Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Identificar secciones cónicas no degeneradas dadas sus ecuaciones de forma general.
Usar fórmulas de rotación de ejes.
Escribir ecuaciones de cónicas giradas en la forma estándar.
Identificar secciones cónicas sin ejes de rotación.

Como hemos visto, las secciones cónicas se forman cuando un plano interseca dos conos circulares rectos alineados de punta a punta y que se extienden infinitamente en direcciones opuestas, lo que también llamamos cono. La forma en que cortemos el cono determinará el tipo de sección cónica formada en la intersección. Un círculo se forma al cortar un cono con un plano perpendicular al eje de simetría del cono. Una elipse se forma al cortar un cono único con un plano inclinado no perpendicular al eje de simetría. Una parábola se forma al cortar el plano por la parte superior o la inferior del doble cono, mientras que una hipérbola se forma cuando el plano corta tanto la parte superior como la inferior del cono. Vea la Figura 1.

Figura 1 Secciones cónicas no degeneradas

Las elipses, los círculos, las hipérbolas y las parábolas se denominan, a veces, secciones cónicas no degeneradas, en contraste con las secciones cónicas degeneradas, que se muestran en la Figura 2. La cónica degenerada resulta cuando un plano interseca el doble cono y pasa por el vértice. Según el ángulo del plano, son posibles tres tipos de secciones cónicas degeneradas: un punto, una línea o dos líneas que se intersecan.

Figura 2 Secciones cónicas degeneradas

Identificación de secciones cónicas no degeneradas en forma general

En las secciones anteriores de este capítulo nos hemos centrado en las ecuaciones en la forma estándar para secciones cónicas no degeneradas. En esta sección nos centraremos en la ecuación de forma general, que se puede usar para cualquier sección cónica. La forma general se hace igual a cero, y los términos y coeficientes se dan en un orden particular, como se muestra a continuación.

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0

donde $A, B,$ y $C$ no son todos cero. Podemos utilizar los valores de los coeficientes para identificar qué tipo de sección cónica representa una ecuación determinada.

Puede observar que la ecuación de forma general tiene un término $x y$ que no hemos visto en ninguna de las ecuaciones de la forma estándar. Como veremos más adelante, el término $x y$ rota la sección cónica siempre que $B$ no sea igual a cero.

Secciones cónicas	Ejemplo
elipse	$4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$
círculo	$4 x^{2} + 4 y^{2} = 1$
hipérbola	$4 x^{2} - 9 y^{2} = 1$
parábola	$4 x^{2} = 9 y o 4 y^{2} = 9 x$
una línea	$4 x + 9 y = 1$
líneas de intersección	$(x - 4) (y + 4) = 0$
líneas paralelas	$(x - 4) (x - 9) = 0$
un punto	$4 x^{2} + 4 y^{2} = 0$
no hay gráfico	$4 x^{2} + 4 y^{2} = - 1$

Tabla 1

Forma general de las secciones cónicas

Una sección cónica tiene la forma general

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0

donde $A, B,$ y $C$ no son todos cero.

En la Tabla 2 se resumen las diferentes secciones cónicas en las que $B = 0,$ y $A$ y $C$ son números reales diferentes de cero. Esto indica que la cónica no se ha girado.

elipse	$A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0, A \neq C y A C > 0$
círculo	$A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0, A = C$
hipérbola	$A x^{2} - C y^{2} + D x + E y + F = 0 o - A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0,$ donde $A$ y $C$ son positivos
parábola	$A x^{2} + D x + E y + F = 0 o C y^{2} + D x + E y + F = 0$

Tabla 2

Cómo

Dada la ecuación de una sección cónica, identifique el tipo de sección cónica.

Reescriba la ecuación en la forma general, $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0 .$
Identifique los valores de A A y C C de la forma general
1. Si $A$ y $C$ son distintos de cero, tienen el mismo signo y no son iguales entre sí, entonces el gráfico puede ser una elipse.
2. Si los valores de $A$ y $C$ son iguales y distintos de cero y tienen el mismo signo, entonces el gráfico puede ser un círculo.
3. Si los valores de $A$ y $C$ son distintos de cero y tienen signos opuestos, entonces el gráfico puede ser una hipérbola.
4. Si cualquiera de $A$ o $C$ es cero, entonces el gráfico puede ser una parábola.
Si B = 0, la sección cónica tendrá un eje vertical u horizontal. Si B no es igual a 0, como se muestra a continuación, la sección cónica se rota. Tome en cuenta la expresión "puede ser" en las definiciones. Esto se debe a que la ecuación puede no representar una sección cónica en absoluto, según los valores de A, B, C, D, E y F. Por ejemplo, el caso degenerado de un círculo o una elipse es un punto:
$A x^{2} + B y^{2} = 0,$ cuando A y B tienen el mismo signo.
El caso degenerado de una hipérbola son dos líneas que se intersecan: $A x^{2} + B y^{2} = 0,$ cuando A y B tienen signos opuestos.
Por otro lado, la ecuación, $A x^{2} + B y^{2} + 1 = 0,$ cuando A y B son positivos no representa un gráfico en absoluto, ya que no hay pares reales ordenados que lo satisfagan.

