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Precálculo 2ed

Capítulo 10

Precálculo 2edCapítulo 10

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Inténtelo

10.1 La elipse

1.

x 2 + y 2 16 =1 x 2 + y 2 16 =1

2.

( x1 ) 2 16 + ( y-3 ) 2 4 =1 ( x1 ) 2 16 + ( y-3 ) 2 4 =1

3.

centro: ( 0,0 ); ( 0,0 ); vértices: ( ±6,0 ); ( ±6,0 ); covértices: ( 0,±2,2 ); ( 0,±2,2 ); focos: ( ±4 2 ,0 ) ( ±4 2 ,0 )

4.

Forma estándar: x 2 16 + y 2 49 =1; x 2 16 + y 2 49 =1; centro: ( 0,0 ); ( 0,0 ); vértices: ( 0,±7 ); ( 0,±7 ); covértices: ( ±4,0 ); ( ±4,0 ); focos: ( 0,± 33 ) ( 0,± 33 )

5.

Centro: ( 4,2 ); ( 4,2 ); vértices: ( 2 ,2 ) ( 2 ,2 ) y ( 10,2 ); ( 10,2 ); covértices: ( 4,2 -2 5 ) ( 4,2 -2 5 ) y ( 4,2 +2 5 ); ( 4,2 +2 5 ); focos: ( 0,2 ) ( 0,2 ) y ( 8,2 ) ( 8,2 )

6.

(x-3) 2 4 + ( y+1 ) 2 16 =1; (x-3) 2 4 + ( y+1 ) 2 16 =1; centro: ( 3,-1 ); ( 3,-1 ); vértices: ( 3,-5 ) ( 3,-5 ) y ( 3,3 ); ( 3,3 ); covértices: ( 1,-1 ) ( 1,-1 ) y ( 5,-1 ); ( 5,-1 ); focos: ( 3,-1-2 3 ) ( 3,-1-2 3 ) y ( 3,1+2 3 ) ( 3,1+2 3 )

7.
  1. x 2 57,600 + y 2 25,600 =1 x 2 57,600 + y 2 25,600 =1
  2. Las personas están de pie a 358 pies de distancia.

10.2 La hipérbola

1.

Vértices: ( ±3,0 ); ( ±3,0 ); Focos: ( ± 34 ,0 ) ( ± 34 ,0 )

2.

y 2 4 - x 2 16 =1 y 2 4 - x 2 16 =1

3.

( y-3 ) 2 25 + ( x1 ) 2 144 =1 ( y-3 ) 2 25 + ( x1 ) 2 144 =1

4.

vértices: ( ±12,0 ); ( ±12,0 ); covértices: ( 0,±9 ); ( 0,±9 ); focos: ( ±15,0 ); ( ±15,0 ); asíntotas: y=± 3 4 x; y=± 3 4 x;

5.

centro: ( 3,-4 ); ( 3,-4 ); vértices: ( 3,14 ) ( 3,14 ) y ( 3,6 ); ( 3,6 ); covértices: ( -5,-4 ); ( -5,-4 ); y ( 11,-4 ); ( 11,-4 ); focos: ( 3,-42 41 ) ( 3,-42 41 ) y ( 3,-4+2 41 ); ( 3,-4+2 41 ); asíntotas: y=± 5 4 ( x-3 )-4 y=± 5 4 ( x-3 )-4

6.

Los lados de la torre se pueden modelar mediante la ecuación hiperbólica. x 2 400 y 2 3.600 =1 x 2 20 2 - y 2 60 2 =1. x 2 400 y 2 3.600 =1 x 2 20 2 - y 2 60 2 =1.

10.3 La parábola

1.

Foco: ( -4,0 ); ( -4,0 ); Directriz: x=4; x=4; Puntos finales del latus rectum: ( -4,±8 ) ( -4,±8 )

2.

Foco: ( 0,2 ); ( 0,2 ); Directriz: y=−2; y=−2; Puntos finales del latus rectum: ( ±4,2 ). ( ±4,2 ).

3.

x 2 =14y. x 2 =14y.

4.

Vértice ( 8,-1 ); ( 8,-1 ); Eje de simetría: y=−1; y=−1; Foco: ( 9,-1 ); ( 9,-1 ); Directriz: x=7; x=7; Puntos finales del latus rectum: ( 9,-3 ) ( 9,-3 ) y ( 9,1 ). ( 9,1 ).

5.

Vértice ( 2 ,3 ); ( 2 ,3 ); Eje de simetría: x=−2; x=−2; Foco: ( 2 ,-2 ); ( 2 ,-2 ); Directriz: y=8; y=8; Puntos finales del latus rectum: ( 12,-2 ) ( 12,-2 ) y ( 8,-2 ). ( 8,-2 ).

