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Precálculo 2ed

Capítulo 3

Precálculo 2edCapítulo 3

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Inténtelo

3.1 Números complejos

1.

24 =0+2 i 6 24 =0+2 i 6

2.
Gráfico del punto trazado, -4-i.
3.

(3-4i)-(2 +5i)=1-9i (3-4i)-(2 +5i)=1-9i

4.

824i 824i

5.

18+i 18+i

6.

10229i 10229i

7.

- 3 17 + 5i 17 - 3 17 + 5i 17

3.2 Funciones cuadráticas

1.

La trayectoria pasa por el origen y tiene el vértice en ( -4,7 ), ( -4,7 ), tal que (h)x= 7 16 (x+4) 2 +7. (h)x= 7 16 (x+4) 2 +7. Para hacer el lanzamiento, h( 7,5 ) h( 7,5 ) tendría que ser de unos 4 pero h(7,5)1,64; h(7,5)1,64; no lo consigue.

2.

g(x)= x 2 -6x+13 g(x)= x 2 -6x+13 en forma general; g(x)= (x-3) 2 +4 g(x)= (x-3) 2 +4 en forma estándar

3.

El dominio son todos los números reales. El rango es f(x) 8 11 , f(x) 8 11 , o [ 8 11 , ). [ 8 11 , ).

4.

Intersección en y en (0, 13). No hay intersecciones en x x .

5.
  1. 3 segundos
  2. 256 pies
  3. 7 segundos

3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas

1.

f(x) f(x) es una función potencia porque se puede escribir como f(x)=8 x 5 . f(x)=8 x 5 . Las demás funciones no son de potencia.

2.

Dado que x x se acerca al infinito positivo o negativo, f( x ) f( x ) disminuye sin límite: a medida que x± x±, f(x)- f(x)- debido al coeficiente negativo.

3.

El grado es 6. El término principal es x 6 . x 6 . El coeficiente principal es 1. 1.

4.

Dado que x,f(x)-;asx-,f(x)-. x,f(x)-;asx-,f(x)-. Tiene la forma de una función de potencia de grado par con un coeficiente negativo.

5.

El término principal es 0,2 x 3 , 0,2 x 3 , por lo que es un polinomio de grado 3. A medida que x x se acerca al infinito positivo, f( x ) f( x ) aumenta sin límites; a medida que x x se acerca al infinito negativo, f( x ) f( x ) disminuye sin límites.

6.

intersección en y (0,0); (0,0); intersecciones en x (0,0),(2 ,0), (0,0),(2 ,0), y (5,0) (5,0)

7.

Hay, a lo sumo, 12 intersecciones en x x y como máximo 11 puntos de inflexión.

8.

El comportamiento final indica una función polinómica de grado impar; hay 3 intersecciones en x x y 2 puntos de inflexión, por lo que el grado es impar y al menos 3. Por el comportamiento final, sabemos que el coeficiente principal deberá ser negativo.

9.

Las intersecciones en x x son (2 ,0),(-1,0), (2 ,0),(-1,0), y (5,0), (5,0), la intersección en y es (0,2 ), (0,2 ), y el gráfico tiene como máximo 2 puntos de inflexión.

3.4 Gráfico de funciones polinómicas

1.

intersección en y (0,0); (0,0); intersecciones en x (0,0),(5,0),(2 ,0), (0,0),(5,0),(2 ,0), y (3,0) (3,0)

2.

El gráfico tiene un cero de −5 con multiplicidad 3, un cero de −1 con multiplicidad 2 y un cero de 3 con multiplicidad 2.

3.
Gráfico de f(x)=(1/4)x(x-1)^4(x+3)^3.
4.

Debido a que f f es una función polinómica y dado que f(1) f(1) es negativo y f(2 ) f(2 ) es positivo, hay al menos un cero real entre x=1 x=1 y x=2. x=2.

5.

f(x)=- 1 8 (x-2 ) 3 (x+1) 2 (x-4) f(x)=- 1 8 (x-2 ) 3 (x+1) 2 (x-4)

6.

El mínimo se produce aproximadamente en el punto (0,6,5), (0,6,5), y el máximo se produce aproximadamente en el punto (3,5,7). (3,5,7).

3.5 Dividir polinomios

1.

4 x 2 -8x+15 78 4x+5 4 x 2 -8x+15 78 4x+5

2.

3 x 3 -3 x 2 +21x150+ 1,090 x+7 3 x 3 -3 x 2 +21x150+ 1,090 x+7

3.

3 x 2 -4x+1 3 x 2 -4x+1

3.6 Ceros de funciones polinómicas

1.

f(-3)=412 f(-3)=412

2.

Los ceros son 2, –2 y –4.

3.

No hay ceros racionales.

4.

Los ceros son –4,  1 2 , y 1. –4,  1 2 , y 1.

5.

f(x)=- 1 2 x 3 + 5 2 x 2 -2 x+10 f(x)=- 1 2 x 3 + 5 2 x 2 -2 x+10

6.

Deberá haber 4, 2 o 0 raíces reales positivas y 0 raíces reales negativas. El gráfico muestra que hay 2 ceros reales positivos y 0 ceros reales negativos.

7.

3 por 4 por 7 metros

3.7 Funciones racionales

1.

Comportamiento final: dado que x±,f(x)0; x±,f(x)0; Comportamiento local: dado que x0,f(x) x0,f(x) (no hay intersecciones en x o en y)

2.
Gráfico de f(x)=1/(x-3)^2-4 con su asíntota vertical en x=3 y su asíntota horizontal en y=-4.

La función y las asíntotas están desplazadas 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo. Dado que x3,f(x), x3,f(x), y dado que x±,f(x)4. x±,f(x)4.

La función es f(x)= 1 (x-3) 2 4. f(x)= 1 (x-3) 2 4.

3.

12 11 12 11

4.

El dominio son todos los números reales, excepto x=1 x=1 y x=5. x=5.

5.

Discontinuidad removible en x=5. x=5. Asíntotas verticales x=0,x=1. x=0,x=1.

6.

Asíntotas verticales en x=2 x=2 y x=3; x=3; asíntota horizontal en y=4. y=4.

