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Física Universitaria Volumen 2

8.1 Condensadores y capacitancia

Física Universitaria Volumen 28.1 Condensadores y capacitancia
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar los conceptos de un condensador y su capacitancia.
  • Describir cómo evaluar la capacitancia de un sistema de conductores.

Un condensador es un dispositivo utilizado para almacenar carga eléctrica y energía eléctrica. Consiste en al menos dos conductores eléctricos separados por una distancia (observe que estos conductores eléctricos se denominan a veces "electrodos", pero es más correcto decir que son "placas de condensador"). El espacio entre los condensadores puede ser simplemente un vacío y, en ese caso, un condensador se conoce entonces como "condensador de vacío”. Sin embargo, el espacio suele estar relleno de un material aislante conocido como dieléctrico (aprenderá más sobre los dieléctricos en las secciones sobre dieléctricos más adelante en este capítulo). La cantidad de almacenamiento en un condensador viene determinada por una propiedad llamada capacitancia, de la que aprenderá más adelante en esta sección.

Los condensadores tienen aplicaciones que van desde el filtrado de la estática de la recepción de radio hasta el almacenamiento de energía en desfibriladores cardíacos. Normalmente, los condensadores comerciales tienen dos partes conductoras cercanas entre sí pero que no se tocan, como los de la Figura 8.2. La mayoría de las veces se utiliza un dieléctrico entre las dos placas. Cuando los terminales de la batería se conectan a un condensador inicialmente sin carga, el potencial de la batería mueve una pequeña cantidad de carga de magnitud Q desde la placa positiva a la negativa. El condensador permanece neutral en general, pero con cargas +Q+Q y QQ que residen en placas opuestas.

La figura a muestra dos placas colocadas en paralelo, a una distancia d. Cada placa está conectada a un terminal de una batería. La figura b muestra láminas de conductores y dieléctricos apilados alternativamente y enrollados. Cada hoja de conductor está conectada a un terminal de una batería. En ambas figuras, la carga es más Q y menos Q para las placas conectadas a los terminales positivo y negativo respectivamente.
Figura 8.2 Los dos condensadores mostrados aquí estaban inicialmente sin cargar antes de ser conectados a una batería. Ahora tienen cargas de + Q + Q y Q Q (respectivamente) en sus placas. (a) Un condensador de placas paralelas consta de dos placas de carga opuesta con área A separadas por una distancia d. (b) Un condensador enrollado tiene un material dieléctrico entre sus dos láminas conductoras (placas).

Un sistema compuesto por dos placas conductoras paralelas idénticas separadas por una distancia se denomina condensador de placas paralelas (Figura 8.3). La magnitud del campo eléctrico en el espacio entre las placas paralelas es E=σ/ε0E=σ/ε0, donde σσ denota la densidad de carga superficial en una placa (recordemos que σσ es la carga Q por la superficie A). Así, la magnitud del campo es directamente proporcional a Q.

En una batería se conectan dos placas en paralelo. La placa conectada al terminal positivo tiene cargas positivas marcadas por el signo más. Del mismo modo, la otra placa tiene signos negativos. Las flechas se muestran entre las placas, desde la placa positiva a la negativa. El espacio entre las placas tiene la fórmula E proporcional a Q.
Figura 8.3 La separación de cargas en un condensador muestra que las cargas permanecen en las superficies de las placas del condensador. Las líneas de campo eléctrico en un condensador de placas paralelas comienzan con cargas positivas y terminan con cargas negativas. La magnitud del campo eléctrico en el espacio entre las placas está en proporción directa a la cantidad de carga en el condensador.

Los condensadores con diferentes características físicas (como la forma y el tamaño de sus placas) almacenan diferentes cantidades de carga para el mismo voltaje aplicado V a través de sus placas. La capacitancia C de un condensador se define como la relación entre la carga máxima Q que puede almacenarse en un condensador y el voltaje aplicado V a través de sus placas. En otras palabras, la capacitancia es la mayor cantidad de carga por voltio que se puede almacenar en el dispositivo:

C=QV.C=QV.
8.1

La unidad del SI de la capacitancia es el faradio (F), llamado así por Michael Faraday (1791-1867). Dado que la capacitancia es la carga por unidad de voltaje, un faradio es un culombio por un voltio, o

1F=1C1V.1F=1C1V.

