Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Utilizar la división larga para dividir polinomios.
Utilizar la división sintética para dividir polinomios.

Figura 1 Lincoln Memorial, Washington, D.C. (créditos: Ron Cogswell, Flickr)

El exterior del Monumento a Lincoln en Washington, D.C., es un gran sólido rectangular con 61,5 metros (m) de largo, 40 m de ancho y 30 m de alto.¹ Podemos calcular fácilmente el volumen con la geometría elemental.

\begin{array}{l} V = l \cdot w \cdot h \\ = 61, 5 \cdot 40 \cdot 30 \\ = 73.800 \end{array}

Así que el volumen es de 73.800 metros cúbicos $(m ³) .$ Supongamos que conocemos el volumen, la longitud y la anchura. Podríamos dividir para determinar la altura.

\begin{array}{l} h = \frac{V}{l \cdot w} \\ = \frac{73.800}{61, 5 \cdot 40} \\ = 30 \end{array}

Por lo que podemos confirmar a partir de las dimensiones anteriores, la altura es de 30 m. Podemos utilizar métodos similares para dar con cualquiera de las dimensiones que faltan. También podemos utilizar el mismo método si alguna o todas las medidas contienen expresiones variables. Por ejemplo, supongamos que el volumen de un sólido rectangular viene dado por el polinomio $3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x .$ La longitud del sólido viene dada por $3 x;$ la anchura viene dada por $x - 2.$ Para hallar la altura del sólido, podemos utilizar la división polinómica, que es el objetivo de esta sección.

Usar la división larga para dividir polinomios

Conocemos el algoritmo de la división larga para la aritmética ordinaria. Comenzamos por dividir entre los dígitos del dividendo que tienen el mayor valor posicional. Dividimos, multiplicamos, restamos, incluimos el dígito en la siguiente posición de valor posicional y repetimos. Por ejemplo, dividamos 178 entre 3 mediante la división larga.

Pasos de la división larga para los números enteros.

Otra forma de ver la solución es como la suma de las partes. Esto debería resultarle familiar, ya que es el mismo método que se utiliza para comprobar la división en la aritmética elemental.

\begin{array}{l} dividendo = (divisor \cdot cociente) + restante \\ 178 = (3 \cdot 59) + 1 \\ = 177 + 1 \\ = 178 \end{array}

Lo denominamos algoritmo de la división y lo analizaremos más formalmente después de ver un ejemplo.

La división de polinomios que contienen más de un término tiene similitudes con la división larga de números enteros. Podemos escribir el dividendo de un polinomio como el producto del divisor y el cociente sumado al restante. Los términos de la división polinómica corresponden a los dígitos (y valores posicionales) de la división de números enteros. Este método nos permite dividir dos polinomios. Por ejemplo, si dividimos $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5$ entre $x + 2$ mediante el algoritmo de la división larga, quedaría así:

Pasos de la división larga para polinomios.

Hemos calculado

\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5}{x + 2} = 2 x^{2} - 7 x + 18 - \frac{31}{x + 2}

o

2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5 = (x + 2) (2 x^{2} - 7 x + 18) - 31

Podemos identificar el dividendo, el divisor, el cociente y el restante.

Identificación del dividendo, el divisor, el cociente y el restante del polinomio 2x^3-3x^2+4x+5, que es el dividendo.

Escribir el resultado de esta manera ilustra el algoritmo de la división.

El algoritmo de la división

El algoritmo de la división establece que, dado un dividendo polinómico $f (x)$ y un divisor polinómico distinto de cero $d (x)$ donde el grado de $d (x)$ es menor o igual que el grado de $f (x),$ existen polinomios únicos $q (x)$ y $r (x)$ de manera que

f (x) = d (x) q (x) + r (x)

$q (x)$ es el cociente y $r (x)$ es el restante. El restante es igual a cero o tiene un grado estrictamente menor que $d (x) .$

Si los valores de $r (x) = 0,$ entonces $d (x)$ se divide uniformemente entre $f (x) .$ Esto significa que, en este caso, tanto $d (x)$ como $q (x)$ son factores de $f (x) .$

Cómo

Dado un polinomio y un binomio, utilizar la división larga para dividir el polinomio entre el binomio.

