Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Graficar parábolas con vértices en el origen.
Escribir ecuaciones de parábolas en forma estándar.
Graficar parábolas con vértices que no están en el origen.
Resolver problemas aplicados que involucren parábolas.

Foto de la matemática Katherine Johnson sentada en un escritorio con lo que parece ser una máquina de cálculo manual y varios papeles con tablas.

Figura 1 El trabajo matemático pionero de Katherine Johnson en el ámbito de los cálculos parabólicos y otros cálculos orbitales desempeñó un papel importante en el desarrollo de los vuelos espaciales estadounidenses. (Créditos: NASA).

Katherine Johnson es la matemática pionera de la NASA que fue fundamental para el éxito y la seguridad del vuelo y el regreso de muchas misiones humanas, así como de los satélites. Antes del trabajo que aparece en la película Hidden Figures , ya había hecho importantes contribuciones al programa espacial. Realizó el análisis de la trayectoria de la misión Mercury, en la que Alan Shepard se convirtió en el primer estadounidense en llegar al espacio, y fue autora, junto con el ingeniero Ted Sopinski, de un monumental artículo sobre la colocación de un objeto en una posición orbital precisa y su regreso seguro a la Tierra. Muchas de las órbitas que determinó estaban formadas por parábolas, y su capacidad para combinar diferentes tipos de matemáticas permitió un nivel de precisión sin precedentes. Johnson manifestó: "Dígame cuándo y dónde quiere que aterrice, y yo lo haré al revés y le diré cuándo debe despegar".

El trabajo de Johnson sobre las órbitas parabólicas y otras matemáticas complejas dio como resultado órbitas exitosas, alunizajes y el desarrollo del programa del transbordador espacial. Las aplicaciones de las parábolas también son fundamentales para otras áreas de la ciencia. Los espejos parabólicos (o reflectores) son capaces de captar la energía y concentrarla en un solo punto. Las ventajas de esta propiedad se ponen de manifiesto en la amplia lista de objetos parabólicos que utilizamos a diario: antenas parabólicas, puentes colgantes, telescopios, micrófonos, focos y faros de automóviles, por citar algunos. Los reflectores parabólicos también se utilizan en dispositivos de energía alternativa, como cocinas y calentadores de agua solares, porque son baratos de fabricar y necesitan poco mantenimiento. En esta sección exploraremos la parábola y sus usos, lo que incluye diseños solares de bajo costo y eficiencia energética.

Graficar parábolas con vértices en el origen

En la sección La elipse vimos que una elipse se forma cuando un plano corta a un cono circular recto. Si el plano es paralelo al borde del cono, se forma una curva ilimitada. Esta curva es una parábola. Vea la Figura 2.

Figura 2 Parábola

Al igual que la elipse y la hipérbola, la parábola también se puede definir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una parábola es el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz, y un punto fijo (el foco) que no está en la directriz.

En Funciones cuadráticas, aprendimos sobre el vértice y el eje de simetría de una parábola. Ahora ampliamos la discusión para incluir otras características clave de la parábola. Vea la Figura 3. Tenga en cuenta que el eje de simetría pasa por el foco, y el vértice y es perpendicular a la directriz. El vértice es el punto medio entre la directriz y el foco.

El segmento de línea que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se llama latus rectum. Los extremos del latus rectum se encuentran en la curva. Por definición, la distancia $d$ del foco a cualquier punto $P$ en la parábola es igual a la distancia de $P$ a la directriz.

Figura 3 Características principales de la parábola

Para trabajar con parábolas en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: las que tienen un vértice en el origen y las que tienen un vértice en un punto distinto del origen. Comenzamos con el primero.

Una parábola vertical que se abre hacia arriba con vértice (0, 0), foco (0, p) y directriz y = p negativo. Líneas de longitud d conectan un punto de la parábola (x, y) con el foco y la directriz. La línea a la directriz es perpendicular a ella.