6.
  1. y 2 =1280x y 2 =1280x
  2. La profundidad de la cocina es de 500 mm

10.4 Rotación de ejes

1.
  1. hipérbola
  2. elipse
2.

x 2 4 + y 2 1 =1 x 2 4 + y 2 1 =1

3.
  1. hipérbola
  2. elipse

10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares

1.

elipse; e= 1 3 ;x=-2 e= 1 3 ;x=-2

2.
3.

r= 1 1-cosθ r= 1 1-cosθ

4.

48x+3 x 2 - y 2 =0 48x+3 x 2 - y 2 =0

10.1 Ejercicios de sección

1.

Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

3.

Este caso especial sería un círculo.

5.

Es simétrico respecto al eje x, al eje y y al origen.

7.

sí; x 2 3 2 + y 2 2 2 =1 x 2 3 2 + y 2 2 2 =1

9.

sí; x 2 ( 1 2 ) 2 + y 2 ( 1 3 ) 2 =1 x 2 ( 1 2 ) 2 + y 2 ( 1 3 ) 2 =1

11.

x 2 2 2 + y 2 7 2 =1; x 2 2 2 + y 2 7 2 =1; Puntos finales del eje mayor ( 0,7 ) ( 0,7 ) y ( 0,-7 ). ( 0,-7 ). Puntos finales del eje menor ( 2 ,0 ) ( 2 ,0 ) y ( 2 ,0 ). ( 2 ,0 ). Focos en ( 0,3 5 ),( 0,-3 5 ). ( 0,3 5 ),( 0,-3 5 ).

13.

x 2 ( 1 ) 2 + y 2 ( 1 3 ) 2 =1; x 2 ( 1 ) 2 + y 2 ( 1 3 ) 2 =1; Puntos finales del eje mayor ( 1,0 ) ( 1,0 ) y ( -1,0 ). ( -1,0 ). Puntos finales del eje menor ( 0, 1 3 ),( 0,- 1 3 ). ( 0, 1 3 ),( 0,- 1 3 ). Focos en ( 2 2 3 ,0 ),( 2 2 3 ,0 ). ( 2 2 3 ,0 ),( 2 2 3 ,0 ).

15.

( x-2 ) 2 7 2 + ( y-4 ) 2 5 2 =1; ( x-2 ) 2 7 2 + ( y-4 ) 2 5 2 =1; Puntos finales del eje mayor ( 9,4 ),( -5,4 ). ( 9,4 ),( -5,4 ). Puntos finales del eje menor ( 2 ,9 ),( 2 ,-1 ). ( 2 ,9 ),( 2 ,-1 ). Focos en ( 2 +2 6 ,4 ),( 2 -2 6 ,4 ). ( 2 +2 6 ,4 ),( 2 -2 6 ,4 ).

17.

( x+5 ) 2 2 2 + ( y-7 ) 2 3 2 =1; ( x+5 ) 2 2 2 + ( y-7 ) 2 3 2 =1; Puntos finales del eje mayor ( -5,10 ),( -5,4 ). ( -5,10 ),( -5,4 ). Puntos finales del eje menor ( -3,7 ),( 7,7 ). ( -3,7 ),( 7,7 ). Focos en ( -5,7+ 5 ),( -5,7- 5 ). ( -5,7+ 5 ),( -5,7- 5 ).

19.

( x1 ) 2 3 2 + ( y-4 ) 2 2 2 =1; ( x1 ) 2 3 2 + ( y-4 ) 2 2 2 =1; Puntos finales del eje mayor ( 4,4 ),( 2 ,4 ). ( 4,4 ),( 2 ,4 ). Puntos finales del eje menor ( 1,6 ),( 1,2 ). ( 1,6 ),( 1,2 ). Focos en ( 1+ 5 ,4 ),( 1- 5 ,4 ). ( 1+ 5 ,4 ),( 1- 5 ,4 ).

21.

( x-3 ) 2 ( 3 2 ) 2 + ( y-5 ) 2 ( 2 ) 2 =1; ( x-3 ) 2 ( 3 2 ) 2 + ( y-5 ) 2 ( 2 ) 2 =1; Puntos finales del eje mayor ( 3+3 2 ,5 ),( 3-3 2 ,5 ). ( 3+3 2 ,5 ),( 3-3 2 ,5 ). Puntos finales del eje menor ( 3,5+ 2 ),( 3,5- 2 ). ( 3,5+ 2 ),( 3,5- 2 ). Focos en ( 7,5 ),( -1,5 ). ( 7,5 ),( -1,5 ).

23.

