13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz

Generadores eléctricos

Los generadores eléctricos inducen una emf al hacer girar una bobina en un campo magnético, como se explica brevemente en Fuerza electromotriz de movimiento. A continuación, exploramos los generadores con más detalle. Considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo 13.9

Calcular la emf inducida en la bobina de un generador

La bobina del generador que se muestra en la Figura 13.27 se hace girar un cuarto de revolución (de $\theta =0\text{°}$ a$\theta =90\text{°})$ in 15,0 ms. La bobina circular de 200 vueltas tiene un radio de 5,00 cm y se encuentra en un campo magnético uniforme de 0,80 T. ¿Cuál es la emf inducida?

Figura 13.27 Cuando esta bobina del generador gira un cuarto de revolución, el flujo magnético ${\text{Φ}}_{\text{m}}$ cambia de su máximo a cero, induciendo una emf.

Estrategia

La ley de inducción de Faraday se utiliza para calcular la emf inducida:

$$\epsilon =\text{−}N\frac{d{\text{Φ}}_{\text{m}}}{dt}.$$

Reconocemos esta situación como la misma en el Ejemplo 13.6. Según el diagrama, la proyección del vector normal de la superficie $\widehat{n}$ al campo magnético es inicialmente $\text{cos}\theta ,$ y esto se inserta por la definición del producto punto. La magnitud del campo magnético y el área del bucle son fijos en el tiempo, lo que hace que la integración se simplifique rápidamente. La emf inducida se escribe utilizando la ley de Faraday:

$$\epsilon =NBA\text{sen}\theta \frac{d\theta }{dt}.$$

Solución

Se nos da que $N=200,$ $B=\mathrm{0,80}\text{T},$ $\theta =90\text{°}$, $d\theta =90\text{°}=\pi \text{/}2$ y $dt=\mathrm{15,0}\text{ms}.$ El área del bucle es

$$A=\pi r^2=\left(\mathrm{3,14}\right){\left(\mathrm{0,0500}\text{m}\right)}^2=\mathrm{7,85}\times {10}^{\text{−}3}{\text{m}}^2.$$

Al introducir este valor se obtiene

$$\epsilon =(200)(\mathrm{0,80}\text{T})(\mathrm{7,85}\times {10}^{\mathrm{-3}}{\text{m}}^2)\text{sen}(90\text{°})\frac{\pi \text{/}2}{\mathrm{15,0}\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{s}}=131\text{V}\text{.}$$

Importancia

Se trata de un valor medio práctico, similar a los 120 V utilizados en la potencia doméstica.

La emf calculada en el Ejemplo 13.9 es la media de un cuarto de revolución. ¿Cuál es la emf en un instante dado? Varía con el ángulo entre el campo magnético y una perpendicular a la bobina. Podemos obtener una expresión para la emf en función del tiempo considerando la emf de movimiento en una bobina rectangular giratoria de anchura w y altura l en un campo magnético uniforme, como se ilustra en la Figura 13.28.

Figura 13.28 Un generador con una sola bobina rectangular que gira a velocidad angular constante en un campo magnético uniforme produce una emf que varía sinusoidalmente en el tiempo. Observe que el generador es similar a un motor, con la diferencia de que el eje gira para producir una corriente y no al revés.

Las cargas en los cables del bucle experimentan la fuerza magnética, porque se mueven en un campo magnético. Las cargas en los cables verticales experimentan fuerzas paralelas al cable, provocando corrientes. Pero los que están en los segmentos superior e inferior sienten una fuerza perpendicular al cable, que no provoca una corriente. Por lo tanto, podemos calcular la emf inducida considerando solo los cables laterales. La emf de movimiento es igual a $\epsilon =Blv$, donde la velocidad v es perpendicular al campo magnético B. Aquí la velocidad tiene un ángulo $\theta$ con B, de modo que su componente perpendicular a B es v sen $\theta$ (vea la Figura 13.28). Así, en este caso, la emf inducida en cada lado es $\epsilon =Blv\text{sen}\theta$, y están en la misma dirección. La emf total alrededor del bucle es entonces

Esta expresión es válida, pero no da la emf en función del tiempo. Para calcular la dependencia temporal de la emf, suponemos que la bobina gira a una velocidad angular constante $\omega$. El ángulo $\theta$ se relaciona con la velocidad angular mediante $\theta =\omega t,$ para que

Ahora, la velocidad lineal v está relacionada con la velocidad angular $\omega$ por $v=r\omega .$ Aquí, $r=w\text{/}2,$ para que $v=\left(w\text{/}2\right)\omega ,$ y

Al observar que el área del bucle es $A=lw,$ y al permitir N bucles, encontramos que

Esta es la emf inducida en una bobina de generador de N vueltas y área A que gira a una velocidad angular constante $\omega$ en un campo magnético uniforme B. Esto también puede expresarse como

donde

es el pico de emf, ya que el valor máximo de $\mathrm{sen}(wt)=1$. Observe que la frecuencia de la oscilación es $f=\omega \text{/}2\pi$ y el periodo es $T=\text{1/}f=2\pi \text{/}\omega .$ La Figura 13.29 muestra un gráfico de la emf en función del tiempo y ahora parece razonable que el voltaje alterno sea sinusoidal.

