Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Usar notación de sumatoria.
Utilizar la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie aritmética.
Utilizar la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica.
Utilizar la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita.
Resolver problemas de anualidades.

Un padre decide crear un fondo universitario para su hija. Tiene previsto invertir 50 dólares en el fondo cada mes. El fondo paga el 6 % de interés anual calculado mensualmente. ¿Cuánto dinero tendrán ahorrado cuando su hija esté lista para empezar la universidad dentro de 6 años? En esta sección aprenderemos cómo responder esta pregunta. Para ello, hay que tener en cuenta la cantidad de dinero invertida y el monto de los intereses obtenidos.

Usar la notación de sumatoria

Para calcular la cantidad total de dinero en el fondo universitario y la suma de las cantidades depositadas, tenemos que sumar las cantidades depositadas cada mes y las cantidades ganadas mensualmente. La suma de los términos de una secuencia se llama una serie. Consideremos, por ejemplo, la serie siguiente.

3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ...

La suma parcial a la n de una serie es la suma de un número finito de términos consecutivos empezando por el primer término. La notación $S_{n}$ representa la suma parcial.

\begin{array}{l} S_{1} = 3 \\ S_{2} = 3 + 7 = 10 \\ S_{3} = 3 + 7 + 11 = 21 \\ S_{4} = 3 + 7 + 11 + 15 = 36 \end{array}

La notación de sumatoria se usa para representar series. La notación de sumatoria se conoce, a menudo, como notación sigma porque utiliza la letra griega mayúscula sigma, $Σ,$ para representar la suma. La notación de sumatoria incluye una fórmula explícita y especifica el primer y el último término de la serie. A la derecha de sigma se da una fórmula explícita para cada término de la serie. Debajo de sigma se escribe una variable llamada índice de sumatoria. El índice de sumatoria se establece igual al límite inferior de sumatoria, que es el número utilizado para generar el primer término de la serie. El número por encima de sigma, llamado límite superior de sumatoria, es el número utilizado para generar el último término de una serie.

Explicación de la noción de sumatoria como se describe en el texto.

Si interpretamos la notación dada, vemos que nos pide calcular la suma de los términos de la serie $a_{k} = 2 k$ para $k = 1$ hasta $k = 5.$ Podemos empezar con la sustitución de los términos de $k$ y enumerar los términos de esta serie.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} a_{1} = 2 (1) = 2 \end{array} \\ a_{2} = 2 (2) = 4 \\ a_{3} = 2 (3) = 6 \\ a_{4} = 2 (4) = 8 \\ a_{5} = 2 (5) = 10 \end{array}

Podemos calcular la suma de la serie y agregar los términos:

\sum_{k = 1}^{5} 2 k = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Notación de sumatoria

La suma de los primeros $n$ términos de una serie se puede expresar en notación de sumatoria de la siguiente forma:

\sum_{k = 1}^{n} a_{k}

Esta notación nos dice que hay que calcular la suma de $a_{k}$ a partir de $k = 1$ con $k = n .$

$k$ se denomina índice de sumatoria, 1 es el límite inferior de sumatoria y $n$ es el límite superior de sumatoria.

Preguntas y respuestas

¿El límite inferior de sumatoria tiene que ser 1?

No. El límite inferior de sumatoria puede ser cualquier número, pero con frecuencia se utiliza el 1. Veremos ejemplos con límites inferiores de sumatoria distintos de 1.

Cómo

Dada la notación de sumatoria de una serie, evalúe el valor.

Identifique el límite inferior de sumatoria.
Identifique el límite superior de sumatoria.
Sustituya cada valor de $k$ del límite inferior al superior en la fórmula.
Sume para obtener la suma.

Ejemplo 1

Usar la notación de sumatoria

Evalúe $\sum_{k = 3}^{7} k^{2} .$

Solución

Según la notación, el límite inferior de sumatoria es 3 y el límite superior es 7. Así que tenemos que calcular la suma de $k^{2}$ a partir de $k = 3$ con $k = 7.$ Hallamos los términos de la serie al sustituir $k = 3, 4, 5, 6,$ y $7$ en la función $k^{2} .$ Sumamos los términos para calcular la suma.

\begin{array}{l} \sum_{k = 3}^{7} k^{2} & = 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} \\ = 9 + 16 + 25 + 36 + 49 \\ = 135 \end{array}

Inténtelo #1

Evalúe $\sum_{k = 2}^{5} (3 k - 1) .$

Usar la fórmula de la serie aritmética

Al igual que hemos estudiado los tipos especiales de secuencias, veremos los tipos especiales de series. Recordemos que una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es la diferencia común, $d .$ La suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética. Podemos escribir la suma de los primeros $n$ términos de una serie aritmética como:

S_{n} = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + ... + (a_{n} - d) + a_{n} .