Por definición, un condensador de 1,0 F es capaz de almacenar 1,0 C de carga (una cantidad muy grande de carga) cuando la diferencia de potencial entre sus placas es de solo 1,0 V. Un faradio es, por tanto, una capacitancia muy grande. Los valores típicos de capacitancia van desde los picofaradios (1pF=1012F)(1pF=1012F) a milifaradios (1mF=103F)(1mF=103F), que también incluye microfaradios (1μF=10−6F1μF=10−6F). Los condensadores se pueden fabricar en varias formas y tamaños (Figura 8.4).

Una fotografía de diferentes tipos de condensadores.
Figura 8.4 Estos son algunos de los condensadores típicos utilizados en los dispositivos electrónicos. El tamaño de un condensador no está necesariamente relacionado con su valor de capacitancia (créditos: Windell Oskay)

Cálculo de capacitancia

Podemos calcular la capacitancia de un par de conductores con la aproximación estándar que sigue.

Estrategia de Resolución De Problemas

Cálculo de capacitancia

  1. Supongamos que el condensador tiene una carga Q.
  2. Determine el campo eléctrico EE entre los conductores. Si hay simetría en la disposición de los conductores, puede utilizar la ley de Gauss para este cálculo.
  3. Calcule la diferencia de potencial entre los conductores de
    VBVA=ABE·dl,VBVA=ABE·dl,
    8.2
    donde el camino de integración va de un conductor a otro. La magnitud de la diferencia de potencial es entonces V=|VBVA|V=|VBVA|.
  4. Conociendo V, obtenga la capacitancia directamente de la Ecuación 8.1.

Para mostrar cómo funciona este procedimiento, calculamos ahora las capacitancias de condensadores de placas paralelas, esféricas y cilíndricas. En todos los casos, suponemos condensadores de vacío (condensadores vacíos) sin sustancia dieléctrica en el espacio entre los conductores.

Condensador de placas paralelas

El condensador de placas paralelas (Figura 8.5) tiene dos placas conductoras idénticas, cada una con una superficie A, separadas por una distancia d. Cuando se aplica un voltaje V al condensador, este almacena una carga Q, como se muestra. Podemos ver cómo su capacitancia puede depender de A y d considerando las características de la fuerza de Coulomb. Sabemos que la fuerza entre las cargas aumenta con los valores de carga y disminuye con la distancia entre ellas. Es de esperar que cuanto más grandes sean las placas, más carga podrán almacenar. Por lo tanto, C debería ser mayor para un valor mayor de A. Del mismo modo, cuanto más cerca estén las placas, mayor será la atracción de las cargas opuestas en ellas. Por lo tanto, C debería ser mayor para una d más pequeña.

La figura muestra dos placas paralelas separadas por una distancia d, con cada una conectada a un terminal de una batería. Las líneas de campo eléctrico se muestran como flechas desde la placa positiva a la negativa. El área de la placa está marcada como A.
Figura 8.5 En un condensador de placas paralelas con placas separadas por una distancia d, cada placa tiene la misma superficie A.

Definimos la densidad de carga superficial σσ en las placas como

σ=QA.σ=QA.

Sabemos por los capítulos anteriores que cuando d es pequeño, el campo eléctrico entre las placas es bastante uniforme (ignorando los efectos de borde) y que su magnitud viene dada por

E=σε0,E=σε0,

donde la constante ε0ε0 es la permeabilidad del espacio libre, ε0=8,85×10−12F/m.ε0=8,85×10−12F/m. La unidad SI de F/m equivale a C2/N·m2.C2/N·m2. Dado que el campo eléctrico EE entre las placas es uniforme, la diferencia de potencial entre las placas es

V=Ed=σdε0=Qdε0A.V=Ed=σdε0=Qdε0A.