Figura 4

Supongamos que $(x, y)$ sea un punto de la parábola con vértice $(0, 0),$ foco $(0, p),$ y directriz $y = - p$ como se muestra en la Figura 4. La distancia $d$ desde el punto $(x, y)$ al punto $(x, - p)$ en la directriz es la diferencia de los valores y: $d = y + p .$ La distancia del foco $(0, p)$ al punto $(x, y)$ también es igual a $d$ , y se puede expresar mediante la fórmula de distancia.

\begin{array}{l} d = \sqrt{{(x - 0)}^{2} + {(y - p)}^{2}} \\ = \sqrt{x^{2} + {(y - p)}^{2}} \end{array}

Establezca las dos expresiones para $d$ iguales entre sí y resuelva para $y$ para derivar la ecuación de la parábola. Lo hacemos porque la distancia de $(x, y)$ al $(0, p)$ es igual a la distancia de $(x, y)$ al $(x, - p) .$

\sqrt{x^{2} + {(y - p)}^{2}} = y + p

A continuación, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, expandimos los términos elevados al cuadrado y simplificamos combinando términos similares.

\begin{matrix} x^{2} + {(y - p)}^{2} = {(y + p)}^{2} \\ x^{2} + y^{2} - 2 p y + p^{2} = y^{2} + 2 p y + p^{2} \\ x^{2} - 2 p y = 2 p y \\ x^{2} = 4 p y \end{matrix}

Las ecuaciones de las parábolas con vértice $(0, 0)$ son $y^{2} = 4 p x$ cuando el eje x es el eje de simetría y $x^{2} = 4 p y$ cuando el eje y es el eje de simetría. Estas formas estándar se indican a continuación, junto con sus gráficos generales y sus características principales.

Formas estándar de parábolas con vértice (0, 0)

La Tabla 1 y la Figura 5 resumen las características estándar de las parábolas con un vértice en el origen.

Eje de simetría	Ecuación	Foco	Directriz	Puntos extremos del latus rectum
eje x	$y^{2} = 4 p x$	$(valor, 0)$	$x = - p$	$(valor, \pm2, 2 p)$
eje y	$x^{2} = 4 p y$	$(0, p)$	$y = - p$	$(\pm 2 p, p)$

Tabla 1

Figura 5 (a) Cuando

p > 0

y el eje de simetría es el eje x, la parábola se abre hacia la derecha. (b) Cuando

p < 0

y el eje de simetría es el eje x, la parábola se abre hacia la izquierda. (c) Cuando

p > 0

y el eje de simetría es el eje y, la parábola se abre hacia arriba. (d) Cuando

p < 0

y el eje de simetría es el eje y, la parábola se abre hacia abajo.

Las características principales de una parábola son el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum. Vea la Figura 5. Cuando se da una ecuación estándar para una parábola centrada en el origen, podemos identificar fácilmente las características clave para graficar la parábola.

Se dice que una línea es tangente a una curva si la interseca exactamente en un punto. Si dibujamos líneas tangentes a la parábola en los puntos extremos del latus rectum, estas líneas se intersecan en el eje de simetría, como se muestra en la Figura 6.

Se trata de un gráfico denominado y al cuadrado = 24 x, una parábola horizontal que se abre hacia la derecha con vértice (0, 0), foco (6, 0) y directriz x = 6 negativo. Dos líneas se extienden a la parábola desde el punto (6 negativo, 0) y son tangentes a la parábola en (6, 12) y (6, 12 negativo).

Figura 6

Cómo

Dada una ecuación de forma estándar para una parábola centrada en (0, 0), dibuje el gráfico.

Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada: $y^{2} = 4 p x$ o $x^{2} = 4 p y .$
Utilice la forma estándar identificada en el paso 1 para determinar el eje de simetría, el foco, la ecuación de la directriz y los puntos extremos del latus rectum.
1. Si la ecuación es de la forma y 2 =4px, y 2 =4px, entonces
  - el eje de simetría es el eje x, $y = 0$
  - establece $4 p$ igual al coeficiente de x en la ecuación dada para resolver $p .$ Si $p > 0,$ la parábola se abre a la derecha. Si los valores de $p < 0,$ la parábola se abre a la izquierda.
  - utilice $p$ para hallar las coordenadas del foco, $(valor, 0)$
  - utilice $p$ para hallar la ecuación de la directriz, $x = - p$
  - utilice $p$ para hallar los puntos finales del latus rectum, $(valor, \pm2, 2 p) .$ Alternativamente, sustituya $x = p$ en la ecuación original.
2. Si la ecuación es de la forma x 2 =4py, x 2 =4py, entonces
  - el eje de simetría es el eje y, $x = 0$
  - establece $4 p$ igual al coeficiente de y en la ecuación dada para resolver $p .$ Si $p > 0,$ la parábola se abre. Si los valores de $p < 0,$ la parábola se abre hacia abajo.
  - utilice $p$ para hallar las coordenadas del foco, $(0, p)$
  - utilice $p$ para hallar la ecuación de la directriz, $y = - p$
  - utilice $p$ para hallar los puntos finales del latus rectum, $(\pm 2 p, p)$
Dibuje el foco, la directriz y el latus rectum, y dibuje una curva suave para formar la parábola.

