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Precálculo 2ed

3.5 Dividir polinomios

Precálculo 2ed3.5 Dividir polinomios

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Utilizar la división larga para dividir polinomios.
  • Utilizar la división sintética para dividir polinomios.
Lincoln Memorial.
Figura 1 Lincoln Memorial, Washington, D.C. (créditos: Ron Cogswell, Flickr)

El exterior del Monumento a Lincoln en Washington, D.C., es un gran sólido rectangular con 61,5 metros (m) de largo, 40 m de ancho y 30 m de alto.1 Podemos calcular fácilmente el volumen con la geometría elemental.

V=lwh   =61,54030   =73.800 V=lwh   =61,54030   =73.800

Así que el volumen es de 73.800 metros cúbicos ( m³ ). ( m³ ). Supongamos que conocemos el volumen, la longitud y la anchura. Podríamos dividir para determinar la altura.

h= V lw   = 73.800 61,540   =30 h= V lw   = 73.800 61,540   =30

Por lo que podemos confirmar a partir de las dimensiones anteriores, la altura es de 30 m. Podemos utilizar métodos similares para dar con cualquiera de las dimensiones que faltan. También podemos utilizar el mismo método si alguna o todas las medidas contienen expresiones variables. Por ejemplo, supongamos que el volumen de un sólido rectangular viene dado por el polinomio 3 x 4 -3 x 3 33 x 2 +54x. 3 x 4 -3 x 3 33 x 2 +54x. La longitud del sólido viene dada por 3x; 3x; la anchura viene dada por x2. x2. Para hallar la altura del sólido, podemos utilizar la división polinómica, que es el objetivo de esta sección.

Usar la división larga para dividir polinomios

Conocemos el algoritmo de la división larga para la aritmética ordinaria. Comenzamos por dividir entre los dígitos del dividendo que tienen el mayor valor posicional. Dividimos, multiplicamos, restamos, incluimos el dígito en la siguiente posición de valor posicional y repetimos. Por ejemplo, dividamos 178 entre 3 mediante la división larga.

Pasos de la división larga para los números enteros.

Otra forma de ver la solución es como la suma de las partes. Esto debería resultarle familiar, ya que es el mismo método que se utiliza para comprobar la división en la aritmética elemental.

dividendo = (divisor  cociente) + restante 178=(359)+1 =177+1 =178 dividendo = (divisor  cociente) + restante 178=(359)+1 =177+1 =178

Lo denominamos algoritmo de la división y lo analizaremos más formalmente después de ver un ejemplo.

La división de polinomios que contienen más de un término tiene similitudes con la división larga de números enteros. Podemos escribir el dividendo de un polinomio como el producto del divisor y el cociente sumado al restante. Los términos de la división polinómica corresponden a los dígitos (y valores posicionales) de la división de números enteros. Este método nos permite dividir dos polinomios. Por ejemplo, si dividimos 2 x 3 -3 x 2 +4x+5 2 x 3 -3 x 2 +4x+5 entre x+2 x+2 mediante el algoritmo de la división larga, quedaría así:

Pasos de la división larga para polinomios.

Hemos calculado

2 x 3 -3 x 2 +4x+5 x+2 =2 x 2 -7x+18 31 x+2 2 x 3 -3 x 2 +4x+5 x+2 =2 x 2 -7x+18 31 x+2

o

2 x 3 -3 x 2 +4x+5 =(x+2 )(2 x 2 -7x+18)31 2 x 3 -3 x 2 +4x+5 =(x+2 )(2 x 2 -7x+18)31

Podemos identificar el dividendo, el divisor, el cociente y el restante.

Identificación del dividendo, el divisor, el cociente y el restante del polinomio 2x^3-3x^2+4x+5, que es el dividendo.

Escribir el resultado de esta manera ilustra el algoritmo de la división.

El algoritmo de la división

El algoritmo de la división establece que, dado un dividendo polinómico f(x) f(x) y un divisor polinómico distinto de cero d(x) d(x) donde el grado de d(x) d(x) es menor o igual que el grado de f(x), f(x), existen polinomios únicos q(x) q(x) y r(x) r(x) de manera que

f(x)=d(x)q(x)+r(x) f(x)=d(x)q(x)+r(x)

q(x) q(x) es el cociente y r(x) r(x) es el restante. El restante es igual a cero o tiene un grado estrictamente menor que d(x). d(x).

Si los valores de r(x)=0, r(x)=0, entonces d(x) d(x) se divide uniformemente entre f(x). f(x). Esto significa que, en este caso, tanto d(x) d(x) como q(x) q(x) son factores de f(x). f(x).

