Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Identificar las funciones potencia.
Identificar el comportamiento final de las funciones potencia.
Identificar funciones polinómicas.
Identificar el grado y el coeficiente principal de las funciones polinómicas.

Tres pájaros en un acantilado con el sol saliendo al fondo.

Figura 1 (Créditos: Jason Bay, Flickr)

Supongamos que una determinada especie de ave prospera en una pequeña isla. Su población en los últimos años se muestra en la Tabla 1.

Año	$2009$	$2010$	$2011$	$2012$	$2013$
Población de aves	$800$	$897$	$992$	$1.083$	$1.169$

Tabla 1

La población puede estimarse mediante la función $P (t) = - 0,3 t^{3} + 97 t + 800,$ donde $P (t)$ representa la población de aves de la isla $t$ años después de 2009. Podemos utilizar este modelo para estimar la población máxima de aves y cuándo se producirá. También podemos utilizar este modelo para predecir cuándo desaparecerá la población de aves de la isla. En esta sección, examinaremos las funciones que podemos utilizar para estimar y predecir este tipo de cambios.

Identificar las funciones potencia

Para entender mejor el problema de los pájaros, necesitamos comprender un tipo específico de función. La función potencia es aquella con un solo término que es el producto de un número real, un coeficiente y una variable elevada a un número real fijo. (El número que multiplica una variable elevada a un exponente se conoce como coeficiente).

Como ejemplo, considere las funciones para el área o el volumen. La función para el área de un círculo con radio $r$ se

A (r) = π r^{2}

y la función para el volumen de una esfera con radio $r$ se

V (r) = \frac{4}{3} π r^{3}

Ambas son ejemplos de funciones potencia porque constan de un coeficiente, $π$ o $\frac{4}{3} π,$ multiplicado por una variable $r$ elevado a una potencia.

Función potencia

La función potencia es aquella que puede representarse en la forma

f (x) = k x^{p}

donde $k$ y $p$ son números reales, y $k$ se conoce como el coeficiente.

Preguntas y respuestas

¿Es $f (x) = 2^{x}$ una función potencia?

No. La función potencia contiene una base variable elevada a una potencia fija. Esta función tiene una base constante elevada a una potencia variable. Se denomina función exponencial, no función potencia.

Ejemplo 1

Identificar las funciones potencia

¿Cuáles de las siguientes son funciones potencia?

$\begin{array}{l} f (x) = 1 & Función constante \\ f (x) = x & Función de identidad \\ f (x) = x^{2} & Función cuadrática \\ f (x) = x^{3} & Función cúbica \\ f (x) = \frac{1}{x} & Función recíproca \\ f (x) = \frac{1}{x^{2}} & Función recíproca al cuadrado \\ f (x) = \sqrt{x} & Función de raíz cuadrada \\ f (x) = \sqrt[3]{x} & Función de raíz cúbica \end{array}$

Solución

Todas las funciones enumeradas son funciones potencia.

Las funciones constante y de identidad son funciones potencia porque pueden escribirse como $f (x) = x^{0}$ y $f (x) = x^{1}$ respectivamente.

Las funciones cuadrática y cúbica son funciones potencia con potencias de números enteros $f (x) = x^{2}$ y $f (x) = x^{3} .$

Las funciones recíproca y recíproca al cuadrado son funciones potencia con potencias de números enteros negativos porque pueden escribirse como $f (x) = x^{- 1}$ y $f (x) = x^{- 2} .$

Las funciones de raíz cuadrada y raíz cúbica son funciones potencia con potencias fraccionarias porque se pueden escribir como $f (x) = x^{1/2}$ o $f (x) = x^{1/3} .$

Inténtelo #1

¿Cuáles funciones son de potencia?

$\begin{array}{l} f (x) = 2 x^{2} \cdot 4 x^{3} \\ g (x) = - x^{5} + 5 x^{3} - 4 x \\ h (x) = \frac{2 x^{5} - 1}{3 x^{2} + 4} \end{array}$

Identificar el comportamiento final de las funciones potencia

La Figura 2 muestra los gráficos de $f (x) = x^{2}, g (x) = x^{4}$ y $y h (x) = x^{6},$ que son todas funciones potencia con números pares y enteros. Observe que estos gráficos tienen formas semejantes, muy parecidas a la de la función cuadrática en la caja de herramientas. Sin embargo, a medida que se incrementa la potencia, los gráficos se aplanan un poco cerca del origen y se vuelven más pronunciados lejos del mismo.

Gráfico de tres funciones, h(x)=x^2 en verde, g(x)=x^4 en naranja, y f(x)=x^6 en azul.

Figura 2 Funciones potencia par

Para describir el comportamiento a medida que aumentan los números, utilizamos la idea del infinito. Utilizamos el símbolo $\infty$ para el infinito positivo y $- \infty$ para el infinito negativo. Cuando decimos que " $x$ se acerca al infinito", que puede escribirse simbólicamente como $x \to \infty,$ describimos un comportamiento; decimos que $x$ aumenta sin límites.

Con la función potencia par, a medida que la entrada aumenta o disminuye sin límite, los valores de salida se convierten en números positivos muy grandes. Por equivalencia, podríamos describir este comportamiento al afirmar que, a medida que $x$ se acerca al infinito positivo o negativo, los valores $f (x)$ aumentan sin límite. En forma simbólica, podríamos escribir

dado que x \to \pm \infty, f (x) \to \infty

La Figura 3 muestra los gráficos de $f (x) = x^{3}, g (x) = x^{5}, y h (x) = x^{7},$ que son todas funciones potencia con potencias de números impares y enteros. Observe que estos gráficos son semejantes a los de la función cúbica en la caja de herramientas. De nuevo, a medida que aumenta la potencia, los gráficos se aplanan cerca del origen y se vuelven más pronunciados lejos del mismo.

Gráfico de tres funciones, f(x)=x^3 en verde, g(x)=x^5 en naranja, y h(x)=x^7 en azul.

Figura 3 Función potencia impar

Estos ejemplos ilustran que las funciones de la forma $f (x) = x^{n}$ revelan simetría de un tipo u otro. En primer lugar, en la Figura 2 observamos que incluso las funciones de la forma $f (x) = x^{n}, n par,$ son simétricas con respecto al eje $y$ . En la Figura 3 observamos que las funciones impares de la forma $f (x) = x^{n}, n impar,$ son simétricas respecto al origen.

En estas funciones potencia con números impares, a medida que $x$ se acerca al infinito negativo, $f (x)$ disminuye sin límites. A medida que $x$ se acerca al infinito positivo, $f (x)$ aumenta sin límites. En forma simbólica escribimos

\begin{array}{l} dado que x \to - \infty, f (x) \to - \infty \\ dado que x \to \infty, f (x) \to \infty \end{array}

El comportamiento del gráfico de una función a medida que los valores de entrada disminuyen ( $x \to - \infty$ ) y aumentan mucho ( $x \to \infty$ ) se denomina comportamiento final de la función. Podemos utilizar palabras o símbolos para describir el comportamiento final.

La Figura 4 muestra el comportamiento final de las funciones de potencia en la forma $f (x) = k x^{n}$ donde $n$ es un número entero no negativo que depende de la potencia y de la constante.

Gráfico de una función potencia par con una constante positiva. Cuando x va al infinito negativo, la función va al infinito positivo; cuando x va al infinito positivo, la función va al infinito positivo. Gráfico de una función potencia impar con una constante positiva. Cuando x va al infinito negativo, la función va al infinito positivo; cuando x va al infinito positivo, la función va al infinito negativo. Gráfico de una función potencia par con una constante negativa. Cuando x va al infinito negativo, la función va al infinito negativo; cuando x va al infinito positivo, la función va al infinito negativo. Gráfico de una función potencia impar con una constante negativa. Cuando x va al infinito negativo, la función va al infinito negativo; cuando x va al infinito positivo, la función va al infinito negativo.

Figura 4

Cómo

Dada una función potencia $f (x) = k x^{n}$ donde $n$ es un número entero no negativo, identificar el comportamiento final.

Determine si la potencia es par o impar.
Determine si la constante es positiva o negativa.
Utilice la Figura 4 para identificar el comportamiento final.

Ejemplo 2

Identificar el comportamiento final de una función potencia

Describa el comportamiento final del gráfico de $f (x) = x^{8} .$

Solución

El coeficiente es 1 (positivo) y el exponente de la función potencia es 8 (número par). A medida que $x$ se acerca al infinito, la salida (valor de $f (x)$ ) aumenta sin límite. Lo escribimos como $x \to \infty, f (x) \to \infty .$ Dado que $x$ se acerca al infinito negativo, la salida aumenta sin límite. En forma simbólica, como $x \to - \infty, f (x) \to \infty .$ Podemos representar gráficamente la función como se indica en la Figura 5.

Figura 5

Ejemplo 3

Identificar el comportamiento final de una función potencia.

Describa el comportamiento final del gráfico de $f (x) = - x^{9} .$

Solución

El exponente de la función de potencia es 9 (número impar). Dado que el coeficiente es $-1$ (negativo), el gráfico es la reflexión alrededor del eje $x$ del gráfico de $f (x) = x^{9} .$ La Figura 6 muestra que, a medida que $x$ se acerca al infinito, la salida disminuye sin límite. A medida que $x$ se acerca al infinito negativo, la salida aumenta sin límite. En forma simbólica, escribiríamos

\begin{array}{l} dado que x \to - \infty, f (x) \to \infty \\ dado que x \to \infty, f (x) \to - \infty \end{array}

Figura 6

Análisis

Podemos comprobar nuestro trabajo con la función tabular en una herramienta gráfica.

$x$	$f (x)$
-10	1.000.000.000
–5	1.953.125
0	0
5	–1.953.125
10	–1.000.000.000

Tabla 2

Podemos observar a partir de la Tabla 2 que, cuando sustituimos valores muy pequeños por $x,$ la salida es muy grande, y cuando sustituimos valores muy grandes por $x,$ la salida es muy pequeña (lo que significa que es un valor negativo muy grande).

Inténtelo #2

Describa con palabras y símbolos el comportamiento final de $f (x) = - 5 x^{4} .$

Identificar funciones polinómicas

Un oleoducto estalla en el golfo de México, lo que provoca un derrame de petróleo aproximadamente circular. La mancha tiene actualmente un radio de 24 millas, pero ese radio aumenta 8 millas cada semana. Queremos escribir una fórmula para la superficie cubierta por el derrame de petróleo al combinar dos funciones. El radio $r$ del derrame de petróleo depende del número de semanas $w$ que han pasado. Esta relación es lineal.

r (w) = 24 + 8 w

Podemos combinar esto con la fórmula del área $A$ de un círculo.

A (r) = π r^{2}

Al componer estas funciones se obtiene una fórmula para el área en términos de semanas.

\begin{matrix} A (w) = A (r (w)) \\ = A (24 + 8 w) \\ = π {(24 + 8 w)}^{2} \end{matrix}

Multiplicando se obtiene la fórmula.

A (w) = 576 π + 384 π w + 64 π w^{2}

Esta fórmula es un ejemplo de función polinómica. Una función polinómica se compone de cero o de la suma de un número finito de términos distintos de cero, cada uno de los cuales es el producto de un número, llamado coeficiente del término, y una variable elevada a la potencia de un número entero no negativo.

Funciones polinómicas

Supongamos que $n$ es un número entero no negativo. La función polinómica es aquella que se puede escribir en la forma

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

Esto se denomina la forma general de una función polinómica. Cada $a_{i}$ es un coeficiente y puede ser cualquier número real, pero $a_{n} \neq 0$ . Cada producto $a_{i} x^{i}$ es el término de una función polinómica.

Ejemplo 4

Identificar funciones polinómicas

¿Cuáles de las siguientes son funciones polinómicas?

\begin{array}{l} \begin{array}{l} f (x) = 2 x^{3} \cdot 3 x + 4 \end{array} \\ g (x) = - x (x^{2} - 4) \\ h (x) = 5 \sqrt{x} + 2 \end{array}

Solución

Las dos primeras funciones son ejemplos de funciones polinómicas porque se pueden escribir en la forma $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{1}$ donde las potencias son números enteros no negativos y los coeficientes son números reales.

$f (x)$ puede escribirse como $f (x) = 6 x^{4} + 4.$
$g (x)$ puede escribirse como $g (x) = - x^{3} + 4 x .$
$h (x)$ no puede escribirse de esta forma y, por ende, no es una función polinómica.

Identificar el grado y el coeficiente principal de una función polinómica

Debido a la forma de una función polinómica, podemos ver una variedad infinita en el número de términos y la potencia de la variable. Aunque el orden de los términos de la función polinómica no es importante para realizar las operaciones, solemos ordenar los términos en orden descendente de potencia o en forma general. El grado del polinomio es la potencia más elevada de la variable que aparece en el polinomio; es la potencia de la primera variable si la función tiene forma general. El término principal es aquel que contiene la potencia más elevada de la variable o el término del grado más alto. El coeficiente principal es el coeficiente del término principal.

Terminología de las funciones polinómicas

A menudo reordenamos los polinomios para que las potencias sean descendentes.

Diagrama que indica cuáles son los componentes del término principal de una función. El coeficiente principal es a_n y el grado de la variable es el exponente en x^n. Tanto el coeficiente principal como la variable con el grado más alto constituyen el término principal. Así que la función se parece a f(x)=a_nx^n +...+a_2x^2+a_1x+a_0.

Cuando un polinomio se escribe de esta manera, decimos que está en forma general.

Cómo

Dada una función polinómica, identificar el grado y el coeficiente principal.

Calcule la potencia más elevada de $x$ para determinar el grado de la función.
Identifique el término que contiene la potencia más elevada de $x$ para hallar el término principal.
Identifique el coeficiente del término principal.

Ejemplo 5

Identificar el grado y el coeficiente principal de una función polinómica

Identifique el grado, el término principal y el coeficiente principal de las siguientes funciones polinómicas.

\begin{matrix} \begin{array}{l} f (x) = 3 + 2 x^{2} - 4 x^{3} \end{array} \\ g (t) = 5 t^{5} - 2 t^{3} + 7 t \\ h (p) = 6 p - p^{3} - 2 \end{matrix}

Solución

Para que la función $f (x),$ la máxima potencia de $x$ es 3, por lo que el grado es 3. El término principal es el que contiene ese grado, $-4 x^{3} .$ El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, $−4.$

Para que la función $g (t),$ la máxima potencia de $t$ es $5,$ por lo que el grado es $5.$ El término principal es el que contiene ese grado, $5 t^{5} .$ El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, $5.$

Para la función $h (p),$ la máxima potencia de $p$ es $3,$ por lo que el grado es $3.$ El término principal es el que contiene ese grado, $- p^{3};$ el coeficiente principal es el coeficiente de ese término, $−1.$

Inténtelo #3

Identifique el grado, el término principal y el coeficiente principal del polinomio $f (x) = 4 x^{2} - x^{6} + 2 x - 6.$

Identificar el comportamiento final de las funciones polinómicas

Conocer el grado de una función polinómica nos sirve para predecir su comportamiento final. Para determinar su comportamiento final, preste atención al término principal de la función polinómica. Dado que la potencia del término principal es la más alta, ese término crecerá mucho más rápido que los demás términos, a medida que $x$ aumenta o disminuye mucho, por lo que su comportamiento dominará el gráfico. En cualquier polinomio, su comportamiento final coincidirá con el del término del grado más alto. Vea el Tabla 3.

Función polinómica	Término principal	Gráfico de la función polinómica
$f (x) = 5 x^{4} + 2 x^{3} - x - 4$	$5 x^{4}$
$f (x) = - 2 x^{6} - x^{5} + 3 x^{4} + x^{3}$	$- 2 x^{6}$
$f (x) = 3 x^{5} - 4 x^{4} + 2 x^{2} + 1$	$3 x^{5}$
$f (x) = - 6 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x + 1$	$- 6 x^{3}$

Tabla 3

Ejemplo 6

Identificar el comportamiento final y el grado de una función polinómica

Describa el comportamiento final y determine un posible grado de la función polinómica en la Figura 7.

Figura 7

Solución

Dado que los valores de entrada $x$ son muy altos, los valores de salida $f (x)$ aumentan sin límite. Dado que los valores de entrada $x$ disminuyen mucho, los valores de salida $f (x)$ disminuyen sin límite. Podemos describir el comportamiento final simbólicamente al escribir

\begin{array}{l} dado que x \to - \infty, f (x) \to - \infty \\ dado que x \to \infty, f (x) \to \infty \end{array}

En palabras, podríamos decir que, a medida que los valores de $x$ se acercan al infinito, los valores de la función se acercan al infinito, y dado que los valores de $x$ se acercan al infinito negativo, los valores de la función se acercan al infinito negativo.

Podemos afirmar que este gráfico tiene la forma de una función potencia de grado impar que no ha sido reflejada, por lo que el grado del polinomio que crea este gráfico deberá ser impar y el coeficiente principal deberá ser positivo.

Inténtelo #4

Describa el comportamiento final, y determine un posible grado de la función polinómica en la Figura 8.

Figura 8

Ejemplo 7

Identificar el comportamiento final y el grado de una función polinómica

Dada la función $f (x) = - 3 x^{2} (x - 1) (x + 4),$ exprese la función como un polinomio en forma general, y determine el término principal, el grado y el comportamiento final de la función.

Solución

Obtenga la forma general al expandir la expresión dada para $f (x) .$

\begin{matrix} \begin{array}{l} f (x) = - 3 x^{2} (x - 1) (x + 4) \end{array} \\ = - 3 x^{2} (x^{2} + 3 x - 4) \\ = - 3 x^{4} - 9 x^{3} + 12 x^{2} \end{matrix}

La forma general es $f (x) = - 3 x^{4} - 9 x^{3} + 12 x^{2} .$ El término principal es $- 3 x^{4};$ por lo tanto, el grado del polinomio es 4. El grado es par (4) y el coeficiente principal es negativo (-3), por lo que el comportamiento final es

\begin{array}{l} dado que x \to - \infty, f (x) \to - \infty \\ dado que x \to \infty, f (x) \to - \infty \end{array}

Inténtelo #5

Dada la función $f (x) = 0,2 (x - 2) (x + 1) (x - 5),$ exprese la función como un polinomio en forma general y determine el término principal, el grado y el comportamiento final de la función.

Identificar el comportamiento local de las funciones polinómicas

Además del comportamiento final de las funciones polinómicas, también nos interesa lo que ocurre en el "medio" de la función. En particular, nos interesan los lugares donde cambia el comportamiento del gráfico. El punto de inflexión es aquel donde los valores de la función pasan de ser crecientes a decrecientes o de decrecientes a crecientes.

También nos interesan las intersecciones. Al igual que en todas las funciones, la intersección en y es el punto en el que el gráfico se cruza con el eje vertical. El punto corresponde al par de coordenadas donde el valor de entrada es cero. Ya que el polinomio es una función, solo un valor de salida corresponde a cada valor de entrada, por lo que únicamente puede haber una intersección en y $(0, a_{0}) .$ Las intersecciones en x se producen en los valores de entrada que corresponden a un valor de salida de cero. Puede haber más de una intersección en x. Vea la Figura 9.

Figura 9

Intersecciones y puntos de inflexión de las funciones polinómicas

El punto de inflexión de un gráfico es aquel donde el gráfico cambia de dirección de creciente a decreciente o de decreciente a creciente. La intersección en y es el punto donde la función tiene un valor de entrada cero. Las intersecciones en $x$ son los puntos donde el valor de salida es cero.

Cómo

Dada una función polinómica, determinar las intersecciones.

Determine la intersección en y al establecer $x = 0$ y hallar el valor de salida correspondiente.
Determine la intersección en $x$ al resolver los valores de entrada que arrojan un valor de salida de cero.

Ejemplo 8

Determinar las intersecciones de una función polinómica

Dada la función polinómica $f (x) = (x - 2) (x + 1) (x - 4),$ escrita en forma factorizada para su comodidad, determine las intersecciones en $y$ así como las intersecciones en $x$ .

Solución

La intersección en y se produce cuando la entrada es cero, así que sustituya 0 por $x .$

\begin{array}{l} f (0) = (0 - 2) (0 + 1) (0 - 4) \\ = (- 2) (1) (- 4) \\ = 8 \end{array}

La intersección en y es (0, 8).

Las intersecciones x se producen cuando la salida es cero.

\begin{array}{l} 0 = (x - 2) (x + 1) (x - 4) \\ \begin{array}{l} x - 2 = 0 & o & x + 1 = 0 & o & x - 4 = 0 \\ x = 2 & o & x = - 1 & o & x = 4 \end{array} \end{array}

Las intersecciones en $x$ son $(2, 0), (- 1, 0),$ y $(4, 0) .$

Podemos ver estas intersecciones en el gráfico de la función que se presenta en la Figura 10.

Gráfico de f(x)=(x-2)(x+1)(x-4), que marca todas las intersecciones.

Figura 10

Ejemplo 9

Determinar las intersecciones de una función polinómica con factorización

Dada la función polinómica $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} - 45,$ determine las intersecciones en $y$ así como las intersecciones en $x$ .

Solución

La intersección en y se produce cuando la entrada es cero.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} - 45 \end{array} \\ = - 45 \end{array}

La intersección en y es $(0, - 45) .$

Las intersecciones en x se producen cuando la salida es cero. Para determinar cuándo la salida es cero, tendremos que factorizar el polinomio.

\begin{array}{l} f (x) = x^{4} - 4 x^{2} - 45 \\ = (x^{2} - 9) (x^{2} + 5) \\ = (x - 3) (x + 3) (x^{2} + 5) \end{array}

0 = (x - 3) (x + 3) (x^{2} + 5)

\begin{array}{l} x - 3 = 0 & o & x + 3 = 0 & o & x^{2} + 5 = 0 \\ x = 3 & o & x = - 3 & o & (sin solución real) \end{array}

Las intersecciones en x son $(3, 0)$ y $(- 3, 0) .$

Podemos ver estas intersecciones en el gráfico de la función que se presenta en la Figura 11. Podemos ver que la función es de número par porque $f (x) = f (- x) .$

Gráfico de f(x)=x^4-4x^2-45, que marca todas las intersecciones en (-3, 0), (3, 0) y (0, -45).

Figura 11

Inténtelo #6

Dada la función polinómica $f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 20 x,$ determine las intersecciones en $y$ así como las intersecciones en $x$ .

Comparar gráficos suaves y continuos

El grado de una función polinómica nos permite determinar el número de intersecciones en $x$ y el número de puntos de inflexión. Una función polinómica de grado $n$ es el producto de $n$ factores, por lo que tendrá como máximo $n$ raíces o ceros, o bien intersecciones en $x$ . El gráfico de la función polinómica de grado $n$ deberá tener como máximo $n - 1$ puntos de inflexión. Esto significa que el gráfico tiene como máximo un punto de inflexión menos que el grado del polinomio o uno menos que el número de factores.

La función continua no tiene interrupciones en su gráfico, el cual puede dibujarse sin levantar el bolígrafo del papel. La curva suave es un gráfico que no tiene aristas. Los puntos de inflexión de un gráfico suave deberán producirse siempre en curvas redondeadas. Los gráficos de las funciones polinómicas son continuos y suaves.

Intersecciones y puntos de inflexión de los polinomios

Un polinomio de grado $n$ tendrá, a lo sumo, $n$ intersecciones en x y $n - 1$ puntos de inflexión.

Ejemplo 10

Determinar el número de intersecciones y puntos de inflexión de un polinomio

Sin graficar la función, determine el comportamiento local de la función al hallar el número máximo de intersecciones en $x$ y puntos de inflexión para $f (x) = - 3 x^{10} + 4 x^{7} - x^{4} + 2 x^{3} .$

Solución

El polinomio tiene un grado de $10,$ por lo que hay, a lo sumo $10$ $x$ y como máximo $10 - 1 = 9$ puntos de inflexión.

Inténtelo #7

Sin graficar la función, determine el número máximo de intersecciones en $x$ y puntos de inflexión para $f (x) = 108 - 13 x^{9} - 8 x^{4} + 14 x^{12} + 2 x^{3}$

Ejemplo 11

Extraer conclusiones acerca de una función polinómica a partir del gráfico

¿Qué podemos concluir en relación con el polinomio que se representa en el gráfico en la Figura 12, con base en sus intersecciones y puntos de inflexión?

Figura 12

Solución

El comportamiento final del gráfico nos indica que es el gráfico de un polinomio de grado par. Vea la Figura 13.

Gráfico de un polinomio de grado par que denota los puntos de inflexión y las intersecciones.

Figura 13

El gráfico tiene 2 intersecciones en $x$ , lo que sugiere un grado 2 o superior, y 3 puntos de inflexión, lo que sugiere un grado 4 o superior. Con base en esto, sería razonable concluir que el grado es par y al menos 4.

Inténtelo #8

¿Qué podemos concluir con respecto al polinomio que se representa en el gráfico en la Figura 14, con base en sus intersecciones y puntos de inflexión?

Figura 14

Ejemplo 12

Extraer conclusiones acerca de una función polinómica a partir de los factores

Dada la función $f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 4),$ determine el comportamiento local.

Solución

Las intersecciones en $y$ se hallan al evaluar $f (0) .$

\begin{array}{l} f (0) = - 4 (0) (0 + 3) (0 - 4) \\ = 0 \end{array}

La intersección en $y$ es $(0, 0) .$

Las intersecciones en $x$ se hallan al determinar los ceros de la función.

\begin{array}{l} 0 = - 4 x (x + 3) (x - 4) \\ \begin{array}{l} x = 0 & o & x + 3 = 0 & o & x - 4 = 0 \\ x = 0 & o & x = - 3 & o & x = 4 \end{array} \end{array}

Las intersecciones en $x$ son $(0, 0), (- 3, 0),$ y $(4, 0) .$

El grado es 3, por lo que el gráfico tiene como máximo 2 puntos de inflexión.

Inténtelo #9

Dada la función $f (x) = 0,2 (x - 2) (x + 1) (x - 5),$ determine el comportamiento local.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las funciones potencia y polinómicas.

3.3 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique la diferencia entre el coeficiente de una función potencia y su grado.

2.

Si una función polinómica está en forma factorizada, ¿cuál sería el primer paso más conveniente para determinar el grado de la función?

3.

En general, explique el comportamiento final de una función de potencia de grado impar si el coeficiente principal es positivo.

4.

¿Cuál es la relación entre el grado de una función polinómica y el número máximo de puntos de inflexión en su gráfico?

5.

¿Qué podemos concluir si, en general, el gráfico de una función polinómica presenta el siguiente comportamiento final? Dado que $x \to - \infty, f (x) \to - \infty$ y dado que $x \to \infty, f (x) \to - \infty .$

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, identifique la función como función potencia, función polinómica o ninguna de las dos.

6.

$f (x) = x^{5}$

7.

$f (x) = {(x^{2})}^{3}$

8.

$f (x) = x - x^{4}$

9.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

10.

$f (x) = 2 x (x + 2) {(x - 1)}^{2}$

11.

$f (x) = 3^{x + 1}$

En los siguientes ejercicios, halle el grado y el coeficiente principal del polinomio dado.

12.

$- 3 x {}^{4}$

13.

$7 - 2 x^{2}$

14.

$- 2 x^{2} - 3 x^{5} + x - 6$

15.

$x (4 - x^{2}) (2 x + 1)$

16.

$x^{2} {(2 x - 3)}^{2}$

En los siguientes ejercicios, determine el comportamiento final de las funciones.

17.

$f (x) = x^{4}$

18.

$f (x) = x^{3}$

19.

$f (x) = - x^{4}$

20.

$f (x) = - x^{9}$

21.

$f (x) = - 2 x^{4} - 3 x^{2} + x - 1$

22.

$f (x) = 3 x^{2} + x - 2$

23.

$f (x) = x^{2} (2 x^{3} - x + 1)$

24.

$f (x) = {(2 - x)}^{7}$

En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones de las funciones.

25.

$f (t) = 2 (t - 1) (t + 2) (t - 3)$

26.

$g (n) = - 2 (3 n - 1) (2 n + 1)$

27.

$f (x) = x^{4} - 16$

28.

$f (x) = x^{3} + 27$

29.

$f (x) = x (x^{2} - 2 x - 8)$

30.

$f (x) = (x + 3) (4 x^{2} - 1)$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine el menor grado posible de la función polinómica indicada.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico de la función proporcionada es la de una función polinómica. Si es así, determine el número de puntos de inflexión y el menor grado posible para la función.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

Numéricos

En los siguientes ejercicios, construya una tabla para confirmar el comportamiento final de la función.

46.

$f (x) = - x^{3}$

47.

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2}$

48.

$f (x) = x^{2} {(1 - x)}^{2}$

49.

$f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 - x)$

50.

$f (x) = \frac{x^{5}}{10} - x^{4}$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones polinómicas con la ayuda de la calculadora. A partir del gráfico, determine las intersecciones y el comportamiento final.

51.

$f (x) = x^{3} (x - 2)$

52.

$f (x) = x (x - 3) (x + 3)$

53.

$f (x) = x (14 - 2 x) (10 - 2 x)$

54.

$f (x) = x (14 - 2 x) {(10 - 2 x)}^{2}$

55.

$f (x) = x^{3} - 16 x$

56.

$f (x) = x^{3} - 27$

57.

$f (x) = x^{4} - 81$

58.

$f (x) = - x^{3} + x^{2} + 2 x$

59.

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 15 x$

60.

$f (x) = x^{3} - 0,01 x$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, disponga de la información acerca del gráfico de una función polinómica para determinar la función. Supongamos que el coeficiente principal es 1 o -1. Puede haber más de una respuesta correcta.

61.

La intersección en $y$ es $(0, - 4) .$ La intersección en $x$ son $(- 2, 0), (2, 0) .$ El grado es 2.

Comportamiento final: $dado que x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$ , $dado que x \to \infty, f (x) \to \infty .$

62.

La intersección en $y$ es $(0, 9) .$ La intersección en $x$ son $(- 3, 0), (3, 0) .$ El grado es 2.

Comportamiento final: $dado que x \to - \infty$ , $f (x) \to - \infty$ , $dado que x \to \infty$ , $f (x) \to - \infty .$

63.

La intersección en $y$ es $(0, 0) .$ La intersección en $x$ son $(0, 0), (2, 0) .$ El grado es 3.

Comportamiento final: $dado que x \to - \infty$ , $f (x) \to - \infty$ , $dado que x \to \infty$ , $f (x) \to \infty .$

64.

La intersección en $y$ es $(0, 1) .$ La intersección en $x$ es $(1, 0) .$ El grado es 3.

Comportamiento final: $dado que x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$ , $dado que x \to \infty$ , $f (x) \to - \infty .$

65.

La intersección en $y$ es $(0, 1) .$ No hay intersección en $x$ . El grado es 4.

Comportamiento final: $dado que x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$ , $dado que x \to \infty$ , $f (x) \to \infty .$

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice los enunciados escritos para construir una función polinómica que represente la información requerida.

66.

Un derrame de petróleo se expande como un círculo. El radio del círculo aumenta a razón de 20 metros por día. Exprese el área del círculo como función de $d,$ el número de días transcurridos.

67.

Un cubo tiene un borde de 3 pies. El borde aumenta a un ritmo de 2 pies por minuto. Exprese el volumen del cubo como función de $m,$ el número de minutos transcurridos.

68.

Un rectángulo tiene una longitud de 10 pulgadas y una anchura de 6 pulgadas. Si la longitud se incrementa en $x$ pulgadas y la anchura aumentada en el doble de esa cantidad, exprese el área del rectángulo como función de $x .$

69.

Hay que construir una caja abierta al recortar esquinas cuadradas de lados de $x$ pulgadas de un pedazo de cartón de 8 por 8 pulgadas y luego doblar los lados. Exprese el volumen de la caja como función de $x .$

70.

Un rectángulo es el doble de largo que de ancho. Se cortan cuadrados de 2 pies de lado de cada esquina. A continuación, se doblan los lados para formar una caja abierta. Exprese el volumen de la caja como función de la anchura ( $x$ ).

3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas

Identificar las funciones potencia

Identificar las funciones potencia

Solución

Identificar el comportamiento final de las funciones potencia

Identificar el comportamiento final de una función potencia

Solución

Identificar el comportamiento final de una función potencia.

Solución

Análisis

Identificar funciones polinómicas

Identificar funciones polinómicas

Solución

Identificar el grado y el coeficiente principal de una función polinómica

Identificar el grado y el coeficiente principal de una función polinómica

Solución

Identificar el comportamiento final de las funciones polinómicas

Identificar el comportamiento final y el grado de una función polinómica

Solución

Identificar el comportamiento final y el grado de una función polinómica

Solución

Identificar el comportamiento local de las funciones polinómicas

Determinar las intersecciones de una función polinómica

Solución

Determinar las intersecciones de una función polinómica con factorización

Solución

Comparar gráficos suaves y continuos

Determinar el número de intersecciones y puntos de inflexión de un polinomio

Solución

Extraer conclusiones acerca de una función polinómica a partir del gráfico

Solución

Extraer conclusiones acerca de una función polinómica a partir de los factores

Solución

3.3 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Numéricos

En tecnología

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real