Ejemplo 1

Gráfico de una parábola con vértice (0, 0) y el eje x como eje de simetría

Grafique $y^{2} = 24 x .$ Identifique y marque el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum.

Solución

La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es $y^{2} = 4 p x .$ Así, el eje de simetría es el eje x. De ello se desprende que:

$24 = 4 p,$ por lo que $p = 6.$ Dado que $p > 0,$ la parábola se abre a la derecha
las coordenadas del foco son $(valor, 0) = (6, 0)$
la ecuación de la directriz es $x = - p = - 6$
los puntos extremos del lado recto tienen la misma coordenada x en el foco. Para hallar los puntos extremos, sustituya $x = 6$ en la ecuación original: $(6, \pm 12)$

A continuación dibujamos el foco, la directriz y el latus rectum, y dibujamos una curva suave para formar la parábola. Figura 7

Se trata de una parábola horizontal que se abre hacia la derecha con vértice (0, 0), foco (6, 0), y directriz x = 6 negativo. Se muestra el lado recto, una línea vertical que pasa por el foco y termina en la parábola en (6, 12) y (6, 12 negativo).

Figura 7

Inténtelo #1

Grafique $y^{2} = −16 x .$ Identifique y marque el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum.

Ejemplo 2

Gráfico de una parábola con vértice (0, 0) y el eje y como eje de simetría

Grafique $x^{2} = –6 y .$ Identifique y marque el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum.

Solución

La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es $x^{2} = 4 p y .$ Por lo tanto, el eje de simetría es el eje y. De ello se desprende que:

$- 6 = 4 p,$ por lo que $p = - \frac{3}{2} .$ Dado que $p < 0,$ la parábola se abre hacia abajo
las coordenadas del foco son $(0, p) = (0, - \frac{3}{2})$
la ecuación de la directriz es $y = - p = \frac{3}{2}$
los puntos extremos del latus rectum se pueden hallar sustituyendo $y = \frac{3}{2}$ en la ecuación original, $(\pm 3, - \frac{3}{2})$

Luego, dibujamos el foco, la directriz y el latus rectum, y dibujamos una curva suave para formar la parábola.

Este es el gráfico marcado x al cuadrado = menos 6 y, una parábola vertical que se abre hacia abajo con Vértice (0, 0), Foco (0, 3/2 negativo) y Directriz y = 3/2. Se muestra el lado recto, una línea horizontal que pasa por el foco y termina en la parábola en (3 negativo, 3/2 negativo) y (3, 3/2 negativo).

Figura 8

Inténtelo #2

Grafique $x^{2} = 8 y .$ Identifique y marque el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum.

Escribir ecuaciones de parábolas en forma estándar

En los ejemplos anteriores utilizamos la ecuación de la forma estándar de una parábola para calcular la ubicación de sus rasgos principales. También podemos utilizar los cálculos a la inversa para escribir una ecuación de una parábola cuando se dan sus características principales.

Cómo

Dados su foco y su directriz, escriba la ecuación de una parábola en forma estándar.

Determine si el eje de simetría es el eje x o el eje y.
1. Si las coordenadas dadas del foco tienen la forma $(valor, 0),$ entonces el eje de simetría es el eje x. Utilice la forma estándar $y^{2} = 4 p x .$
2. Si las coordenadas dadas del foco tienen la forma $(0, p),$ entonces el eje de simetría es el eje y. Utilice la forma estándar $x^{2} = 4 p y .$
Multiplique $4 p .$
Sustituya el valor del paso 2 en la ecuación determinada en el paso 1.