Establezca el problema de la división.
Determine el primer término del cociente al dividir el término principal del dividendo entre el término principal del divisor.
Multiplique la respuesta por el divisor y escríbala debajo de los términos semejantes del dividendo.
Reste el binomio inferior del binomio superior.
Baje el siguiente término del dividendo.
Repita los pasos 2 al 5 hasta llegar al último término del dividendo.
Si el restante es distinto de cero, expréselo como una fracción con el divisor como denominador.

Ejemplo 1

Usar la división larga para dividir un polinomio de segundo grado

Divida $5 x^{2} + 3 x - 2$ entre $x + 1.$

Solución

El cociente es $5 x - 2.$ El restante es 0. Escribimos el resultado como

\frac{5 x^{2} + 3 x - 2}{x + 1} = 5 x - 2

o

5 x^{2} + 3 x - 2 = (x + 1) (5 x - 2)

Análisis

Este problema de división tenía un restante de 0. Esto nos indica que el dividendo se divide en partes iguales entre el divisor, y que el divisor es un factor del dividendo.

Ejemplo 2

Usar la división larga para dividir un polinomio de tercer grado

Divida $6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15$ entre $3 x - 2.$

Solución

Hay un restante de 1. Podemos expresar el resultado como:

\frac{6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15}{3 x - 2} = 2 x^{2} + 5 x - 7 + \frac{1}{3 x - 2}

Análisis

Podemos comprobar nuestro trabajo con el algoritmo de la división para reescribir la solución. Luego multiplicamos.

(3 x - 2) (2 x^{2} + 5 x - 7) + 1 = 6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15

Observe que, al escribir nuestro resultado,

el dividendo es $6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15$
el divisor es $3 x - 2$
el cociente es $2 x^{2} + 5 x - 7$
el restante es $1$

Inténtelo #1

Divida $16 x^{3} - 12 x^{2} + 20 x - 3$ entre $4 x + 5.$

Usar la división sintética para dividir polinomios

Como hemos visto, la división larga de polinomios implica muchos pasos y puede resultar bastante engorrosa. La división sintética es un método abreviado de dividir polinomios para el caso especial de dividir entre un factor lineal cuyo coeficiente principal es 1.

Para ilustrar el proceso, recuerde el ejemplo al principio de la sección.

Divida $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5$ entre $x + 2$ con el algoritmo de la división larga.

La forma final del proceso lucía así:

Hay mucha repetición en la tabla. Si no escribimos las variables, sino que alineamos sus coeficientes en columnas bajo el signo de la división y además eliminamos los productos parciales, ya tenemos una versión simplificada de todo el problema.

División sintética del polinomio 2x^3-3x^2+4x+5 entre x+2 en la que solo contiene los coeficientes de cada polinomio.

La división sintética lleva esta simplificación incluso unos cuantos pasos más. Colapse la tabla al mover cada una de las filas hacia arriba para llenar los espacios vacíos. Además, en lugar de dividir entre 2, como haríamos en la división de números enteros, y luego multiplicar y restar el producto medio, cambiamos el signo del "divisor" a –2, multiplicamos y sumamos. El proceso se inicia con la reducción del coeficiente principal.

A continuación, lo multiplicamos por el "divisor" y sumamos, repitiendo este proceso columna a columna, hasta que no queden entradas. La fila inferior representa los coeficientes del cociente; la última entrada de la fila inferior es el restante. En este caso, el cociente es $2 x ² - 7 x + 18$ y el restante es $–31.$ El proceso se aclarará en el Ejemplo 3.

División sintética

La división sintética es un atajo que se utiliza cuando el divisor es un binomio en la forma $x - k .$ En la división sintética, solamente se utilizan los coeficientes.

Cómo

Dados dos polinomios, utilizar la división sintética para dividirlos.

Escriba $k$ para el divisor.
Escriba los coeficientes del dividendo.
Baje el coeficiente principal.
Multiplique el coeficiente principal entre $k .$ Escriba el producto en la siguiente columna.
Sume los términos de la segunda columna.
Multiplique el resultado por $k .$ Escriba el producto en la siguiente columna.
Repita los pasos 5 y 6 para el resto de las columnas.
Utilice los números inferiores para escribir el cociente. El número de la última columna es el restante y tiene grado 0, el siguiente número de la derecha tiene grado 0, el siguiente número de la derecha tiene grado 1, y así sucesivamente.