7.

Para la función recíproca transformada al cuadrado, hallamos la forma racional f(x)= 1 (x-3) 2 -4= 1-4 (x-3) 2 (x-3) 2 = 1-4( x 2 -6x+9) (x-3)(x-3) = 4 x 2 +24x35 x 2 -6x+9 f(x)= 1 (x-3) 2 -4= 1-4 (x-3) 2 (x-3) 2 = 1-4( x 2 -6x+9) (x-3)(x-3) = 4 x 2 +24x35 x 2 -6x+9

Ya que el numerador es del mismo grado que el denominador, sabemos que, dado que x±,f(x)4;por lo quey=4 x±,f(x)4;por lo quey=4 es la asíntota horizontal. A continuación, igualamos el denominador a cero, y hallamos que la asíntota vertical es x=3, x=3, porque, dado que x3,f(x). x3,f(x). A continuación, igualamos el numerador a 0 y hallamos que las intersecciones en x están en (2,5,0) (2,5,0) y (3,5,0). (3,5,0). Por último, evaluamos la función en 0 y hallamos que la intersección en y está en ( 0, -35 9 ). ( 0, -35 9 ).

8.

Asíntota horizontal en y= 1 2 . y= 1 2 . Asíntotas verticales en x=1yx=3. x=1yx=3. intersección en y, en ( 0, 4 3 . ) ( 0, 4 3 . )

intersecciones en x en (2 ,0) y (2 ,0). (2 ,0) y (2 ,0). (2 ,0) (2 ,0) es un cero con multiplicidad 2, y el gráfico rebota en el eje x en este punto. (2 ,0) (2 ,0) es un solo cero y el gráfico cruza el eje en este punto.

Gráfico de f(x)=(x+2)^2(x-2)/2(x-1)^2(x-3) con sus asíntotas vertical y horizontal.

3.8 Inversas y funciones radicales

1.

f 1 ( f( x ) )= f 1 ( x+5 3 )=3( x+5 3 )-5=( x-5 )+5=x f 1 ( f( x ) )= f 1 ( x+5 3 )=3( x+5 3 )-5=( x-5 )+5=x y f( f 1 ( x ) )=f( 3x-5 )= ( 3x-5 )+5 3 = 3x 3 =x f( f 1 ( x ) )=f( 3x-5 )= ( 3x-5 )+5 3 = 3x 3 =x

2.

f 1 (x)= x 3 -4 f 1 (x)= x 3 -4

3.

f 1 (x)= x1 f 1 (x)= x1

4.

f 1 (x)= x 2 -3 2 ,x0 f 1 (x)= x 2 -3 2 ,x0

5.

f 1 (x)= 2 x+3 x1 f 1 (x)= 2 x+3 x1

3.9 Modelado mediante la variación

1.

128 3 128 3

2.

9 2 9 2

3.

x=20 x=20

3.1 Ejercicios de sección

1.

Sume las partes reales y las partes imaginarias.

3.

i i veces i i es igual a –1, que no es imaginario. (Las respuestas varían).

5.

8+2 i 8+2 i

7.

14+7i 14+7i

9.

23 29 + 15 29 i 23 29 + 15 29 i

11.

2 reales y 0 no reales

13.
Gráfico del punto trazado, 1-2i.
15.
Gráfico del punto trazado, i.
17.

8i 8i

19.

11+4i 11+4i

21.

2 -5i 2 -5i

23.

6+15i 6+15i

25.

16+32i 16+32i

27.

-4-7i -4-7i

29.

25

31.

2 - 2 3 i 2 - 2 3 i

33.

46i 46i

35.

2 5 + 11 5 i 2 5 + 11 5 i

37.

15i 15i

39.

1+i 3 1+i 3

41.

1 1

43.

-1 -1

45.

128i

47.

( 3 2 + 1 2 i ) 6 =-1 ( 3 2 + 1 2 i ) 6 =-1

49.

3i 3i

51.

0

53.

5 – 5i

55.

-2 i -2 i

57.

9 2 - 9 2 i 9 2 - 9 2 i

3.2 Ejercicios de sección

1.

Cuando se escribe de esa forma, el vértice se identifica fácilmente.

3.

Si los valores de a=0 a=0 entonces la función se convierte en una función lineal.

5.

Si es posible, podemos utilizar la factorización. Si no, podemos utilizar la fórmula cuadrática.

7.

g(x)= (x+1) 2 -4, g(x)= (x+1) 2 -4, Vértice ( -1,-4 ) ( -1,-4 )

9.

f(x)= ( x+ 5 2 ) 2 33 4 , f(x)= ( x+ 5 2 ) 2 33 4 , Vértice ( - 5 2 , 33 4 ) ( - 5 2 , 33 4 )

11.

f(x)=3 (x1) 2 -12, f(x)=3 (x1) 2 -12, Vértice (1,12) (1,12)

13.

f(x)=3 ( x- 5 6 ) 2 37 12 , f(x)=3 ( x- 5 6 ) 2 37 12 , Vértice ( 5 6 , 37 12 ) ( 5 6 , 37 12 )

15.

El mínimo es 17 2 17 2 y se produce en 5 2 . 5 2 . El eje de simetría es x= 5 2 . x= 5 2 .

17.

El mínimo es 17 16 17 16 y se produce en 1 8 . 1 8 . El eje de simetría es x=- 1 8 . x=- 1 8 .

19.

El mínimo es 7 2 7 2 y se produce en 3. 3. El eje de simetría es x=3, x=3,

21.

El dominio es ( -, ). ( -, ). El rango es [2 ,). [2 ,).

23.

El dominio es ( -, ). ( -, ). El rango es [5,). [5,).

25.

El dominio es ( -, ). ( -, ). El rango es [12,). [12,).

27.

{ 2 i 2 ,-2 i 2 } { 2 i 2 ,-2 i 2 }

29.

{ 3i 3 ,-3i 3 } { 3i 3 ,-3i 3 }

31.

{2 +i,2 i} {2 +i,2 i}

33.

{2 +3i,2 -3i} {2 +3i,2 -3i}

35.

{5+i,5i} {5+i,5i}

37.