Ejemplo 1

Identificación de una sección cónica a partir de su forma general

Identifique el gráfico de cada una de las siguientes secciones cónicas no degeneradas.

Ⓐ $4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 x + 36 y - 125 = 0$
Ⓑ $9 y^{2} + 16 x + 36 y - 10 = 0$
Ⓒ $3 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x - 6 y - 4 = 0$
Ⓓ $- 25 x^{2} - 4 y^{2} + 100 x + 16 y + 20 = 0$

Solución

Ⓐ Si reescribimos la forma general, tenemos
$A = 4$ y $C = −9,$ por lo que observamos que $A$ y $C$ tienen signos opuestos. El gráfico de esta ecuación es una hipérbola.
Ⓑ Si reescribimos la forma general, tenemos
$A = 0$ y $C = 9.$ Podemos determinar que la ecuación es una parábola, ya que $A$ es cero.
Ⓒ Si reescribimos la forma general, tenemos
$A = 3$ y $C = 3.$ Dado que $A = C,$ el gráfico de esta ecuación es un círculo.
Ⓓ Si reescribimos la forma general, tenemos
$A = −25$ y $C = −4.$ Dado que $A C > 0$ y $A \neq C,$ el gráfico de esta ecuación es una elipse.

Inténtelo #1

Identifique el gráfico de cada una de las siguientes secciones cónicas no degeneradas.

Ⓐ $16 y^{2} - x^{2} + x - 4 y - 9 = 0$
Ⓑ $16 x^{2} + 4 y^{2} + 16 x + 49 y - 81 = 0$

Calcular una nueva representación de la ecuación dada después de rotar por un ángulo dado

Hasta ahora hemos examinado ecuaciones de secciones cónicas sin un término $x y$ que alinee los gráficos con los ejes x y y. Cuando añadimos un término $x y$ , rotamos la sección cónica alrededor del origen. Si los ejes x y y se giran en un ángulo, por ejemplo $θ,$ entonces se puede pensar que cada punto del plano tiene dos representaciones: $(x, y)$ en el plano cartesiano con los ejes x y y originales y $(x^{'}, y^{'})$ en el nuevo plano definido por los nuevos ejes rotados, denominados los ejes x' y y'. Vea la Figura 3.

Figura 3 El gráfico de la elipse rotada

x^{2} + y^{2} - x y - 15 = 0

Hallaremos las relaciones entre $x$ y $y$ en el plano cartesiano con $x^{'}$ y $y^{'}$ en el nuevo plano rotado. Vea la Figura 4.

Figura 4 El plano cartesiano con los ejes x y y y los ejes x′ y y′ resultantes formados por una rotación de un ángulo

θ .

Los ejes de coordenadas x y y originales tienen vectores unitarios $i$ y $j .$ Los ejes de coordenadas rotados tienen vectores unitarios $i^{'}$ y $j^{'} .$ El ángulo $θ$ se conoce como el ángulo de rotación. Vea la Figura 5. Podemos escribir los nuevos vectores unitarios en términos de los originales.

\begin{array}{l} i^{'} = \cos θ i + sen θ j \\ j^{'} = - sen θ i + \cos θ j \end{array}

Figura 5 Relación entre los planos de coordenadas anteriores y los nuevos.

Considere un vector $u$ en el nuevo plano de coordenadas. Se puede representar en términos de sus ejes de coordenadas.

\begin{array}{l} u = x^{'} i^{'} + y^{'} j^{'} \\ u = x^{'} (i \cos θ + j sen θ) + y^{'} (- i sen θ + j \cos θ) & \begin{matrix}  \end{matrix} Sustituya . \\ u = i x' \cos θ + j x' sen θ - i y' sen θ + j y' \cos θ & \begin{matrix}  \end{matrix} Distribuya . \\ u = i x' \cos θ - i y' sen θ + j x' sen θ + j y' \cos θ & \begin{matrix}  \end{matrix} Aplique la propiedad conmutativa . \\ u = (x' \cos θ - y' sen θ) i + (x' sen θ + y' \cos θ) j & \begin{matrix}  \end{matrix} Factorice por agrupación . \end{array}