( x+5 ) 2 ( 5 ) 2 + ( y-2 ) 2 ( 2 ) 2 =1; ( x+5 ) 2 ( 5 ) 2 + ( y-2 ) 2 ( 2 ) 2 =1; Puntos finales del eje mayor ( 0,2 ),( 10,2 ). ( 0,2 ),( 10,2 ). Puntos finales del eje menor ( -5,4 ),( -5,0 ). ( -5,4 ),( -5,0 ). Focos en ( -5+ 21 ,2 ),( -5 21 ,2 ). ( -5+ 21 ,2 ),( -5 21 ,2 ).

25.

( x+3 ) 2 ( 5 ) 2 + ( y+4 ) 2 ( 2 ) 2 =1; ( x+3 ) 2 ( 5 ) 2 + ( y+4 ) 2 ( 2 ) 2 =1; Puntos finales del eje mayor ( 2 ,-4 ),( 8,-4 ). ( 2 ,-4 ),( 8,-4 ). Puntos finales del eje menor ( -3,-2 ),( -3,6 ). ( -3,-2 ),( -3,6 ). Focos en ( -3+ 21 ,-4 ),( -3- 21 ,-4 ). ( -3+ 21 ,-4 ),( -3- 21 ,-4 ).

27.

Focos ( -3,-1+ 11 ),( -3,-1 11 ) ( -3,-1+ 11 ),( -3,-1 11 )

29.

Foco ( 0,0 ) ( 0,0 )

31.

Focos ( 10,30 ),( 10,30 ) ( 10,30 ),( 10,30 )

33.

Centro ( 0,0 ), ( 0,0 ), Vértices ( 4,0 ),( -4,0 ),(0,3),(0,-3), ( 4,0 ),( -4,0 ),(0,3),(0,-3), Focos ( 7 ,0 ),( 7 ,0 ) ( 7 ,0 ),( 7 ,0 )

35.

Centro ( 0,0 ), ( 0,0 ), Vértices ( 1 9 ,0 ),( - 1 9 ,0 ),( 0, 1 7 ),( 0,- 1 7 ), ( 1 9 ,0 ),( - 1 9 ,0 ),( 0, 1 7 ),( 0,- 1 7 ), Focos ( 0, 4 2 63 ),( 0,- 4 2 63 ) ( 0, 4 2 63 ),( 0,- 4 2 63 )

37.

Centro ( -3,3 ), ( -3,3 ), Vértices ( 0,3 ),( 6,3 ),( -3,0 ),( -3,6 ), ( 0,3 ),( 6,3 ),( -3,0 ),( -3,6 ), Foco ( -3,3 ) ( -3,3 )

Observe que esta elipse es un círculo. El círculo solo tiene un foco, que coincide con el centro.

39.

Centro ( 1,1 ), ( 1,1 ), Vértices ( 5,1 ),( -3,1 ),( 1,3 ),( 1,-1 ), ( 5,1 ),( -3,1 ),( 1,3 ),( 1,-1 ), Focos ( 1,1+2 3 ),( 1,1-2 3 ) ( 1,1+2 3 ),( 1,1-2 3 )

41.

Centro ( -4,5 ), ( -4,5 ), Vértices ( 2 ,5 ),( 6,4 ),( -4,6 ),( -4,4 ), ( 2 ,5 ),( 6,4 ),( -4,6 ),( -4,4 ), Focos ( -4+ 3 ,5 ),( -4- 3 ,5 ) ( -4+ 3 ,5 ),( -4- 3 ,5 )

43.

Centro ( 2 ,1 ), ( 2 ,1 ), Vértices ( 0,1 ),( -4,1 ),( 2 ,5 ),( 2 ,-3 ), ( 0,1 ),( -4,1 ),( 2 ,5 ),( 2 ,-3 ), Focos ( 2 ,1+2 3 ),( 2 ,1-2 3 ) ( 2 ,1+2 3 ),( 2 ,1-2 3 )

45.

Centro ( 2 ,-2 ), ( 2 ,-2 ), Vértices ( 0,-2 ),( -4,-2 ),( 2 ,0 ),( 2 ,-4 ), ( 0,-2 ),( -4,-2 ),( 2 ,0 ),( 2 ,-4 ), Foco ( 2 ,-2 ) ( 2 ,-2 )

47.

x 2 25 + y 2 29 =1 x 2 25 + y 2 29 =1

49.

( x-4 ) 2 25 + ( y-2 ) 2 1 =1 ( x-4 ) 2 25 + ( y-2 ) 2 1 =1

51.

( x+3 ) 2 16 + ( y-4 ) 2 4 =1 ( x+3 ) 2 16 + ( y-4 ) 2 4 =1

53.

x 2 81 + y 2 9 =1 x 2 81 + y 2 9 =1

55.