{2 +2 6 ,2 -2 6 } {2 +2 6 ,2 -2 6 }

39.

{ - 1 2 + 3 2 i,- 1 2 - 3 2 i } { - 1 2 + 3 2 i,- 1 2 - 3 2 i }

41.

{ 3 5 + 1 5 i,- 3 5 - 1 5 i } { 3 5 + 1 5 i,- 3 5 - 1 5 i }

43.

{ - 1 2 + 1 2 i 7 ,- 1 2 1 2 i 7 } { - 1 2 + 1 2 i 7 ,- 1 2 1 2 i 7 }

45.

f(x)= x 2 -4x+4 f(x)= x 2 -4x+4

47.

f(x)= x 2 +1 f(x)= x 2 +1

49.

f(x)= 6 49 x 2 + 60 49 x+ 297 49 f(x)= 6 49 x 2 + 60 49 x+ 297 49

51.

f(x)=- x 2 +1 f(x)=- x 2 +1

53.
Gráfico de f(x) = x^2-2x

Vértice ( 1,-1 ). ( 1,-1 ). El eje de simetría es x=1. x=1. Las intersecciones son (0,0),(2 ,0). (0,0),(2 ,0).

55.
Gráfico de f(x)x^2-5x-6

Vértice ( 5 2 , 49 4 ). ( 5 2 , 49 4 ). El eje de simetría es x= 5 2 , x= 5 2 ,: (6,0), (-1,0). (6,0), (-1,0).

57.
Gráfico de f(x)=-2x^2+5x-8

Vértice ( 5 4 , 39 8 ). ( 5 4 , 39 8 ). El eje de simetría es x= 5 4 . x= 5 4 . Las intersecciones son ( 0,8 ). ( 0,8 ).

59.

f(x)= x 2 -4x+1 f(x)= x 2 -4x+1

61.

f(x)=-2 x 2 +8x1 f(x)=-2 x 2 +8x1

63.

f(x)= 1 2 x 2 -3x+ 7 2 f(x)= 1 2 x 2 -3x+ 7 2

65.

f(x)= x 2 +1 f(x)= x 2 +1

67.

f(x)=2 - x 2 f(x)=2 - x 2

69.

f(x)=2 x 2 f(x)=2 x 2

71.

El gráfico se desplaza hacia arriba o hacia abajo (desplazamiento vertical).

73.

50 pies

75.

El dominio es (-,). (-,). El rango es [-2 ,). [-2 ,).

77.

El dominio es (-,) (-,) El rango es (-,11]. (-,11].

79.

f(x)=2 x 2 1 f(x)=2 x 2 1

81.

f(x)=3 x 2 -9 f(x)=3 x 2 -9

83.

f(x)=5 x 2 77 f(x)=5 x 2 77

85.

50 por 50 pies. Maximice f(x)=- x 2 +100x. f(x)=- x 2 +100x.

87.

125 por 62,5 pies. Maximice f(x)=-2 x 2 +250x. f(x)=-2 x 2 +250x.

89.

6 6 y 6; 6; el producto es -36; maximice f(x)= x 2 +12x. f(x)= x 2 +12x.

91.

2.909,56 metros

93.

$10,70

3.3 Ejercicios de sección

1.

El coeficiente de la función potencia es el número real que se multiplica por la variable elevada a una potencia. El grado es la potencia más elevada que aparece en la función.

3.

En la medida en que x x disminuye sin límite, también lo hace f( x ). f( x ). Dado que x x aumenta sin límite, también lo hace f( x ). f( x ).

5.

La función polinómica es de grado par y el coeficiente principal es negativo.

7.

f(x)f(x) es una función potencia porque contiene una base variable elevada a una potencia fija. También es un polinomio, donde todos los coeficientes, excepto uno, son iguales a cero.

9.

Ninguna de las dos

11.

Ninguna de las dos

13.

Grado = 2, coeficiente = -2

15.

Grado =4, coeficiente = -2

17.

Dado que x x, f(x)f(x), dado que x-x-, f(x) f(x)

19.

Dado que x- x-, f(x)-f(x)-, dado que xx, f(x)- f(x)-

21.

Dado que x- x-, f(x)-f(x)-, dado que xx, f(x)- f(x)-

23.

Dado que xx, f(x)f(x), dado que x-x-,f(x)- f(x)-

25.

la intersección en y es (0,12), (0,12), las intersecciones en t son (1,0);(2 ,0);(3,0). (1,0);(2 ,0);(3,0).

27.

la intersección en y es (0,16). (0,16). las intersecciones en x son (2 ,0) (2 ,0) y (2 ,0). (2 ,0).

29.

la intersección en y es (0,0). (0,0). las intersecciones en x son (0,0),(4,0), (0,0),(4,0), y ( 2 ,0 ). ( 2 ,0 ).

31.

3

33.

5

35.

3

37.

5

39.

Sí. El número de puntos de inflexión es 2. El menor grado posible es el 3.

41.

Sí. El número de puntos de inflexión es 1. El menor grado posible es el 2.

43.

Sí. El número de puntos de inflexión es 0. El menor grado posible es el 1.

44.

No.

45.

Sí. El número de puntos de inflexión es 0. El menor grado posible es el 1.

47.
x x f( x ) f( x )
10 9.500
100 99.950.000
-10 9.500
–100 99.950.000

dado que x- x-, f(x)f(x), dado que xx, f(x) f(x)

49.
x x f( x ) f( x )
10 –504
100 –941.094
-10 1,716
–100 1.061.106

dado que x- x-, f(x)f(x), dado que xx, f(x)- f(x)-

51.
Gráfico de f(x)=x^3(x-2).

La intersección en y y es ( 0,0 ). ( 0,0 ). La intersección en x x son ( 0,0 ),( 2 ,0 ). ( 0,0 ),( 2 ,0 ). Dado que x- x-, f(x)f(x), dado que xx, f(x) f(x)

53.
Gráfico de f(x)=x(14-2x)(10-2x).

La intersección en y y es ( 0,0 ) ( 0,0 ) . Las intersecciones en x x son ( 0,0 ),( 5,0 ),( 7,0 ). ( 0,0 ),( 5,0 ),( 7,0 ). Dado que x- x-, f(x)f(x), dado que xx, f(x) f(x)

55.