Debido a que $u = x^{'} i^{'} + y^{'} j^{'},$ tenemos representaciones de $x$ y $y$ en términos del nuevo sistema de coordenadas.

\begin{matrix} x = x^{'} \cos θ - y^{'} sen θ \\ y \\ y = x^{'} sen θ + y^{'} \cos θ \end{matrix}

Ecuaciones de rotación

Si un punto $(x, y)$ en el plano cartesiano se representa en un nuevo plano de coordenadas en el que los ejes de rotación se forman girando un ángulo $θ$ del eje x positivo, entonces las coordenadas del punto con respecto a los nuevos ejes son $(x^{'}, y^{'}) .$ Podemos utilizar las siguientes ecuaciones de rotación para definir la relación entre $(x, y)$ y $(x^{'}, y^{'}) :$

x = x^{'} \cos θ - y^{'} sen θ

y

y = x^{'} sen θ + y^{'} \cos θ

Cómo

Dada la ecuación de una sección cónica, calcule una nueva representación después de girar un ángulo.

Calcule $x$ y $y$ donde $x = x^{'} \cos θ - y^{'} sen θ$ y $y = x^{'} sen θ + y^{'} \cos θ .$
Sustituya la expresión de $x$ y $y$ en la ecuación dada, luego simplifique.
Escriba las ecuaciones con $x^{'}$ y $y^{'}$ en la forma estándar.

Ejemplo 2

Calcular una nueva representación de una ecuación después de rotar por un ángulo dado

Calcule una nueva representación de la ecuación $2 x^{2} - x y + 2 y^{2} - 30 = 0$ después de rotar por un ángulo de $θ = 45° .$

Solución

Calcule $x$ y $y,$ donde $x = x^{'} \cos θ - y^{'} sen θ$ y $y = x^{'} sen θ + y^{'} \cos θ .$

Dado que $θ = 45°,$

\begin{array}{l} x = x^{'} \cos (45°) - y^{'} sen (45°) \\ x = x^{'} (\frac{1}{\sqrt{2}}) - y^{'} (\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ x = \frac{x^{'} - y^{'}}{\sqrt{2}} \end{array}

y

\begin{array}{l} \begin{array}{l} y = x^{'} sen (45°) + y^{'} \cos (45°) \\ y = x^{'} (\frac{1}{\sqrt{2}}) + y^{'} (\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ y = \frac{x^{'} + y^{'}}{\sqrt{2}} \end{array} \end{array}

Sustituya $x = x^{'} \cos θ - y^{'} sen θ$ y $y = x^{'} sen θ + y^{'} \cos θ$ en $2 x^{2} - x y + 2 y^{2} - 30 = 0 .$

2 {(\frac{x^{'} - y^{'}}{\sqrt{2}})}^{2} - (\frac{x^{'} - y^{'}}{\sqrt{2}}) (\frac{x^{'} + y^{'}}{\sqrt{2}}) + 2 {(\frac{x^{'} + y^{'}}{\sqrt{2}})}^{2} - 30 = 0

Simplifique.

\begin{array}{l} 2 \frac{(x^{'} - y^{'}) (x^{'} - y^{'})}{2} - \frac{(x^{'} - y^{'}) (x^{'} + y^{'})}{2} + 2 \frac{(x^{'} + y^{'}) (x^{'} + y^{'})}{2} - 30 = 0 & \begin{matrix}  \end{matrix} Método FOIL \\ x^{'}^{2} {- 2 x^{'} y}^{'} + y^{'}^{2} - \frac{(x^{'}^{2} - y^{'}^{2})}{2} + x^{'}^{2} + 2 x^{'} y^{'} + y^{'}^{2} - 30 = 0 & \begin{matrix}  \end{matrix} Combine términos similares . \\ 2 x^{'}^{2} + 2 y^{'}^{2} - \frac{(x^{'}^{2} - y^{'}^{2})}{2} = 30 & \begin{matrix}  \end{matrix} Combine términos similares . \\ 2 (2 x^{'}^{2} + 2 y^{'}^{2} - \frac{(x^{'}^{2} - y^{'}^{2})}{2}) = 2 (30) & \begin{matrix}  \end{matrix} Multiplique ambos lados por 2 . \\ 4 x^{'}^{2} + 4 y^{'}^{2} - (x^{'}^{2} - y^{'}^{2}) = 60 & \begin{matrix}  \end{matrix} Simplifique . \\ 4 x^{'}^{2} + 4 y^{'}^{2} - x^{'}^{2} + y^{'}^{2} = 60 & \begin{matrix}  \end{matrix} Distribuya . \\ \frac{3 x^{'}^{2}}{60} + \frac{5 y^{'}^{2}}{60} = \frac{60}{60} & \begin{matrix}  \end{matrix} Se igualan a 1 . \end{array}

Escriba las ecuaciones con $x^{'}$ y $y^{'}$ en la forma estándar.