Cómo

Dado un polinomio y un binomio, utilizar la división larga para dividir el polinomio entre el binomio.
  1. Establezca el problema de la división.
  2. Determine el primer término del cociente al dividir el término principal del dividendo entre el término principal del divisor.
  3. Multiplique la respuesta por el divisor y escríbala debajo de los términos semejantes del dividendo.
  4. Reste el binomio inferior del binomio superior.
  5. Baje el siguiente término del dividendo.
  6. Repita los pasos 2 al 5 hasta llegar al último término del dividendo.
  7. Si el restante es distinto de cero, expréselo como una fracción con el divisor como denominador.

Ejemplo 1

Usar la división larga para dividir un polinomio de segundo grado

Divida 5 x 2 +3x-2 5 x 2 +3x-2 entre x+1. x+1.

Análisis

Este problema de división tenía un restante de 0. Esto nos indica que el dividendo se divide en partes iguales entre el divisor, y que el divisor es un factor del dividendo.

Ejemplo 2

Usar la división larga para dividir un polinomio de tercer grado

Divida 6 x 3 +11 x 2 31x+15 6 x 3 +11 x 2 31x+15 entre 3x2. 3x2.

Análisis

Podemos comprobar nuestro trabajo con el algoritmo de la división para reescribir la solución. Luego multiplicamos.

(3x-2 )(2 x 2 +5x-7)+1=6 x 3 +11 x 2 31x+15 (3x-2 )(2 x 2 +5x-7)+1=6 x 3 +11 x 2 31x+15

Observe que, al escribir nuestro resultado,

  • el dividendo es 6 x 3 +11 x 2 31x+15 6 x 3 +11 x 2 31x+15
  • el divisor es 3x-2 3x-2
  • el cociente es 2 x 2 +5x-7 2 x 2 +5x-7
  • el restante es 1 1

Inténtelo #1

Divida 16 x 3 -12 x 2 +20x-3 16 x 3 -12 x 2 +20x-3 entre 4x+5. 4x+5.

Usar la división sintética para dividir polinomios

Como hemos visto, la división larga de polinomios implica muchos pasos y puede resultar bastante engorrosa. La división sintética es un método abreviado de dividir polinomios para el caso especial de dividir entre un factor lineal cuyo coeficiente principal es 1.

Para ilustrar el proceso, recuerde el ejemplo al principio de la sección.

Divida 2 x 3 -3 x 2 +4x+5 2 x 3 -3 x 2 +4x+5 entre x+2 x+2 con el algoritmo de la división larga.

La forma final del proceso lucía así:

.

Hay mucha repetición en la tabla. Si no escribimos las variables, sino que alineamos sus coeficientes en columnas bajo el signo de la división y además eliminamos los productos parciales, ya tenemos una versión simplificada de todo el problema.

División sintética del polinomio 2x^3-3x^2+4x+5 entre x+2 en la que solo contiene los coeficientes de cada polinomio.

La división sintética lleva esta simplificación incluso unos cuantos pasos más. Colapse la tabla al mover cada una de las filas hacia arriba para llenar los espacios vacíos. Además, en lugar de dividir entre 2, como haríamos en la división de números enteros, y luego multiplicar y restar el producto medio, cambiamos el signo del "divisor" a –2, multiplicamos y sumamos. El proceso se inicia con la reducción del coeficiente principal.

División sintética del polinomio 2x^3-3x^2+4x+5 entre x+2 en la que solo contiene los coeficientes de cada polinomio.

A continuación, lo multiplicamos por el "divisor" y sumamos, repitiendo este proceso columna a columna, hasta que no queden entradas. La fila inferior representa los coeficientes del cociente; la última entrada de la fila inferior es el restante. En este caso, el cociente es 2 x²7x+18 2 x²7x+18 y el restante es –31. –31. El proceso se aclarará en el Ejemplo 3.

División sintética

La división sintética es un atajo que se utiliza cuando el divisor es un binomio en la forma xk. xk. En la división sintética, solamente se utilizan los coeficientes.

Cómo

Dados dos polinomios, utilizar la división sintética para dividirlos.

  1. Escriba k k para el divisor.
  2. Escriba los coeficientes del dividendo.
  3. Baje el coeficiente principal.
  4. Multiplique el coeficiente principal entre k. k. Escriba el producto en la siguiente columna.
  5. Sume los términos de la segunda columna.
  6. Multiplique el resultado por k. k. Escriba el producto en la siguiente columna.
  7. Repita los pasos 5 y 6 para el resto de las columnas.
  8. Utilice los números inferiores para escribir el cociente. El número de la última columna es el restante y tiene grado 0, el siguiente número de la derecha tiene grado 0, el siguiente número de la derecha tiene grado 1, y así sucesivamente.