También podemos invertir el orden de los términos y escribir la suma como

S_{n} = a_{n} + (a_{n} - d) + (a_{n} - 2 d) + ... + (a_{1} + d) + a_{1} .

Si añadimos estas dos expresiones para la suma de los primeros $n$ términos de una serie aritmética, podemos derivar una fórmula para la suma de los primeros $n$ términos de cualquier serie aritmética.

\frac{\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + ... + (a_{n} - d) + a_{n} \\ + S_{n} = a_{n} + (a_{n} - d) + (a_{n} - 2 d) + ... + (a_{1} + d) + a_{1} \end{array}}{2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n}) + ... + (a_{1} + a_{n})}

Debido a que hay $n$ términos en la serie, podemos simplificar esta suma a

2 S_{n} = n (a_{1} + a_{n}) .

Dividimos entre 2 para hallar la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de una serie aritmética.

S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}

Fórmula de la suma de los primeros términos n de una serie aritmética.

Una serie aritmética es la suma de los términos de una secuencia aritmética. La fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de una secuencia aritmética es

S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}

Cómo

Dados los términos de una serie aritmética, calcule la suma de los primeros $n$ términos.

Identifique $a_{1}$ y $a_{n} .$
Determine $n .$
Sustituya los valores de $a_{1}, a_{n},$ y $n$ en la fórmula $S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} .$
Simplifique para hallar $S_{n} .$

Ejemplo 2

Hallar los primeros n términos de una serie aritmética

Calcule la suma de cada serie aritmética.

Ⓐ $5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32$
Ⓑ $20 + 15 + 10 +…+ −50$
Ⓒ $\sum_{k = 1}^{12} 3 k - 8$

Solución

Ⓐ
Se nos da $a_{1} = 5$ y $a_{n} = 32.$
Cuente el número de términos de la secuencia para hallar $n = 10.$
Sustituya los valores de $a_{1}, a_{n},$ y $n$ en la fórmula y simplifique.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \end{array} \\ S_{10} = \frac{10 (5 + 32)}{2} = 185 \end{array}$
Ⓑ
Se nos da $a_{1} = 20$ y $a_{n} = - 50.$
Utilice la fórmula del término general de una secuencia aritmética para hallar $n .$
$\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + (n - 1) d \\ - 50 = 20 + (n - 1) (- 5) \\ - 70 = (n - 1) (- 5) \\ 14 = n - 1 \\ 15 = n \end{array}$
Sustituya los valores de $a_{1}, a_{n}, n$ en la fórmula y simplifique.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \end{array} \\ S_{15} = \frac{15 (20 - 50)}{2} = - 225 \end{array}$
Ⓒ
Para hallar $a_{1},$ sustituya $k = 1$ en la fórmula explícita dada.
$\begin{array}{l} a_{k} = 3 k - 8 \\ a_{1} = 3 (1) - 8 = - 5 \end{array}$

Se nos da que $n = 12.$ Para hallar $a_{12},$ sustituya $k = 12$ en la fórmula explícita dada.
$\begin{array}{l} a_{k} = 3 k - 8 \\ a_{12} = 3 (12) - 8 = 28 \end{array}$
Sustituya los valores de $a_{1}, a_{n},$ y $n$ en la fórmula y simplifique.
$\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \\ S_{12} = \frac{12 (- 5 + 28)}{2} = 138 \end{array}$

Utilice la fórmula para calcular la suma de cada serie aritmética.

Inténtelo #2

$1 0,4 + 1 0,6 + 1 0,8 + 2 0,0 + 2 0,2 + 2 0,4 + 2 0,6 + 2 0,8 + 3 0,0 + 3 0,2 + 3 0,4$

Inténtelo #3

$13 + 21 + 29 + \dots + 69$

Inténtelo #4

$\sum_{k = 1}^{10} 5 - 6 k$

Ejemplo 3

Resolver problemas de aplicación con serie aritmética

El domingo después de una cirugía menor, una mujer es capaz de caminar media milla. Cada domingo, camina un cuarto de milla más. Después de 8 semanas, ¿cuál será el número total de millas que habrá caminado?