\frac{{x^{'}}^{2}}{20} + \frac{{y^{'}}^{2}}{12} = 1

Esta ecuación es una elipse. La Figura 6 muestra el gráfico.

Figura 6

Escritura de ecuaciones de secciones cónicas rotadas en la forma estándar

Ahora que podemos calcular la forma estándar de una sección cónica cuando nos dan un ángulo de rotación, aprenderemos a transformar la ecuación de una sección cónica dada en la forma $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ en la forma estándar rotando los ejes. Para ello, reescribiremos la forma general como una ecuación en el sistema de coordenadas de $x^{'}$ y $y^{'}$ sin $x^{'} y^{'}$ , rotando los ejes en una medida de $θ$ que satisfaga

\cot (2 θ) = \frac{A - C}{B}

Ya hemos aprendido que cualquier sección cónica se puede representar con la ecuación de segundo grado

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0

donde $A, B,$ y $C$ no son todos cero. Sin embargo, si $B \neq 0,$ entonces tenemos un término $x y$ que nos impide reescribir la ecuación en forma estándar. Para eliminarlo, podemos rotar los ejes en un ángulo agudo $θ$ donde $\cot (2 θ) = \frac{A - C}{B} .$

Si los valores de $\cot (2 θ) > 0,$ entonces $2 θ$ está en el primer cuadrante y $θ$ está entre $(0°, 45°) .$
Si los valores de $\cot (2 θ) < 0,$ entonces $2 θ$ está en el segundo cuadrante y $θ$ está entre $(45°, 90°) .$
Si $A = C,$ entonces $θ = 45° .$

Cómo

Dada una ecuación para una sección cónica en el sistema $x^{'} y^{'}$ , reescriba la ecuación sin el término $x^{'} y^{'}$ en lo que respecta a $x^{'}$ y $y^{'},$ donde $x^{'}$ y $y^{'}$ son rotaciones de los ejes estándar por grados $θ$ .

Calcule $\cot (2 θ) .$
Halle $sen θ$ y $\cos θ .$
Sustituya $sen θ$ y $\cos θ$ en $x = x^{'} \cos θ - y^{'} sen θ$ y $y = x^{'} sen θ + y^{'} \cos θ .$
Sustituya la expresión de $x$ y $y$ en la ecuación dada y luego simplifique.
Escriba las ecuaciones con $x^{'}$ y $y^{'}$ en la forma estándar con respecto a los ejes rotados.

Ejemplo 3

Reescriba una ecuación con respecto a los ejes x′ y y′ sin el término x′y′

Reescriba la ecuación $8 x^{2} - 12 x y + 17 y^{2} = 20$ en el sistema $x^{'} y^{'}$ sin un término $x^{'} y^{'}$ .

Solución

Primero hallamos $\cot (2 θ) .$ Vea la Figura 7.

\begin{array}{l} 8 x^{2} - 12 x y + 17 y^{2} = 20 \Rightarrow A = 8, B = - 12 y C = 17 \\ \cot (2 θ) = \frac{A - C}{B} = \frac{8 - 17}{- 12} \\ \cot (2 θ) = \frac{- 9}{- 12} = \frac{3}{4} \end{array}

Un triángulo rectángulo en el primer cuadrante del plano x y. El lado horizontal tiene una longitud de 3 y está en el eje x. El lado vertical tiene una longitud de 4. La hipotenusa tiene una longitud h y comienza en el origen. El ángulo agudo en el origen es 2 theta.

Figura 7

\cot (2 θ) = \frac{3}{4} = \frac{adyacente}{opuesto}

Entonces la hipotenusa es

\begin{array}{r} 3^{2} + 4^{2} = h^{2} \\ 9 + 16 = h^{2} \\ 25 = h^{2} \\ h = 5 \end{array}

Luego, hallamos $sen θ$ y $\cos θ .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} sen θ = \sqrt{\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{5 - 3}{5} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{\frac{1}{5}} \end{array} \\ sen θ = \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \cos θ = \sqrt{\frac{1 + \cos (2 θ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{5 + 3}{5} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} \\ \cos θ = \frac{2}{\sqrt{5}} \end{array}

