamos los valores conocidos V0V0, C0C0,E0E0, κκ y Q0Q0. Nuestra tarea es expresar los valores desconocidos en términos de estos valores conocidos.

Solución

(a) La capacitancia del condensador lleno es C=κC0C=κC0. Como la batería siempre está conectada a las placas del condensador, la diferencia de potencial entre ellas no cambia; por lo tanto, V=V0V=V0. Por ello, el campo eléctrico en el condensador lleno es el mismo que el campo en el condensador vacío, por lo que podemos obtener directamente que
E=Vd=V0d=E0.E=Vd=V0d=E0.

(b) Para el condensador lleno, la carga libre en las placas es

Q=CV=(κC0)V0=κ(C0V0)=κQ0.Q=CV=(κC0)V0=κ(C0V0)=κQ0.

El campo eléctrico E en el condensador lleno se debe a la carga efectiva QQiQQi (Figura 8.22(b)). Dado que E=E0E=E0, tenemos

QQiε0A=Q0ε0A.QQiε0A=Q0ε0A.

Resolviendo esta ecuación para QiQi, obtenemos para la carga inducida

Qi=QQ0=κQ0Q0=(κ1)Q0.Qi=QQ0=κQ0Q0=(κ1)Q0.

Importancia

Observe que para materiales con constantes dieléctricas superiores a 2 (vea la Tabla 8.1), la carga inducida en la superficie del dieléctrico es mayor que la carga en las placas de un condensador de vacío. Lo contrario ocurre con los gases, como el aire, cuya constante dieléctrica es inferior a 2.

Compruebe Lo Aprendido 8.8

Siguiendo con el Ejemplo 8.12, demuestre que cuando la batería se conecta a través de las placas la energía almacenada en el condensador lleno de dieléctrico es U=κU0U=κU0 (mayor que la energía U0U0 de un condensador vacío mantenido al mismo voltaje). Compare este resultado con el resultado U=U0/κU=U0/κ encontrado anteriormente para un condensador aislado y cargado.

Compruebe Lo Aprendido 8.9

Repita los cálculos del Ejemplo 8.10 para el caso en el que la batería permanece conectada mientras el dieléctrico se coloca en el condensador.

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