Por lo tanto, la Ecuación 8.1 da la capacitancia de un condensador de placas paralelas como

C=QV=QQd/ε0A=ε0Ad.C=QV=QQd/ε0A=ε0Ad.
8.3

Observe en esta ecuación que la capacitancia es una función solo de la geometría y del material que llena el espacio entre las placas (en este caso, el vacío) de este condensador. De hecho, esto es cierto no solo para un condensador de placas paralelas, sino para todos los condensadores: La capacitancia es independiente de Q o V. Si la carga cambia, el potencial cambia correspondientemente, de modo que Q/V permanece constante.

Ejemplo 8.1

Capacitancia y carga almacenada en un condensador de placas paralelas

(a) ¿Cuál es la capacitancia de un condensador vacío de placas paralelas con placas de metal que tienen cada una un área de 1,00m21,00m2, separados por 1,00 mm? (b) ¿Cuánta carga se almacena en este condensador si se aplica un voltaje de 3,00×103V3,00×103V?

Estrategia

Encontrar la capacitancia C es una aplicación directa de la Ecuación 8.3. Una vez que hallamos C, podemos calcular la carga almacenada utilizando la Ecuación 8.1.

Solución

  1. Al introducir los valores dados en la Ecuación 8.3 se obtiene
    C=ε0Ad=(8,85×10−12Fm)1,00m21,00×10−3m=8,85×10−9F=8,85nF.C=ε0Ad=(8,85×10−12Fm)1,00m21,00×10−3m=8,85×10−9F=8,85nF.
    Este pequeño valor de capacitancia indica lo difícil que es fabricar un dispositivo con una gran capacitancia.
  2. Al invertir la Ecuación 8.1 y al introducir los valores conocidos en esta ecuación se obtiene
    Q=CV=(8,85×10−9F)(3,00×103V)=26,6μC.Q=CV=(8,85×10−9F)(3,00×103V)=26,6μC.

Importancia

Esta carga es solo ligeramente superior a las que se encuentran en las aplicaciones típicas de electricidad estática. Dado que el aire se descompone (se vuelve conductor) a una intensidad de campo eléctrico de aproximadamente 3,0 MV/m, no se puede almacenar más carga en este condensador aumentando el voltaje.

Ejemplo 8.2

Un condensador de placas paralelas de 1 F

Suponga que desea construir un condensador de placas paralelas con una capacitancia de 1,0 F. ¿Qué área debe utilizar para cada placa si estas están separadas por 1,0 mm?

Solución

Al reordenar la Ecuación 8.3, obtenemos
A=Cdε0=(1,0F)(1,0×10−3m)8,85×10−12F/m=1,1×108m2.A=Cdε0=(1,0F)(1,0×10−3m)8,85×10−12F/m=1,1×108m2.

Cada placa cuadrada debería tener 10 km de ancho. Solía ser una broma común pedir a un estudiante que fuera al almacén del laboratorio y solicitara un condensador de placas paralelas 1 F, hasta que los encargados del almacén se cansaron de la broma.

Compruebe Lo Aprendido 8.1

La capacitancia de un condensador de placas paralelas es de 2,0 pF. Si el área de cada placa es 2,4cm22,4cm2, ¿cuál es la separación de las placas?

Compruebe Lo Aprendido 8.2

Verifique que σ/Vσ/V y ε0/dε0/d tienen las mismas unidades físicas.

Condensador esférico

Un condensador esférico es otro conjunto de conductores cuya capacitancia puede determinarse fácilmente (Figura 8.6). Consta de dos capas esféricas conductoras concéntricas de radios R1R1 (capa interior) y R2R2 (capa exterior). Las capas tienen cargas iguales y opuestas +Q+Q y QQ, respectivamente. Por simetría, el campo eléctrico entre las capas está dirigido radialmente hacia fuera. Podemos obtener la magnitud del campo al aplicar la ley de Gauss sobre una superficie esférica gaussiana de radio r concéntrica con las capas. La carga adjunta es +Q+Q; por lo tanto tenemos

SE·n^dA=E(4πr2)=Qε0.SE·n^dA=E(4πr2)=Qε0.

Así, el campo eléctrico entre los conductores es

E=14πε0Qr2r^.E=14πε0Qr2r^.