Sustituya los valores de $sen θ$ y $\cos θ$ en $x = x^{'} \cos θ - y^{'} sen θ$ y $y = x^{'} sen θ + y^{'} \cos θ .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} x = x^{'} \cos θ - y^{'} sen θ \\ x = x^{'} (\frac{2}{\sqrt{5}}) - y^{'} (\frac{1}{\sqrt{5}}) \\ x = \frac{2 x^{'} - y^{'}}{\sqrt{5}} \end{array} \end{array}

y

\begin{array}{l} \begin{array}{l} y = x^{'} sen θ + y^{'} \cos θ \end{array} \\ y = x^{'} (\frac{1}{\sqrt{5}}) + y^{'} (\frac{2}{\sqrt{5}}) \\ y = \frac{x^{'} + 2 y^{'}}{\sqrt{5}} \end{array}

Sustituya las expresiones de $x$ y $y$ en la ecuación dada y luego simplifique.

\begin{array}{l} 8 {(\frac{2 x^{'} - y^{'}}{\sqrt{5}})}^{2} - 12 (\frac{2 x^{'} - y^{'}}{\sqrt{5}}) (\frac{x^{'} + 2 y^{'}}{\sqrt{5}}) + 17 {(\frac{x^{'} + 2 y^{'}}{\sqrt{5}})}^{2} = 20 \\ 8 (\frac{(2 x^{'} - y^{'}) (2 x^{'} - y^{'})}{5}) - 12 (\frac{(2 x^{'} - y^{'}) (x^{'} + 2 y^{'})}{5}) + 17 (\frac{(x^{'} + 2 y^{'}) (x^{'} + 2 y^{'})}{5}) = 20 \\ 8 (4 x^{'}^{2} - 4 x^{'} y^{'} + y^{'}^{2}) - 12 (2 x^{'}^{2} + 3 x^{'} y^{'} - 2 y^{'}^{2}) + 17 (x^{'}^{2} + 4 x^{'} y^{'} + 4 y^{'}^{2}) = 100 \\ 32 x^{'}^{2} - 32 x^{'} y^{'} + 8 y^{'}^{2} - 24 x^{'}^{2} - 36 x^{'} y^{'} + 24 y^{'}^{2} + 17 x^{'}^{2} + 68 x^{'} y^{'} + 68 y^{'}^{2} = 100 \\ 25 x^{'}^{2} + 100 y^{'}^{2} = 100 \\ \frac{25}{100} x^{'}^{2} + \frac{100}{100} y^{'}^{2} = \frac{100}{100} \end{array}

Escriba las ecuaciones con $x^{'}$ y $y^{'}$ en la forma estándar con respecto al nuevo sistema de coordenadas.

\frac{{x^{'}}^{2}}{4} + \frac{{y^{'}}^{2}}{1} = 1

La Figura 8 muestra el gráfico de la elipse.

Figura 8

Inténtelo #2

Vuelva a escribir el $13 x^{2} - 6 \sqrt{3} x y + 7 y^{2} = 16$ en el plano $x^{'} y^{'}$ sin el término $x^{'} y^{'}$ .

Ejemplo 4

Graficar una ecuación que no tiene términos x′y′

Grafique la siguiente ecuación en relación con el sistema $x^{'} y^{'}$ :

x^{2} + 12 x y - 4 y^{2} = 30

Solución

Primero hallamos $\cot (2 θ) .$

x^{2} + 12 x y - 4 y^{2} = 20 \Rightarrow A = 1, B = 12, y C = –4

\begin{array}{l} \cot (2 θ) = \frac{A - C}{B} \\ \cot (2 θ) = \frac{1 - (–4)}{12} \\ \cot (2 θ) = \frac{5}{12} \end{array}

Dado que $\cot (2 θ) = \frac{5}{12},$ podemos dibujar un triángulo de referencia como en la Figura 9.

Se muestra una línea con pendiente positiva que pasa por el origen del plano x y. El valor x de 5 se muestra en el eje x. El valor y de 12 se muestra en el eje y. El ángulo que forma la línea con el eje x es 2 theta. La línea se identifica como cotangente (2 theta) = 5/12.

Figura 9

\cot (2 θ) = \frac{5}{12} = \frac{adyacente}{opuesto}

Así, la hipotenusa es

\begin{array}{r} 5^{2} + 12^{2} = h^{2} \\ 25 + 144 = h^{2} \\ 169 = h^{2} \\ h = 13 \end{array}

Luego, hallamos $sen θ$ y $\cos θ .$ Utilizaremos identidades de ángulo medio.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} sen θ = \sqrt{\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{5}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{13}{13} - \frac{5}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{8}{13} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \end{array} \\ \cos θ = \sqrt{\frac{1 + \cos (2 θ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{5}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{13}{13} + \frac{5}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{18}{13} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \end{array}