Solución

Este problema se puede modelar mediante una serie aritmética con $a_{1} = \frac{1}{2}$ y $d = \frac{1}{4} .$ Buscamos el número total de millas caminadas después de 8 semanas, por lo que sabemos que $n = 8,$ y buscamos $S_{8} .$ Para hallar $a_{8},$ podemos utilizar la fórmula explícita de una secuencia aritmética.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + d (n - 1) \end{array} \\ a_{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} (8 - 1) = \frac{9}{4} \end{array}

Ahora podemos utilizar la fórmula de la serie aritmética.

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} \\ S_{8} = \frac{8 (\frac{1}{2} + \frac{9}{4})}{2} = 11 \end{array}

Habrá caminado un total de 11 millas.

Inténtelo #5

Un hombre gana 100 dólares en la primera semana de junio. Cada semana gana 12,50 dólares más que la semana anterior. Después de 12 semanas, ¿cuánto ha ganado?

Usar la fórmula de la serie geométrica

Así como la suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética, la suma de los términos de una secuencia geométrica se llama serie geométrica. Recordemos que una secuencia geométrica es una sucesión en la que la razón de dos términos consecutivos cualesquiera es la razón común, $r .$ Podemos escribir la suma de los primeros $n$ términos de una serie geométrica como

S_{n} = a_{1} + r a_{1} + r^{2} a_{1} + ... + r^{n - 1} a_{1} .

Al igual que con las series aritméticas, podemos hacer algunas manipulaciones algebraicas para obtener una fórmula para la suma de los primeros $n$ términos de una serie geométrica. Comenzaremos multiplicando ambos lados de la ecuación por $r .$

r S_{n} = r a_{1} + r^{2} a_{1} + r^{3} a_{1} + ... + r^{n} a_{1}

Luego, restamos esta ecuación de la ecuación original.

\begin{array}{l} \frac{\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + r a_{1} + r^{2} a_{1} + ... + r^{n - 1} a_{1} \\ - r S_{n} = - (r a_{1} + r^{2} a_{1} + r^{3} a_{1} + ... + r^{n} a_{1}) \end{array}}{(1 - r) S_{n} = a_{1} - r^{n} a_{1}} \end{array}

Observe que al restar, se anulan todos los términos de la ecuación superior menos el primero y el último de la ecuación inferior. Para obtener una fórmula para $S_{n},$ divida ambos lados entre $(1 - r) .$

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} r \neq 1

Fórmula de la suma de los primeros términos n de una serie aritmética.

Una serie geométrica es la suma de los términos de una secuencia geométrica. La fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de una secuencia geométrica se representa como

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} r \neq 1

Cómo

Dada una serie geométrica, calcule la suma de los primeros n términos.

Identifique $a_{1}, r, y n .$
Sustituya los valores de $a_{1}, r,$ y $n$ en la fórmula $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} .$
Simplifique para hallar $S_{n} .$

Ejemplo 4

Hallar los primeros n términos de una serie geométrica

Utilice la fórmula para calcular la suma parcial indicada de cada serie geométrica.

Ⓐ $S_{11}$ para la serie $8 + –4 + 2 + \dots$
Ⓑ ${\sum^{}}_{k = 1}^{6} 3 \cdot 2^{k}$

Solución

Ⓐ
$a_{1} = 8,$ y se nos da que $n = 11.$
Podemos hallar $r$ al dividir el segundo término de la serie entre el primero.
$r = \frac{- 4}{8} = - \frac{1}{2}$

Sustituya los valores de $a_{1}, r, y n$ en la fórmula y simplifique.
$\begin{array}{l} S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} \\ S_{11} = \frac{8 (1 - {(- \frac{1}{2})}^{11})}{1 - (- \frac{1}{2})} \approx 5,336 \end{array}$
Ⓑ
Calcule $a_{1}$ sustituyendo $k = 1$ en la fórmula explícita dada.
$a_{1} = 3 \cdot 2^{1} = 6$
De la fórmula explícita dada podemos ver que $r = 2.$ El límite superior de sumatoria es 6, por lo que $n = 6.$
Sustituya los valores de $a_{1}, r,$ y $n$ en la fórmula y simplifique.
$\begin{array}{l} S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} \\ S_{6} = \frac{6 (1 - 2^{6})}{1 - 2} = 378 \end{array}$

Utilice la fórmula para calcular la suma parcial indicada de cada serie geométrica.