Sustituimos esto por EE en la Ecuación 8.2 y se integran a lo largo de una trayectoria radial entre las capas:

V=R1R2E·dl=R1R2(14πε0Qr2r^)·(r^dr)=Q4πε0R1R2drr2=Q4πε0(1R11R2).V=R1R2E·dl=R1R2(14πε0Qr2r^)·(r^dr)=Q4πε0R1R2drr2=Q4πε0(1R11R2).

En esta ecuación, la diferencia de potencial entre las placas es V=(V2V1)=V1V2V=(V2V1)=V1V2. Sustituimos este resultado en la Ecuación 8.1 para calcular la capacitancia de un condensador esférico:

C=QV=4πε0R1R2R2R1.C=QV=4πε0R1R2R2R1.
8.4
La sección transversal de un condensador esférico se muestra en forma de dos círculos concéntricos. El radio del más pequeño es R subíndice 1 y el del más grande es R subíndice 2. El más pequeño tiene signos positivos y el más grande tiene signos negativos. Las flechas irradian desde el círculo interior hacia el exterior. Entre los dos, hay un tercer círculo, con radio r, que se muestra como una línea de puntos. Esto se denomina superficie gaussiana.
Figura 8.6 Un condensador esférico está formado por dos esferas conductoras concéntricas. Observe que las cargas de un conductor residen en su superficie.

Ejemplo 8.3

Capacitancia de una esfera aislada

Calcule la capacitancia de una esfera conductora aislada de radio R1R1 y compárela con la Ecuación 8.4 en el límite como R2R2.

Estrategia

Suponemos que la carga de la esfera es Q, por lo que seguimos los cuatro pasos señalados anteriormente. También suponemos que el otro conductor es una esfera hueca concéntrica de radio infinito.

Solución

En el exterior de una esfera conductora aislada, el campo eléctrico viene dado por la Ecuación 8.2. La magnitud de la diferencia de potencial entre la superficie de una esfera aislada y el infinito es
V=R1+E·dl=Q4πε0R1+1r2r^·(r^dr)=Q4πε0R1+drr2=14πε0QR1.V=R1+E·dl=Q4πε0R1+1r2r^·(r^dr)=Q4πε0R1+drr2=14πε0QR1.

La capacitancia de una esfera aislada es por tanto

C=QV=Q4πε0R1Q=4πε0R1.C=QV=Q4πε0R1Q=4πε0R1.

Importancia

Se puede obtener el mismo resultado si se tima el límite de la Ecuación 8.4 como R2R2. Una sola esfera aislada equivale, por tanto, a un condensador esférico cuya cubierta exterior tiene un radio infinitamente grande.

Compruebe Lo Aprendido 8.3

El radio de la esfera exterior de un condensador esférico es cinco veces el radio de su capa interior. ¿Cuáles son las dimensiones de este condensador si su capacitancia es de 5,00 pF?

Condensador cilíndrico

Un condensador cilíndrico está formado por dos cilindros conductores concéntricos (Figura 8.7). El cilindro interior, de radio R1R1, puede ser una capa o ser completamente sólido. El cilindro exterior es una capa de radio interior R2R2. Suponemos que la longitud de cada cilindro es l y que el exceso de cargas +Q+Q y QQ residen en los cilindros interior y exterior, respectivamente.

La figura muestra dos cilindros concéntricos. El interior, con radio R1 tiene signos positivos. El exterior, de radio R2, tiene signos negativos. Las flechas marcadas con E se muestran irradiando desde el interior hacia el exterior. Un tercer cilindro, de radio r, se muestra como una línea punteada entre los dos. Esto se denomina superficie gaussiana.
Figura 8.7 Un condensador cilíndrico está formado por dos cilindros concéntricos conductores. Aquí, la carga en la superficie exterior del cilindro interior es positiva (indicada por + + ) y la carga en la superficie interior del cilindro exterior es negativa (indicada por ).

Sin tener en cuenta los efectos de borde, el campo eléctrico entre los conductores se dirige radialmente hacia fuera desde el eje común de los cilindros. Si se utiliza la superficie gaussiana mostrada en la Figura 8.7, tenemos

SE·n^dA=E(2πrl)=Qε0.SE·n^dA=E(2πrl)=Qε0.