La intersección en y y es ( 0,0 ). ( 0,0 ). La intersección en x x es ( -4,0 ),( 0,0 ),( 4,0 ). ( -4,0 ),( 0,0 ),( 4,0 ). Dado que x- x-, f(x)f(x), dado que xx, f(x) f(x)

57.
Gráfico de f(x)=x^3-27.

La intersección en y y es ( 0,81 ). ( 0,81 ). La intersección en x x son ( 3,0 ),( -3,0 ). ( 3,0 ),( -3,0 ). Dado que x- x-, f(x)f(x), dado que xx, f(x) f(x)

59.
Gráfico de f(x)=-x^3+x^2+2x.

La intersección en y y es ( 0,0 ). ( 0,0 ). La intersección en x x son ( -3,0 ),( 0,0 ),( 5,0 ). ( -3,0 ),( 0,0 ),( 5,0 ). Dado que x- x-, f(x)f(x), dado que xx, f(x) f(x)

61.

f(x)= x 2 -4 f(x)= x 2 -4

63.

f(x)= x 3 -4 x 2 +4x f(x)= x 3 -4 x 2 +4x

65.

f(x)= x 4 +1 f(x)= x 4 +1

67.

V(m)=8 m 3 +36 m 2 +54m+27 V(m)=8 m 3 +36 m 2 +54m+27

69.

V(x)=4 x 3 32 x 2 +64x V(x)=4 x 3 32 x 2 +64x

3.4 Ejercicios de sección

1.

Las intersecciones en x x es donde el gráfico de la función cruza el eje x x , y el cero de la función es el valor de entrada para el que f(x)=0. f(x)=0.

3.

Si evaluamos la función en a a y en b b y el signo del valor de la función cambia, entonces sabemos que existe un cero entre a a y b. b.

5.

Habrá un factor elevado a una potencia par.

7.

(2 ,0),(3,0),(-5,0) (2 ,0),(3,0),(-5,0)

9.

(3,0),(-1,0),(0,0) (3,0),(-1,0),(0,0)

11.

( 0,0 ),( -5,0 ),( 2 ,0 ) ( 0,0 ),( -5,0 ),( 2 ,0 )

13.

( 0,0 ),( -5,0 ),( 4,0 ) ( 0,0 ),( -5,0 ),( 4,0 )

15.

( 2 ,0 ),( 2 ,0 ),( -1,0 ) ( 2 ,0 ),( 2 ,0 ),( -1,0 )

17.

(2 ,0),(2 ,0),( 1 2 ,0 ) (2 ,0),(2 ,0),( 1 2 ,0 )

19.

( 1,0 ),( -1,0 ) ( 1,0 ),( -1,0 )

21.

(0,0),( 3 ,0),(- 3 ,0) (0,0),( 3 ,0),(- 3 ,0)

23.

( 0,0 ) ( 0,0 ), ( 1,0 )( 1,0 ), ( -1,0 )( -1,0 ), ( 2 ,0 )( 2 ,0 ), ( 2 ,0 ) ( 2 ,0 )

25.

f( 2 )=10 f( 2 )=10 y f( 4 )=28. f( 4 )=28. Se confirma el cambio de signo.

27.

f( 1 )=3 f( 1 )=3 y f( 3 )=77. f( 3 )=77. Se confirma el cambio de signo.

29.

f( 0,01 )=1,000001 f( 0,01 )=1,000001 y f( 0,1 )=7,999. f( 0,1 )=7,999. Se confirma el cambio de signo.

31.

0 con multiplicidad 2, 3 2 3 2 con multiplicidad 5, 4 con multiplicidad 2

33.

0 con multiplicidad 2, –2 con multiplicidad 2

35.

- 2 3 - 2 3 con multiplicidad 5,55,5 con multiplicidad 2 2

37.

0 0 con multiplicidad 4,2 4,2 con multiplicidad 1,11,1 con multiplicidad 1 1

39.

3 2 3 2 con multiplicidad 2, 0 con multiplicidad 3

41.

0 0 con multiplicidad 6, 2 3 6, 2 3 con multiplicidad 2 2

43.

intersecciones en x, ( 1, 0 ) ( 1, 0 ) con multiplicidad 2, con intersección en ( 4, 0 ) ( 4, 0 ) con multiplicidad 1, intersección en y y ( 0, 4 ) ( 0, 4 ) . Dado que x-x-, g(x)-g(x)-, dado que xx, g(x)g(x).

Gráfico de g(x)=(x+4)(x-1)^2.
45.

intersecciones en x (3,0) (3,0) con multiplicidad 3, (2 ,0) (2 ,0) con multiplicidad 2, con intersección en y y (0,108) (0,108) . Dado que x-x-, k(x)-k(x)-, dado que x x, k(x). k(x).

Gráfico de k(x)=(x-3)^3(x-2)^2.
47.

intersecciones en x (0, 0 ), (2, 0), (4, 0) (0, 0 ), (2, 0), (4, 0) con multiplicidad 1, intersección en y y (0, 0). (0, 0). Dado que x- x-, n(x)n(x), dado que xx, n(x)-. n(x)-.

Gráfico de n(x)=-3x(x+2)(x-4).
49.

f(x)=- 2 9 (x-3)(x+1)(x+3) f(x)=- 2 9 (x-3)(x+1)(x+3)

51.

f(x)= 1 4 (x+2 ) 2 (x-3) f(x)= 1 4 (x+2 ) 2 (x-3)

53.

-4, -2, 1, 3 con multiplicidad 1

55.