( x+2 ) 2 4 + ( y-2 ) 2 9 =1 ( x+2 ) 2 4 + ( y-2 ) 2 9 =1

57.

Área = 12πunidadesal cuadrado Área = 12πunidadesal cuadrado

59.

Área = 2 5 π Área = 2 5 π unidades cuadradas.

61.

Área = 9π Área = 9π unidades cuadradas.

63.

x 2 4 h 2 + y 2 1 4 h 2 =1 x 2 4 h 2 + y 2 1 4 h 2 =1

65.

x 2 400 + y 2 144 =1 x 2 400 + y 2 144 =1 . Distancia = 17,32 pies

67.

Aproximadamente 51,96 pies

10.2 Ejercicios de sección

1.

Una hipérbola es el conjunto de puntos de un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es una constante positiva.

3.

Los focos deben estar en el eje transversal y en el interior de la hipérbola.

5.

El centro debe ser el punto medio del segmento de línea que une los focos.

7.

x 2 6 2 - y 2 3 2 =1 x 2 6 2 - y 2 3 2 =1

9.

x 2 4 2 - y 2 5 2 =1 x 2 4 2 - y 2 5 2 =1

11.

x 2 5 2 - y 2 6 2 =1; x 2 5 2 - y 2 6 2 =1; vértices: ( 5,0 ),( -5,0 ); ( 5,0 ),( -5,0 ); focos: ( 61 ,0 ),( 61 ,0 ); ( 61 ,0 ),( 61 ,0 ); asíntotas: y= 6 5 x,y= 6 5 x y= 6 5 x,y= 6 5 x

13.

y 2 2 2 - x 2 9 2 =1; y 2 2 2 - x 2 9 2 =1; vértices: ( 0,2 ),( 0,-2 ); ( 0,2 ),( 0,-2 ); focos: ( 0, 85 ),( 0, 85 ); ( 0, 85 ),( 0, 85 ); asíntotas: y= 2 9 x,y=- 2 9 x y= 2 9 x,y=- 2 9 x

15.

( x1 ) 2 3 2 - ( y-2 ) 2 4 2 =1; ( x1 ) 2 3 2 - ( y-2 ) 2 4 2 =1; vértices: ( 4,2 ),( 2 ,2 ); ( 4,2 ),( 2 ,2 ); focos: ( 6,2 ),( -4,2 ); ( 6,2 ),( -4,2 ); asíntotas: y= 4 3 ( x1 )+2 ,y= 4 3 ( x1 )+2 y= 4 3 ( x1 )+2 ,y= 4 3 ( x1 )+2

17.

( x-2 ) 2 7 2 - ( y+7 ) 2 7 2 =1; ( x-2 ) 2 7 2 - ( y+7 ) 2 7 2 =1; vértices: ( 9,-7 ),( -5,-7 ); ( 9,-7 ),( -5,-7 ); focos: ( 2 +7 2 ,-7 ),( 2 -7 2 ,-7 ); ( 2 +7 2 ,-7 ),( 2 -7 2 ,-7 ); asíntotas: y=x-9,y=-x-5 y=x-9,y=-x-5

19.

( x+3 ) 2 3 2 - ( y-3 ) 2 3 2 =1; ( x+3 ) 2 3 2 - ( y-3 ) 2 3 2 =1; vértices: ( 0,3 ),( 6,3 ); ( 0,3 ),( 6,3 ); focos: ( -3+3 2 ,1 ),( -3-3 2 ,1 ); ( -3+3 2 ,1 ),( -3-3 2 ,1 ); asíntotas: y=x+6,y=-x y=x+6,y=-x

21.

( y-4 ) 2 2 2 - ( x-3 ) 2 4 2 =1; ( y-4 ) 2 2 2 - ( x-3 ) 2 4 2 =1; vértices: ( 3,6 ),( 3,2 ); ( 3,6 ),( 3,2 ); focos: ( 3,4+2 5 ),( 3,42 5 ); ( 3,4+2 5 ),( 3,42 5 ); asíntotas: y= 1 2 ( x-3 )+4,y=- 1 2 ( x-3 )+4 y= 1 2 ( x-3 )+4,y=- 1 2 ( x-3 )+4

23.

( y+5 ) 2 7 2 - ( x+1 ) 2 70 2 =1; ( y+5 ) 2 7 2 - ( x+1 ) 2 70 2 =1; vértices: ( -1,2 ),( -1,12 ); ( -1,2 ),( -1,12 ); focos: ( -1,-5+7 101 ),( -1,-57 101 ); ( -1,-5+7 101 ),( -1,-57 101 ); asíntotas: y= 1 10 ( x+1 )-5,y=- 1 10 ( x+1 )-5 y= 1 10 ( x+1 )-5,y=- 1 10 ( x+1 )-5

25.

