Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Evaluar un polinomio con el teorema del resto.
Utilizar el teorema del factor para resolver una ecuación polinómica.
Utilizar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales.
Hallar los ceros de una función polinómica.
Utilizar el teorema de la factorización lineal para hallar polinomios con ceros dados.
Utilizar la regla de los signos de Descartes.
Resolver aplicaciones del mundo real de las ecuaciones polinómicas.

Una nueva panadería ofrece pasteles decorados de varios pisos para exponerlos y cortarlos en celebraciones de quinceañeras y bodas, así como pasteles en bandeja para servir a la mayoría de los invitados. La panadería quiere que el volumen de un pastel pequeño de bandeja sea de 351 pulgadas cúbicas. El pastel tiene forma de sólido rectangular. Quieren que la longitud del pastel sea diez centímetros más larga que la anchura y que la altura del pastel sea un tercio de la anchura. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del molde?

Este problema se resuelve al escribir una función cúbica y resolver una ecuación cúbica para el volumen del pastel. En esta sección, abordaremos una variedad de herramientas para escribir funciones polinómicas y resolver ecuaciones polinómicas.

Evaluar un polinomio con el teorema del resto

En la última sección, aprendimos a dividir polinomios. Ahora podemos utilizar la división de polinomios para evaluarlos con el teorema del resto. Si el polinomio se divide entre $x - k,$ el resto se puede hallar rápidamente si evaluamos la función polinómica en $k,$ es decir, $f (k)$ Repasemos la demostración del teorema.

Recordemos que el algoritmo de la división establece que, dado un dividendo polinómico $f (x)$ y un divisor polinómico distinto de cero $d (x)$ donde el grado de $d (x)$ es menor o igual que el grado de $f (x),$ existen polinomios únicos $q (x)$ y $r (x)$ tal que

f (x) = d (x) q (x) + r (x)

Si el divisor, $d (x),$ es $x - k,$ esto asume la forma

f (x) = (x - k) q (x) + r

Dado que el divisor $x - k$ es lineal, el resto será una constante, $r .$ Si evaluamos esto para $x = k,$ tenemos

\begin{array}{l} f (k) = (k - k) q (k) + r \\ = 0 \cdot q (k) + r \\ = r \end{array}

En otras palabras, $f (k)$ es el resto que se obtiene al dividir $f (x)$ entre $x - k .$

El teorema del resto

Si un polinomio $f (x)$ se divide entre $x - k,$ entonces el restante es el valor $f (k) .$

Cómo

Dada una función polinómica $f,$ evaluar $f (x)$ en $x = k$ con el teorema del resto.

Utilice la división sintética para dividir el polinomio entre $x - k .$
El restante es el valor $f (k) .$

Ejemplo 1

Usar el teorema del resto para evaluar un polinomio

Utilice el teorema del resto para evaluar $f (x) = 6 x^{4} - x^{3} - 15 x^{2} + 2 x - 7$ a las $x = 2.$

Solución

Para hallar el restante con el teorema del resto, emplee la división sintética para dividir el polinomio entre $x - 2.$

\begin{array}{l} 2 \begin{array}{l} 6 & - 1 & - 15 & 2 & - 7 \\ 12 & 22 & 14 & 32 \end{array} \\ \begin{array}{l} 6 & 11 & 7 & 16 & 25 \end{array} \end{array}

El restante es 25. Por lo tanto, $f (2) = 25.$

Análisis

Podemos comprobar nuestra respuesta al evaluar $f (2) .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} f (x) = 6 x^{4} - x^{3} - 15 x^{2} + 2 x - 7 \end{array} \\ f (2) = 6 {(2)}^{4} - {(2)}^{3} - 15 {(2)}^{2} + 2 (2) - 7 \\ = 25 \end{array}

Inténtelo #1

Utilice el teorema del resto para evaluar $f (x) = 2 x^{5} - 3 x^{4} - 9 x^{3} + 8 x^{2} + 2$ en $x = - 3,$

Usar el teorema del factor para resolver una ecuación polinómica

El teorema del factor es otro teorema que nos permite analizar las ecuaciones polinómicas. Nos indica cómo se relacionan los ceros de un polinomio con los factores. Recordemos que el algoritmo de la división nos señala que

f (x) = (x - k) q (x) + r .

Si los valores de $k$ es un cero, entonces el restante $r$ es $f (k) = 0$ y $f (x) = (x - k) q (x) + 0$ o $f (x) = (x - k) q (x) .$

Observe que, escrito en esta forma, $x - k$ es un factor de $f (x) .$ Podemos concluir que, si $k$ es un cero de $f (x),$ entonces $x - k$ es un factor de $f (x) .$

Del mismo modo, si $x - k$ es un factor de $f (x),$ entonces el restante del algoritmo de la división $f (x) = (x - k) q (x) + r$ es 0. Esto nos dice que $k$ es un cero.

Este par de implicaciones constituye el teorema del factor. Como veremos más adelante, un polinomio de grado $n$ en el sistema de números complejos tendrá $n$ ceros. Podemos utilizar el teorema del factor para factorizar completamente un polinomio en el producto de $n$ factores. Una vez que el polinomio se ha factorizado por completo, podemos determinar fácilmente los ceros.

El teorema del factor

Según el teorema del factor, $k$ es un cero de $f (x)$ si y solo si $(x - k)$ es un factor de $f (x) .$

Cómo

Dado un factor y un polinomio de tercer grado, utilizar el teorema del factor para factorizar el polinomio.

Utilice la división sintética para dividir el polinomio entre $(x - k) .$
Confirme que el restante sea 0.
Escriba el polinomio como el producto de $(x - k)$ y el cociente cuadrático.
Si es posible, factorice el cuadrático.
Escriba el polinomio como producto de factores.

Ejemplo 2

Usar el teorema del factor para resolver una ecuación polinómica

Demuestre que $(x + 2)$ es un factor de $x^{3} - 6 x^{2} - x + 30.$ Halle los factores restantes. Utilice los factores para determinar los ceros del polinomio.

Solución

Podemos utilizar la división sintética para demostrar que $(x + 2)$ es un factor del polinomio.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} - 2 \end{array} \begin{array}{r} 1 & - 6 & - 1 & 30 \\ - 2 & 16 & - 30 \end{array} \\ \begin{array}{r} 1 & - 8 & 15 & 0 \end{array} \end{array}

El restante es cero, por lo que $(x + 2)$ es un factor del polinomio. Podemos utilizar el algoritmo de la división para escribir el polinomio como el producto del divisor y el cociente:

(x + 2) (x^{2} - 8 x + 15)

Podemos factorizar el factor cuadrático para escribir el polinomio como

(x + 2) (x - 3) (x - 5)

Por el teorema del factor, los ceros de $x^{3} - 6 x^{2} - x + 30$ son –2, 3 y 5.

Inténtelo #2

Utilice el teorema del factor para hallar los ceros de $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ dado que $(x - 2)$ es un factor del polinomio.

Usar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales

Otro uso del teorema del resto es probar si un número racional es un cero para un polinomio dado. No obstante, primero necesitamos un conjunto de números racionales para probar. El teorema del cero racional nos permite reducir el número de posibles ceros racionales mediante la relación de los factores del término constante y los factores del coeficiente principal del polinomio.

Consideremos una función cuadrática con dos ceros, $x = \frac{2}{5}$ y $x = \frac{3}{4} .$ Según el teorema del factor, estos ceros tienen factores asociados. Supongamos que cada factor es igual a 0, y luego construyamos la función cuadrática original sin su factor de estiramiento.

$Esta imagen muestra que x menos dos quintos es igual a 0 o que x menos tres cuartos es igual a 0. Al lado de esta matemática está la frase: "Poner cada factor igual a 0". A continuación muestra que cinco x menos 2 es igual a 0 o 4 x menos 3 es igual a 0. Al lado de esta matemática se encuentra la frase "Multiplicar ambos lados de la ecuación para eliminar las fracciones". A continuación demuestra que f de x es igual a (5 x menos 2) por (4 x menos 3). Al lado de esta matemática está la frase: "Crear la función cuadrática al multiplicar los factores". A continuación muestra que f de x es igual a 20 x al cuadrado menos 23 x más 6. Al lado de esta matemática está la frase "Expandir el polinomio". La última ecuación muestra que f de x es igual a (5 por 4) por x al cuadrado menos 23 x más (2 por 3).$

Observe que dos de los factores del término constante, 6, son los dos numeradores de las raíces racionales originales: 2 y 3. Del mismo modo, dos de los factores del coeficiente principal, 20, son los dos denominadores de las raíces racionales originales: 5 y 4.

Podemos deducir que los numeradores de las raíces racionales serán siempre factores del término constante y los denominadores serán factores del coeficiente principal. Esta es la esencia del teorema del cero racional; es un medio para darnos un conjunto de posibles ceros racionales.

El teorema del cero racional

El teorema del cero racional afirma que, si el polinomio $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}$ tiene coeficientes enteros, entonces cada cero racional de $f (x)$ tiene la forma $\frac{p}{q}$ donde $p$ es un factor del término constante $a_{0}$ y $q$ es un factor del coeficiente principal $a_{n} .$

Cuando el coeficiente principal es 1, los posibles ceros racionales son los factores del término constante.

Cómo

Dada una función polinómica $f (x),$ utilizar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales.

Determine todos los factores del término constante y del coeficiente principal.
Determine todos los valores posibles de $\frac{p}{q},$ donde $p$ es un factor del término constante y $q$ es un factor del coeficiente principal. Incluya los candidatos tanto positivos como los negativos.
Determine qué posibles ceros en realidad lo son al evaluar cada caso de $f (\frac{p}{q}) .$

Ejemplo 3

Enumerar todos los posibles ceros racionales

Enumere todos los posibles ceros racionales de $f (x) = 2 x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} - 4.$

Solución

Los únicos ceros racionales posibles de $f (x)$ son los cocientes de los factores del último término, –4, y los factores del coeficiente principal, 2.

El término constante es –4; los factores de –4 son $p = ±1, ±2, ±4.$

El coeficiente principal es 2; los factores de 2 son $q = ±1, ±2.$

Si alguno de los cuatro ceros reales son ceros racionales, entonces serán de uno de los siguientes factores de –4 dividido entre uno de los factores de 2.

\begin{matrix} \frac{p}{q} = \pm \frac{1}{1}, \pm1, \frac{1}{2} & \frac{p}{q} = \pm \frac{2}{1}, \pm2, \frac{2}{2} & \frac{p}{q} = \pm \frac{4}{1}, \pm \frac{4}{2} \end{matrix}

Observe que $\frac{2}{2} = 1$ y $\frac{4}{2} = 2,$ que ya se han enumerado. Así que podemos acortar nuestra lista.

\frac{p}{q} = \frac{Factores de la última}{Factores de la primera} = ±1, ±2, ±4, \pm1, \frac{1}{2}

Ejemplo 4

Usar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales

Utilice el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales de $f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 4 x + 1.$

Solución

El teorema del cero racional nos dice que si $\frac{p}{q}$ es un cero de $f (x),$ entonces $p$ es un factor de 1 y $q$ es un factor de 2.

\begin{array}{l} \frac{p}{q} = \frac{factor de término constante}{factor de coeficiente principal} \\ = \frac{factor de 1}{factor de 2} \end{array}

Los factores de 1 son $±1$ y los factores de 2 son $±1$ y $±2.$ Los posibles valores de $\frac{p}{q}$ son $±1$ y $\pm \frac{1}{2} .$ Estos son los posibles ceros racionales de la función. Podemos determinar cuáles de los posibles ceros son realmente ceros al sustituir estos valores por $x$ en $f (x) .$

\begin{array}{l} f (- 1) = 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 4 (- 1) + 1 = 4 \\ f (1) = 2 {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 4 (1) + 1 = 0 \\ f (- \frac{1}{2}) = 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + {(- \frac{1}{2})}^{2} - 4 (- \frac{1}{2}) + 1 = 3 \\ f (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 1 = - \frac{1}{2} \end{array}

De esos, $−1, - \frac{1}{2}, y \frac{1}{2}$ no son ceros de $f (x) .$ 1 es el único cero racional de $f (x) .$

Inténtelo #3

Utilice el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales de $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 1.$

Hallar los ceros de las funciones polinómicas

El teorema del cero racional nos permite reducir la lista de posibles ceros racionales de una función polinómica. Una vez hecho esto, podemos utilizar la división sintética repetidamente para determinar todos los ceros de una función polinómica.

Cómo

Dada una función polinómica $f,$ utilizar la división sintética para hallar sus ceros.

Utilice el teorema del cero racional para enumerar todos los posibles ceros racionales de la función.
Utilice la división sintética para evaluar un posible cero dado al dividir sintéticamente el candidato en el polinomio. Si el restante es 0, el candidato es un cero. Si el restante no es cero, descarte el candidato.
Repita el segundo paso con el cociente hallado con la división sintética. Si es posible, continúe hasta que el cociente sea un cuadrático.
Halle los ceros de la función cuadrática. Dos métodos posibles para resolver cuadráticas son la factorización y el uso de la fórmula cuadrática.

Ejemplo 5

Hallar los ceros de una función polinómica con ceros reales repetidos

Halle los ceros de $f (x) = 4 x^{3} - 3 x - 1.$

Solución

El teorema del cero racional nos dice que si $\frac{p}{q}$ es un cero de $f (x),$ entonces $p$ es un factor de –1 y $q$ es un factor de 4.

\begin{array}{l} \frac{p}{q} = \frac{factor de término constante}{factor de coeficiente principal} \\ = \frac{factor de –1}{factor de 4} \end{array}

Los factores de $- 1$ son $±1$ y los factores de $4$ son $±1, ±2,$ y $±4.$ Los posibles valores de $\frac{p}{q}$ son $±1, \pm1, \frac{1}{2},$ y $\pm \frac{1}{4} .$ Estos son los posibles ceros racionales de la función. Utilizaremos la división sintética para evaluar cada uno de los posibles ceros hasta encontrar uno que dé un resto de 0. Empecemos con 1.

\begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \end{matrix} \begin{array}{r} 4 & 0 & - 3 & - 1 \\ 4 & 4 & 1 \end{array} \\ \begin{array}{l} 4 & 4 & 1 & 0 \end{array} \end{array}

Dividiendo entre $(x - 1)$ da un restante de 0, por lo que 1 es un cero de la función. El polinomio puede escribirse como

(x - 1) (4 x^{2} + 4 x + 1) .

La cuadrática es un cuadrado perfecto. $f (x)$ puede escribirse como

(x - 1) {(2 x + 1)}^{2} .

Ya sabemos que el 1 es un cero. El otro cero tendrá una multiplicidad de 2 porque el factor es cuadrado. Para hallar el otro cero, podemos llevar el factor igual a 0.

\begin{array}{l} 2 x + 1 = 0 \\ x = - \frac{1}{2} \end{array}

Los ceros de la función son 1 y $- \frac{1}{2}$ con multiplicidad 2.

Análisis

Mire el gráfico de la función $f$ en la Figura 1. Observe que, en $x = - 0,5,$ el gráfico rebota en el eje x, lo cual indica la multiplicidad par (2,4,6...) para el cero $- 0,5.$ En $x = 1,$ el gráfico cruza el eje x, lo cual indica la multiplicidad impar (1, 3, 5...) para el cero $x = 1.$

Gráfico de un polinomio con su máximo local en (-0,5, 0) marcado como "Rebote" y su intersección x en (1, 0) marcada, "Cruz".

Figura 1

Usar el teorema fundamental del álgebra

Ahora que podemos hallar los ceros racionales de una función polinómica, veremos un teorema que aborda el número de ceros complejos de una función polinómica. El teorema fundamental del álgebra nos instruye que toda función polinómica tiene al menos un cero complejo. Este teorema constituye la base para la resolución de ecuaciones polinómicas.

Supongamos que $f$ es una función polinómica de grado cuatro, y $f (x) = 0 .$ El teorema fundamental del álgebra establece que existe al menos una solución compleja, llámese $c_{1} .$ Por el teorema del factor, podemos escribir $f (x)$ como producto de $x - c_{1}$ y un cociente polinómico. Dado que $x - c_{1}$ es lineal, el cociente polinómico será de grado tres. Ahora aplicamos el teorema fundamental del álgebra al cociente del polinomio de tercer grado. Tendrá al menos un cero complejo, llámese $c_{2} .$ Así que podemos escribir el cociente de polinomios como un producto de $x - c_{2}$ y un nuevo cociente polinómico de grado dos. Continúe aplicando el teorema fundamental del álgebra hasta hallar todos los ceros. Serán cuatro y cada uno de ellos arrojará un factor de $f (x) .$

El teorema fundamental del álgebra establece que, si f(x) es un polinomio de grado n > 0, entonces f(x) tendrá al menos un cero complejo.

Podemos utilizar este teorema para argumentar que, si $f (x)$ es un polinomio de grado $n > 0,$ y $a$ es un número real distinto de cero, entonces $f (x)$ tiene exactamente $n$ factores lineales

f (x) = a (x - c_{1}) (x - c_{2}) ... (x - c_{n})

donde $c_{1}, c_{2}, ..., c_{n}$ son números complejos. Por lo tanto, $f (x)$ tiene $n$ raíces si permitimos las multiplicidades.

Preguntas y respuestas

¿Todo polinomio tiene al menos un cero imaginario?

No. Un número complejo no es necesariamente imaginario. Los números reales también son números complejos.

Ejemplo 6

Hallar los ceros de una función polinómica con ceros complejos

Halle los ceros de $f (x) = 3 x^{3} + 9 x^{2} + x + 3.$

Solución

El teorema del cero racional nos dice que si $\frac{p}{q}$ es un cero de $f (x),$ entonces $p$ es un factor de 3 y $q$ es un factor de 3.

\begin{array}{l} \frac{p}{q} = \frac{factor de término constante}{factor de coeficiente principal} \\ = \frac{factor de 3}{factor de 3} \end{array}

Los factores de 3 son $±1$ y $±3.$ Los posibles valores de $\frac{p}{q},$ y, por ende, los posibles ceros racionales de la función son $±3, ±1 y \pm \frac{1}{3} .$ Utilizaremos la división sintética para evaluar cada uno de los posibles ceros hasta encontrar uno que dé un restante de 0. Empecemos con –3.

\begin{array}{l} \begin{matrix} - 3 \end{matrix} \begin{array}{r} 3 & 9 & 1 & 3 \\ - 9 & 0 & - 3 \end{array} \\ \begin{array}{r} 3 & 0 & 1 & 0 \end{array} \end{array}

Dividiendo entre $(x + 3)$ da un restante de 0, por lo que –3 es un cero de la función. El polinomio puede escribirse como

(x + 3) (3 x^{2} + 1)

Podemos entonces fijar la cuadrática igual a 0 y resolver para hallar los demás ceros de la función.

\begin{array}{l} 3 x^{2} + 1 = 0 \\ x^{2} = - \frac{1}{3} \\ x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}} = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3} \end{array}

Los ceros de $f (x)$ son –3 y $\pm \frac{i \sqrt{3}}{3} .$

Análisis

Mire el gráfico de la función $f$ en la Figura 2. Observe que, en $x = - 3,$ el gráfico cruza el eje x, lo cual indica una multiplicidad impar (1) para el cero. $x = - 3.$ Observe también la presencia de los dos puntos de inflexión. Esto significa que, al existir un polinomio de 3.^er grado, estamos ante el máximo número de puntos de inflexión. Así, el comportamiento final de aumento sin límite hacia la derecha y disminución sin límite hacia la izquierda continuará. Por lo tanto, se muestran todas las intersecciones en x para la función. Así que, o bien la multiplicidad de $x = - 3$ es 1 y hay dos soluciones complejas, que es lo que encontramos, o la multiplicidad en $x = - 3$ es tres. En cualquier caso, nuestro resultado es correcto.

Gráfico de un polinomio con su intersección en x en (-3, 0), marcada como "Cruz".

Figura 2

Inténtelo #4

Halle los ceros de $f (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4.$

Usar el teorema de la factorización lineal para hallar polinomios con ceros dados

Una implicación vital del teorema fundamental del álgebra, como mencionamos anteriormente, es que una función polinómica de grado $n$ tendrá $n$ ceros en el conjunto de los números complejos, si permitimos las multiplicidades. Esto significa que podemos factorizar la función polinómica en $n$ factores. El teorema de la factorización lineal nos señala que una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y que cada factor estará en la forma $(x - c),$ donde $c$ es un número complejo.

Supongamos que $f$ es una función polinómica con coeficientes reales, y supongamos que $a + b i, b \neq 0,$ es un cero de $f (x) .$ Entonces, según el teorema del factor, $x - (a + b i)$ es un factor de $f (x) .$ Para que $f$ tenga coeficientes reales, $x - (a - b i)$ también deberá ser un factor de $f (x) .$ Esto es así porque cualquier factor que no sea $x - (a - b i),$ cuando se multiplica por $x - (a + b i),$ dejará componentes imaginarios en el producto. Solo la multiplicación con pares conjugados eliminará las partes imaginarias y dará lugar a coeficientes reales. En otras palabras, si una función polinómica $f$ con coeficientes reales tiene un cero complejo $a + b i,$ entonces el conjugado complejo $a - b i$ también será un cero de $f (x) .$ Esto se denomina el teorema del conjugado complejo.

Teorema del conjugado complejo

Según el teorema de la factorización lineal, una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y cada factor estará en la forma $(x - c),$ donde $c$ es un número complejo.

Si la función polinómica $f$ tiene coeficientes reales y un cero complejo en la forma $a + b i,$ entonces el conjugado complejo del cero, $a - b i,$ también es un cero.

Cómo

Dados los ceros de una función polinómica $f$ y un punto (c, f(c)) en el gráfico de $f,$ utilizar el teorema de la factorización lineal para hallar la función polinómica.

Utilice los ceros para construir los factores lineales del polinomio.
Multiplique los factores lineales para expandir el polinomio.
Sustituya $(c, f (c))$ en la función para determinar el coeficiente principal.
Simplifique.

Ejemplo 7

Usar el teorema de la factorización lineal para hallar un polinomio con ceros dados

Halle un polinomio de cuarto grado con coeficientes reales que tenga ceros de –3, 2, $i,$ de manera que $f (- 2) = 100.$

Solución

Dado que $x = i$ es un cero, según el teorema del conjugado complejo $x = - i$ también es un cero. El polinomio tendrá factores de $(x + 3), (x - 2), (x - i),$ y $(x + i) .$ Ya que estamos buscando un polinomio de grado 4, y ahora tenemos cuatro ceros, tenemos los cuatro factores. Empecemos por multiplicar estos factores.

\begin{array}{l} f (x) = a (x + 3) (x - 2) (x - i) (x + i) \\ f (x) = a (x^{2} + x - 6) (x^{2} + 1) \\ f (x) = a (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6) \end{array}

Tenemos que hallar a para asegurar que $f (- 2) = 100.$ Sustituya $x = - 2$ y $f (2) = 100$ en $f (x) .$

\begin{array}{l} 100 = a ({(- 2)}^{4} + {(- 2)}^{3} - 5 {(- 2)}^{2} + (- 2) - 6) \\ 100 = a (- 20) \\ - 5 = a \end{array}

Así que la función polinómica es

f (x) = - 5 (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6)

o

f (x) = - 5 x^{4} - 5 x^{3} + 25 x^{2} - 5 x + 30

Análisis

Hemos comprobado que tanto $i$ y $- i$ eran ceros, pero solo había que dar uno de estos ceros. Si los valores de $i$ es un cero de un polinomio con coeficientes reales, entonces $- i$ también será un cero del polinomio porque $- i$ es el conjugado complejo de $i .$

Preguntas y respuestas

Si $2 + 3 i$ se diera como un cero de un polinomio con coeficientes reales, sería $2 - 3 i$ ¿también tiene que ser un cero?

Sí. Cuando cualquier número complejo con un componente imaginario se da como un cero de un polinomio con coeficientes reales, el conjugado también será un cero del polinomio.

Inténtelo #5

Halle un polinomio de tercer grado con coeficientes reales que tenga ceros de 5 y $- 2 i$ de manera que $f (1) = 10.$

Usar la regla de los signos de Descartes

Existe una forma directa de determinar el número posible de ceros reales positivos y negativos de cualquier función polinómica. Si el polinomio se escribe en orden descendente, la regla de los signos de Descartes nos habla de una relación entre el número de cambios de signo en $f (x)$ y el número de ceros reales positivos. Por ejemplo, la función polinómica siguiente tiene un cambio de signo.

Esto nos indica que la función tendrá 1 cero real positivo.

Existe una relación similar entre el número de cambios de signo en $f (- x)$ y el número de ceros reales negativos.

La función, f(-x)=(-x)^4+(-x)^3+(-x)^2+(-x)-1=+ x^4-x^3+x^2-x-1, tiene tres cambios de signo entre x^4 y x^3, x^3 y x^2, y x^2 y x.`

En este caso, $f (−x)$ tiene 3 cambios de signo. Esto nos dice que $f (x)$ puede tener 3 o 1 ceros reales negativos.

La regla de los signos de Descartes

Según la regla de los signos de Descartes, supongamos que $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}$ es una función polinómica con coeficientes reales:

El número de ceros reales positivos es igual al número de cambios de signo de $f (x)$ o es menor que el número de cambios de signo en un número entero par.
El número de ceros reales negativos es igual al número de cambios de signo de $f (- x)$ o es menor que el número de cambios de signo en un número entero par.

Ejemplo 8

Usar la regla de los signos de Descartes

Utilice la regla de los signos de Descartes para determinar el número posible de ceros reales positivos y negativos para $f (x) = - x^{4} - 3 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x - 12.$

Solución

Comience por determinar el número de cambios de signo.

La función, f(x)=-x^4-3x^3+6x^2-4x-12, tiene dos cambios de signo entre -3x^3 y 6x^2, y 6x^2 y -4x.`

Figura 3

Hay dos cambios de signo, por lo que hay 2 o 0 raíces reales positivas. A continuación, examinamos $f (- x)$ para determinar el número de raíces reales negativas.

$\begin{array}{l} f (- x) = - {(- x)}^{4} - 3 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} - 4 (- x) - 12 \\ f (- x) = - x^{4} + 3 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x - 12 \end{array}$

La función, f(-x)=-x^4+3x^3+6x^2+4x-12, tiene dos cambios de signo entre -x^4 y 3x^3, y 4x y -12.`

Figura 4

De nuevo, hay dos cambios de signo, por lo que hay 2 o 0 raíces reales negativas.

Hay cuatro posibilidades, como podemos ver en la Tabla 1.

Ceros reales positivos	Ceros reales negativos	Ceros complejos	Total de ceros
2	2	0	4
2	0	2	4
0	2	2	4
0	0	4	4

Tabla 1

Análisis

Podemos confirmar el número de raíces reales positivas y negativas al examinar un gráfico de la función. Vea la Figura 5. Observamos en el gráfico que la función tiene 0 raíces reales positivas y 2 raíces reales negativas.

Gráfico de f(x)=-x^4-3x^3+6x^2-4x-12 con intersecciones x en -4,42 y -1.

Figura 5

Inténtelo #6

Utilice la regla de los signos de Descartes para determinar el número máximo posible de ceros reales positivos y negativos para $f (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 11 x^{2} - 15 x + 12.$ Utilice un gráfico para verificar el número de ceros reales positivos y negativos de la función.

Resolver aplicaciones del mundo real

Ahora hemos introducido una variedad de herramientas para resolver ecuaciones polinómicas. Utilicemos estas herramientas para resolver el problema de la panadería al principio de la sección.

Ejemplo 9

Resolver ecuaciones polinómicas

Una nueva panadería ofrece pasteles decorados de varios pisos para exponerlos y cortarlos en celebraciones de quinceañeras y bodas, así como pasteles en bandeja para servir a la mayoría de los invitados. La panadería quiere que el volumen de un pastel pequeño de bandeja sea de 351 pulgadas cúbicas. El pastel tiene forma de sólido rectangular. Quieren que la longitud del pastel sea diez centímetros más larga que la anchura y que la altura del pastel sea un tercio de la anchura. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del molde?

Solución

Empiece por escribir una ecuación para el volumen del pastel. El volumen de un sólido rectangular viene dado por $V = l w h .$ Nos dieron que la longitud debe ser cuatro pulgadas más larga que la anchura, por lo que podemos expresar la longitud del pastel como $l = w + 4.$ Nos han dado que la altura del pastel es un tercio de la anchura, por lo que podemos expresar la altura como $h = \frac{1}{3} w .$ Escribamos el volumen del pastel en términos de su anchura.

\begin{array}{l} V = (w + 4) (w) (\frac{1}{3} w) \\ V = \frac{1}{3} w^{3} + \frac{4}{3} w^{2} \end{array}

Sustituya el volumen dado en esta ecuación.

\begin{array}{l} 351 = \frac{1}{3} w^{3} + \frac{4}{3} w^{2} & Sustituya 351 por V . \\ 1053 = w^{3} + 4 w^{2} & Multiplique ambos lados por 3 . \\ 0 = w^{3} + 4 w^{2} - 1053 & Reste 1053 de ambos lados . \end{array}

La regla de los signos de Descartes nos indica que hay una solución positiva. El teorema del cero racional nos indica que los posibles ceros racionales son $\pm 1, \pm3,... 3, \pm 9, \pm 13, \pm 27, \pm 39, \pm 81, \pm 117, \pm 351,$ y $\pm 1053.$ Podemos utilizar la división sintética para comprobar estos posibles ceros. Solo los números positivos tienen sentido como dimensiones para un pastel, así que no necesitamos probar ningún valor negativo. Empecemos por probar los valores que tienen más sentido como dimensiones para un pastel de molde pequeño. Utilice la división sintética para comprobar $x = 1.$

\begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \end{matrix} \begin{array}{r} 1 & 4 & 0 & - 1053 \\ 1 & 5 & 5 \end{array} \\ \begin{array}{r} 1 & 5 & 5 & - 1048 \end{array} \end{array}

Ya que 1 no es una solución, comprobaremos $x = 3.$

Ya que 3 tampoco es una solución, probaremos $x = 9.$

La división sintética da un restante de 0, por lo que 9 es una solución de la ecuación. Podemos utilizar las relaciones entre la anchura y las demás dimensiones para determinar la longitud y la altura del molde del pastel.

l = w + 4 = 9 + 4 = 13 y h = \frac{1}{3} w = \frac{1}{3} (9) = 3

El molde debería tener unas dimensiones de 13 pulgadas por 9 pulgadas por 3 pulgadas.

Inténtelo #7

Un contenedor de transporte con forma de sólido rectangular deberá tener un volumen de 84 metros cúbicos. El cliente indica al fabricante que, debido al contenido, la longitud del contenedor deberá ser un metro mayor que la anchura, y la altura deberá ser un metro mayor que el doble de la anchura. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones del contenedor?

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con los ceros de las funciones polinómicas.

3.6 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Describa un uso del teorema del resto.

2.

Explique por qué el teorema del cero racional no garantiza que se hallen los ceros de una función polinómica.

3.

¿Cuál es la diferencia entre los ceros racionales y los reales?

4.

Si la regla de los signos de Descartes revela un no cambio de signos o un signo de cambios, ¿qué conclusión concreta se puede extraer?

5.

Si la división sintética revela un cero, ¿por qué deberíamos probar de nuevo ese valor como posible solución?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del resto para hallar el restante.

6.

$(x^{4} - 9 x^{2} + 14) \div (x - 2)$

7.

$(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 4) \div (x + 3)$

8.

$(x^{4} + 5 x^{3} - 4 x - 17) \div (x + 1)$

9.

$(- 3 x^{2} + 6 x + 24) \div (x - 4)$

10.

$(5 x^{5} - 4 x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \div (x + 6)$

11.

$(x^{4} - 1) \div (x - 4)$

12.

$(3 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x + 2) \div (x - 3)$

13.

$(4 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 7) \div (x + 2)$

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del factor para hallar todos los ceros reales de la función polinómica dada y un factor.

14.

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 13 x - 6; x - 1$

15.

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2; x + 2$

16.

$f (x) = 3 x^{3} + x^{2} - 20 x + 12; x + 3$

17.

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 6; x + 2$

18.

$f (x) = - 5 x^{3} + 16 x^{2} - 9; x - 3$

19.

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 12; x + 3$

20.

$4 x^{3} - 7 x + 3; x - 1$

21.

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 12 x - 30, 2 x + 5$

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del cero racional para hallar todos los ceros reales.

22.

$x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 24 = 0$

23.

$2 x^{3} + 7 x^{2} - 10 x - 24 = 0$

24.

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$

25.

$x^{3} + 5 x^{2} - 16 x - 80 = 0$

26.

$x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75 = 0$

27.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15 = 0$

28.

$2 x^{3} + x^{2} - 7 x - 6 = 0$

29.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - x + 1 = 0$

30.

$3 x^{3} - x^{2} - 11 x - 6 = 0$

31.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 9 = 0$

32.

$2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 3 = 0$

33.

$x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12 = 0$

34.

$x^{4} + 2 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 8 = 0$

35.

$4 x^{4} + 4 x^{3} - 25 x^{2} - x + 6 = 0$

36.

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 15 x^{2} + 32 x - 12 = 0$

37.

$x^{4} + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 10 x - 5 = 0$

38.

$4 x^{3} - 3 x + 1 = 0$

39.

$8 x^{^{4}} + 26 x^{3} + 39 x^{2} + 26 x + 6$

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones complejas (reales y no reales).

40.

$x^{3} + x^{2} + x + 1 = 0$

41.

$x^{3} - 8 x^{2} + 25 x - 26 = 0$

42.

$x^{3} + 13 x^{2} + 57 x + 85 = 0$

43.

$3 x^{3} - 4 x^{2} + 11 x + 10 = 0$

44.

$x^{4} + 2 x^{3} + 22 x^{2} + 50 x - 75 = 0$

45.

$2 x^{3} - 3 x^{2} + 32 x + 17 = 0$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Descartes para determinar el número posible de soluciones positivas y negativas. A continuación, trace un gráfico para confirmar cuál de esas posibilidades es la combinación real.

46.

$f (x) = x^{3} - 1$

47.

$f (x) = x^{4} - x^{2} - 1$

48.

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$

49.

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$

50.

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + 14 x - 5$

51.

$f (x) = 2 x^{3} + 37 x^{2} + 200 x + 300$

52.

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 16 x + 32$

53.

$f (x) = 2 x^{4} - 5 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 3$

54.

$f (x) = 2 x^{4} - 5 x^{3} - 14 x^{2} + 20 x + 8$

55.

$f (x) = 10 x^{4} - 21 x^{2} + 11$

Numéricos

En los siguientes ejercicios, enumere todos los posibles ceros racionales de las funciones.

56.

$f (x) = x^{4} + 3 x^{3} - 4 x + 4$

57.

$f (x) = 2 x^{^{3}} + 3 x^{2} - 8 x + 5$

58.

$f (x) = 3 x^{^{3}} + 5 x^{2} - 5 x + 4$

59.

$f (x) = 6 x^{4} - 10 x^{2} + 13 x + 1$

60.

$f (x) = 4 x^{5} - 10 x^{4} + 8 x^{3} + x^{2} - 8$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la función polinómica. A partir del gráfico, halle los ceros racionales. Todas las soluciones reales son racionales.

61.

$f (x) = 6 x^{3} - 7 x^{2} + 1$

62.

$f (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 13 x - 5$

63.

$f (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2} - 23 x + 6$

64.

$f (x) = 12 x^{4} + 55 x^{3} + 12 x^{2} - 117 x + 54$

65.

$f (x) = 16 x^{4} - 24 x^{3} + x^{2} - 15 x + 25$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, construya una función polinómica del menor grado posible con la información dada.

66.

Raíces reales: –1, 1, 3 y $(2, f (2)) = (2, 4)$

67.

Raíces reales: –1, 1 (con multiplicidad 2 y 1) y $(2, f (2)) = (2, 4)$

68.

Raíces reales: –2, $\frac{1}{2}$ (con multiplicidad 2) y $(- 3, f (- 3)) = (- 3, 5)$

69.

Raíces reales: $- \frac{1}{2}$ , 0, $\frac{1}{2}$ y $(- 2, f (- 2)) = (- 2, 6)$

70.

Raíces reales: –4, –1, 1, 4 y $(- 2, f (- 2)) = (- 2, 10)$

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, halle las dimensiones de la caja descrita.

71.

La longitud es el doble de la anchura. La altura es 2 pulgadas mayor que la anchura. El volumen es de 192 pulgadas cúbicas.

72.

La longitud, la anchura y la altura son números enteros consecutivos. El volumen es de 120 pulgadas cúbicas.

73.

La longitud es una pulgada más que la anchura, que es una pulgada más que la altura. El volumen es de 86,625 pulgadas cúbicas.

74.

La longitud es tres veces la altura y la altura es una pulgada menos que la anchura. El volumen es de 108 pulgadas cúbicas.

75.

La longitud es 3 pulgadas más que la anchura. La anchura es 2 pulgadas más que la altura. El volumen es de 120 pulgadas cúbicas.

En los siguientes ejercicios, halle las dimensiones del cilindro circular descrito.

76.

El radio es 3 pulgadas más que la altura. El volumen es $16 π$ pulgadas cúbicas.

77.

La altura es uno menos que la mitad del radio. El volumen es $72 π$ metros cúbicos.

78.

El radio y la altura difieren en un metro. El radio es mayor y el volumen es $48 π$ metros cúbicos.

79.

El radio y la altura difieren en dos metros. La altura es mayor y el volumen es $28,125 π$ metros cúbicos.

80.

80. El radio es $\frac{1}{3}$ metro mayor que la altura. El volumen es $\frac{98}{9} π$ metros cúbicos.

3.6 Ceros de funciones polinómicas

Evaluar un polinomio con el teorema del resto

Usar el teorema del resto para evaluar un polinomio

Solución

Análisis

Usar el teorema del factor para resolver una ecuación polinómica

Usar el teorema del factor para resolver una ecuación polinómica

Solución

Usar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales

Enumerar todos los posibles ceros racionales

Solución

Usar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales

Solución

Hallar los ceros de las funciones polinómicas

Hallar los ceros de una función polinómica con ceros reales repetidos

Solución

Análisis

Usar el teorema fundamental del álgebra

Hallar los ceros de una función polinómica con ceros complejos

Solución

Análisis

Usar el teorema de la factorización lineal para hallar polinomios con ceros dados

Usar el teorema de la factorización lineal para hallar un polinomio con ceros dados

Solución

Análisis

Usar la regla de los signos de Descartes

Usar la regla de los signos de Descartes

Solución

Análisis

Resolver aplicaciones del mundo real

Resolver ecuaciones polinómicas

Solución

3.6 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Numéricos

En tecnología

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real