Ejemplo 3

Escribir la ecuación de una parábola en forma estándar dados su foco y directriz

¿Cuál es la ecuación de la parábola con foco $(- \frac{1}{2}, 0)$ y directriz $x = \frac{1}{2} ?$

Solución

El foco tiene la forma $(valor, 0),$ por lo que la ecuación tendrá la forma $y^{2} = 4 p x .$

Al multiplicar $4 p,$ tenemos $4 p = 4 (- \frac{1}{2}) = –2.$
Al sustituir por $4 p,$ tenemos $y^{2} = 4 p x = –2 x .$

Por lo tanto, la ecuación de la parábola es $y^{2} = –2 x .$

Inténtelo #3

¿Cuál es la ecuación de la parábola con foco $(0, \frac{7}{2})$ y directriz $y = - \frac{7}{2} ?$

Graficar parábolas con vértices que no están en el origen

Al igual que otros gráficos con los que hemos trabajado, el gráfico de una parábola se puede trasladar. Si se traslada una parábola $h$ unidades en horizontal y $k$ unidades en vertical, el vértice será $(h, k) .$ Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente con $x$ sustituido por $(x - h)$ y de $y$ sustituido por $(y - k) .$

Para graficar parábolas con un vértice $(h, k)$ que no sea el origen, utilizamos la forma estándar ${(y - k)}^{2} = 4 p (x - h)$ para las parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje x, y ${(x - h)}^{2} = 4 p (y - k)$ para parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje y. Estas formas estándar se indican a continuación, junto con sus gráficos generales y sus características principales.

Formas estándar de parábolas con vértice (h, k)

La Tabla 2 y la Figura 9 resumen las características estándar de las parábolas con vértice en un punto $(h, k) .$

Eje de simetría	Ecuación	Foco	Directriz	Puntos extremos del latus rectum
$y = k$	${(y - k)}^{2} = 4 p (x - h)$	$(h + p, k)$	$x = h - p$	$(h + p, k \pm 2 p)$
$x = h$	${(x - h)}^{2} = 4 p (y - k)$	$(h, k + p)$	$y = k - p$	$(h \pm 2 p, k + p)$

Tabla 2

Figura 9 (a) Cuando

p > 0,

la parábola se abre hacia la derecha. (b) Cuando

p < 0,

la parábola se abre hacia la izquierda. (c) Cuando

p > 0,

la parábola se abre hacia arriba. (d) Cuando

p < 0,

la parábola se abre hacia abajo.

Cómo

Dada una ecuación de forma estándar para una parábola centrada en (h, k), dibuje el gráfico.

Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada: ${(y - k)}^{2} = 4 p (x - h)$ o ${(x - h)}^{2} = 4 p (y - k) .$
Utilice la forma estándar identificada en el paso 1 para determinar el vértice, el eje de simetría, el foco, la ecuación de la directriz y los puntos extremos del latus rectum.
1. Si la ecuación es de la forma ( y-k ) 2 =4p( x-h ), ( y-k ) 2 =4p( x-h ), entonces:
  - utilice la ecuación dada para identificar $h$ y $k$ para el vértice, $(h, k)$
  - utilice el valor de $k$ para determinar el eje de simetría, $y = k$
  - establezca $4 p$ igual al coeficiente de $(x - h)$ en la ecuación dada para resolver $p .$ Si $p > 0,$ la parábola se abre a la derecha. Si los valores de $p < 0,$ la parábola se abre a la izquierda.
  - utilice $h, k,$ y $p$ para hallar las coordenadas del foco, $(h + p, k)$
  - utilice $h$ y $p$ para hallar la ecuación de la directriz, $x = h - p$
  - utilice $h, k,$ y $p$ para hallar los puntos finales del latus rectum, $(h + p, k \pm 2 p)$
2. Si la ecuación es de la forma ( x-h ) 2 =4p( y-k ), ( x-h ) 2 =4p( y-k ), entonces:
  - utilice la ecuación dada para identificar $h$ y $k$ para el vértice, $(h, k)$
  - utilice el valor de $h$ para determinar el eje de simetría, $x = h$
  - establezca $4 p$ igual al coeficiente de $(y - k)$ en la ecuación dada para resolver $p .$ Si $p > 0,$ la parábola se abre. Si los valores de $p < 0,$ la parábola se abre hacia abajo.
  - utilice $h, k,$ y $p$ para hallar las coordenadas del foco, $(h, k + p)$
  - utilice $k$ y $p$ para hallar la ecuación de la directriz, $y = k - p$
  - utilice $h, k,$ y $p$ para hallar los puntos finales del latus rectum, $(h \pm 2 p, k + p)$
Trace el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum, y dibuje una curva suave para formar la parábola.