( x+3 ) 2 5 2 - ( y-4 ) 2 2 2 =1; ( x+3 ) 2 5 2 - ( y-4 ) 2 2 2 =1; vértices: ( 2 ,4 ),( 8,4 ); ( 2 ,4 ),( 8,4 ); focos: ( -3+ 29 ,4 ),( -3 29 ,4 ); ( -3+ 29 ,4 ),( -3 29 ,4 ); asíntotas: y= 2 5 ( x+3 )+4,y=- 2 5 ( x+3 )+4 y= 2 5 ( x+3 )+4,y=- 2 5 ( x+3 )+4

27.

y= 2 5 ( x-3 )-4,y=- 2 5 ( x-3 )-4 y= 2 5 ( x-3 )-4,y=- 2 5 ( x-3 )-4

29.

y= 3 4 ( x1 )+1,y=- 3 4 ( x1 )+1 y= 3 4 ( x1 )+1,y=- 3 4 ( x1 )+1

31.
33.
35.
37.
39.
41.
43.
45.

x 2 9 y 2 16 =1 x 2 9 y 2 16 =1

47.

( x-6 ) 2 25 ( y-1 ) 2 11 =1 ( x-6 ) 2 25 ( y-1 ) 2 11 =1

49.

( x-4 ) 2 25 ( y-2 ) 2 1 =1 ( x-4 ) 2 25 ( y-2 ) 2 1 =1

51.

y 2 16 - x 2 25 =1 y 2 16 - x 2 25 =1

53.

y 2 9 - ( x+1 ) 2 9 =1 y 2 9 - ( x+1 ) 2 9 =1

55.

( x+3 ) 2 25 ( y+3 ) 2 25 =1 ( x+3 ) 2 25 ( y+3 ) 2 25 =1

57.

y( x )=3 x 2 +1 ,y( x )=-3 x 2 +1 y( x )=3 x 2 +1 ,y( x )=-3 x 2 +1

59.

y( x )=1+2 x 2 +4x+5 ,y( x )=1-2 x 2 +4x+5 y( x )=1+2 x 2 +4x+5 ,y( x )=1-2 x 2 +4x+5

61.

x 2 25 - y 2 25 =1 x 2 25 - y 2 25 =1

63.

x 2 100 y 2 25 =1 x 2 100 y 2 25 =1

65.

x 2 400 y 2 225 =1 x 2 400 y 2 225 =1

67.

4(x 1)2 y22=16 4(x 1)2 y22=16

69.

( x-h ) 2 a2 (y k)2 b2 =(x 3)2 9y2 =4 ( x-h ) 2 a2 (y k)2 b2=(x 3)2 9y2 =4

10.3 Ejercicios de sección

1.

Una parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo, el foco, y de una línea fija, la directriz.

3.

El gráfico se abrirá hacia abajo.

5.

La distancia entre el foco y la directriz aumentará.

7.

x2 =4(116)y x2 =4(116)y

9.

( y-3 ) 2 =4(2 )( x-2 ) ( y-3 ) 2 =4(2 )( x-2 )

11.

y 2 = 1 8 x,V:(0,0);F:( 1 32 ,0 );d:x=- 1 32 y 2 = 1 8 x,V:(0,0);F:( 1 32 ,0 );d:x=- 1 32

13.

x 2 =- 1 4 y,V:( 0,0 );F:( 0,- 1 16 );d:y= 1 16 x 2 =- 1 4 y,V:( 0,0 );F:( 0,- 1 16 );d:y= 1 16

15.

y 2 = 1 36 x,V:( 0,0 );F:( 1 144 ,0 );d:x=- 1 144 y 2 = 1 36 x,V:( 0,0 );F:( 1 144 ,0 );d:x=- 1 144

17.

( x1 ) 2 =4( y-1 ),V:( 1,1 );F:( 1,2 );d:y=0 ( x1 ) 2 =4( y-1 ),V:( 1,1 );F:( 1,2 );d:y=0

19.

( y-4 ) 2 =2 ( x+3 ),V:( -3,4 );F:( - 5 2 ,4 );d:x=- 7 2 ( y-4 ) 2 =2 ( x+3 ),V:( -3,4 );F:( - 5 2 ,4 );d:x=- 7 2

21.

( x+4 ) 2 =24( y+1 ),V:( -4,-1 );F:( -4,5 );d:y=−7 ( x+4 ) 2 =24( y+1 ),V:( -4,-1 );F:( -4,5 );d:y=−7

23.