-2, 3 cada uno con multiplicidad 2

57.

f(x)=- 2 3 (x+2 )(x1)(x-3) f(x)=- 2 3 (x+2 )(x1)(x-3)

59.

f(x)= 1 3 (x-3) 2 (x1) 2 (x+3) f(x)= 1 3 (x-3) 2 (x1) 2 (x+3)

61.

f(x)=−15 (x1) 2 (x-3) 3 f(x)=−15 (x1) 2 (x-3) 3

63.

f(x)=-2 ( x+3 )( x+2 )( x1 ) f(x)=-2 ( x+3 )( x+2 )( x1 )

65.

f(x)=- 3 2 ( 2 x1 ) 2 ( x-6 )( x+2 ) f(x)=- 3 2 ( 2 x1 ) 2 ( x-6 )( x+2 )

67.

máximo local ( .58, –0,62 ), ( .58, –0,62 ), mínimo local ( .58, –10,38 ) ( .58, –10,38 )

69.

mínimo global ( .63, –0,47 ) ( .63, –0,47 )

71.

mínimo global (0,75, 0,89) (0,75, 0,89)

73.

f(x)= (x500) 2 (x+200) f(x)= (x500) 2 (x+200)

75.

f(x)=4 x 3 36 x 2 +80x f(x)=4 x 3 36 x 2 +80x

77.

f(x)=4 x 3 36 x 2 +60x+100 f(x)=4 x 3 36 x 2 +60x+100

79.

f(x)=9π( x 3 +5 x 2 +8x+4) f(x)=9π( x 3 +5 x 2 +8x+4)

3.5 Ejercicios de sección

1.

El binomio es un factor del polinomio.

3.

x+6+ 5 x 1 x+6+ 5 x 1 , cociente x+6 x+6 , restante: 5 5

5.

3x+2 3x+2 , cociente: 3x+2 3x+2 , restante: 0 0

7.

x-5 x-5, cociente x-5 x-5, restante: 0 0

9.

2 x-7+ 16 x+2 2 x-7+ 16 x+2 , cociente 2 x-7 2 x-7, restante: 16 16

11.

x-2 + 6 3x+1 x-2 + 6 3x+1 , cociente x-2 x-2 , restante: 6 6

13.

2 x 2 -3x+5 2 x 2 -3x+5 , cociente 2 x 2 -3x+5 2 x 2 -3x+5, restante: 0 0

15.

2 x 2 +2 x+1+ 10 x-4 2 x 2 +2 x+1+ 10 x-4

17.

2 x 2 -7x+1- 2 2 x+1 2 x 2 -7x+1- 2 2 x+1

19.

3 x 2 11x+34 106 x+3 3 x 2 11x+34 106 x+3

21.

x 2 +5x+1 x 2 +5x+1

23.

4 x 2 21x+84 323 x+4 4 x 2 21x+84 323 x+4

25.

x 2 14x+49 x 2 14x+49

27.

3 x 2 +x+ 2 3x1 3 x 2 +x+ 2 3x1

29.

x 3 -3x+1 x 3 -3x+1

31.

x 3 - x 2 +2 x 3 - x 2 +2

33.

x 3 -6 x 2 +12x-8 x 3 -6 x 2 +12x-8

35.

x 3 -9 x 2 +27x-27 x 3 -9 x 2 +27x-27

37.

2 x 3 -2 x+2 2 x 3 -2 x+2

39.

( x-2 )(3 x 3 -5) ( x-2 )(3 x 3 -5)

41.

( x-2 )(4 x 3 +8 x 2 +x+2 ) ( x-2 )(4 x 3 +8 x 2 +x+2 )

43.

No

45.

(x1)( x 2 +2 x+4) (x1)( x 2 +2 x+4)

47.

(x-5)( x 2 +x+1) (x-5)( x 2 +x+1)

49.

Cociente: 4 x 2 +8x+164 x 2 +8x+16, restante: 1 1

51.

Cociente: 3 x 2 +3x+53 x 2 +3x+5, restante: 0 0

53.

Cociente: x 3 -2 x 2 +4x-8 x 3 -2 x 2 +4x-8, restante: 6 6

55.

x 6 - x 5 + x 4 - x 3 + x 2 -x+1 x 6 - x 5 + x 4 - x 3 + x 2 -x+1

57.

x 3 - x 2 +x1+ 1 x+1 x 3 - x 2 +x1+ 1 x+1

59.

1+ 1+i xi 1+ 1+i xi

61.

1+ 1i x+i 1+ 1i x+i

63.

x 2 ix1+ 1i xi x 2 ix1+ 1i xi

65.

2 x 2 +3 2 x 2 +3

67.

2 x+3 2 x+3

69.

x+2 x+2

71.

x-3 x-3

73.

3 x 2 -2 3 x 2 -2

3.6 Ejercicios de sección

1.

El teorema se puede utilizar para evaluar un polinomio.

3.

Los ceros racionales pueden expresarse como fracciones, mientras que los ceros reales incluyen números irracionales.

5.

Las funciones polinómicas pueden tener ceros repetidos, por lo que el hecho de que un número sea un cero no excluye que vuelva a serlo.

7.

106 106

9.

0 0

11.

255 255

13.

-1 -1

15.

-2 ,1, 1 2 -2 ,1, 1 2

17.

-2 -2

19.

-3 -3

21.

- 5 2 , 6 , 6 - 5 2 , 6 , 6

23.

2,-4,- 3 2 2,-4,- 3 2

25.

4,-4,-5 4,-4,-5

27.

5,-3,- 1 2 5,-3,- 1 2

29.

1 2 , 1+ 5 2 , 1- 5 2 1 2 , 1+ 5 2 , 1- 5 2

31.

3 2 3 2

33.

2,3,-1,-2 2,3,-1,-2

35.

1 2 ,- 1 2 ,2 ,-3 1 2 ,- 1 2 ,2 ,-3

37.

-1,-1, 5 ,- 5 -1,-1, 5 ,- 5

39.

- 3 4 ,- 1 2 - 3 4 ,- 1 2

41.

2,3+2 i,3-2 i 2,3+2 i,3-2 i

43.

- 2 3 ,1+2 i,1-2 i - 2 3 ,1+2 i,1-2 i

45.

- 1 2 ,1+4i,1-4i - 1 2 ,1+4i,1-4i

47.

1 positivo, 1 negativo

Gráfico de f(x)=x^4-x^2-1.
49.

3 o 1 positivo, 0 negativo

Gráfico de f(x)=x^3-2x^2+x-1.
51.