Figura 13.29 La emf de un generador se envía a una bombilla con el sistema de anillos y escobillas mostrado. El gráfico da la emf del generador en función del tiempo, donde ${\epsilon }_0$ es el pico de emf. El periodo es $T=\text{1/}f=2\pi \text{/}\omega ,$ donde f es la frecuencia.

El hecho de que el pico de emf sea ${\epsilon }_0=NBA\omega$ tiene mucho sentido. Cuanto mayor sea el número de bobinas, mayor será su superficie, y cuanto más fuerte sea el campo, mayor será el voltaje de salida. Es interesante que cuanto más rápido se hace girar el generador (mayor $\omega$), mayor será la emf. Esto se nota en los generadores de bicicleta, al menos en las variedades más baratas.

La Figura 13.30 muestra un esquema mediante el que se puede hacer que un generador produzca corriente continua pulsada. Los arreglos más elaborados de bobinas múltiples y anillos divididos pueden producir una corriente continua más suave, aunque normalmente se utilizan medios electrónicos en lugar de mecánicos para hacer una corriente continua sin ondulaciones.

Figura 13.30 Los anillos divididos, llamados conmutadores, producen una salida de corriente continua pulsada en esta configuración.

En la vida real, los generadores eléctricos tienen un aspecto muy diferente al de las figuras de esta sección, pero los principios son los mismos. La fuente de energía mecánica que hace girar la bobina puede ser la caída de agua (energía hidroeléctrica), el vapor producido por la quema de combustibles fósiles o la energía cinética del viento. La Figura 13.31 muestra una vista en corte de una turbina de vapor; el vapor se mueve sobre las aspas conectadas al eje, que hace girar la bobina dentro del generador. La generación de energía eléctrica a partir de energía mecánica es el principio básico de toda la potencia que se envía a través de nuestras redes eléctricas a nuestros hogares.

Figura 13.31 Turbina/generador de vapor. El vapor producido por la combustión del carbón impacta en las aspas de la turbina, haciendo girar el eje, que está conectado al generador.

Los generadores ilustrados en esta sección se parecen mucho a los motores ilustrados anteriormente. Esto no es casualidad. De hecho, un motor se convierte en un generador cuando su eje gira. Algunos de los primeros automóviles utilizaban el motor de arranque como generador. En la siguiente sección, exploramos más a fondo la acción de un motor como generador.

Fuerza contraelectromotriz

Los generadores convierten la energía mecánica en energía eléctrica, mientras que los motores convierten la energía eléctrica en energía mecánica. Así, no es sorprendente ver que los motores y los generadores tengan la misma construcción general. Un motor funciona enviando una corriente a través de un bucle de cable situado en un campo magnético. Como resultado, el campo magnético ejerce un torque sobre el bucle. Esto hace girar un eje, extrayendo así trabajo mecánico de la corriente eléctrica enviada inicialmente (consulte Fuerza y torque en un bucle de corriente para ver una discusión sobre los motores que lo ayudará a entender más sobre ellos antes de continuar).

Cuando la bobina de un motor gira, el flujo magnético cambia a través de ella, y se induce una emf (consistente con la ley de Faraday). Así, el motor actúa como un generador cada vez que gira su bobina. Esto ocurre tanto si el eje gira por una entrada externa, como una transmisión por correa, como por la acción del propio motor. Es decir, cuando un motor realiza un trabajo y su eje gira, se genera una emf. La ley de Lenz nos dice que la emf se opone a cualquier cambio, de modo que la emf autogenerada por el motor, llamada fuerza contraelectromotriz del motor (Figura 13.32) se opone a la emf de entrada que le da potencia al motor.

Figura 13.32 La bobina de un motor de corriente continua se representa como un resistor en este esquema. La fuerza contraelectromotriz se representa como una emf variable que se opone a la emf que impulsa el motor. La fuerza contraelectromotriz es cero cuando el motor no gira y aumenta proporcionalmente a la velocidad angular del motor.

La salida del generador de un motor es la diferencia entre el voltaje de alimentación y la fuerza contraelectromotriz. Esta fuerza es cero cuando el motor se enciende por primera vez, lo que significa que la bobina recibe todo el voltaje de accionamiento y el motor consume la máxima corriente cuando está encendido pero no gira. A medida que el motor gira más rápido, la fuerza contraelectromotriz aumenta, oponiéndose siempre a la emf de impulso, y reduce tanto el voltaje en la bobina como la cantidad de corriente que consume. Este efecto se nota en muchas situaciones comunes. Cuando se enciende por primera vez una aspiradora, un refrigerador o una lavadora, las luces del mismo circuito se atenúan brevemente debido a la caída de IR (corriente-resistencia) producida en las líneas de alimentación por la gran corriente que consume el motor.