( y-3 ) 2 =−12( x+1 ),V:( -1,3 );F:( -4,3 );d:x=2 ( y-3 ) 2 =−12( x+1 ),V:( -1,3 );F:( -4,3 );d:x=2

25.

( x-5 ) 2 = 4 5 ( y+3 ),V:( 5,-3 );F:( 5, 14 5 );d:y=- 16 5 ( x-5 ) 2 = 4 5 ( y+3 ),V:( 5,-3 );F:( 5, 14 5 );d:y=- 16 5

27.

( x-2 ) 2 =−2( y-5 ),V:( 2 ,5 );F:( 2 , 9 2 );d:y= 11 2 ( x-2 ) 2 =−2( y-5 ),V:( 2 ,5 );F:( 2 , 9 2 );d:y= 11 2

29.

( y-1 ) 2 = 4 3 ( x-5 ),V:( 5,1 );F:( 16 3 ,1 );d:x= 14 3 ( y-1 ) 2 = 4 3 ( x-5 ),V:( 5,1 );F:( 16 3 ,1 );d:x= 14 3

31.
33.
35.
37.
39.
41.
43.
45.

x 2 =−16y x 2 =−16y

47.

( y-2 ) 2 =4 2 ( x-2 ) ( y-2 ) 2 =4 2 ( x-2 )

49.

( y+ 3 ) 2 =-4 2 ( x- 2 ) ( y+ 3 ) 2 =-4 2 ( x- 2 )

51.

x 2 =y x 2 =y

53.

( y-2 ) 2 = 1 4 ( x+2 ) ( y-2 ) 2 = 1 4 ( x+2 )

55.

( y- 3 ) 2 =4 5 ( x+ 2 ) ( y- 3 ) 2 =4 5 ( x+ 2 )

57.

y 2 =−8x y 2 =−8x

59.

( y+1 ) 2 =12( x+3 ) ( y+1 ) 2 =12( x+3 )

61.

( 0,1 ) ( 0,1 )

63.

En el punto 2,25 pies por encima del vértice.

65.

0,5625 pies

67.

x 2 =-125( y20 ), x 2 =-125( y20 ), la altura es de 7,2 pies

69.

2.304 pies

10.4 Ejercicios de sección

1.

El término xy xy hace que se produzca una rotación del gráfico.

3.

La sección cónica es una hipérbola.

5.

Da el ángulo de rotación de los ejes para eliminar el término xy xy .

7.

AB=0, AB=0, parábola

9.

AB=4<0, AB=4<0, hipérbola

11.

AB=6>0, AB=6>0, elipse

13.

B 2 -4AC=0, B 2 -4AC=0, parábola

15.

B 2 -4AC=0, B 2 -4AC=0, parábola

17.

B 2 -4AC=96<0, B 2 -4AC=96<0, elipse

19.

7 x 2 +9 y 2 -4=0 7 x 2 +9 y 2 -4=0

21.

3 x 2 +2 x y 5 y 2 +1=0 3 x 2 +2 x y 5 y 2 +1=0

23.

θ= 60 ,11 x 2 - y 2 + 3 x + y -4=0 θ= 60 ,11 x 2 - y 2 + 3 x + y -4=0

25.

θ= 150 ,21 x 2 +9 y 2 +4 x -4 3 y 6=0 θ= 150 ,21 x 2 +9 y 2 +4 x -4 3 y 6=0

27.

θ 36,9 ,125 x 2 +6 x 42 y +10=0 θ 36,9 ,125 x 2 +6 x 42 y +10=0

29.

θ= 45 ,3 x 2 - y 2 - 2 x + 2 y +1=0 θ= 45 ,3 x 2 - y 2 - 2 x + 2 y +1=0

31.

2 2 ( x + y )= 1 2 ( x - y ) 2 2 2 ( x + y )= 1 2 ( x - y ) 2

33.

( x - y ) 2 8 + ( x + y ) 2 2 =1 ( x - y ) 2 8 + ( x + y ) 2 2 =1

35.

( x + y ) 2 2 - ( x - y ) 2 2 =1 ( x + y ) 2 2 - ( x - y ) 2 2 =1

37.

3 2 x - 1 2 y = ( 1 2 x + 3 2 y -1 ) 2 3 2 x - 1 2 y = ( 1 2 x + 3 2 y -1 ) 2

39.
41.
43.
45.
47.
49.
51.

θ= 45 θ= 45

53.

θ= 60 θ= 60

55.

θ 36,9 θ 36,9

57.

-4 6 <k<4 6 -4 6 <k<4 6

59.

k=2 k=2

10.5 Ejercicios de sección

1.