0 positivo, 3 o 1 negativo

Gráfico de f(x)=2x^3+37x^2+200x+300.
53.

2 o 0 positivo, 2 o 0 negativo

Gráfico de f(x)=2x^4-5x^3-5x^2+5x+3.
55.

2 o 0 positivo, 2 o 0 negativo

Gráfico de f(x)=10x^4-21x^2+11.
57.

±5,±1,1,± 5 2 ±5,±1,1,± 5 2

59.

±1,±1, 1 2 ,±1, 1 3 ,±1, 1 6 ±1,±1, 1 2 ,±1, 1 3 ,±1, 1 6

61.

1, 1 2 ,- 1 3 1, 1 2 ,- 1 3

63.

2, 1 4 ,- 3 2 2, 1 4 ,- 3 2

65.

5 4 5 4

67.

f(x)= 4 9 ( x 3 + x 2 -x1 ) f(x)= 4 9 ( x 3 + x 2 -x1 )

69.

f(x)=- 1 5 ( 4 x 3 -x ) f(x)=- 1 5 ( 4 x 3 -x )

71.

8 por 4 por 6 pulgadas

73.

5,5 por 4,5 por 3,5 pulgadas

75.

8 por 5 por 3 pulgadas

77.

Radio = 6 metros, altura = 2 metros

79.

Radio = 2,5 metros, altura = 4,5 metros

3.7 Ejercicios de sección

1.

La función racional se representa por un cociente de funciones polinómicas.

3.

El numerador y el denominador deberán tener un factor común.

5.

Sí. El numerador de la fórmula de las funciones solo tendría raíces complejas o factores comunes al numerador y al denominador.

7.

Todos los reales x1,1 Todos los reales x1,1

9.

Todos los reales x1,2 ,1,2 Todos los reales x1,2 ,1,2

11.

A.V. en x= 2 5 ; x= 2 5 ; A.H. en y=0. y=0. El dominio son todos los reales x 2 5 x 2 5

13.

A.V. en x=4,9; x=4,9; A.H. en y=0. y=0. El dominio son todos los reales x4,9 x4,9

15.

A.V. en x=0,4,-4; x=0,4,-4; A.H. en y=0. y=0. El dominio son todos los reales x0,4,4 x0,4,4

17.

A.V. en x=5; x=5; A.H. en y=0. y=0. El dominio son todos los reales x5,-5 x5,-5

19.

A.V. en x= 1 3 ; x= 1 3 ; A.H. en y=- 2 3 . y=- 2 3 . El dominio son todos los reales x 1 3 . x 1 3 .

21.

ninguno

23.

x no interseca ninguno, y interseca ( 0, 1 4 ) x no interseca ninguno, y interseca ( 0, 1 4 )

25.

Comportamiento local: x- 1 2 + ,f(x)-,x- 1 2 ,f(x) x- 1 2 + ,f(x)-,x- 1 2 ,f(x)

Comportamiento final: x±,f(x) 1 2 x±,f(x) 1 2

27.

Comportamiento local: x 6 + ,f(x)-,x 6 ,f(x), x 6 + ,f(x)-,x 6 ,f(x), Comportamiento final: x±,f(x)-2 x±,f(x)-2

29.

Comportamiento local: x 1 3 + ,f(x),x 1 3 - , x 1 3 + ,f(x),x 1 3 - , f(x)-,x 5 2 ,f(x),x 5 2 + f(x)-,x 5 2 ,f(x),x 5 2 + , f(x)- f(x)-


Comportamiento final: x±, x±, f(x) 1 3 f(x) 1 3

31.

y=2 x+4 y=2 x+4

33.

y=2 x y=2 x

35.

V.A.x=0,H.A.y=2 V.A.x=0,H.A.y=2

Gráfico de una función racional.
37.

V.A.x=2 ,H.A.y=0 V.A.x=2 ,H.A.y=0

Gráfico de una función racional.
39.

V.A.x=4,H.A.y=2 ;( 3 2 ,0 );( 0,- 3 4 ) V.A.x=4,H.A.y=2 ;( 3 2 ,0 );( 0,- 3 4 )

Gráfico de p(x)=(2x-3)/(x+4) con su asíntota vertical en x=-4 y horizontal en y=2.
41.

V.A.x=2 ,H.A.y=0,(0,1) V.A.x=2 ,H.A.y=0,(0,1)

Gráfico de s(x)=4/(x-2)^2 con su asíntota vertical en x=2 y horizontal en y=0.
43.

V.A.x=4,x= 4 3 ,H.A.y=1;(5,0);( - 1 3 ,0 );( 0, 5 16 ) V.A.x=4,x= 4 3 ,H.A.y=1;(5,0);( - 1 3 ,0 );( 0, 5 16 )

Gráfico de f(x)=(3x^2-14x-5)/(3x^2+8x-16) con sus asíntotas verticales en x=-4 y x=4/3 y horizontal en y=1.
45.

V.A.x=-1,H.A.y=1;( -3,0 );( 0,3 ) V.A.x=-1,H.A.y=1;( -3,0 );( 0,3 ) ; discontinuidad removible (agujero) en ( 1,2 )( 1,2 )

Gráfico de a(x)=(x^2+2x-3)/(x^2-1) con su asíntota vertical en x=-1 y horizontal en y=1.
47.

V.A.x=4,S.A.y=2 x+9;( -1,0 );( 1 2 ,0 );( 0, 1 4 ) V.A.x=4,S.A.y=2 x+9;( -1,0 );( 1 2 ,0 );( 0, 1 4 )

Gráfico de h(x)=(2x^2+x-1)/(x-1) con su asíntota vertical en x=4 y asíntota oblicua en y=2x+9.
49.

V.A.x=-2 ,x=4,H.A.y=1,( 1,0 );( 5,0 );( -3,0 );( 0, 15 16 ) V.A.x=-2 ,x=4,H.A.y=1,( 1,0 );( 5,0 );( -3,0 );( 0, 15 16 )

Gráfico de w(x)=(x-1)(x+3)(x-5)/(x+2)^2(x-4) con sus asíntotas verticales en x=-2 y x=4 y horizontal en y=1.
51.

y=50 x 2 -x-2 x 2 -25 y=50 x 2 -x-2 x 2 -25

53.

y=7 x 2 +2 x24 x 2 +9x+20 y=7 x 2 +2 x24 x 2 +9x+20

55.

y= 1 2 x 2 -4x+4 x+1 y= 1 2 x 2 -4x+4 x+1

57.

y=4 x-3 x 2 -x-12 y=4 x-3 x 2 -x-12

59.