Inténtelo #6

$S_{20}$ para la serie $1.000 + 500 + 250 + \dots$

Inténtelo #7

$\sum_{k = 1}^{8} 3^{k}$

Ejemplo 5

Resolver un problema de aplicación con una serie geométrica

En un nuevo trabajo, el salario inicial de un empleado es de 26.750 dólares. Recibe un aumento anual del 1,6 %. Calcule sus ganancias totales al cabo de 5 años.

Solución

El problema se puede representar mediante una serie geométrica con $a_{1} = 26.750;$ $n = 5;$ y $r = 1.016.$ Sustituya los valores de $a_{1},$ $r,$ y $n$ en la fórmula y simplifique para calcular la cantidad total ganada al cabo de 5 años.

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} \\ S_{5} = \frac{26.750 (1 - {1.016}^{5})}{1 - 1.016} \approx 138.099,03 \end{array}

Al cabo de 5 años habrá ganado un total de 138.099,03 dólares.

Inténtelo #8

En un nuevo trabajo, el salario inicial de una empleada es de 32.100 dólares. Recibe un aumento anual del 2 %. ¿Cuánto habrá ganado al cabo de 8 años?

Usar la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita

Hasta ahora, solo hemos examinado las series finitas. Sin embargo, a veces, nos interesa la suma de los términos de una secuencia infinita en vez de la suma de solo los primeros $n$ . Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita. Un ejemplo de series infinitas es $2 + 4 + 6 + 8 + ...$

Esta serie también se puede escribir en notación de sumatoria como $\sum_{k = 1}^{\infty} 2 k,$ donde el límite superior de sumatoria es infinito. Como los términos no tienden a cero, la suma de la serie aumenta sin límite a medida que añadimos más términos. Por lo tanto, la suma de esta serie infinita no está definida. Cuando la suma no es un número real, decimos que la serie diverge.

Determinar si la suma de una serie geométrica infinita está definida

Si los términos de una secuencia geométrica infinita se acercan a 0, se puede definir la suma de una serie geométrica infinita. Los términos de esta serie se acercan a 0.

1 + 0,2 + 0,04 + 0,008 + 0,0016 + ...

La razón común $r = 0,2 .$ A medida que $n$ se hace muy grande, los valores de $r^{n}$ se hacen muy pequeños y se acercan a 0. Cada término sucesivo afecta la suma menos que el término anterior. A medida que cada término sucesivo se acerca a 0, la suma de los términos se acerca a un valor finito. Los términos de cualquier serie geométrica infinita con $- 1 < r < 1$ se acercan a 0; la suma de una serie geométrica se define cuando $- 1 < r < 1.$

Determinar si la suma de una serie geométrica infinita está definida

La suma de una serie infinita está definida si la serie es geométrica y $- 1 < r < 1.$

Cómo

Dados los primeros términos de una serie infinita, determine si la suma de la serie existe.

Calcule la razón entre el segundo término y el primero.
Calcule la razón entre el tercer término y el segundo.
Continúe este proceso para asegurarse de que la razón entre un término y el anterior es constante en todo momento. Si es así, la serie es geométrica.
Si una razón común, $r,$ se calculó en el paso 3, compruebe si $- 1 < r < 1$ . Si es así, la suma está definida. Si no es así, la suma no está definida.

Ejemplo 6

Determinar si la suma de una serie infinita está definida

Determine si la suma de cada serie infinita está definida.

Ⓐ $12 + 8 + 4 + \dots$
Ⓑ $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...$
Ⓒ $\sum_{k = 1}^{\infty} 27 \cdot {(\frac{1}{3})}^{k}$
Ⓓ $\sum_{k = 1}^{\infty} 5 k$

Solución

ⒶLa razón entre el segundo término y el primero es $\frac{2}{3},$ que no es lo mismo que la razón entre el tercer término y el segundo, $\frac{1}{2} .$ La serie no es geométrica.
ⒷLa razón entre el segundo término y el primero es la misma que la razón entre el tercer término y el segundo. La serie es geométrica con una razón común de $\frac{2}{3} .$ La suma de la serie infinita está definida.
ⒸLa fórmula dada es exponencial con una base de $\frac{1}{3};$ la serie es geométrica con una razón común de $\frac{1}{3} .$ La suma de la serie infinita está definida.
ⒹLa fórmula dada no es exponencial; la serie no es geométrica porque los términos son crecientes, por lo que no puede producir una suma finita.

Determine si la suma de la serie infinita está definida.