Si la excentricidad es menor que 1, es una elipse. Si la excentricidad es igual a 1, es una parábola. Si la excentricidad es mayor que 1, es una hipérbola.

3.

La directriz será paralela al eje polar.

5.

Uno de los focos se situará en el origen.

7.

Parábola con e=1 e=1 y directriz 3 4 3 4 unidades por debajo del polo.

9.

Hipérbola con e=2 e=2 y directriz 5 2 5 2 unidades por encima del polo.

11.

Parábola con e=1 e=1 y directriz 3 10 3 10 unidades a la derecha del polo.

13.

Elipse con e= 2 7 e= 2 7 y directriz 2 2 unidades a la derecha del polo.

15.

Hipérbola con e= 5 3 e= 5 3 y directriz 11 5 11 5 unidades por encima del polo.

17.

Hipérbola con e= 8 7 e= 8 7 y directriz 7 8 7 8 unidades a la derecha del polo.

19.

25 x 2 +16 y 2 -12y-4=0 25 x 2 +16 y 2 -12y-4=0

21.

21 x 2 -4 y 2 30x+9=0 21 x 2 -4 y 2 30x+9=0

23.

64 y 2 =48x+9 64 y 2 =48x+9

25.

96 y 2 -25 x 2 +110y+25=0 96 y 2 -25 x 2 +110y+25=0

27.

3 x 2 +4 y 2 -2 x1=0 3 x 2 +4 y 2 -2 x1=0

29.

5 x 2 +9 y 2 -24x36=0 5 x 2 +9 y 2 -24x36=0

31.
33.
35.
37.
39.
41.
43.

r= 4 5+cosθ r= 4 5+cosθ

45.

r= 4 1+2senθ r= 4 1+2senθ

47.

r= 1 1+cosθ r= 1 1+cosθ

49.

r= 7 828cosθ r= 7 828cosθ

51.

r= 12 2+3senθ r= 12 2+3senθ

53.

r= 15 4-3cosθ r= 15 4-3cosθ

55.

r= 3 3-3cosθ r= 3 3-3cosθ

57.

r=± 2 1+senθcosθ r=± 2 1+senθcosθ

59.

r=± 2 4cosθ+3senθ r=± 2 4cosθ+3senθ

Ejercicios de repaso

1.

x 2 5 2 + y 2 8 2 =1; x 2 5 2 + y 2 8 2 =1; centro: ( 0,0 ); ( 0,0 ); vértices: ( 5,0 ),( −5,0 ),( 0,8 ),( 0,8 ); ( 5,0 ),( −5,0 ),( 0,8 ),( 0,8 ); focos: ( 0, 39 ),( 0, 39 ) ( 0, 39 ),( 0, 39 )

3.

(x+3) 2 1 2 + (y-2 ) 2 3 2 =1(-3,2 );(2 ,2 ),(-4,2 ),(-3,5),(-3,-1);( -3,2 +2 2 ),( -3,2 -2 2 ) (x+3) 2 1 2 + (y-2 ) 2 3 2 =1(-3,2 );(2 ,2 ),(-4,2 ),(-3,5),(-3,-1);( -3,2 +2 2 ),( -3,2 -2 2 )

5.

centro: ( 0,0 ); ( 0,0 ); vértices: ( 6,0 ),( –6,0 ),( 0,3 ),( 0,−3 ); ( 6,0 ),( –6,0 ),( 0,3 ),( 0,−3 ); focos: ( 3 3 ,0 ),( -3 3 ,0 ) ( 3 3 ,0 ),( -3 3 ,0 )

7.

centro: ( –2,–2 ); ( –2,–2 ); vértices: ( 2 ,–2 ),( –6,–2 ),( –2,6 ),( –2,–10 ); ( 2 ,–2 ),( –6,–2 ),( –2,6 ),( –2,–10 ); focos: ( –2,−2+4 3 , ),( –2,−2-4 3 ) ( –2,−2+4 3 , ),( –2,−2-4 3 )

9.

x 2 25 + y 2 16 =1 x 2 25 + y 2 16 =1

11.

Aproximadamente 35,71 pies.

13.

( y+1 ) 2 4 2 - ( x-4 ) 2 6 2 =1; ( y+1 ) 2 4 2 - ( x-4 ) 2 6 2 =1; centro: ( 4,–1 ); ( 4,–1 ); vértices: ( 4,3 ),( 4,−5 ); ( 4,3 ),( 4,−5 ); focos: ( 4,−1+2 13 ),( 4,−1-2 13 ) ( 4,−1+2 13 ),( 4,−1-2 13 )

15.