Ejemplo 3

Usar la división sintética para dividir un polinomio de segundo grado

Utilice la división sintética para dividir 5 x 2 -3x36 5 x 2 -3x36 entre x3, x3,

Análisis

Al igual que con la división larga, podemos comprobar nuestro trabajo al multiplicar el cociente por el divisor y sumar el restante.

(x-3)(5x+12)+0=5 x 2 -3x36 (x-3)(5x+12)+0=5 x 2 -3x36

Ejemplo 4

Usar la división sintética para dividir un polinomio de tercer grado

Utilice la división sintética para dividir 4 x 3 +10 x 2 -6x-20 4 x 3 +10 x 2 -6x-20 entre x+2. x+2.

Análisis

El gráfico de la función polinómica f(x)=4 x 3 +10 x 2 -6x-20 f(x)=4 x 3 +10 x 2 -6x-20 en la Figura 2 muestra un cero en x=k=-2. x=k=-2. Esto confirma que x+2 x+2 es un factor de 4 x 3 +10 x 2 -6x20. 4 x 3 +10 x 2 -6x20.

División sintética de 4x^3+10x^2-6x-20 dividido entre x+2.
Figura 2

Ejemplo 5

Usar la división sintética para dividir un polinomio de cuarto grado

Utilice la división sintética para dividir 9 x 4 +10 x 3 +7 x 2 -6 9 x 4 +10 x 3 +7 x 2 -6 entre x-1. x-1.

Inténtelo #2

Utilice la división sintética para dividir 3 x 4 +18 x 3 -3x+40 3 x 4 +18 x 3 -3x+40 entre x+7. x+7.

Uso de la división polinómica para resolver problemas de aplicación

La división polinómica se utiliza para resolver una variedad de problemas de aplicación que implican expresiones de área y volumen. Al principio de esta sección hemos visto una aplicación. Ahora resolveremos ese problema en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6

Usar la división de polinomios en un problema de aplicación

El volumen de un sólido rectangular viene dado por el polinomio 3 x 4 -3 x 3 33 x 2 +54x. 3 x 4 -3 x 3 33 x 2 +54x. La longitud del sólido viene dada por 3x 3x y la anchura viene dada por x2. x2. Calcule la altura del sólido.

Inténtelo #3

El área de un rectángulo viene dada por 3 x 3 +14 x 2 23x+6. 3 x 3 +14 x 2 23x+6. La anchura del rectángulo viene dada por x+6. x+6. Halle una expresión para la longitud del rectángulo.

3.5 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Si la división de un polinomio entre un binomio da como resultado un restante de cero, ¿qué se puede concluir?

2.

Si un polinomio de grado n n se divide entre un binomio de grado 1, ¿cuál es el grado del cociente?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice la división larga. Especifique el cociente y el restante.

3.

( x 2 +5x1 )÷( x1 ) ( x 2 +5x1 )÷( x1 )

4.

( 2 x 2 -9x-5 )÷( x-5 ) ( 2 x 2 -9x-5 )÷( x-5 )

5.

( 3 x 2 +23x+14 )÷( x+7 ) ( 3 x 2 +23x+14 )÷( x+7 )

6.

( 4 x 2 -10x+6 )÷( 4x+2 ) ( 4 x 2 -10x+6 )÷( 4x+2 )

7.

( 6 x 2 -25x-25 )÷( 6x+5 ) ( 6 x 2 -25x-25 )÷( 6x+5 )

8.

( - x 2 1 )÷( x+1 ) ( - x 2 1 )÷( x+1 )

9.

( 2 x 2 -3x+2 )÷( x+2 ) ( 2 x 2 -3x+2 )÷( x+2 )

10.

( x 3 126 )÷( x-5 ) ( x 3 126 )÷( x-5 )

11.

( 3 x 2 -5x+4 )÷( 3x+1 ) ( 3 x 2 -5x+4 )÷( 3x+1 )

12.

( x 3 -3 x 2 +5x-6 )÷( x-2 ) ( x 3 -3 x 2 +5x-6 )÷( x-2 )

13.

( 2 x 3 +3 x 2 -4x+15 )÷( x+3 ) ( 2 x 3 +3 x 2 -4x+15 )÷( x+3 )

En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente.

14.

( 3 x 3 -2 x 2 +x-4 )÷( x+3 ) ( 3 x 3 -2 x 2 +x-4 )÷( x+3 )

15.

( 2 x 3 -6 x 2 -7x+6 )÷(x-4) ( 2 x 3 -6 x 2 -7x+6 )÷(x-4)

16.