Inténtelo #9

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{9}{8} + ...$

Inténtelo #10

$24 + (−12) + 6 + (−3) + ...$

Inténtelo #11

$\sum_{k = 1}^{\infty} 15 \cdot {(- 0,3)}^{k}$

Calcular sumas de series infinitas

Cuando existe la suma de una serie geométrica infinita, podemos calcular la suma. La fórmula de la suma de una serie infinita está relacionada con la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de una serie geométrica.

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}

Examinaremos una serie infinita con $r = \frac{1}{2} .$ ¿Qué pasa con $r^{n}$ a medida que $n$ aumenta?

\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4} \\ {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8} \\ {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1}{16} \end{array}

El valor de $r^{n}$ disminuye rápidamente. ¿Qué ocurre para valores mayores de $n ?$

\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{10} = \frac{1}{1, 024} \\ {(\frac{1}{2})}^{20} = \frac{1}{1, 048, 576} \\ {(\frac{1}{2})}^{30} = \frac{1}{1, 073, 741, 824} \end{array}

A medida que $n$ se hace muy grande, $r^{n}$ se hace muy pequeño. Decimos que, a medida que $n$ aumenta sin límites, $r^{n}$ se acerca a 0. A medida que $r^{n}$ se acerca a 0, $1 - r^{n}$ se acerca a 1. Cuando esto ocurre, el numerador se acerca a $a_{1} .$ Esto nos da una fórmula para la suma de una serie geométrica infinita.

Fórmula de la suma de una serie geométrica infinita

La fórmula de la suma de una serie geométrica infinita con $−1 < r < 1$ es

S = \frac{a_{1}}{1 - r}

Cómo

Dada una serie geométrica infinita, calcule su suma.

Identifique $a_{1}$ y $r .$
Confirme que $- 1 < r < 1.$
Sustituya los valores de $a_{1}$ y $r$ en la fórmula, $S = \frac{a_{1}}{1 - r} .$
Simplifique para hallar $S .$

Ejemplo 7

Calcular la suma de una serie geométrica infinita

Calcule la suma, si existe, para lo siguiente:

Ⓐ $10 + 9 + 8 + 7 + \dots$
Ⓑ $248,6 + 99,44 + 39,776 + \dots$
Ⓒ $\sum_{k = 1}^{\infty} 4, 374 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{k - 1}$
Ⓓ $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{9} \cdot {(\frac{4}{3})}^{k}$

Solución

ⒶNo hay una razón constante; la serie no es geométrica.
Ⓑ
Hay una razón constante; la serie es geométrica. $a_{1} = 248,6$ y $r = \frac{99,44}{248,6} = 0,4,$ por lo que la suma existe. Sustituya $a_{1} = 248,6$ y $r = 0,4$ en la fórmula y simplifique para calcular la suma:
$\begin{array}{l} S = \frac{a_{1}}{1 - r} \\ S = \frac{248,6}{1 - 0,4} = 414, \bar{3} \end{array}$
Ⓒ
La fórmula es exponencial, por lo que la serie es geométrica con $r = - \frac{1}{3} .$ Halle $a_{1}$ sustituyendo $k = 1$ en la fórmula explícita dada:
$a_{1} = 4, 374 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1} = 4, 374$
Sustituya $a_{1} = 4, 374$ y $r = - \frac{1}{3}$ en la fórmula y simplifique para calcular la suma:
$\begin{array}{l} S = \frac{a_{1}}{1 - r} \\ S = \frac{4, 374}{1 - (- \frac{1}{3})} = 3, 280,5 \end{array}$
ⒹLa fórmula es exponencial, por lo que la serie es geométrica, pero $r > 1.$ La suma no existe.

Ejemplo 8

Hallar una fracción equivalente para un decimal repetido

Halle una fracción equivalente para el decimal repetido $0, \bar{3}$

Solución

Nos fijamos en la repetición del decimal $0, \bar{3} = 0,333...$ por lo que podemos reescribir el decimal repetido como una suma de términos.

0, \bar{3} = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ...

Para identificar un patrón, reescribimos la suma y observamos que vemos el primer término multiplicado por 0,1 en el segundo término, y el segundo término multiplicado por 0,1 en el tercer término.

Observe el patrón; multiplicamos cada término consecutivo por una razón común de 0,1 empezando por el primer término de 0,3. Así que, al sustituir en nuestra fórmula para una suma geométrica infinita, tenemos

S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{0,3}{1 - 0,1} = \frac{0,3}{0,9} = \frac{1}{3} .