Ejemplo 3

Usar la división sintética para dividir un polinomio de segundo grado

Utilice la división sintética para dividir $5 x^{2} - 3 x - 36$ entre $x - 3,$

Solución

Comience por establecer la división sintética. Escriba $k$ y los coeficientes.

Baje el coeficiente principal. Multiplique el coeficiente principal entre $k .$

$La configuración de la división sintética para el polinomio 5x^2-3x-36 por x-3, que da {5, -3, -36} entre 3.$

Continúe sumando los números de la segunda columna. Multiplique el número resultante por $k .$ Escriba el resultado en la siguiente columna. A continuación, sume los números de la tercera columna.

Se multiplica por el coeficiente principal, 5, en la segunda columna, y se baja el coeficiente principal a la segunda fila.

El resultado es $5 x + 12.$ El restante es 0. Así que $x - 3$ es un factor del polinomio original.

Análisis

Al igual que con la división larga, podemos comprobar nuestro trabajo al multiplicar el cociente por el divisor y sumar el restante.

$(x - 3) (5 x + 12) + 0 = 5 x^{2} - 3 x - 36$

Ejemplo 4

Usar la división sintética para dividir un polinomio de tercer grado

Utilice la división sintética para dividir $4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20$ entre $x + 2.$

Solución

El divisor binomial es $x + 2$ por lo que $k = - 2.$ Sume cada columna, multiplique el resultado por -2 y repita hasta llegar a la última columna.

División sintética de 4x^3+10x^2-6x-20 dividido entre x+2.

El resultado es $4 x^{2} + 2 x - 10.$ El restante es 0. Así, $x + 2$ es un factor de $4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20.$

Análisis

El gráfico de la función polinómica $f (x) = 4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20$ en la Figura 2 muestra un cero en $x = k = -2.$ Esto confirma que $x + 2$ es un factor de $4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20.$

Figura 2

Ejemplo 5

Usar la división sintética para dividir un polinomio de cuarto grado

Utilice la división sintética para dividir $- 9 x^{4} + 10 x^{3} + 7 x^{2} - 6$ entre $x - 1.$

Solución

Observe que no hay ningún término x. Utilizaremos un cero como coeficiente para ese término

El resultado es $- 9 x^{3} + x^{2} + 8 x + 8 + \frac{2}{x - 1} .$

Inténtelo #2

Utilice la división sintética para dividir $3 x^{4} + 18 x^{3} - 3 x + 40$ entre $x + 7.$

Uso de la división polinómica para resolver problemas de aplicación

La división polinómica se utiliza para resolver una variedad de problemas de aplicación que implican expresiones de área y volumen. Al principio de esta sección hemos visto una aplicación. Ahora resolveremos ese problema en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6

Usar la división de polinomios en un problema de aplicación

El volumen de un sólido rectangular viene dado por el polinomio $3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x .$ La longitud del sólido viene dada por $3 x$ y la anchura viene dada por $x - 2.$ Calcule la altura del sólido.

Solución

Hay unas cuantas maneras de abordar este problema. Tenemos que dividir la expresión del volumen del sólido entre las expresiones de la longitud y la anchura. Hagamos un esquema como en la Figura 3.

Gráfico de f(x)=4x^3+10x^2-6x-20 con un acercamiento a x+2.

Figura 3

Ahora podemos escribir una ecuación al sustituir los valores conocidos en la fórmula del volumen de un sólido rectangular.

\begin{matrix} V = l \cdot w \cdot h \\ 3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x = 3 x \cdot (x - 2) \cdot h \end{matrix}

Para resolver $h,$ divida primero ambos lados entre $3 x .$

\begin{matrix} \frac{3 x \cdot (x - 2) \cdot h}{3 x} = \frac{3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x}{3 x} \\ (x - 2) h = x^{3} - x^{2} - 11 x + 18 \end{matrix}

Ahora resuelva para $h$ mediante la división sintética.

h = \frac{x^{3} - x^{2} - 11 x + 18}{x - 2}

\begin{array}{l} 2 \begin{array}{r} 1 & - 1 & - 11 & 18 \\ 2 & 2 & - 18 \end{array} \\ \begin{array}{l} 1 & 1 & - 9 & 0 \end{array} \end{array}

El cociente es $x^{2} + x - 9$ y el restante es 0. La altura del sólido es $x^{2} + x - 9.$

Inténtelo #3

El área de un rectángulo viene dada por $3 x^{3} + 14 x^{2} - 23 x + 6.$ La anchura del rectángulo viene dada por $x + 6.$ Halle una expresión para la longitud del rectángulo.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con la división de polinomios.