Cuando un motor se enciende por primera vez, consume más corriente que cuando funciona a su velocidad normal. Cuando se coloca una carga mecánica en el motor, como una silla de ruedas eléctrica subiendo una colina, el motor se ralentiza, la fuerza contraelectromotriz disminuye, fluye más corriente y se puede realizar más trabajo. Si el motor funciona a una velocidad demasiado baja, la corriente más grande puede sobrecalentarlo (a través de la potencia resistiva en la bobina, $P=I^{2}R),$ tal vez incluso quemarlo. Por otro lado, si no hay carga mecánica en el motor, aumenta su velocidad angular $\omega$ hasta que la fuerza contraelectromotriz sea casi igual a la emf de impulso. Entonces, el motor solo utiliza la energía suficiente para superar la fricción.

Las corrientes de Foucault en los núcleos de hierro de los motores pueden causar pérdidas de energía que son molestas. Estos se suelen minimizar construyendo los núcleos con finas láminas de hierro aisladas eléctricamente. Las propiedades magnéticas del núcleo apenas se ven afectadas por el laminado de la hoja aislante, mientras que el calentamiento resistivo se reduce considerablemente. Consideremos por ejemplo, las bobinas del motor representadas en la Figura 13.32. Las bobinas tienen una resistencia equivalente de $\mathrm{0,400}\text{Ω}$ y son impulsadas por una emf de 48,0 V. Poco después de ser encendidas, consumen una corriente

y así disipan $P=I^{2}R=\mathrm{5,76}\text{kW}$ de energía como transferencia de calor. En condiciones normales de funcionamiento de este motor, supongamos que la fuerza contraelectromotriz es de 40,0 V. Entonces, a la velocidad de funcionamiento, el voltaje total en las bobinas es de 8,0 V (48,0 V menos la contrafase de 40,0 V), y la corriente consumida es

Por lo tanto, bajo carga normal, la potencia disipada es $P=IV=\left(20\text{A}\right)\left(\mathrm{8,0}\text{V}\right)=160\text{W}.$ Esto no supone un problema para este motor, mientras que el anterior de 5,76 kW quemaría las bobinas si se mantiene.

Ejemplo 13.10

Un motor bobinado en serie en funcionamiento

La resistencia total $\left(R_f+R_a\right)$ de un motor de corriente continua bobinado en serie es de $\mathrm{2,0}\text{Ω}$ (Figura 13.33). Cuando se conecta a una fuente de 120 V (${\epsilon }_S$), el motor consume 10 A mientras funciona a velocidad angular constante. (a) ¿Cuál es la fuerza contraelectromotriz inducida en la bobina giratoria, ${\epsilon }_i?$ (b) ¿Cuál es la potencia mecánica del motor? (c) ¿Cuánta potencia se disipa en la resistencia de las bobinas? (d) ¿Cuál es la potencia de la fuente de 120 V? (e) Supongamos que la carga del motor aumenta, haciendo que disminuya su velocidad hasta el punto de consumir 20 A. Responda a las partes (a) hasta (d) para esta situación.

Figura 13.33 Representación del circuito de un motor de corriente continua con bobinado en serie.

Estrategia

La fuerza contraelectromotriz se calcula a partir de la diferencia entre el voltaje suministrado y la pérdida de la corriente a través de la resistencia. La potencia de cada dispositivo se calcula a partir de una de las fórmulas de potencia basadas en la información dada.

Solución

1. La fuerza contraelectromotriz es
   $${\epsilon }_i={\epsilon }_s-I(R_f+R_a)=120\text{V}-(10\text{A})(\mathrm{2,0}\text{Ω})=100\text{V}\text{.}$$
2. Como el potencial a través del inducido es de 100 V cuando la corriente que lo atraviesa es de 10 A, la potencia del motor es
   $$P_{\text{m}}={\epsilon }_{i}I=(100\text{V})(10\text{A})=\mathrm{1,0}\times {10}^3\text{W}\text{.}$$
3. Una corriente de 10 A fluye a través de bobinas cuya resistencia combinada es $\mathrm{2,0}\text{Ω}$, por lo que la potencia disipada en las bobinas es
   $$P_R=I^{2}R={(10\text{A})}^2(\mathrm{2,0}\text{Ω})=\mathrm{2,0}\times {10}^2\text{W}\text{.}$$
4. Dado que la fuente de 120 V consume 10 A, su potencia es
   $$P_s={\epsilon }_{s}I=(120\text{V})(10\text{A})=\mathrm{1,2}\times {10}^3\text{W}\text{.}$$
5. Al repetir los mismos cálculos con $I=20\text{A}$, hallamos
   $${\epsilon }_{\text{i}}=80\text{V},P_{\text{m}}=\mathrm{1,6}\times 10^3\text{W},P_R=\mathrm{8,0}\times {10}^2\text{W},\text{y}{P}_s=\mathrm{2,4}\times {10}^3\text{W}.$$
   En este caso, el motor gira más lentamente, por lo que su potencia de salida y la de la fuente son mayores.

Importancia

Observe que en la parte (d) tenemos un balance energético $\mathrm{1,2}\times {10}^3\text{W}=\mathrm{1,0}\times {10}^3\text{W}+\mathrm{2,0}\times {10}^2\text{W}.$