Por lo tanto, el campo eléctrico entre los cilindros es

E=12πε0Qrlr^.E=12πε0Qrlr^.
8.5

Aquí r^r^ es el vector radial unitario a lo largo del radio del cilindro. Podemos sustituir en la Ecuación 8.2 y calcular la diferencia de potencial entre los cilindros:

V=R1R2E·dlp=Q2πε0lR1R21rr^·(r^dr)=Q2πε0lR1R2drr=Q2πε0ldentror|R1R2=Q2πε0ldentroR2R1.V=R1R2E·dlp=Q2πε0lR1R21rr^·(r^dr)=Q2πε0lR1R2drr=Q2πε0ldentror|R1R2=Q2πε0ldentroR2R1.

Así, la capacitancia de un condensador cilíndrico es

C=QV=2πε0ldentro(R2/R1).C=QV=2πε0ldentro(R2/R1).
8.6

Como en otros casos, esta capacitancia depende únicamente de la geometría de la disposición de los conductores. Una aplicación importante de la Ecuación 8.6 es la determinación de la capacitancia por unidad de longitud de un cable coaxial, que se utiliza habitualmente para transmitir señales eléctricas que varían en el tiempo. Un cable coaxial está formado por dos conductores cilíndricos concéntricos separados por un material aislante. (Aquí suponemos un vacío entre los conductores, pero la física es cualitativamente casi la misma cuando el espacio entre los conductores está relleno por un dieléctrico). Esta configuración protege la señal eléctrica que se propaga por el conductor interno de los campos eléctricos parásitos externos al cable. La corriente fluye en direcciones opuestas en los conductores interiores y exteriores, y el conductor exterior suele estar conectado a tierra. Ahora, a partir de la Ecuación 8.6, la capacitancia por unidad de longitud del cable coaxial viene dada por

Cl=2πε0dentro(R2/R1).Cl=2πε0dentro(R2/R1).

En las aplicaciones prácticas, es importante seleccionar valores específicos de C/l. Esto puede lograrse con la elección adecuada de los radios de los conductores y del material aislante entre ellos.

Compruebe Lo Aprendido 8.4

Cuando un condensador cilíndrico recibe una carga de 0,500 nC, se mide una diferencia de potencial de 20,0 V entre los cilindros. (a) ¿Cuál es la capacitancia de este sistema? (b) Si los cilindros tienen 1,0 m de longitud, ¿cuál es la relación de sus radios?

En la Figura 8.4se muestran varios tipos de condensadores prácticos. Los condensadores comunes suelen estar formados por dos pequeños trozos de lámina de metal separados por dos pequeños trozos de aislamiento (vea la Figura 8.2(b)). La lámina de metal y el aislamiento están envueltos en una capa protectora, y se utilizan dos cables de metal para conectar las láminas a un circuito externo. Algunos materiales aislantes comunes son la mica, la cerámica, el papel y el revestimiento antiadherente de Teflon™.

Otro tipo popular de condensador es el condensador electrolítico. Está compuesto por un metal oxidado en una pasta conductora. La principal ventaja de un condensador electrolítico es su alta capacitancia en relación con otros tipos comunes de condensadores. Por ejemplo, la capacitancia de un tipo de condensador electrolítico de aluminio puede llegar a ser de 1,0 F. Sin embargo, hay que tener cuidado al utilizarlo en un circuito, porque solo funciona correctamente cuando la lámina de metal está a un potencial más alto que la pasta conductora. Cuando se produce la polarización inversa, la acción electrolítica destruye la película de óxido. Este tipo de condensador no puede conectarse a través de una fuente de corriente alterna, porque la mitad de las veces, el voltaje alterno tendría la polaridad equivocada, ya que la corriente alterna invierte su polaridad (ver Circuitos de corriente alterna en circuitos de corriente alterna).

Un condensador variable de aire (Figura 8.8) tiene dos conjuntos de placas paralelas. Un conjunto de placas es fijo (indicado como "estator") y el otro conjunto de placas está unido a un eje que puede girar (indicado como "rotor"). Al girar el eje, se puede cambiar el área de la sección transversal en la superposición de las placas; por lo tanto, la capacitancia de este sistema se puede ajustar a un valor deseado. La sintonización de condensadores tiene aplicaciones en cualquier tipo de transmisión de radio y en la recepción de señales de radio de dispositivos electrónicos. Cada vez que sintonice la radio de su automóvil en su emisora favorita, piense en la capacitancia.