Calcule la suma, si existe.

Inténtelo #12

$2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{9} + ...$

Inténtelo #13

$\sum_{k = 1}^{\infty} 0,76 k + 1$

Inténtelo #14

$\sum_{k = 1}^{\infty} {(- \frac{3}{8})}^{k}$

Solución para problemas de anualidades

Al principio de la sección, vimos un problema en el que un padre invertía una cantidad fija de dinero cada mes en un fondo para la universidad durante seis años. Una anualidad es una inversión en la que el comprador realiza una secuencia de pagos periódicos e iguales. Para calcular el importe de una anualidad, tenemos que hallar la suma de todos los pagos y los intereses devengados. En el ejemplo, el padre invierte 50 dólares cada mes. Ese es el valor del depósito inicial. La cuenta pagaba el 6 % de interés anual calculado mensualmente. Para calcular el tipo de interés por periodo de pago, tenemos que dividir la tasa anual equivalente (TAE) del 6 % entre 12. Por lo tanto, la tasa de interés mensual es del 0,5 %. Podemos multiplicar la cantidad en la cuenta cada mes por el 100,5 % para calcular el valor de la cuenta una vez añadidos los intereses.

Podemos calcular el valor de la anualidad justo después del último depósito utilizando una serie geométrica con $a_{1} = 50$ y $r = 100,5 % = 1,005.$ Después del primer depósito, el valor de la anualidad será de 50 dólares. Veamos si podemos determinar la cantidad del fondo universitario y los intereses obtenidos.

Podemos calcular el valor de la anualidad después de $n$ depósitos mediante la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de una serie geométrica. En 6 años hay 72 meses, así que $n = 72.$ Podemos sustituir $a_{1} = 50, r = 1,005, y n = 72$ en la fórmula y simplificar para calcular el valor de la anualidad después de 6 años.

S_{72} = \frac{50 (1 - {1,005}^{72})}{1 - 1,005} \approx 4.320,44

Después del último depósito, el padre tendrá un total de 4.320,44 dólares en la cuenta. Nótese que el padre hizo 72 pagos de 50 dólares cada uno por un total de $72(50) = $3.600 .$ Esto significa que, gracias a la anualidad, el padre ganó 720,44 dólares de intereses en su fondo universitario.

Cómo

Dado un depósito inicial y una tasa de interés, calcule el valor de una anualidad.

Determine $a_{1},$ el valor del depósito inicial.
Determine $n,$ el número de depósitos.
Determine r. r.
1. Divida la tasa de interés anual entre el número de veces al año que se componen los intereses.
2. Sume 1 a esta cantidad para hallar $r .$
Sustituya los valores de $a_{1}, r, y n$ en la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de una serie geométrica, $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} .$
Simplifique para hallar $S_{n},$ el valor de la anualidad después de $n$ depósitos.

Ejemplo 9

Resolver un problema de anualidades

Al principio de cada mes se depositan 100 dólares en un fondo universitario durante 10 años. El fondo gana el 9 % de interés anual calculado mensualmente y se paga a final de mes. ¿Cuánto hay en la cuenta justo después del último depósito?

Solución

El valor del depósito inicial es de 100 dólares, por lo que $a_{1} = 100.$ En total se realizan 120 depósitos mensuales durante los 10 años, por lo que $n = 120.$ Para hallar $r,$ divida la tasa de interés anual entre 12 para calcular la tasa de interés mensual y añada 1 para representar el nuevo depósito mensual.

r = 1 + \frac{0,09}{12} = 1,0075

Sustituya $a_{1} = 100, r = 1,0075, y n = 120$ en la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de una serie geométrica y simplifique para calcular el valor de la anualidad.

S_{120} = \frac{100 (1 - {1,0075}^{120})}{1 - 1,0075} \approx 19.351,43

Por lo que la cuenta tiene 19.351,43 dólares después de hacer el último depósito.

Inténtelo #15

Al principio de cada mes, se depositan 200 dólares en un fondo de jubilación. El fondo gana un interés anual del 6 % calculado mensualmente y se ingresa en la cuenta a final de mes. ¿Cuánto hay en la cuenta si se hacen depósitos durante 10 años?

Media

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11.4 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Qué es una suma parcial a la $n enésimo$ ?

2.

¿Cuál es la diferencia entre una secuencia aritmética y una serie aritmética?

3.

¿Qué es una serie geométrica?