Ahora hallamos $x$ y $y .$

\begin{array}{l} x = x^{'} \cos θ - y^{'} sen θ \\ x = x^{'} (\frac{3}{\sqrt{13}}) - y^{'} (\frac{2}{\sqrt{13}}) \\ x = \frac{3 x^{'} - 2 y^{'}}{\sqrt{13}} \end{array}

y

\begin{array}{l} y = x^{'} sen θ + y^{'} \cos θ \\ y = x^{'} (\frac{2}{\sqrt{13}}) + y^{'} (\frac{3}{\sqrt{13}}) \\ y = \frac{2 x^{'} + 3 y^{'}}{\sqrt{13}} \end{array}

Ahora sustituimos $x = \frac{3 x^{'} - 2 y^{'}}{\sqrt{13}}$ y $y = \frac{2 x^{'} + 3 y^{'}}{\sqrt{13}}$ en $x^{2} + 12 x y - 4 y^{2} = 30.$

\begin{array}{l} {(\frac{3 x^{'} - 2 y^{'}}{\sqrt{13}})}^{2} + 12 (\frac{3 x^{'} - 2 y^{'}}{\sqrt{13}}) (\frac{2 x^{'} + 3 y^{'}}{\sqrt{13}}) - 4 {(\frac{2 x^{'} + 3 y^{'}}{\sqrt{13}})}^{2} = 30 \\ (\frac{1}{13}) [{(3 x^{'} - 2 y^{'})}^{2} + 12 (3 x^{'} - 2 y^{'}) (2 x^{'} + 3 y^{'}) - 4 {(2 x^{'} + 3 y^{'})}^{2}] = 30 & Factorice . \\ (\frac{1}{13}) [9 x^{'}^{2} - 12 x^{'} y^{'} + 4 y^{'}^{2} + 12 (6 x^{'}^{2} + 5 x^{'} y^{'} - 6 y^{'}^{2}) - 4 (4 x^{'}^{2} + 12 x^{'} y^{'} + 9 y^{'}^{2})] = 30 & Multiplique . \\ (\frac{1}{13}) [9 x^{'}^{2} - 12 x^{'} y^{'} + 4 y^{'}^{2} + 72 x^{'}^{2} + 60 x^{'} y^{'} - 72 y^{'}^{2} - 16 x^{'}^{2} - 48 x^{'} y^{'} - 36 y^{'}^{2}] = 30 & Distribuya . \\ (\frac{1}{13}) [65 x^{'}^{2} - 104 y^{'}^{2}] = 30 & Combine términos similares . \\ 65 x^{'}^{2} - 104 y^{'}^{2} = 390 & Multiplique . \\ \frac{x^{'}^{2}}{6} - \frac{4 y^{'}^{2}}{15} = 1 & Divida entre 390 . \end{array}

La Figura 10 muestra el gráfico de la hipérbola $\frac{{x^{'}}^{2}}{6} - \frac{4 {y^{'}}^{2}}{15} = 1.$

Figura 10

Identificar secciones cónicas sin ejes de rotación

Ahora hemos cerrado el círculo. ¿Cómo identificamos el tipo de sección cónica descrito por una ecuación? ¿Qué ocurre cuando se rotan los ejes? Recordemos que la forma general de una sección cónica es

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0

Si aplicamos las fórmulas de rotación a esta ecuación obtenemos la forma

A^{'} {x^{'}}^{2} + B^{'} x^{'} y^{'} + C^{'} {y^{'}}^{2} + D^{'} x^{'} + E^{'} y^{'} + F^{'} = 0

Se puede demostrar que $B^{2} - 4 A C = {B^{'}}^{2} - 4 A^{'} C^{'} .$ La expresión no varía después de la rotación, por lo que llamamos a esta expresión invariante. El discriminante, $B^{2} - 4 A C,$ es invariable y permanece sin cambios después de la rotación. Como el discriminante no cambia, la observación del discriminante nos permite identificar la sección cónica.

Uso del discriminante para identificar una sección cónica

Si la ecuación $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ se transforma mediante la rotación de los ejes en la ecuación $A^{'} {x^{'}}^{2} + B^{'} x^{'} y^{'} + C^{'} {y^{'}}^{2} + D^{'} x^{'} + E^{'} y^{'} + F^{'} = 0,$ entonces $B^{2} - 4 A C = {B^{'}}^{2} - 4 A^{'} C^{'} .$

La ecuación $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ es una elipse, una parábola o una hipérbola o un caso degenerado de una de ellas.

Si el discriminante, $B^{2} - 4 A C,$ es

$< 0,$ la sección cónica es una elipse
$= 0,$ la sección cónica es una parábola
$> 0,$ la sección cónica es una hipérbola

Ejemplo 5

Identificar la sección cónica sin ejes de rotación

Identifique la sección cónica de cada una de las siguientes sin rotar los ejes.