Ejemplo 4

Gráfico de una parábola con vértice (h, k) y eje de simetría paralelo al eje x

Grafique ${(y - 1)}^{2} = −16 (x + 3) .$ Identifique y marque el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos extremos del latus rectum.

Solución

La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es ${(y - k)}^{2} = 4 p (x - h) .$ Así, el eje de simetría es paralelo al eje x. De ello se desprende que:

el vértice es $(h, k) = (- 3, 1)$
el eje de simetría es $y = k = 1$
$−16 = 4 p,$ por lo que $p = −4.$ Dado que $p < 0,$ la parábola se abre a la izquierda.
las coordenadas del foco son $(h + p, k) = (−3 + (–4), 1) = (–7, 1)$
la ecuación de la directriz es $x = h - p = −3 - (–4) = 1$
los puntos finales del latus rectum son $(h + p, k \pm 2 p) = (−3 + (–4), 1 \pm 2 (–4)),$ o $(–7, –7)$ y $(–7, 9)$

A continuación trazamos el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum, y dibujamos una curva suave para formar la parábola. Vea la Figura 10.

Este es el gráfico identificado (y menos 1) al cuadrado = 16(x + 3) negativo, una parábola horizontal que se abre hacia la izquierda con vértice (3 negativo, 1), foco (7 negativo, 1) y directriz x = 1. Se muestra el latus rectum, una línea vertical que pasa por el foco y termina en la parábola en (7 negativo, 7 negativo) y (7 negativo, 9). También se muestra el eje de simetría, la línea horizontal y = 1, que pasa por el vértice y el foco.

Figura 10

Inténtelo #4

Grafique ${(y + 1)}^{2} = 4 (x - 8) .$ Identifique y marque el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum.

Ejemplo 5

Graficar una parábola a partir de una ecuación dada en forma general

Grafique $x^{2} - 8 x - 28 y - 208 = 0 .$ Identifique y marque el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum.

Solución

Empiece escribiendo la ecuación de la parábola en forma estándar. La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es ${(x - h)}^{2} = 4 p (y - k) .$ Por lo tanto, el eje de simetría es paralelo al eje y. Para expresar la ecuación de la parábola en esta forma, empezamos por aislar los términos que contienen la variable $x$ para completar el cuadrado.

\begin{array}{l} x^{2} - 8 x - 28 y - 208 = 0 \\ x^{2} - 8 x = 28 y + 208 \\ x^{2} - 8 x + 16 = 28 y + 208 + 16 \\ {(x - 4)}^{2} = 28 y + 224 \\ {(x - 4)}^{2} = 28 (y + 8) \\ {(x - 4)}^{2} = 4 \cdot 7 \cdot (y + 8) \end{array}

De ello se desprende que:

el vértice es $(h, k) = (4, −8)$
el eje de simetría es $x = h = 4$
dado que $p = 7, p > 0$ y así la parábola se abre hacia arriba
las coordenadas del foco son $(h, k + p) = (4, −8 + 7) = (4, –1)$
la ecuación de la directriz es $y = k - p = −8 - 7 = −15$
los puntos finales del latus rectum son $(h \pm 2 p, k + p) = (4 \pm 2 (7), −8 + 7),$ o $(–10, –1)$ y $(18, –1)$

A continuación trazamos el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum, y dibujamos una curva suave para formar la parábola. Vea la Figura 11.

Este es el gráfico marcado (x menos 4)al cuadrado = 28 veces (y + 8), una parábola vertical que se abre hacia arriba con vértice (4, 8 negativo), foco (4, 1 negativo) y directriz y = 15 negativo. Se muestra el latus rectum, una línea horizontal que pasa por el foco y termina en la parábola en (10 negativo, 1 negativo) y (18, 1 negativo). También se muestra el eje de simetría, la línea vertical x = 4, que pasa por el vértice y el foco.

Figura 11

Inténtelo #5

Grafique ${(x + 2)}^{2} = -20 (y - 3) .$ Identifique y marque el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum.

Resolver problemas aplicados con parábolas

Como hemos mencionado al principio de la sección, las parábolas se utilizan para diseñar muchos objetos que utilizamos a diario, como telescopios, puentes colgantes, micrófonos y equipos de radar. Los espejos parabólicos, como el utilizado para iluminar la antorcha olímpica, tienen una propiedad reflectante muy singular. Cuando los rayos de luz paralelos al eje de simetría de la parábola se dirigen hacia cualquier superficie del espejo, la luz se refleja directamente en el foco. Vea la Figura 12. Por ello, la antorcha olímpica se enciende cuando se sostiene en el foco del espejo parabólico.

Se muestra un reflector parabólico con su foco marcado. Los rayos de sol paralelos al eje de simetría se reflejan en el reflector y pasan por el foco.

Figura 12 Propiedad de reflexión de las parábolas

Los espejos parabólicos tienen la capacidad de concentrar la energía del sol en un solo punto, lo que eleva la temperatura cientos de grados en cuestión de segundos. Así, los espejos parabólicos aparecen en muchos productos solares de bajo costo y alta eficiencia energética, como cocinas y calentadores solares e incluso encendedores de tamaño de viaje.

Ejemplo 6

Resolver problemas aplicados con parábolas

En la Figura 13 se muestra una sección transversal de un diseño para un encendedor solar de tamaño de viaje. Los rayos del sol se reflejan en el espejo parabólico hacia un objeto unido al encendedor. Debido a que el encendedor está ubicado en el foco de la parábola, los rayos reflejados hacen que el objeto se queme en solo unos segundos.

Ⓐ Halle la ecuación de la parábola que modela el encendedor. Supongamos que el vértice del espejo parabólico es el origen del plano de coordenadas.
Ⓑ Utilice la ecuación hallada en la parte ⓐ para calcular la profundidad del encendedor.

Figura 13 Sección transversal de un encendedor de fuego solar del tamaño de un viaje

Solución

Ⓐ El vértice de la antena es el origen del plano de coordenadas, por lo que la parábola adoptará la forma estándar $x^{2} = 4 p y,$ donde $p > 0 .$ El encendedor, que es el foco, está a 1,7 pulgadas por encima del vértice de la antena. Así, tenemos $p = 1,7.$
$\begin{array}{l} x^{2} = 4 p y & \begin{matrix} \end{matrix} Forma estándar de parábola orientada hacia arriba con vértice (0,0) \\ x^{2} = 4 (1,7) y & \begin{matrix} \end{matrix} Sustituya 1,7 para p . \\ x^{2} = 6,8 y & \begin{matrix} \end{matrix} Multiplique . \end{array}$
Ⓑ La antena se extiende $\frac{4,5}{2} = 2,25$ pulgadas a cada lado del origen. Podemos sustituir 2,25 por $x$ en la ecuación de la parte (a) para hallar la profundidad de la antena.
$\begin{array}{l} x^{2} = 6,8 y & Ecuación hallada en la parte (a) . \\ {(2,25)}^{2} = 6,8 y & Sustituya 2,25 por x . \\ y \approx 0,74 & Resuelva para y . \end{array}$
La antena tiene una profundidad de unas 0,74 pulgadas.

Inténtelo #6

Se han diseñado cocinas solares del tamaño de un balcón para familias que viven en la India. La parte superior de una antena tiene un diámetro de 1.600 mm. Los rayos del sol se reflejan en el espejo parabólico hacia la "cocina", situada a 320 mm de la base.

Ⓐ Halle una ecuación que modele una sección transversal de la cocina solar. Supongamos que el vértice del espejo parabólico es el origen del plano de coordenadas, y que la parábola se abre hacia la derecha (es decir, tiene el eje x como eje de simetría).

Ⓑ Utilice la ecuación hallada en la parte Ⓐ para calcular la profundidad de la cocina.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las parábolas.

10.3 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Defina una parábola en términos de su foco y su directriz.

2.

Si la ecuación de una parábola está escrita en forma estándar y $p$ es positiva y la directriz es una línea vertical, entonces ¿qué podemos concluir sobre su gráfico?

3.

Si la ecuación de una parábola está escrita en forma estándar y $p$ es negativo y la directriz es una línea horizontal, entonces ¿qué podemos concluir sobre su gráfico?

4.

¿Cuál es el efecto en el gráfico de una parábola si su ecuación en forma estándar tiene valores crecientes de $p ?$

5.

A medida que el gráfico de una parábola se hace más ancho, ¿qué ocurrirá con la distancia entre el foco y la directriz?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación dada es una parábola. Si es así, reescriba la ecuación en forma estándar.

6.

$y^{2} = 4 - x^{2}$

7.

$y = 4 x^{2}$

8.

$3 x^{2} - 6 y^{2} = 12$

9.

${(y - 3)}^{2} = 8 (x - 2)$

10.

$y^{2} + 12 x - 6 y - 51 = 0$

En los siguientes ejercicios, reescriba la ecuación dada en forma estándar, y luego determine el vértice $(V),$ foco $(F),$ y directriz $(d)$ de la parábola.

11.

$x = 8 y^{2}$

12.

$y = \frac{1}{4} x^{2}$

13.

$y = -4 x^{2}$

14.

$x = \frac{1}{8} y^{2}$

15.

$x = 36 y^{2}$

16.

$x = \frac{1}{36} y^{2}$

17.

${(x - 1)}^{2} = 4 (y - 1)$

18.

${(y - 2)}^{2} = \frac{4}{5} (x + 4)$

19.

${(y - 4)}^{2} = 2 (x + 3)$

20.

${(x + 1)}^{2} = 2 (y + 4)$

21.

${(x + 4)}^{2} = 24 (y + 1)$

22.

${(y + 4)}^{2} = 16 (x + 4)$

23.

$y^{2} + 12 x - 6 y + 21 = 0$

24.

$x^{2} - 4 x - 24 y + 28 = 0$

25.

$5 x^{2} - 50 x - 4 y + 113 = 0$

26.

$y^{2} - 24 x + 4 y - 68 = 0$

27.

$x^{2} - 4 x + 2 y - 6 = 0$

28.

$y^{2} - 6 y + 12 x - 3 = 0$

29.

$3 y^{2} - 4 x - 6 y + 23 = 0$

30.

$x^{2} + 4 x + 8 y - 4 = 0$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la parábola, identifique el foco y la directriz.

31.

$x = \frac{1}{8} y^{2}$

32.

$y = 36 x^{2}$

33.

$y = \frac{1}{36} x^{2}$

34.

$y = –9 x^{2}$

35.

${(y - 2)}^{2} = - \frac{4}{3} (x + 2)$

36.

$−5 {(x + 5)}^{2} = 4 (y + 5)$

37.

$−6 {(y + 5)}^{2} = 4 (x - 4)$

38.

$y^{2} - 6 y - 8 x + 1 = 0$

39.

$x^{2} + 8 x + 4 y + 20 = 0$

40.

$3 x^{2} + 30 x - 4 y + 95 = 0$

41.

$y^{2} - 8 x + 10 y + 9 = 0$

42.

$x^{2} + 4 x + 2 y + 2 = 0$

43.

$y^{2} + 2 y - 12 x + 61 = 0$

44.

$- 2 x^{2} + 8 x - 4 y - 24 = 0$

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la parábola dada la información sobre su gráfico.

45.

El vértice es $(0, 0);$ la directriz es $y = 4,$ el foco es $(0, –4) .$

46.

El vértice es $(0, 0);$ la directriz es $x = 4,$ el foco es $(-4, 0) .$

47.

El vértice es $(2, 2);$ la directriz es $x = 2 - \sqrt{2},$ el foco es $(2 + \sqrt{2}, 2) .$

48.

El vértice es $(–2, 3);$ la directriz es $x = - \frac{7}{2},$ el foco es $(- \frac{1}{2}, 3) .$

49.

El vértice es $(\sqrt{2}, - \sqrt{3});$ la directriz es $x = 2 \sqrt{2},$ el foco es $(0, - \sqrt{3}) .$

50.

El vértice es $(1, 2);$ la directriz es $y = \frac{11}{3},$ el foco es $(1, \frac{1}{3}) .$

En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la parábola a partir de su gráfico.

51.

Esta figura muestra dos chinchetas clavadas en un papel con un trozo de cuerda suelto entre ellas. Un lápiz tira de la cuerda y, al moverse, dibuja una elipse.

52.

Se trata de una parábola horizontal en el plano x y, que se abre hacia la izquierda, con vértice (3, 2) y foco (1 negativo, 2). Se muestra el eje de simetría, una línea horizontal, que pasa por el vértice y el foco.

53.

Se trata de una parábola horizontal en el plano x y, que se abre hacia la derecha, con vértice (2 negativo, 2) y foco (31/16 negativo, 2). Se muestra el eje de simetría, una línea horizontal, que pasa por el vértice y el foco.

54.

Se trata de una parábola vertical en el plano x y, que se abre hacia abajo, con vértice (3 negativo, 5) y foco (3 negativo, 319/64). Se muestra el eje de simetría, una línea vertical, que pasa por el vértice y el foco.

55.

Se trata de una parábola horizontal en el plano x y que se abre hacia la derecha, con vértice (raíz cuadrada de 2 negativa, raíz cuadrada de 3) y foco (raíz cuadrada de 2 negativa + raíz cuadrada de 5, raíz cuadrada de 3). Se muestra el eje de simetría, una línea horizontal, que pasa por el vértice y el foco.

Extensiones

En los siguientes ejercicios, se da el vértice y los puntos extremos del latus rectum de una parábola. Halle la ecuación.

56.

$V (0, 0)$ , los puntos extremos $(2, 1)$ , $(–2, 1)$

57.

$V (0, 0)$ , puntos finales $(–2, 4)$ , $(–2, –4)$

58.

$V (1, 2)$ , puntos finales $(−5, 5)$ , $(7, 5)$

59.

$V (−3, –1)$ , puntos finales $(0, 5)$ , $(0, –7)$

60.

$V (4, −3)$ , puntos finales $(5, - \frac{7}{2})$ , $(3, - \frac{7}{2})$

Aplicaciones en el mundo real

61.

El espejo de un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica con la bombilla en el foco. En un esquema, la ecuación de la parábola viene dada por $x^{2} = 4 y .$ ¿En qué coordenadas debe colocar la bombilla?

62.

Si queremos construir el espejo del ejercicio anterior de forma que el foco esté situado en $(0, 0,25),$ ¿cuál debería ser la ecuación de la parábola?

63.

Una antena parabólica tiene forma de paraboloide de revolución. Esto significa que se puede formar girando una parábola alrededor de su eje de simetría. El receptor debe situarse en el foco. Si la antena parabólica tiene 12 pies de diámetro en la abertura y 4 pies de profundidad en su centro, ¿dónde debe colocarse el receptor?

64.

Considere la antena parabólica del ejercicio anterior. Si la antena parabólica tiene 8 pies de ancho en la abertura y 2 pies de profundidad, ¿dónde debemos colocar el receptor?

65.

El reflector de un faro tiene forma de paraboloide de revolución. Una fuente de luz está situada a 1 pie de la base a lo largo del eje de simetría. Si la abertura del reflector es de 3 pies de ancho, halle la profundidad.

66.

Si el reflector del faro del ejercicio anterior tiene la fuente de luz situada a 6 pulgadas de la base a lo largo del eje de simetría y la abertura es de 4 pies, calcule la profundidad.

67.

Un arco tiene forma de parábola. Tiene una arcada de 100 pies y una altura máxima de 20 pies. Halle la ecuación de la parábola y determine la altura del arco a 40 pies del centro.

68.

Si el arco del ejercicio anterior tiene una arcada de 160 pies y una altura máxima de 40 pies, halle la ecuación de la parábola y determine la distancia desde el centro a la que la altura es de 20 pies.

69.

Un objeto se proyecta para seguir una trayectoria parabólica dada por $y = - x^{2} + 96 x,$ donde $x$ es la distancia horizontal recorrida en pies y $y$ es la altura. Determina la altura máxima que alcanza el objeto.

70.

Para el objeto del ejercicio anterior, supongamos que la trayectoria seguida viene dada por $y = -0,5 x^{2} + 80 x .$ Determine qué distancia a lo largo de la horizontal recorrió el objeto para alcanzar la máxima altura.

10.3 La parábola

Graficar parábolas con vértices en el origen

Gráfico de una parábola con vértice (0, 0) y el eje x como eje de simetría

Solución

Gráfico de una parábola con vértice (0, 0) y el eje y como eje de simetría

Solución

Escribir ecuaciones de parábolas en forma estándar

Escribir la ecuación de una parábola en forma estándar dados su foco y directriz

Solución

Graficar parábolas con vértices que no están en el origen

Gráfico de una parábola con vértice (h, k) y eje de simetría paralelo al eje x

Solución

Graficar una parábola a partir de una ecuación dada en forma general

Solución

Resolver problemas aplicados con parábolas

Resolver problemas aplicados con parábolas

Solución

10.3 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real