4.

¿En qué se diferencia calcular la suma de una serie geométrica infinita de calcular la suma parcial a la $n enésimo$ ?

5.

¿Qué es una anualidad?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, exprese cada descripción de una suma mediante notación de sumatoria.

6.

La suma de términos $m^{2} + 3 m$ a partir de $m = 1$ con $m = 5$

7.

La suma de $n = 0$ a $n = 4$ de $5 n$

8.

La suma de $6 k - 5$ a partir de $k = - 2$ con $k = 1$

9.

La suma que resulta de sumar el número 4 cinco veces

En los siguientes ejercicios, exprese cada suma aritmética mediante notación de sumatoria.

10.

$5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50$

11.

$10 + 18 + 26 + \dots + 162$

12.

$\frac{1}{2} + 1 + \frac{3}{2} + 2 + \dots + 4$

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de cada secuencia aritmética.

13.

$\frac{3}{2} + 2 + \frac{5}{2} + 3 + \frac{7}{2}$

14.

$19 + 25 + 31 + \dots + 73$

15.

$3,2 + 3,4 + 3,6 + \dots + 5,6$

En los siguientes ejercicios, exprese cada suma geométrica mediante notación de sumatoria.

16.

$1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187$

17.

$8 + 4 + 2 + \dots + 0,125$

18.

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{12} - \frac{1}{24} + \dots + \frac{1}{768}$

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de cada secuencia geométrica y luego enuncie la suma indicada.

19.

$9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$

20.

$\sum_{n = 1}^{9} 5 \cdot 2^{n - 1}$

21.

$\sum_{a = 1}^{11} 64 \cdot {0,2}^{a - 1}$

En los siguientes ejercicios, determine si la serie infinita tiene una suma. Si es así, escriba la fórmula de la suma. Si no es así, indique el motivo.

22.

$12 + 18 + 24 + 30 + ...$

23.

$2 + 1,6 + 1,28 + 1,024 + ...$

24.

$\sum_{m = 1}^{\infty} 4^{m - 1}$

25.

${\sum^{}}_{\infty}^{k = 1} - {(- \frac{1}{2})}^{k - 1}$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el siguiente escenario. Javier hace depósitos mensuales en una cuenta de ahorros. Abrió la cuenta con un depósito inicial de 50 dólares. A partir de entonces, cada mes aumentó en 20 dólares la cantidad del depósito anterior.

26.

Grafique la secuencia aritmética que muestra un año de depósitos de Javier.

27.

Grafique la serie aritmética que muestra las sumas mensuales de un año de los depósitos de Javier.

En los siguientes ejercicios, utilice la serie geométrica ${\sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{2})}^{k} .$

28.

Grafique las 7 primeras sumas parciales de la serie.

29.

¿A qué número $S_{n}$ parece acercarse en el gráfico? Calcule la suma para explicar por qué esto tiene sentido.

Numéricos

En los siguientes ejercicios, calcule la suma indicada.

30.

$\sum_{a = 1}^{14} a$

31.

$\sum_{n = 1}^{6} n (n - 2)$

32.

$\sum_{k = 1}^{17} k^{2}$

33.

$\sum_{k = 1}^{7} 2^{k}$

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de una serie aritmética para calcular la suma.

34.

$- 1,7 + - 0,4 + 0,9 + 2,2 + 3,5 + 4,8$

35.

$6 + \frac{15}{2} + 9 + \frac{21}{2} + 12 + \frac{27}{2} + 15$

36.

$- 1 + 3 + 7 + ... + 31$

37.

$\sum_{k = 1}^{11} (\frac{k}{2} - \frac{1}{2})$

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de una serie geométrica para calcular la suma parcial.

38.

$S_{6}$ para la serie $- 2 - 10 - 50 - 250$

39.

$S_{7}$ para la serie $0,4 - 2 + 10 - 50...$

40.

$\sum_{k = 1}^{9} 2^{k - 1}$

41.

$\sum_{n = 1}^{10} - 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

En los siguientes ejercicios, calcule la suma de las series geométricas infinitas.

42.

$4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} ...$

43.

$- 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{16} - \frac{1}{64} ...$

44.

${\sum^{}}_{\infty}^{k = 1} 3 \cdot {(\frac{1}{4})}^{k - 1}$

45.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 4,6 \cdot {0,5}^{n - 1}$

En los siguientes ejercicios, determine el valor de la anualidad para la cantidad indicada del depósito mensual, el número de depósitos y la tasa de interés.