Se muestra una fotografía de un dispositivo con componentes discretos. Un componente es el condensador variable de aire. Tiene dos partes, un estator y un rotor. El estator tiene placas de metal paralelas y está fijado al aparato. El rotor tiene placas de metal paralelas unidas a un eje. El estator y el rotor están dispuestos de manera que sus placas se apilan alternativamente.
Figura 8.8 En un condensador variable de aire la capacitancia se puede ajustar al cambiar el área efectiva de las placas (créditos: modificación del trabajo de Robbie Sproule).

Los símbolos mostrados en la Figura 8.9 son representaciones de circuitos de varios tipos de condensadores. Por lo general, utilizamos el símbolo que aparece en la Figura 8.9(a). El símbolo en la Figura 8.9(c) representa un condensador de capacitancia variable. Observe la similitud de estos símbolos con la simetría de un condensador de placas paralelas. Un condensador electrolítico se representa con el símbolo de la parte de la Figura 8.9(b), donde la placa curva indica el terminal negativo.

La figura a muestra dos líneas verticales. La figura b muestra una línea vertical a la izquierda y otra, ligeramente curvada, a la derecha. La figura c muestra dos líneas verticales y una flecha que las atraviesa en diagonal. En todas las figuras, cada línea está conectada a una línea horizontal en el exterior.
Figura 8.9 Esto muestra tres representaciones de circuitos diferentes de condensadores. El símbolo de (a) es el más utilizado. El símbolo en (b) representa un condensador electrolítico. El símbolo en (c) representa un condensador de capacitancia variable.

Un interesante ejemplo aplicado de un modelo de condensador proviene de la biología celular y trata del potencial eléctrico en la membrana plasmática de una célula viva (Figura 8.10). Las membranas celulares separan las células de su entorno, pero permiten que algunos iones seleccionados entren o salgan de la célula. La diferencia de potencial a través de una membrana es de unos 70 mV. La membrana celular puede tener un grosor de 7 a 10 nm. Al tratar la membrana celular como un nano condensador, la estimación de la intensidad de campo eléctrico más pequeña a través de sus "placas" arroja el valor E=Vd=70×10−3V10×10−9m=7×106V/m>3MV/mE=Vd=70×10−3V10×10−9m=7×106V/m>3MV/m.

Esta magnitud de campo eléctrico es lo suficientemente grande como para crear una chispa eléctrica en el aire.

La figura muestra una membrana celular con signos negativos en el límite interior y signos positivos en el límite exterior. Los iones de cloruro están fuera de la célula. La difusión los mueve hacia la célula mientras que la fuerza de Coulomb se muestra apuntando hacia afuera. Se muestran algunos iones de cloruro atravesando la membrana hacia el interior. Los iones de potasio se muestran dentro de la célula. La difusión los desplaza hacia fuera, hacia la membrana, mientras que la fuerza de Coulomb se muestra hacia dentro. Se muestran algunos iones de potasio pasando la membrana hacia el exterior. Los iones de sodio están fuera de la célula. Tanto la fuerza de Coulomb como la difusión se muestran apuntando hacia la célula. Se muestran algunos iones de sodio dentro de la célula.
Figura 8.10 La membrana semipermeable de una célula biológica tiene diferentes concentraciones de iones en su superficie interior que en la exterior. La difusión mueve el K + K + (potasio) y Cl Cl (cloruro) en las direcciones indicadas, hasta que la fuerza de Coulomb detiene la transferencia. De esta manera, el exterior de la membrana adquiere una carga positiva y su superficie interior adquiere una carga negativa, creando una diferencia de potencial a través de la membrana. Esta es normalmente impermeable a Na+ (iones de sodio).

Interactivo

Visite las Exploraciones de PhET: Laboratorio de condensadores para explorar cómo funciona un condensador. Cambie el tamaño de las placas y añada un dieléctrico para ver el efecto en la capacitancia. Cambie el voltaje y vea las cargas acumuladas en las placas. Observe el campo eléctrico en el condensador. Mida el voltaje y el campo eléctrico.

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