3.5 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Si la división de un polinomio entre un binomio da como resultado un restante de cero, ¿qué se puede concluir?

2.

Si un polinomio de grado $n$ se divide entre un binomio de grado 1, ¿cuál es el grado del cociente?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice la división larga. Especifique el cociente y el restante.

3.

$(x^{2} + 5 x - 1) \div (x - 1)$

4.

$(2 x^{2} - 9 x - 5) \div (x - 5)$

5.

$(3 x^{2} + 23 x + 14) \div (x + 7)$

6.

$(4 x^{2} - 10 x + 6) \div (4 x + 2)$

7.

$(6 x^{2} - 25 x - 25) \div (6 x + 5)$

8.

$(- x^{2} - 1) \div (x + 1)$

9.

$(2 x^{2} - 3 x + 2) \div (x + 2)$

10.

$(x^{3} - 126) \div (x - 5)$

11.

$(3 x^{2} - 5 x + 4) \div (3 x + 1)$

12.

$(x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 6) \div (x - 2)$

13.

$(2 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 15) \div (x + 3)$

En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente.

14.

$(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 4) \div (x + 3)$

15.

$(2 x^{3} - 6 x^{2} - 7 x + 6) \div (x - 4)$

16.

$(6 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 15) \div (x + 1)$

17.

$(4 x^{3} - 12 x^{2} - 5 x - 1) \div (2 x + 1)$

18.

$(9 x^{3} - 9 x^{2} + 18 x + 5) \div (3 x - 1)$

19.

$(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 4) \div (x + 3)$

20.

$(- 6 x^{3} + x^{2} - 4) \div (2 x - 3)$

21.

$(2 x^{3} + 7 x^{2} - 13 x - 3) \div (2 x - 3)$

22.

$(3 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 3) \div (x + 2)$

23.

$(4 x^{3} - 5 x^{2} + 13) \div (x + 4)$

24.

$(x^{3} - 3 x + 2) \div (x + 2)$

25.

$(x^{3} - 21 x^{2} + 147 x - 343) \div (x - 7)$

26.

$(x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) \div (x - 5)$

27.

$(9 x^{3} - x + 2) \div (3 x - 1)$

28.

$(6 x^{3} - x^{2} + 5 x + 2) \div (3 x + 1)$

29.

$(x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1) \div (x + 1)$

30.

$(x^{4} - 3 x^{2} + 1) \div (x - 1)$

31.

$(x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 6) \div (x + 3)$

32.

$(x^{4} - 10 x^{3} + 37 x^{2} - 60 x + 36) \div (x - 2)$

33.

$(x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16) \div (x - 2)$

34.

$(x^{4} + 5 x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 10) \div (x + 5)$

35.

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) \div (x - 3)$

36.

$(4 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 2) \div (2 x - 1)$

37.

$(4 x^{4} + 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 2) \div (2 x + 1)$

En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para determinar si la primera expresión es un factor de la segunda. Si es así, indique la factorización.

38.

$x - 2, 4 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 4$

39.

$x - 2, 3 x^{4} - 6 x^{3} - 5 x + 10$

40.

$x + 3, - 4 x^{3} + 5 x^{2} + 8$

41.

$x - 2, 4 x^{4} - 15 x^{2} - 4$

42.

$x - \frac{1}{2}, 2 x^{4} - x^{3} + 2 x - 1$

43.

$x + \frac{1}{3}, 3 x^{4} + x^{3} - 3 x + 1$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico del polinomio de tercer grado y un factor para escribir la forma factorizada del polinomio que se sugiere en el gráfico. El coeficiente principal es uno.

44.

El factor es $x^{2} - x + 3$

Gráfico de un polinomio con intersección x en -1.

45.

El factor es $x^{2} + 2 x + 4$

46.

El factor es $x^{2} + 2 x + 5$

Gráfico de un polinomio con intersección x en 2.

47.

El factor es $x^{2} + x + 1$

Gráfico de un polinomio con intersección x en 5.

48.

El factor es $x^{2} + 2 x + 2$

Gráfico de un polinomio con intersección x en -3.

En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente y el restante.

49.

$\frac{4 x^{3} - 33}{x - 2}$

50.

$\frac{2 x^{3} + 25}{x + 3}$

51.

$\frac{3 x^{3} + 2 x - 5}{x - 1}$

52.

$\frac{- 4 x^{3} - x^{2} - 12}{x + 4}$

53.

$\frac{x^{4} - 22}{x + 2}$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora con sistema de álgebra computacional (Computer Algebra Systems, CAS)) para responder las preguntas.

54.

Considere que $\frac{x^{k} - 1}{x - 1}$ con la $k = 1$ , $2$ , $3.$ ¿Cuál espera que sea el resultado si $k = 4 ?$

55.

Considere que $\frac{x^{k} + 1}{x + 1}$ para $k = 1$ , $3$ , $5.$ ¿Cuál espera que sea el resultado si $k = 7 ?$

56.

Considere que $\frac{x^{4} - k^{4}}{x - k}$ para $k = 1$ , $2$ , $3.$ ¿Cuál espera que sea el resultado si $k = 4 ?$

57.

Considere que $\frac{x^{k}}{x + 1}$ con la $k = 1$ , $2$ , $3.$ ¿Cuál espera que sea el resultado si $k = 4 ?$

58.

Considere que $\frac{x^{k}}{x - 1}$ con la $k = 1$ , $2$ , $3.$ ¿Cuál espera que sea el resultado si $k = 4 ?$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para determinar el cociente que implica un número complejo.

59.

$\frac{x + 1}{x - i}$

60.

$\frac{x^{2} + 1}{x - i}$

61.

$\frac{x + 1}{x + i}$

62.

$\frac{x^{2} + 1}{x + i}$

63.

$\frac{x^{3} + 1}{x - i}$

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice la longitud y el área dadas de un rectángulo para expresar la anchura algebraicamente.

64.

La longitud es $x + 5,$ el área es $2 x^{2} + 9 x - 5.$

65.

La longitud es $2 x + 5,$ el área es $4 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x + 15$

66.

La longitud es $3 x - 4,$ el área es $6 x^{4} - 8 x^{3} + 9 x^{2} - 9 x - 4$

En los siguientes ejercicios, utilice el volumen dado de una caja y su longitud y anchura para expresar algebraicamente la altura.

67.

El volumen es $12 x^{3} + 20 x^{2} - 21 x - 36,$ la longitud es $2 x + 3,$ la anchura es $3 x - 4.$

68.

El volumen es $18 x^{3} - 21 x^{2} - 40 x + 48,$ la longitud es $3 x - 4,$ la anchura es $3 x - 4.$

69.

El volumen es $10 x^{3} + 27 x^{2} + 2 x - 24,$ la longitud es $5 x - 4,$ la anchura es $2 x + 3.$

70.

El volumen es $10 x^{3} + 30 x^{2} - 8 x - 24,$ la longitud es $2,$ la anchura es $x + 3.$

En los siguientes ejercicios, utilice el volumen y el radio dados de un cilindro para expresar algebraicamente su altura.

71.

El volumen es $π (25 x^{3} - 65 x^{2} - 29 x - 3),$ el radio es $5 x + 1.$

72.

El volumen es $π (4 x^{3} + 12 x^{2} - 15 x - 50),$ el radio es $2 x + 5.$

73.

El volumen es $π (3 x^{4} + 24 x^{3} + 46 x^{2} - 16 x - 32),$ el radio es $x + 4.$

Notas a pie de página

1Servicio de Parques Nacionales. "Estadísticas del edificio Monumento a Lincoln". http://www.nps.gov/linc/historyculture/lincoln-memorial-building-statistics.htm. Consultado el 3 de abril de 2014

3.5 Dividir polinomios

Usar la división larga para dividir polinomios

Usar la división larga para dividir un polinomio de segundo grado

Solución

Análisis

Usar la división larga para dividir un polinomio de tercer grado

Solución

Análisis

Usar la división sintética para dividir polinomios

Usar la división sintética para dividir un polinomio de segundo grado

Solución

Análisis

Usar la división sintética para dividir un polinomio de tercer grado

Solución

Análisis

Usar la división sintética para dividir un polinomio de cuarto grado

Solución

Uso de la división polinómica para resolver problemas de aplicación

Usar la división de polinomios en un problema de aplicación

Solución

3.5 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

En tecnología

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real

Notas a pie de página