46.

Cantidad del depósito: $$ 50;$ depósitos totales: $60;$ tasa de interés: $5 %,$ calculado mensualmente

47.

Cantidad del depósito: $$ 150;$ depósitos totales: $24;$ tasa de interés: $3 %,$ calculado mensualmente

48.

Cantidad del depósito: $$ 450;$ depósitos totales: $60;$ tasa de interés: $4,5 %,$ calculado trimestralmente

49.

Cantidad del depósito: $$ 100;$ depósitos totales: $120;$ tasa de interés: $10 %,$ calculado semestralmente

Extensiones

50.

La suma de términos $50 - k^{2}$ a partir de $k = x$ hasta $7$ es $115.$ ¿Qué es x?

51.

Escriba una fórmula explícita para $a_{k}$ de forma que $\sum_{k = 0}^{6} a_{k} = 189.$ Supongamos que se trata de una serie aritmética.

52.

Calcule el menor valor de n de forma que $\sum_{k = 1}^{n} (3 k - 5) > 100.$

53.

¿Cuántos términos hay que añadir para que la serie $- 1 - 3 - 5 - 7 ....$ tenga una suma inferior a $- 75 ?$

54.

Escriba $0, \bar{65}$ como una serie geométrica infinita utilizando la notación de sumatoria. Luego, utilice la fórmula para calcular la suma de una serie geométrica infinita para convertir $0, \bar{65}$ a una fracción.

55.

La suma de una serie geométrica infinita es cinco veces el valor del primer término. ¿Cuál es la razón común de la serie?

56.

Para conseguir los mejores tipos de préstamo disponibles, la familia Coleman quiere ahorrar suficiente dinero para dar un 20 % de inicial para una casa de 160.000 dólares. Planean hacer depósitos mensuales de 125 dólares en una cuenta de inversión que ofrece un 8,5 % de interés anual calculado semestralmente. ¿Tendrán los Coleman lo suficiente para un 20 % de pago inicial después de cinco años de ahorro? ¿Cuánto dinero habrán ahorrado?

57.

Karl tiene dos años para ahorrar $$ 10.000$ para comprar un auto usado cuando se gradúe. Al dólar más cercano, ¿de cuánto tendrían que ser sus depósitos mensuales si invierte en una cuenta que ofrece una tasa de interés anual del 4,2 % que se calcula mensualmente?

Aplicaciones en el mundo real

58.

Keisha ideó un plan de estudio de una semana para prepararse para los finales. El primer día, tiene previsto estudiar durante $1$ hora, y cada día sucesivo aumentará su tiempo de estudio en $30$ minutos. ¿Cuántas horas habrá estudiado Keisha después de una semana?

59.

Una roca rodó por una montaña y se movió 6 pies en el primer segundo. Cada segundo sucesivo su distancia aumentaba en 8 pies. ¿Qué distancia recorrió la roca después de 10 segundos?

60.

Un científico coloca 50 células en una placa de Petri. Cada hora la población aumenta un $1,5 %$ . ¿Cuál será el recuento de células después de 1 día?

61.

Un péndulo recorre una distancia de 3 pies en su primera oscilación. En cada oscilación sucesiva recorre $\frac{3}{4}$ de la distancia de la oscilación anterior. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el péndulo cuando deja de oscilar?

62.

Rachael deposita cada año 1.500 dólares en un fondo de pensiones. El fondo gana el 8,2 % de interés anual calculado mensualmente. Si abrió su cuenta a los 19 años, ¿cuánto tendrá a los 55? ¿Qué parte de esa cantidad serán los intereses ganados?

11.4 Series y sus notaciones

Usar la notación de sumatoria

Usar la notación de sumatoria

Solución

Usar la fórmula de la serie aritmética

Hallar los primeros n términos de una serie aritmética

Solución

Resolver problemas de aplicación con serie aritmética

Solución

Usar la fórmula de la serie geométrica

Hallar los primeros n términos de una serie geométrica

Solución

Resolver un problema de aplicación con una serie geométrica

Solución

Usar la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita

Determinar si la suma de una serie geométrica infinita está definida

Determinar si la suma de una serie infinita está definida

Solución

Calcular sumas de series infinitas

Calcular la suma de una serie geométrica infinita

Solución

Hallar una fracción equivalente para un decimal repetido

Solución

Solución para problemas de anualidades

Resolver un problema de anualidades

Solución

11.4 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Numéricos

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real