( x-2 ) 2 2 2 - ( y+3 ) 2 ( 2 3 ) 2 =1; ( x-2 ) 2 2 2 - ( y+3 ) 2 ( 2 3 ) 2 =1; centro: ( 2 ,−3 ); ( 2 ,−3 ); vértices: ( 4,−3 ),( 0,−3 ); ( 4,−3 ),( 0,−3 ); focos: ( 6,−3 ),( –2,−3 ) ( 6,−3 ),( –2,−3 )

17.


19.


21.

( x-5 ) 2 1 - ( y-7 ) 2 3 =1 ( x-5 ) 2 1 - ( y-7 ) 2 3 =1

23.

( x+2 ) 2 = 1 2 ( y-1 ); ( x+2 ) 2 = 1 2 ( y-1 ); vértice: ( –2,1 ); ( –2,1 ); foco: ( –2, 9 8 ); ( –2, 9 8 ); directriz: y= 7 8 y= 7 8

25.

( x+5 ) 2 =( y+2 ); ( x+5 ) 2 =( y+2 ); vértice: ( -5,-2 ); ( -5,-2 ); foco: ( -5,- 7 4 ); ( -5,- 7 4 ); directriz: y=- 9 4 y=- 9 4

27.


29.


31.

( x-2 ) 2 =( 1 2 )( y-1 ) ( x-2 ) 2 =( 1 2 )( y-1 )

33.

B 2 -4AC=0, B 2 -4AC=0, parábola

35.

B 2 -4AC=31<0, B 2 -4AC=31<0, elipse

37.

θ= 45 , x 2 +3 y 2 -12=0 θ= 45 , x 2 +3 y 2 -12=0

39.

θ= 45 θ= 45

41.

Hipérbola con e=5 e=5 y directriz 2 2 unidades a la izquierda del polo.

43.

Elipse con e= 3 4 e= 3 4 y directriz 1 3 1 3 unidad por encima del polo.

45.


47.


49.

r= 3 1+cos θ r= 3 1+cos θ

Examen de práctica

1.

x 2 3 2 + y 2 2 2 =1; x 2 3 2 + y 2 2 2 =1; centro: ( 0,0 ); ( 0,0 ); vértices: ( 3,0 ),( -3,0 ),( 0,2 ),( 0,–2 ); ( 3,0 ),( -3,0 ),( 0,2 ),( 0,–2 ); focos: ( 5 ,0 ),( - 5 ,0 ) ( 5 ,0 ),( - 5 ,0 )

3.

centro: ( 3,2 ); ( 3,2 ); vértices: ( 11,2 ),( −5,2 ),( 3,8 ),( 3,–4 ); ( 11,2 ),( −5,2 ),( 3,8 ),( 3,–4 ); focos: ( 3+2 7 ,2 ),( 3-2 7 ,2 ) ( 3+2 7 ,2 ),( 3-2 7 ,2 )

5.

( x1 ) 2 36 + ( y-2 ) 2 27 =1 ( x1 ) 2 36 + ( y-2 ) 2 27 =1

7.

x 2 7 2 - y 2 9 2 =1; x 2 7 2 - y 2 9 2 =1; centro: ( 0,0 ); ( 0,0 ); vértices ( 7,0 ),( –7,0 ); ( 7,0 ),( –7,0 ); focos: ( 130 ,0 ),( 130 ,0 ); ( 130 ,0 ),( 130 ,0 ); asíntotas: y=± 9 7 x y=± 9 7 x

9.

centro: ( 3,−3 ); ( 3,−3 ); vértices: ( 8,−3 ),( –2,−3 ); ( 8,−3 ),( –2,−3 ); focos: ( 3+ 26 ,−3 ),( 3 26 ,−3 ); ( 3+ 26 ,−3 ),( 3 26 ,−3 ); asíntotas: y=± 1 5 (x-3)-3 y=± 1 5 (x-3)-3

11.

( y-3 ) 2 1 - ( x1 ) 2 8 =1 ( y-3 ) 2 1 - ( x1 ) 2 8 =1

13.

( x-2 ) 2 = 1 3 ( y+1 ); ( x-2 ) 2 = 1 3 ( y+1 ); vértice: ( 2 ,–1 ); ( 2 ,–1 ); foco: ( 2 , 11 12 ); ( 2 , 11 12 ); directriz: y=- 13 12 y=- 13 12

15.


17.

Aproximadamente 8,49 8,49 pies

19.

parábola; θ 63,4 θ 63,4

21.

x 2 -4 x +3 y =0 x 2 -4 x +3 y =0

23.

Hipérbola con e= 3 2 , e= 3 2 , y directriz 5 6 5 6 unidades a la derecha del polo.

25.
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