Ⓐ $5 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 2 y^{2} - 5 = 0$
Ⓑ $5 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 12 y^{2} - 5 = 0$

Solución

Ⓐ Empecemos por determinar $A, B,$ y $C .$
$\underset{A}{\underset{︸}{5}} x^{2} + \underset{B}{\underset{︸}{2 \sqrt{3}}} x y + \underset{C}{\underset{︸}{2}} y^{2} - 5 = 0$

Ahora, hallaremos el discriminante.

$\begin{array}{l} B^{2} - 4 A C = {(2 \sqrt{3})}^{2} - 4 (5) (2) \\ = 4 (3) - 40 \\ = 12 - 40 \\ = - 28 < 0 \end{array}$
Por lo tanto, $5 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 2 y^{2} - 5 = 0$ representa una elipse.
Ⓑ De nuevo, empecemos por determinar $A, B,$ y $C .$
$\underset{A}{\underset{︸}{5}} x^{2} + \underset{B}{\underset{︸}{2 \sqrt{3}}} x y + \underset{C}{\underset{︸}{12}} y^{2} - 5 = 0$

Ahora, hallaremos el discriminante.

$\begin{array}{l} B^{2} - 4 A C = {(2 \sqrt{3})}^{2} - 4 (5) (12) \\ = 4 (3) - 240 \\ = 12 - 240 \\ = - 228 < 0 \end{array}$
Por lo tanto, $5 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 12 y^{2} - 5 = 0$ representa una elipse.

Inténtelo #3

Identifique la sección cónica de cada una de las siguientes sin rotar los ejes.

Ⓐ $x^{2} - 9 x y + 3 y^{2} - 12 = 0$
Ⓑ $10 x^{2} - 9 x y + 4 y^{2} - 4 = 0$

Media

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar secciones cónicas y rotación de ejes.

Introducción a las secciones cónicas

10.4 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Qué efecto tiene el término $x y$ en el gráfico de una sección cónica?

2.

Si la ecuación de una sección cónica se escribe en la forma $A x^{2} + B y^{2} + C x + D y + E = 0$ y $A B = 0,$ ¿qué podemos concluir?

3.

Si la ecuación de una sección cónica se escribe en la forma $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0,$ y $B^{2} - 4 A C > 0,$ ¿qué podemos concluir?

4.

Dada la ecuación $a x^{2} + 4 x + 3 y^{2} - 12 = 0,$ ¿qué podemos concluir si $a > 0 ?$

5.

Para la ecuación $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0,$ el valor de $θ$ que satisface $\cot (2 θ) = \frac{A - C}{B}$ ¿qué información nos da?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine qué sección cónica está representada a partir de la ecuación dada.

6.

$9 x^{2} + 4 y^{2} + 72 x + 36 y - 500 = 0$

7.

$x^{2} - 10 x + 4 y - 10 = 0$

8.

$2 x^{2} - 2 y^{2} + 4 x - 6 y - 2 = 0$

9.

$4 x^{2} - y^{2} + 8 x - 1 = 0$

10.

$4 y^{2} - 5 x + 9 y + 1 = 0$

11.

$2 x^{2} + 3 y^{2} - 8 x - 12 y + 2 = 0$

12.

$4 x^{2} + 9 x y + 4 y^{2} - 36 y - 125 = 0$

13.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 36 y - 125 = 0$

14.

$- 3 x^{2} + 3 \sqrt{3} x y - 4 y^{2} + 9 = 0$

15.

$2 x^{2} + 4 \sqrt{3} x y + 6 y^{2} - 6 x - 3 = 0$

16.

$- x^{2} + 4 \sqrt{2} x y + 2 y^{2} - 2 y + 1 = 0$

17.

$8 x^{2} + 4 \sqrt{2} x y + 4 y^{2} - 10 x + 1 = 0$

En los siguientes ejercicios, halle una nueva representación de la ecuación dada después de rotar el ángulo dado.

18.

$3 x^{2} + x y + 3 y^{2} - 5 = 0, θ = 45°$

19.

$4 x^{2} - x y + 4 y^{2} - 2 = 0, θ = 45°$

20.

$2 x^{2} + 8 x y - 1 = 0, θ = 30°$

21.

$- 2 x^{2} + 8 x y + 1 = 0, θ = 45°$

22.

$4 x^{2} + \sqrt{2} x y + 4 y^{2} + y + 2 = 0, θ = 45°$

En los siguientes ejercicios, determine el ángulo $θ$ que eliminará el término $x y$ y escriba la ecuación correspondiente sin el término $x y$ .