( 6 x 3 -10 x 2 -7x-15 )÷(x+1) ( 6 x 3 -10 x 2 -7x-15 )÷(x+1)

17.

( 4 x 3 -12 x 2 -5x1 )÷(2 x+1) ( 4 x 3 -12 x 2 -5x1 )÷(2 x+1)

18.

( 9 x 3 -9 x 2 +18x+5 )÷(3x1) ( 9 x 3 -9 x 2 +18x+5 )÷(3x1)

19.

( 3 x 3 -2 x 2 +x-4 )÷( x+3 ) ( 3 x 3 -2 x 2 +x-4 )÷( x+3 )

20.

( 6 x 3 + x 2 -4 )÷( 2 x-3 ) ( 6 x 3 + x 2 -4 )÷( 2 x-3 )

21.

( 2 x 3 +7 x 2 13x-3 )÷( 2 x-3 ) ( 2 x 3 +7 x 2 13x-3 )÷( 2 x-3 )

22.

( 3 x 3 -5 x 2 +2 x+3 )÷(x+2 ) ( 3 x 3 -5 x 2 +2 x+3 )÷(x+2 )

23.

( 4 x 3 -5 x 2 +13 )÷(x+4) ( 4 x 3 -5 x 2 +13 )÷(x+4)

24.

( x 3 -3x+2 )÷( x+2 ) ( x 3 -3x+2 )÷( x+2 )

25.

( x 3 -21 x 2 +147x343 )÷( x-7 ) ( x 3 -21 x 2 +147x343 )÷( x-7 )

26.

( x 3 15 x 2 +75x125 )÷( x-5 ) ( x 3 15 x 2 +75x125 )÷( x-5 )

27.

( 9 x 3 -x+2 )÷( 3x1 ) ( 9 x 3 -x+2 )÷( 3x1 )

28.

( 6 x 3 - x 2 +5x+2 )÷( 3x+1 ) ( 6 x 3 - x 2 +5x+2 )÷( 3x+1 )

29.

( x 4 + x 3 -3 x 2 -2 x+1 )÷( x+1 ) ( x 4 + x 3 -3 x 2 -2 x+1 )÷( x+1 )

30.

( x 4 -3 x 2 +1 )÷( x1 ) ( x 4 -3 x 2 +1 )÷( x1 )

31.

( x 4 +2 x 3 -3 x 2 +2 x+6 )÷( x+3 ) ( x 4 +2 x 3 -3 x 2 +2 x+6 )÷( x+3 )

32.

( x 4 -10 x 3 +37 x 2 60x+36 )÷( x-2 ) ( x 4 -10 x 3 +37 x 2 60x+36 )÷( x-2 )

33.

( x 4 8 x 3 +24 x 2 -32x+16 )÷( x-2 ) ( x 4 8 x 3 +24 x 2 -32x+16 )÷( x-2 )

34.

( x 4 +5 x 3 -3 x 2 13x+10 )÷( x+5 ) ( x 4 +5 x 3 -3 x 2 13x+10 )÷( x+5 )

35.

( x 4 12 x 3 +54 x 2 108x+81 )÷( x-3 ) ( x 4 12 x 3 +54 x 2 108x+81 )÷( x-3 )

36.

( 4 x 4 2 x 3 -4x+2 )÷( 2 x1 ) ( 4 x 4 2 x 3 -4x+2 )÷( 2 x1 )

37.

( 4 x 4 +2 x 3 -4 x 2 +2 x+2 )÷( 2 x+1 ) ( 4 x 4 +2 x 3 -4 x 2 +2 x+2 )÷( 2 x+1 )

En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para determinar si la primera expresión es un factor de la segunda. Si es así, indique la factorización.

38.

x-2 ,4 x 3 -3 x 2 -8x+4 x-2 ,4 x 3 -3 x 2 -8x+4

39.

x-2 ,3 x 4 6 x 3 -5x+10 x-2 ,3 x 4 6 x 3 -5x+10

40.

x+3,-4 x 3 +5 x 2 +8 x+3,-4 x 3 +5 x 2 +8

41.

x-2 ,4 x 4 15 x 2 -4 x-2 ,4 x 4 15 x 2 -4

42.

x 1 2 ,2 x 4 - x 3 +2 x1 x 1 2 ,2 x 4 - x 3 +2 x1

43.

x+ 1 3 ,3 x 4 + x 3 -3x+1 x+ 1 3 ,3 x 4 + x 3 -3x+1

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico del polinomio de tercer grado y un factor para escribir la forma factorizada del polinomio que se sugiere en el gráfico. El coeficiente principal es uno.

44.

El factor es x 2 -x+3 x 2 -x+3

Gráfico de un polinomio con intersección x en -1.
45.

El factor es x 2 +2 x+4 x 2 +2 x+4

Gráfico de un polinomio con intersección x en 1.
46.

El factor es x 2 +2 x+5 x 2 +2 x+5

Gráfico de un polinomio con intersección x en 2.
47.

El factor es x 2 +x+1 x 2 +x+1

Gráfico de un polinomio con intersección x en 5.
48.

El factor es x 2 +2 x+2 x 2 +2 x+2

Gráfico de un polinomio con intersección x en -3.

En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente y el restante.

49.

4 x 3 33 x-2 4 x 3 33 x-2

50.

2 x 3 +25 x+3 2 x 3 +25 x+3

51.

3 x 3 +2 x-5 x1 3 x 3 +2 x-5 x1

52.

-4 x 3 - x 2 -12 x+4 -4 x 3 - x 2 -12 x+4

53.

x 4 22 x+2 x 4 22 x+2

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora con sistema de álgebra computacional (Computer Algebra Systems, CAS)) para responder las preguntas.

54.

Considere que x k -1 x1 x k -1 x1 con la k=1 k=1,2 2 ,3. 3. ¿Cuál espera que sea el resultado si k=4? k=4?

55.

Considere que x k +1 x+1 x k +1 x+1 para k=1 k=1,33,5. 5. ¿Cuál espera que sea el resultado si k=7? k=7?

56.

Considere que x 4 k 4 xk x 4 k 4 xk para k=1 k=1,2 2 ,3. 3. ¿Cuál espera que sea el resultado si k=4? k=4?

57.

Considere que x k x+1 x k x+1 con la k=1 k=1,2 2 ,3. 3. ¿Cuál espera que sea el resultado si k=4? k=4?

58.

Considere que x k x1 x k x1 con la k=1 k=1,2 2 ,3. 3. ¿Cuál espera que sea el resultado si k=4? k=4?

Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para determinar el cociente que implica un número complejo.

59.

x+1 xi x+1 xi

60.

x 2 +1 xi x 2 +1 xi

61.

x+1 x+i x+1 x+i

62.

x 2 +1 x+i x 2 +1 x+i

63.

x 3 +1 xi x 3 +1 xi

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice la longitud y el área dadas de un rectángulo para expresar la anchura algebraicamente.

64.

La longitud es x+5, x+5, el área es 2 x 2 +9x5. 2 x 2 +9x5.

65.

La longitud es 2 x+5, 2 x+5, el área es 4 x 3 +10 x 2 +6x+15 4 x 3 +10 x 2 +6x+15

66.

La longitud es 3x4, 3x4, el área es 6 x 4 8 x 3 +9 x 2 -9x-4 6 x 4 8 x 3 +9 x 2 -9x-4

En los siguientes ejercicios, utilice el volumen dado de una caja y su longitud y anchura para expresar algebraicamente la altura.

67.

El volumen es 12 x 3 +20 x 2 21x36, 12 x 3 +20 x 2 21x36, la longitud es 2 x+3, 2 x+3, la anchura es 3x4. 3x4.

68.

El volumen es 18 x 3 -21 x 2 40x+48, 18 x 3 -21 x 2 40x+48, la longitud es 3x4, 3x4, la anchura es 3x4. 3x4.

69.

El volumen es 10 x 3 +27 x 2 +2 x24, 10 x 3 +27 x 2 +2 x24, la longitud es 5x4, 5x4, la anchura es 2 x+3. 2 x+3.

70.

El volumen es 10 x 3 +30 x 2 -8x24, 10 x 3 +30 x 2 -8x24, la longitud es 2 , 2 , la anchura es x+3. x+3.

En los siguientes ejercicios, utilice el volumen y el radio dados de un cilindro para expresar algebraicamente su altura.

71.

El volumen es π(25 x 3 65 x 2 29x-3), π(25 x 3 65 x 2 29x-3), el radio es 5x+1. 5x+1.

72.

El volumen es π(4 x 3 +12 x 2 15x50), π(4 x 3 +12 x 2 15x50), el radio es 2 x+5. 2 x+5.

73.

El volumen es π(3 x 4 +24 x 3 +46 x 2 -16x32), π(3 x 4 +24 x 3 +46 x 2 -16x32), el radio es x+4. x+4.

Notas a pie de página

  • 1Servicio de Parques Nacionales. "Estadísticas del edificio Monumento a Lincoln". http://www.nps.gov/linc/historyculture/lincoln-memorial-building-statistics.htm. Consultado el 3 de abril de 2014
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