27(x - 2) / ((x - 3)² (x + 3)) y=27 x-2 (x-3) 2 (x+3) y=27 x-2 (x-3) 2 (x+3)

61.

y= 1 3 x 2 +x-6 x1 y= 1 3 x 2 +x-6 x1

63.

y=6 (x1) 2 (x+3) (x-2 ) 2 y=6 (x1) 2 (x+3) (x-2 ) 2

65.
x x 2,01 2,001 2,0001 1,99 1,999
y y 100 1.000 10.000 –100 –1.000
x x 10 100 1.000 10.000 100.000
y y 0,125 0,0102 0,001 0,0001 0,00001

Asíntota vertical x=2 , x=2 , asíntota horizontal y=0 y=0

67.
x x –4,1 –4,01 –4,001 –3,99 –3,999
y y 82 802 8.002 –798 –7.998
x x 10 100 1.000 10.000 100.000
y y 1,4286 1,9331 1,992 1,9992 1,999992

Asíntota vertical x=4, x=4, asíntota horizontal y=2 y=2

69.
x x –0,9 –0,99 –0,999 –1,1 –1,01
y y 81 9.801 998.001 121 10.201
x x 10 100 1.000 10.000 100.000
y y 0,82645 0,9803 0,998 0,9998

Asíntota vertical x=-1, x=-1, asíntota horizontal y=1 y=1

71.

( 3 2 , ) ( 3 2 , )

Gráfico de f(x)=4/(2x-3).
73.

(2 ,1)(4,) (2 ,1)(4,)

Gráfico de f(x)=(x+2)/(x-1)(x-4).
75.

( 2 ,4 ) ( 2 ,4 )

77.

( 2 ,5 ) ( 2 ,5 )

79.

( 1,1 ) ( 1,1 )

81.

C(t)= 8+2 t 300+20t C(t)= 8+2 t 300+20t

83.

Después de unas 6,12 horas.

85.

A(x)=50 x 2 + 800 x . A(x)=50 x 2 + 800 x . 2 por 2 por 5 pies.

87.

A(x)=π x 2 + 100 x . A(x)=π x 2 + 100 x . Radio = 2,52 metros.

3.8 Ejercicios de sección

1.

Puede ser muy difícil o imposible de resolver para x x en términos de y. y.

3.

Necesitaremos una restricción en el dominio de la respuesta.

5.

f 1 (x)= x +4 f 1 (x)= x +4

7.

f 1 (x)= x+3 -1 f 1 (x)= x+3 -1

9.

f 1 (x)=- x-5 3 f 1 (x)=- x-5 3

11.

f(x)= 9-x f(x)= 9-x

13.

f 1 (x)= x-5 3 f 1 (x)= x-5 3

15.

f 1 (x)= 4-x 3 f 1 (x)= 4-x 3

17.

f 1 (x)= x 2 1 2 ,[ 0, ) f 1 (x)= x 2 1 2 ,[ 0, )

19.

f 1 (x)= ( x-9 ) 2 +4 4 ,[ 9, ) f 1 (x)= ( x-9 ) 2 +4 4 ,[ 9, )

21.

f 1 (x)= ( x-9 2 ) 3 f 1 (x)= ( x-9 2 ) 3

23.

f 1 (x)= 2 -8x x f 1 (x)= 2 -8x x

25.

f 1 (x)= 7x-3 1-x f 1 (x)= 7x-3 1-x

27.

f 1 (x)= 5x-4 4x+3 f 1 (x)= 5x-4 4x+3

29.

f 1 (x)= x+1 -1 f 1 (x)= x+1 -1

31.

f 1 (x)= x+6 +3 f 1 (x)= x+6 +3

33.

f 1 (x)= 4-x f 1 (x)= 4-x

Gráfico de f(x)=4- x^2 y su inversa, f^(-1)(x)= cuadrado(4-x).
35.

f 1 (x)= x +4 f 1 (x)= x +4

Gráfico de f(x)= (x-4)^2 y su inversa, f^(-1)(x)= cuadrado(x)+4.
37.

f 1 (x)= 1-x 3 f 1 (x)= 1-x 3

Gráfico de f(x)= 1-x^3 y su inversa, f^(-1)(x)= (1-x)^(1/3).
39.

f 1 (x)= x+8 +3 f 1 (x)= x+8 +3

Gráfico de f(x)= x^2-6x+1 y su inversa, f^(-1)(x)= cuadrado(x+8)+3.
41.

f 1 (x)= 1 x f 1 (x)= 1 x

Gráfico de f(x)= 1/x^2 y su inversa, f^(-1)(x)= cuadrado(1/x).
43.

[-2 ,1)[3,) [-2 ,1)[3,)

Gráfico de f(x)= cuadrado((x+2)(x-3)/(x-1)).
45.

[4,2 )[5,) [4,2 )[5,)

Gráfico de f(x)= cuadrado((x^2-x-20)/(x-2)).
47.

(2 ,0);(4,2 );(22,3) (2 ,0);(4,2 );(22,3)

Gráfico de f(x)= x^3-x-2.
49.

(4,0);(0,1);(10,2 ) (4,0);(0,1);(10,2 )

Gráfico de f(x)= x^3+3x-4.
51.

(3,-1);(1,0);(7,1) (3,-1);(1,0);(7,1)

Gráfico de f(x)= x^4+5x+1.
53.

f 1 (x)= x+ b 2 4 b 2 f 1 (x)= x+ b 2 4 b 2

55.

f 1 (x)= x 3 -b a f 1 (x)= x 3 -b a

57.

t(h)= 200h 4,9 , t(h)= 200h 4,9 , 5,53 segundos

59.

r(V)= 3V 4π 3 , r(V)= 3V 4π 3 , 3,63 pies

61.

n(C)= 100C25 0,6C , n(C)= 100C25 0,6C , 250 mL

63.

r(V)= V 6π , r(V)= V 6π , 3,99 metros

65.

r(V)= V 4π , r(V)= V 4π , 1,99 pulgadas

3.9 Ejercicios de sección

1.

El gráfico tendrá la apariencia de una función potencia.

3.

No. Múltiples variables pueden variar conjuntamente.

5.

y=5 x 2 y=5 x 2

7.

y=11.944 x 3 y=11.944 x 3

9.

y=6 x 4 y=6 x 4

11.

y= 18 x 2 y= 18 x 2

13.

y= 81 x 4 y= 81 x 4

15.

y= 20 x 3 y= 20 x 3

17.

y=10xcw y=10xcw

19.

y=10x z y=10x z

21.

y=4 xc w y=4 xc w

23.

y=40 xc w t 2 y=40 xc w t 2

25.

y=256 y=256

27.

y=6 y=6

29.

y=6 y=6

31.

y=27 y=27

33.

y=3 y=3

35.

y=18 y=18

37.

y=90 y=90

39.

y= 81 2 y= 81 2

41.

y= 3 4 x 2 y= 3 4 x 2

Gráfico de y=3/4(x^2).
43.

y= 1 3 x y= 1 3 x

Gráfico de y=1/3cuadrado(x).
45.

y= 4 x 2 y= 4 x 2

Gráfico de y=4/(x^2).
47.

≈ 1,89 años

49.

≈ 0,61 años

51.

3 segundos

53.

48 pulgadas

55.

≈ 49,75 libras

57.

≈ 33,33 amperios

59.

≈ 2,88 pulgadas

Ejercicios de repaso

1.

2 -2 i 2 -2 i

3.

24+3i 24+3i

5.

{2 +i,2 i} {2 +i,2 i}

7.

f(x)= (x-2 ) 2 -9vértice(2 ,-9),intersecciones(5,0);(-1,0);(0,–5) f(x)= (x-2 ) 2 -9vértice(2 ,-9),intersecciones(5,0);(-1,0);(0,–5)

Gráfico de f(x)=x^2-4x-5.
9.

f(x)= 3 25 ( x+2 ) 2 +3 f(x)= 3 25 ( x+2 ) 2 +3

11.

300 por 150 metros, el lado más largo paralelo al río.

13.

Sí, grado = 5, coeficiente principal = 4

15.

Sí, grado = 4, coeficiente principal = 1

17.

Dado quex-,f(x)-,dado quex,f(x) Dado quex-,f(x)-,dado quex,f(x)

19.

3con multiplicidad2, 1 2 3con multiplicidad2, 1 2 con multiplicidad 1,1con multiplicidad31,1con multiplicidad3

21.

4 con multiplicidad 1

23.

1 2 1 2 con multiplicidad 1, 3 con multiplicidad 3

25.

x 2 +4 x 2 +4con restante 12

27.

x 2 -5x+20 61 x+3 x 2 -5x+20 61 x+3

29.

2 x 2 -2 x-3 2 x 2 -2 x-3, por lo que la forma factorizada es (x+4)(2 x 2 -2 x-3) (x+4)(2 x 2 -2 x-3)

31.

{ 2 ,4,- 1 2 } { 2 ,4,- 1 2 }

33.

{ 1,3,4, 1 2 } { 1,3,4, 1 2 }

35.

0 o 2 positivas, 1 negativa

37.

Intersecciones (-2,0)y( 0,- 2 5 ) (-2,0)y( 0,- 2 5 ), Asíntotas x=5 x=5 y y=1. y=1.

Gráfico de f(x)=(x+1)/(x-5).
39.

Intersecciones (3, 0), (-3, 0) y ( 0, 27 2 ) ( 0, 27 2 ), Asíntotas x=1,x=2 ,y=3. x=1,x=2 ,y=3.

Gráfico de f(x)=(3x^2-27)/(x^2+x-2).
41.

y=x-2 y=x-2

43.

f 1 (x)= x +2 f 1 (x)= x +2

45.

f 1 (x)= x+11 3 f 1 (x)= x+11 3

47.

f 1 (x)= (x+3) 2 -5 4 ,x-3 f 1 (x)= (x+3) 2 -5 4 ,x-3

49.

y=64 y=64

51.

y=72 y=72

53.

148,5 libras

Examen de práctica

1.

2010i 2010i

3.

{2 +3i,2 -3i} {2 +3i,2 -3i}

5.

Asx-,f(x)-,asx,f(x) Asx-,f(x)-,asx,f(x)

7.

f(x)= ( x+1 ) 2 -9 f(x)= ( x+1 ) 2 -9, vértice ( –1,–9 ) ( –1,–9 ), intersecciones ( 2 ,0 );( -4,0 );( 0,−8 ) ( 2 ,0 );( -4,0 );( 0,−8 )

Gráfico de f(x)=x^2+2x-8.
9.

60.000 pies cuadrados

11.

0 con multiplicidad 4, 3 con multiplicidad 2

13.

2 x 2 -4x+11 26 x+2 2 x 2 -4x+11 26 x+2

15.

2 x 2 -x-4 2 x 2 -x-4. Así que la forma factorizada es (x+3)(2 x 2 -x-4) (x+3)(2 x 2 -x-4)

17.

- 1 2 - 1 2 (tiene multiplicidad 2), 1±i 15 2 1±i 15 2

19.

-2 -2 (tiene multiplicidad 3), ±i ±i

21.

f(x)=2 ( 2 x1 ) 3 ( x+3 ) f(x)=2 ( 2 x1 ) 3 ( x+3 )

23.

Intersecciones (-4,0),( 0,- 4 3 ) (-4,0),( 0,- 4 3 ) , Asíntotas x=3,x=−1,y=0 x=3,x=−1,y=0

Gráfico+4 de f(x)=(x+4)/(x^2-2x-3).
25.

y=x+4 y=x+4

27.

f 1 (x)= x+4 3 3 f 1 (x)= x+4 3 3

29.

y=18 y=18

31.

4 segundos

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