23.

$x^{2} + 3 \sqrt{3} x y + 4 y^{2} + y - 2 = 0$

24.

$4 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 6 y^{2} + y - 2 = 0$

25.

$9 x^{2} - 3 \sqrt{3} x y + 6 y^{2} + 4 y - 3 = 0$

26.

$−3 x^{2} - \sqrt{3} x y - 2 y^{2} - x = 0$

27.

$16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} + 6 x - 6 y + 2 = 0$

28.

$x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} + 3 x - 2 = 0$

29.

$x^{2} + 4 x y + y^{2} - 2 x + 1 = 0$

30.

$4 x^{2} - 2 \sqrt{3} x y + 6 y^{2} - 1 = 0$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, gire el ángulo dado basándose en la ecuación dada. Obtenga la nueva ecuación y grafique la ecuación original y la rotada.

31.

$y = - x^{2}, θ = - 45^{\circ}$

32.

$x = y^{2}, θ = 45^{\circ}$

33.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1, θ = 45^{\circ}$

34.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{9} = 1, θ = 45^{\circ}$

35.

$y^{2} - x^{2} = 1, θ = 45^{\circ}$

36.

$y = \frac{x^{2}}{2}, θ = 30^{\circ}$

37.

$x = {(y - 1)}^{2}, θ = 30^{\circ}$

38.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1, θ = 30^{\circ}$

En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación relativa al sistema $x^{'} y^{'}$ en el que la ecuación no tiene el término $x^{'} y^{'}$ .

39.

$x y = 9$

40.

$x^{2} + 10 x y + y^{2} - 6 = 0$

41.

$x^{2} - 10 x y + y^{2} - 24 = 0$

42.

$4 x^{2} - 3 \sqrt{3} x y + y^{2} - 22 = 0$

43.

$6 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 4 y^{2} - 21 = 0$

44.

$11 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + y^{2} - 64 = 0$

45.

$21 x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 19 y^{2} - 18 = 0$

46.

$16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} - 130 x + 90 y = 0$

47.

$16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} - 60 x + 80 y = 0$

48.

$13 x^{2} - 6 \sqrt{3} x y + 7 y^{2} - 16 = 0$

49.

$4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 8 \sqrt{5} x - 16 \sqrt{5} y = 0$

En los siguientes ejercicios, determine el ángulo de rotación para eliminar el término $x y$ . A continuación, grafique el nuevo conjunto de ejes.

50.

$6 x^{2} - 5 \sqrt{3} x y + y^{2} + 10 x - 12 y = 0$

51.

$6 x^{2} - 5 x y + 6 y^{2} + 20 x - y = 0$

52.

$6 x^{2} - 8 \sqrt{3} x y + 14 y^{2} + 10 x - 3 y = 0$

53.

$4 x^{2} + 6 \sqrt{3} x y + 10 y^{2} + 20 x - 40 y = 0$

54.

$8 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} + 2 x - 4 = 0$

55.

$16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} + 20 x - 44 y = 0$

En los siguientes ejercicios, determine el valor de $k$ con base en la ecuación dada.

56.

Dados $4 x^{2} + k x y + 16 y^{2} + 8 x + 24 y - 48 = 0,$ calcule $k$ para que el gráfico sea una parábola.

57.

Dados $2 x^{2} + k x y + 12 y^{2} + 10 x - 16 y + 28 = 0,$ calcule $k$ para que el gráfico sea una elipse.

58.

Dados $3 x^{2} + k x y + 4 y^{2} - 6 x + 20 y + 128 = 0,$ calcule $k$ para que el gráfico sea una hipérbola.

59.

Dados $k x^{2} + 8 x y + 8 y^{2} - 12 x + 16 y + 18 = 0,$ calcule $k$ para que el gráfico sea una parábola.

60.

Dados $6 x^{2} + 12 x y + k y^{2} + 16 x + 10 y + 4 = 0,$ calcule $k$ para que el gráfico sea una elipse.

10.4 Rotación de ejes

Identificación de secciones cónicas no degeneradas en forma general

Identificación de una sección cónica a partir de su forma general

Solución

Calcular una nueva representación de la ecuación dada después de rotar por un ángulo dado

Calcular una nueva representación de una ecuación después de rotar por un ángulo dado

Solución

Escritura de ecuaciones de secciones cónicas rotadas en la forma estándar

Reescriba una ecuación con respecto a los ejes x′ y y′ sin el término x′y′

Solución

Graficar una ecuación que no tiene términos x′y′

Solución

Identificar secciones cónicas sin ejes de rotación

Identificar la sección cónica sin ejes de rotación

Solución

10.4 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos