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Precálculo 2ed

3.7 Funciones racionales

Precálculo 2ed3.7 Funciones racionales

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Utilizar la notación de flechas.
  • Resolver problemas aplicados con funciones racionales.
  • Hallar los dominios de las funciones racionales.
  • Identificar las asíntotas verticales.
  • Identificar las asíntotas horizontales.
  • Graficar funciones racionales.

Supongamos que sabemos que el costo de fabricación de un producto depende del número de artículos, x, x, producidos. Esto viene dado por la ecuación C(x)=15.000x0,1 x 2 +1.000. C(x)=15.000x0,1 x 2 +1.000. Si queremos saber el costo promedio de producir x x artículos, dividiríamos la función de costo entre el número de artículos, x. x.

La función de costo promedio, que arroja el costo promedio por artículo para x x artículos producidos, es

f(x)= 15.000x0,1 x 2 +1.000 x f(x)= 15.000x0,1 x 2 +1.000 x

Muchos otros problemas de aplicación requieren hallar un valor promedio de forma similar, para darnos variables en el denominador. Esta función, escrita sin ninguna variable en el denominador, contendrá una potencia entera negativa.

En las últimas secciones, hemos trabajado con funciones polinómicas, que son funciones con enteros no negativos para los exponentes. En esta sección, exploramos las funciones racionales, que tienen variables en el denominador.

Usar la notación de flechas

Hemos visto los gráficos de la función recíproca básica y de la función recíproca al cuadrado a partir de nuestro estudio de las funciones de la caja de herramientas. Examine estos gráficos, como se muestra en la Figura 1, y observe algunas de sus características.

Gráficos de f(x)=1/x y f(x)=1/x^2
Figura 1

Varios aspectos son evidentes si examinamos el gráfico de f(x)= 1 x . f(x)= 1 x .

  1. En la rama izquierda del gráfico, la curva se acerca al eje x (y=0)dado quex. (y=0)dado quex.
  2. A medida que el gráfico se acerca a x=0 x=0 desde la izquierda, la curva desciende; sin embargo, a medida que nos acercamos a cero desde la derecha, la curva sube.
  3. Finalmente, en la rama derecha del gráfico, las curvas se acercan al eje x (y=0)dado quex. (y=0)dado quex.

Para resumir, utilizamos la notación de flecha para mostrar que x x o f(x) f(x) se acerca a un valor determinado. Vea la Tabla 1.

Símbolo Significado
x a x a x x se acerca a a a desde la izquierda ( x<a x<a pero está cerca de a a ).
x a + x a + x x se acerca a a a desde la derecha ( x>a x>a pero está cerca de a a ).
x x x x se acerca al infinito ( x x aumenta sin límite)
x- x- x x se acerca al infinito negativo ( x x disminuye sin límite)
f(x) f(x) la salida se acerca al infinito (la salida aumenta sin límite)
f(x)- f(x)- la salida se acerca al infinito negativo (la salida disminuye sin límite)
f(x)a f(x)a la salida se acerca a a a
Tabla 1 Notación de flechas

Comportamiento local de f(x)= 1 x f(x)= 1 x

Empecemos por ver la función recíproca, f(x)= 1 x . f(x)= 1 x . No podemos dividir entre cero, lo que significa que la función es indefinida en x=0; x=0; por lo que el cero no está en el dominio. A medida que los valores de entrada se acercan a cero desde el lado izquierdo (para convertirse en valores muy pequeños y negativos), los valores de la función disminuyen sin límite (en otras palabras, se acercan al infinito negativo). Podemos ver este comportamiento en la Tabla 2.

x x –0,1 –0,01 –0,001 –0,0001
f(x)= 1 x f(x)= 1 x -10 –100 –1.000 –10.000
Tabla 2

Escribimos en la notación de flechas

dado que x 0 ,f(x)- dado que x 0 ,f(x)-

A medida que los valores de entrada se acercan a cero desde el lado derecho (para convertirse en valores positivos muy pequeños), los valores de la función aumentan sin límite (se acercan al infinito). Podemos ver este comportamiento en la Tabla 3.

x x 0,1 0,01 0,001 0,0001
f(x)= 1 x f(x)= 1 x 10 100 1.000 10.000
Tabla 3

Escribimos en la notación de flechas

Dado que x 0 + ,f(x). Dado que x 0 + ,f(x).

Vea la Figura 2.

Gráfico de f(x)=1/x que denota el comportamiento final. Cuando x va al infinito negativo, f(x) va a 0, y cuando x va a 0^-, f(x) va al infinito negativo. Cuando x va al infinito positivo, f(x) va a 0, y cuando x va a 0^+, f(x) va al infinito positivo.
Figura 2

Este comportamiento crea una asíntota vertical, que es una línea vertical a la que se acerca el gráfico, pero nunca cruza. En este caso, el gráfico se acerca a la línea vertical x=0 x=0 a medida que la entrada se acerca a cero. Vea la Figura 3.

Gráfico de f(x)=1/x con su asíntota vertical en x=0.
Figura 3

Asíntota vertical

La asíntota vertical de un gráfico es una línea vertical x=a x=a donde el gráfico tiende hacia el infinito positivo o negativo a medida que la entrada se acerca a a a ya sea a la izquierda o a la derecha. Escribimos

Dado que xa,f(x)±xa+,f(x)±. Dado que xa,f(x)±xa+,f(x)±.

Comportamiento final de f(x)= 1 x f(x)= 1 x

Dado que los valores de x x se acercan al infinito, los valores de la función se acercan a 0. Dado que los valores de x x se acercan al infinito negativo, los valores de la función se acercan a 0. Vea la Figura 4. Simbólicamente, mediante la notación de flechas

Dado que x,f(x)0y dado que x-,f(x)0. Dado que x,f(x)0y dado que x-,f(x)0.

Gráfico de f(x)=1/x, en el que se destacan los segmentos de los puntos de inflexión para denotar su comportamiento final.
Figura 4

Con base en este comportamiento general y en el gráfico, vemos que la función se acerca a 0, pero nunca llega realmente a 0; parece que se nivela a medida que aumentan las entradas. Este comportamiento crea una asíntota horizontal, una línea horizontal a la que se acerca el gráfico a medida que la entrada aumenta o disminuye sin límite. En este caso, el gráfico se acerca a la línea horizontal y=0. y=0. Vea la Figura 5.

Gráfico de f(x)=1/x con su asíntota vertical en x=0 y su asíntota horizontal en y=0.
Figura 5

Asíntota horizontal

La asíntota horizontal de un gráfico es una línea horizontal y=b y=b donde el gráfico se aproxima a la línea a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite. Escribimos

Dado que x o x-,f(x)b. Dado que x o x-,f(x)b.

Ejemplo 1

Usar la notación de flechas

Utilice la notación de flecha para describir el comportamiento final y el comportamiento local de la función graficada en la Figura 6.

Gráfico de f(x)=1/(x-2)+4 con su asíntota vertical en x=2 y su asíntota horizontal en y=4.
Figura 6

Inténtelo #1

Use la notación de flecha para describir el comportamiento final y el comportamiento local de la función recíproca al cuadrado.

Ejemplo 2

Usar transformaciones para graficar una función racional

Dibuje un gráfico de la función recíproca, desplazada 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Identifique las asíntotas horizontales y verticales del gráfico, si las hay.

Análisis

Observe que las asíntotas horizontales y verticales se desplazan 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba, junto con la función.

Inténtelo #2

Dibuje el gráfico y halle las asíntotas horizontales y verticales de la función recíproca al cuadrado que se ha desplazado 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo.

Resolver problemas aplicados con funciones racionales

En el Ejemplo 2, hemos desplazado una función de la caja de herramientas de manera que la función f(x)= 3x+7 x+2 . f(x)= 3x+7 x+2 . Este es un ejemplo de función racional. La función racional es aquella que se escribe como el cociente de dos funciones polinómicas. Muchos problemas del mundo real exigen que hallemos el cociente de dos funciones polinómicas. Los problemas que implican tasas y concentraciones a menudo implican funciones racionales.

Función racional

La función racional es aquella que se escribe como el cociente de dos funciones polinómicas P(x)yQ(x). P(x)yQ(x).

f(x)= P(x) Q(x) = a p x p + a p-1 x p-1 +...+ a 1 x+ a 0 b q x q + b q1 x q1 +...+ b 1 x+ b 0 ,Q(x)0 f(x)= P(x) Q(x) = a p x p + a p-1 x p-1 +...+ a 1 x+ a 0 b q x q + b q1 x q1 +...+ b 1 x+ b 0 ,Q(x)0

Ejemplo 3

Resolver un problema aplicado con una función racional

Después de quedarse sin suministros preempacados, una enfermera de un campo de refugiados prepara una solución de azúcar intravenosa para los pacientes del hospital de campaña. Un gran tanque de mezcla contiene actualmente 100 galones de agua en los que se han mezclado 5 libras de azúcar. Un grifo se abrirá para verter 10 galones por minuto de agua en el tanque, al mismo tiempo que se vierte azúcar a un ritmo de 1 libra por minuto. Halle la concentración (libras por galón) de azúcar en el tanque después de 12 minutos. ¿Es una concentración mayor que al principio?

Análisis

Para calcular la asíntota horizontal, divida el coeficiente principal del numerador entre el coeficiente principal del denominador:

1 10 =0,1 1 10 =0,1

Observe que la asíntota horizontal es y=0,1. y=0,1. Esto significa que la concentración, C, C, la proporción de libras de azúcar por galones de agua, se acercará a 0,1 a largo plazo.

Inténtelo #3

Hay 1.200 estudiantes de primer año y 1.500 de segundo en una concentración al mediodía. Después de las 12 p. m., 20 estudiantes de primer año llegan a la concentración cada cinco minutos, mientras que 15 estudiantes de segundo año la abandonan. Halle la relación de estudiantes de primer y segundo años a la 1 p. m.

Hallar los dominios de las funciones racionales

La asíntota vertical representa un valor en el que una función racional es indefinida, por lo que ese valor no está en el dominio de la función. La función recíproca no puede tener valores en su dominio que hagan que el denominador sea igual a cero. En general, para hallar el dominio de la función racional, necesitamos determinar qué entradas provocarían la división entre cero.

Dominio de la función racional

El dominio de una función racional incluye todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero.

Cómo

Dada una función racional, hallar el dominio.

  1. Igualar el denominador a cero.
  2. Resuelva para hallar los valores de x que hacen que el denominador sea igual a cero.
  3. El dominio son todos los números reales, excepto los encontrados en el paso 2.

Ejemplo 4

Hallar el dominio de una función racional

Halle el dominio de f(x)= x+3 x 2 -9 . f(x)= x+3 x 2 -9 .

Análisis

El gráfico de esta función, como se muestra en la Figura 8, confirma que la función no está definida cuando x=±3. x=±3.

Gráfico de f(x)=1/(x-3) con su asíntota vertical en x=3 y su asíntota horizontal en y=0.
Figura 8

Hay una asíntota vertical en x=3 x=3 y un agujero en el gráfico en x=3. x=3. Más adelante hablaremos con más detalle acerca de este tipo de agujeros.

Inténtelo #4

Halle el dominio de f(x)= 4x 5(x1)(x-5) . f(x)= 4x 5(x1)(x-5) .

Identificar las asíntotas verticales de las funciones racionales

Al observar el gráfico de una función racional, podemos investigar su comportamiento local y ver fácilmente si hay asíntotas. Puede que incluso seamos capaces de calcular aproximadamente su ubicación. Sin embargo, incluso sin el gráfico, podemos determinar si una función racional dada tiene alguna asíntota y calcular su ubicación.

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales de una función racional se hallan al examinar los factores del denominador que no son comunes a los factores del numerador. Las asíntotas verticales se producen en los ceros de dichos factores.

Cómo

Dada una función racional, identificar las asíntotas verticales de su gráfico.

  1. Factorice el numerador y el denominador.
  2. Tenga en cuenta las restricciones en el dominio de la función.
  3. Reduzca la expresión al cancelar los factores comunes en el numerador y el denominador.
  4. Tenga en cuenta los valores que hacen que el denominador sea cero en esta versión simplificada. Aquí es donde se producen las asíntotas verticales.
  5. Observe cualquier restricción en el dominio donde no se produzcan asíntotas. Se trata de discontinuidades removibles.

Ejemplo 5

Identificar asíntotas verticales

Halle las asíntotas verticales en el gráfico de k(x)= 5+2 x 2 2 -x x 2 . k(x)= 5+2 x 2 2 -x x 2 .

Discontinuidades removibles

En ocasiones, un gráfico contiene un agujero: un único punto en el que el gráfico no está definido, indicado por un círculo abierto. Denominamos a tal agujero discontinuidad removible.

Por ejemplo, la función f(x)= x 2 1 x 2 -2 x-3 f(x)= x 2 1 x 2 -2 x-3 puede reescribirse mediante la factorización del numerador y del denominador.

f(x)= ( x+1 )( x1 ) ( x+1 )( x-3 ) f(x)= ( x+1 )( x1 ) ( x+1 )( x-3 )

Observe que x+1 x+1 es un factor común al numerador y al denominador. El cero de este factor, x=-1, x=-1, es la ubicación de la discontinuidad removible. Observe también que x3 x3 no es un factor ni en el numerador ni en el denominador. El cero de este factor, x=3, x=3, es la asíntota vertical. Vea la Figura 10.

Gráfico de f(x)=(x^2-1)/(x^2-2x-3) con su asíntota vertical en x=3 y una discontinuidad removible en x=-1.
Figura 10

Discontinuidades removibles de las funciones racionales

La discontinuidad removible ocurre en el gráfico de una función racional en x=a x=a si a a es un cero para un factor en el denominador que es común con un factor en el numerador. Factorizamos el numerador y el denominador y comprobamos si hay factores comunes. Si encontramos alguno, igualamos a 0 el factor común y resolvemos. Esta es la ubicación de la discontinuidad removible. Esto es así si la multiplicidad de este factor es mayor o igual que la del denominador. Si la multiplicidad de este factor es mayor en el denominador, entonces sigue habiendo una asíntota en ese valor.

Ejemplo 6

Identificar asíntotas verticales y discontinuidades removibles para un gráfico

Calcule las asíntotas verticales y las discontinuidades removibles del gráfico de k(x)= x-2 x 2 -4 . k(x)= x-2 x 2 -4 .

Inténtelo #5

Calcule las asíntotas verticales y las discontinuidades removibles del gráfico de f(x)= x 2 -25 x 3 -6 x 2 +5x . f(x)= x 2 -25 x 3 -6 x 2 +5x .

Identificar las asíntotas horizontales de las funciones racionales

Mientras que las asíntotas verticales describen el comportamiento de un gráfico cuando la salida es muy grande o muy pequeña, las asíntotas horizontales describen el comportamiento de un gráfico cuando la entrada es muy grande o muy pequeña. Recordemos que el comportamiento final de un polinomio reflejará el del término principal. Asimismo, el comportamiento final de la función racional reflejará el del cociente de los términos principales de las funciones del numerador y del denominador.

Hay tres resultados distintos al comprobar las asíntotas horizontales:

Caso 1: Si el grado del denominador > grado del numerador, existe una asíntota horizontal en y=0. y=0.

Ejemplo: f(x)= 4x+2 x 2 +4x-5 Ejemplo: f(x)= 4x+2 x 2 +4x-5

En este caso, el comportamiento final es f(x) 4x x 2 = 4 x . f(x) 4x x 2 = 4 x . Esto nos indica que, a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de forma similar a la función g(x)= 4 x , g(x)= 4 x , y las salidas se acercarán a cero, lo que dará lugar a una asíntota horizontal en y=0. y=0. Vea la Figura 12. Observe que este gráfico cruza la asíntota horizontal.

Gráfico de f(x)=(4x+2)/(x^2+4x-5) con sus asíntotas verticales en x=-5 y x=1 y su asíntota horizontal en y=0.
Figura 12 Asíntota horizontal y=0 y=0 cuando f(x)= p(x) q(x) ,q(x)0donde el grado dep<grado deq. f(x)= p(x) q(x) ,q(x)0donde el grado dep<grado deq.

Caso 2: Si el grado del denominador < grado del numerador en uno, obtenemos una asíntota oblicua.

Ejemplo: f(x)= 3 x 2 -2 x+1 x1 Ejemplo: f(x)= 3 x 2 -2 x+1 x1

En este caso, el comportamiento final es f(x) 3 x 2 x =3x. f(x) 3 x 2 x =3x. Esto nos indica que, a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de forma similar a la función g(x)=3x. g(x)=3x. A medida que las entradas crezcan, las salidas crecerán y no se nivelarán, por lo que este gráfico no tiene asíntota horizontal. Sin embargo, el gráfico de g(x)=3x g(x)=3x parece una línea diagonal, y dado que f f se comportará de forma similar a g, g, se aproximará a una línea cercana a y=3x. y=3x. Esta línea es una asíntota oblicua.

Para hallar la ecuación de la asíntota oblicua, divida 3 x 2 -2 x+1 x1 . 3 x 2 -2 x+1 x1 . El cociente es 3x+1, 3x+1, y el restante es 2. La asíntota oblicua es el gráfico de la recta g(x)=3x+1. g(x)=3x+1. Vea la Figura 13.

Gráfico de f(x)=(3x^2-2x+1)/(x-1) con su asíntota vertical en x=1 y una asíntota oblicua en y=3x+1.
Figura 13 Asíntota oblicua cuando f(x)= p(x) q(x) ,q(x)0 f(x)= p(x) q(x) ,q(x)0 donde el grado de p>grado de qpor1. p>grado de qpor1.

Caso 3: Si el grado del denominador = grado del numerador, existe una asíntota horizontal en y= a n b n , y= a n b n , donde a n a n y b n b n son los coeficientes principales de p( x ) p( x ) como q( x ) q( x ) por f(x)= p(x) q(x) ,q(x)0. f(x)= p(x) q(x) ,q(x)0.

Ejemplo: f(x)= 3 x 2 +2 x 2 +4x-5 Ejemplo: f(x)= 3 x 2 +2 x 2 +4x-5

En este caso, el comportamiento final es f(x) 3 x 2 x 2 =3. f(x) 3 x 2 x 2 =3. Esto nos indica que, a medida que las entradas crezcan, esta función se comportará como la función g(x)=3, g(x)=3, que es una línea horizontal. Dado que x±,f(x)3, x±,f(x)3, lo que da lugar a una asíntota horizontal en y=3. y=3. Vea la Figura 14. Observe que este gráfico cruza la asíntota horizontal.

Gráfico de f(x)=(3x^2+2)/(x^2+4x-5) con sus asíntotas verticales en x=-5 y x=1 y su asíntota horizontal en y=3.
Figura 14 Asíntota horizontal cuando f(x)= p(x) q(x) ,q(x)0donde el grado de p=grado de q. f(x)= p(x) q(x) ,q(x)0donde el grado de p=grado de q.

Observe que, mientras que el gráfico de una función racional nunca cruzará una asíntota vertical, el gráfico puede o no cruzar una asíntota horizontal u oblicua. Además, aunque el gráfico de una función racional puede tener muchas asíntotas verticales, el gráfico tendrá como mucho una asíntota horizontal (u oblicua).

Hay que tener en cuenta que, si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en más de uno, el comportamiento final del gráfico imitará el comportamiento de la fracción reducida de comportamiento final. Por ejemplo, si tuviéramos la función

f(x)= 3 x 5 - x 2 x+3 f(x)= 3 x 5 - x 2 x+3

con comportamiento final

f(x) 3 x 5 x =3 x 4 , f(x) 3 x 5 x =3 x 4 ,

el comportamiento final del gráfico sería semejante al de un polinomio par con coeficiente principal positivo.

x±,f(x) x±,f(x)

Asíntotas horizontales de las funciones racionales

La asíntota horizontal de una función racional se determina al mirar los grados del numerador y del denominador.

  • El grado del numerador es menor que el grado del denominador: asíntota horizontal en y=0. y=0.
  • El grado del numerador es mayor que el grado del denominador en uno: no hay asíntota horizontal; asíntota oblicua.
  • El grado del numerador es igual al grado del denominador: asíntota horizontal en la relación de los coeficientes principales.

Ejemplo 7

Identificar asíntotas horizontales y oblicuas

En las siguientes funciones, identifique la asíntota horizontal o la asíntota oblicua.

  1. g(x)= 6 x 3 -10x 2 x 3 +5 x 2 g(x)= 6 x 3 -10x 2 x 3 +5 x 2
  2. h(x)= x 2 -4x+1 x+2 h(x)= x 2 -4x+1 x+2
  3. k(x)= x 2 +4x x 3 -8 k(x)= x 2 +4x x 3 -8

Ejemplo 8

Identificar asíntotas horizontales

En el problema de concentración de azúcar anterior, creamos la ecuación C(t)= 5+t 100+10t . C(t)= 5+t 100+10t .

Halle la asíntota horizontal e interprétela en el contexto del problema.

Ejemplo 9

Identificar asíntotas horizontales y verticales

Halle las asíntotas horizontales y verticales de la función

f(x)= (x-2 )(x+3) (x1)(x+2 )(x-5) f(x)= (x-2 )(x+3) (x1)(x+2 )(x-5)

Inténtelo #6

Halle las asíntotas vertical y horizontal de la función:

f(x)= (2 x1)(2 x+1) (x-2 )(x+3) f(x)= (2 x1)(2 x+1) (x-2 )(x+3)

Intersecciones de las funciones racionales

Una función racional tendrá una intersección en y cuando la entrada sea cero, si la función está definida en cero. Una función racional no tendrá intersección en y si la función no está definida en cero.

Del mismo modo, una función racional tendrá intersecciones en x en las entradas que hacen que la salida sea cero. Dado que una fracción solo es igual a cero cuando el numerador es cero, las intersecciones en x ocurren únicamente cuando el numerador de la función racional es igual a cero.

Ejemplo 10

Hallar las intersecciones de una función racional

Halle las intersecciones de f(x)= (x-2 )(x+3) (x1)(x+2 )(x-5) . f(x)= (x-2 )(x+3) (x1)(x+2 )(x-5) .

Inténtelo #7

Dada la función recíproca al cuadrado que se desplaza 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo, escríbala como una función racional. A continuación, halle las intersecciones en x y en y, así como las asíntotas horizontales y verticales.

Graficar funciones racionales

En el Ejemplo 9, vemos que el numerador de la función racional revela las intersecciones en x del gráfico, mientras que el denominador revela las asíntotas verticales. Al igual que con los polinomios, los factores del numerador pueden tener potencias enteras mayores que uno. Afortunadamente, el efecto sobre la forma del gráfico en esas intersecciones es el mismo que vimos con los polinomios.

Las asíntotas verticales asociadas a los factores del denominador reflejarán una de las dos funciones recíprocas de la caja de herramientas. Cuando el grado del factor en el denominador es impar, la característica distintiva es que, a un lado de la asíntota vertical, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo, mientras que, al otro lado, el gráfico se dirige hacia el infinito negativo. Vea la Figura 17.

Gráfico de y=1/x con su asíntota vertical en x=0.
Figura 17

Cuando el grado del factor en el denominador es par, la característica distintiva es que el gráfico se dirige hacia el infinito positivo en ambos lados de la asíntota vertical o se dirige hacia el infinito negativo en ambos lados. Vea la Figura 18.

Gráfico de y=1/x^2 con su asíntota vertical en x=0.
Figura 18

Por ejemplo, el gráfico de f(x)= (x+1) 2 (x-3) (x+3) 2 (x-2 ) f(x)= (x+1) 2 (x-3) (x+3) 2 (x-2 ) se muestra en la Figura 19.

Gráfico de f(x)=(x+1)^2(x-3)/(x+3)^2(x-2) con sus asíntotas verticales en x=-3 y x=2, su asíntota horizontal en y=1, y sus intersecciones en (-1, 0), (0, 1/6) y (3, 0).
Figura 19
  • En la intersección en x x=-1 x=-1 correspondiente al factor (x+1) 2 (x+1) 2 del numerador, el gráfico rebota, en consonancia con la naturaleza cuadrática del factor.
  • En la intersección en x x=3 x=3 correspondiente al factor (x-3) (x-3) del numerador, el gráfico pasa por el eje, como cabría esperarse de un factor lineal.
  • En la asíntota vertical x=-3 x=-3 correspondiente al factor (x+3) 2 (x+3) 2 del denominador, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo a ambos lados de la asíntota, lo que es compatible con el comportamiento de la función f(x)= 1 x 2 . f(x)= 1 x 2 .
  • En la asíntota vertical x=2 , x=2 , correspondiente al factor (x-2 ) (x-2 ) del denominador, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo en el lado izquierdo de la asíntota y hacia el infinito negativo en el lado derecho.

Cómo

Dada una función racional, dibuje un gráfico.

  1. Evalúe la función en 0 para hallar la intersección en y.
  2. Factorice el numerador y el denominador.
  3. En los factores del numerador que no son comunes al denominador, determine dónde cada factor del numerador es cero para hallar las intersecciones en x.
  4. Calcule las multiplicidades de las intersecciones en x para determinar el comportamiento del gráfico en esos puntos.
  5. En los factores del denominador, observe las multiplicidades de los ceros para determinar el comportamiento local. En los factores que no sean comunes al numerador, halle las asíntotas verticales al igualar esos factores a cero y luego resuelva.
  6. En los factores en el denominador comunes a los factores en el numerador, halle las discontinuidades removibles al igualar esos factores a 0 y luego resuelva.
  7. Compare los grados del numerador y del denominador para determinar las asíntotas horizontales u oblicuas.
  8. Dibuje el gráfico.

Ejemplo 11

Graficar una función racional

Dibuje un gráfico de f(x)= (x+2 )(x-3) (x+1) 2 (x-2 ) . f(x)= (x+2 )(x-3) (x+1) 2 (x-2 ) .

Inténtelo #8

Dada la función f(x)= (x+2 ) 2 (x-2 ) 2 (x1) 2 (x-3) , f(x)= (x+2 ) 2 (x-2 ) 2 (x1) 2 (x-3) , utilice las características de los polinomios y de las funciones racionales para describir su comportamiento y hacer un esquema de la función.

Escribir funciones racionales

Ahora que hemos analizado las ecuaciones de las funciones racionales y cómo se relacionan con un gráfico de la función, podemos utilizar la información dada por un gráfico para escribir la función. La función racional escrita en forma factorizada tendrá una intersección en x, donde cada factor del numerador es igual a cero. (Se produce una excepción en el caso de discontinuidad removible). En consecuencia, podemos formar el numerador de una función cuyo gráfico pase por un conjunto de intersecciones en x, al introducir el correspondiente conjunto de factores. Asimismo, dado que la función tendrá una asíntota vertical en la que cada factor del denominador es igual a cero, podemos formar un denominador que produzca las asíntotas verticales al introducir el correspondiente conjunto de factores.

Escribir funciones racionales a partir de intersecciones y asíntotas

Si una función racional tiene intersecciones en x en x= x 1 , x 2 ,..., x n , x= x 1 , x 2 ,..., x n , asíntotas verticales en x= v 1 , v 2 ,, v m , x= v 1 , v 2 ,, v m , y ninguna x i =cualquier  v j , x i =cualquier  v j , entonces la función se puede escribir en la forma:

f(x)=a (x x 1 ) p 1 (x x 2 ) p 2 (x x n ) p n (x v 1 ) q 1 (x v 2 ) q 2 (x v m ) q m f(x)=a (x x 1 ) p 1 (x x 2 ) p 2 (x x n ) p n (x v 1 ) q 1 (x v 2 ) q 2 (x v m ) q m

donde las potencias p i p i o q i q i en cada factor se determinan por el comportamiento del gráfico en la intersección o asíntota correspondiente y el factor de estiramiento a a puede determinarse dado un valor de la función distinto de la intersección en x o por la asíntota horizontal si es distinta de cero.

Cómo

Dado el gráfico de una función racional, escribir la función.

  1. Determine los factores del numerador. Examine el comportamiento del gráfico en las intersecciones en x para determinar los ceros y sus multiplicidades. (Esto es fácil cuando se halla la función "más simple" con multiplicidades pequeñas [como 1 o 3]. Sin embargo, puede ser difícil para multiplicidades mayores [como 5 o 7, por ejemplo]).
  2. Determine los factores del denominador. Examine el comportamiento a ambos lados de cada asíntota vertical para determinar los factores y sus potencias.
  3. Utilice cualquier punto claro en el gráfico para hallar el factor de estiramiento.

Ejemplo 12

Escribir una función racional a partir de las intersecciones y las asíntotas

Escriba una ecuación para la función racional que se muestra en la Figura 22.

Gráfico de una función racional.
Figura 22

3.7 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Cuál es la diferencia fundamental en la representación algebraica de una función polinómica y una función racional?

2.

¿Cuál es la diferencia fundamental en los gráficos de las funciones polinómicas y las funciones racionales?

3.

Si el gráfico de una función racional tiene una discontinuidad removible, ¿qué debe ser cierto de la regla funcional?

4.

¿El gráfico de una función racional puede no tener asíntota vertical? Si es así, ¿cómo?

5.

¿El gráfico de una función racional puede no tener intersecciones en x? Si es así, ¿cómo?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el dominio de las funciones racionales.

6.

f(x)= x1 x+2 f(x)= x1 x+2

7.

f(x)= x+1 x 2 1 f(x)= x+1 x 2 1

8.

f(x)= x 2 +4 x 2 -2 x-8 f(x)= x 2 +4 x 2 -2 x-8

9.

f(x)= x 2 +4x-3 x 4 5 x 2 +4 f(x)= x 2 +4x-3 x 4 5 x 2 +4

En los siguientes ejercicios, halle el dominio, las asíntotas verticales y las asíntotas horizontales de las funciones.

10.

f(x)= 4 x1 f(x)= 4 x1

11.

f( x )= 2 5x+2 f( x )= 2 5x+2

12.

f(x)= x x 2 -9 f(x)= x x 2 -9

13.

f(x)= x x 2 +5x36 f(x)= x x 2 +5x36

14.

f( x )= 3+x x 3 27 f( x )= 3+x x 3 27

15.

f(x)= 3x-4 x 3 16x f(x)= 3x-4 x 3 16x

16.

f(x)= x 2 1 x 3 +9 x 2 +14x f(x)= x 2 1 x 3 +9 x 2 +14x

17.

f(x)= x+5 x 2 -25 f(x)= x+5 x 2 -25

18.

f(x)= x-4 x-6 f(x)= x-4 x-6

19.

f( x )= 42 x 3x1 f( x )= 42 x 3x1

En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de las funciones.

20.

f(x)= x+5 x 2 +4 f(x)= x+5 x 2 +4

21.

f(x)= x x 2 -x f(x)= x x 2 -x

22.

f(x)= x 2 +8x+7 x 2 +11x+30 f(x)= x 2 +8x+7 x 2 +11x+30

23.

f(x)= x 2 +x+6 x 2 -10x+24 f(x)= x 2 +x+6 x 2 -10x+24

24.

f(x)= 942 x 2 3 x 2 -12 f(x)= 942 x 2 3 x 2 -12

En los siguientes ejercicios, describa el comportamiento local y final de las funciones.

25.

f( x )= x 2 x+1 f( x )= x 2 x+1

26.

f( x )= 2 x x-6 f( x )= 2 x x-6

27.

f( x )= -2 x x-6 f( x )= -2 x x-6

28.

f( x )= x 2 -4x+3 x 2 -4x-5 f( x )= x 2 -4x+3 x 2 -4x-5

29.

f( x )= 2 x 2 -32 6 x 2 +13x-5 f( x )= 2 x 2 -32 6 x 2 +13x-5

En los siguientes ejercicios, halle la asíntota oblicua de las funciones.

30.

f(x)= 24 x 2 +6x 2 x+1 f(x)= 24 x 2 +6x 2 x+1

31.

f(x)= 4 x 2 -10 2x-4 f(x)= 4 x 2 -10 2x-4

32.

f(x)= 81 x 2 18 3x-2 f(x)= 81 x 2 18 3x-2

33.

f(x)= 6 x 3 -5x 3 x 2 +4 f(x)= 6 x 3 -5x 3 x 2 +4

34.

f(x)= x 2 +5x+4 x1 f(x)= x 2 +5x+4 x1

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice la transformación dada para graficar la función. Observe las asíntotas verticales y horizontales.

35.

La función recíproca se desplazó 2 unidades hacia arriba.

36.

La función recíproca se desplazó 1 unidad hacia abajo y 3 unidades hacia la izquierda.

37.

La función recíproca al cuadrado se desplazó 2 unidades hacia la derecha.

38.

La función recíproca al cuadrado se desplazó 2 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha.

En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones horizontales, la intersección vertical, las asíntotas verticales y la asíntota horizontal u oblicua de las funciones. Dibuje un gráfico con esta información.

39.

p( x )= 2 x-3 x+4 p( x )= 2 x-3 x+4

40.

q( x )= x-5 3x1 q( x )= x-5 3x1

41.

s( x )= 4 ( x-2 ) 2 s( x )= 4 ( x-2 ) 2

42.

r( x )= 5 ( x+1 ) 2 r( x )= 5 ( x+1 ) 2

43.

f( x )= 3 x 2 14x-5 3 x 2 +8x16 f( x )= 3 x 2 14x-5 3 x 2 +8x16

44.

g( x )= 2 x 2 +7x-15 3 x 2 14x+15 g( x )= 2 x 2 +7x-15 3 x 2 14x+15

45.

a( x )= x 2 +2 x-3 x 2 1 a( x )= x 2 +2 x-3 x 2 1

46.

b( x )= x 2 -x-6 x 2 -4 b( x )= x 2 -x-6 x 2 -4

47.

h( x )= 2 x 2 +x1 x-4 h( x )= 2 x 2 +x1 x-4

48.

k( x )= 2 x 2 -3x-20 x-5 k( x )= 2 x 2 -3x-20 x-5

49.

w( x )= ( x1 )( x+3 )( x-5 ) ( x+2 ) 2 (x-4) w( x )= ( x1 )( x+3 )( x-5 ) ( x+2 ) 2 (x-4)

50.

z( x )= ( x+2 ) 2 ( x-5 ) ( x-3 )( x+1 )( x+4 ) z( x )= ( x+2 ) 2 ( x-5 ) ( x-3 )( x+1 )( x+4 )

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para una función racional con las características dadas.

51.

Asíntotas verticales en x=5 x=5 y x=-5, x=-5, intersecciones en x, en (2 ,0) (2 ,0) y (-1,0), (-1,0), intersección en y, en ( 0,4 ) ( 0,4 )

52.

Asíntotas verticales en x=4 x=4 y x=-1, x=-1, intersecciones en x, en ( 1,0 ) ( 1,0 ) y ( 5,0 ), ( 5,0 ), intersección en y, en (0,7) (0,7)

53.

Asíntotas verticales en x=4 x=4 y x=-5, x=-5, intersecciones en x, en ( 4,0 ) ( 4,0 ) y ( 6,0 ), ( 6,0 ), asíntota horizontal en y=7 y=7

54.

Asíntotas verticales en x=-3 x=-3 y x=6, x=6, intersecciones en x, en ( 2 ,0 ) ( 2 ,0 ) y ( 1,0 ), ( 1,0 ), asíntota horizontal en y=-2 y=-2

55.

Asíntota vertical en x=-1, x=-1, Doble cero en x=2 , x=2 , intersección en y, en (0,2 ) (0,2 )

56.

Asíntota vertical en x=3, x=3, Doble cero en x=1, x=1, intersección en y, en (0,4) (0,4)

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir una ecuación de la función.

57.
Gráfico de una función racional con asíntotas verticales en x=-3 y x=4.
58.
Gráfico de una función racional con asíntotas verticales en x=-3 y x=4.
59.
Gráfico de una función racional con asíntotas verticales en x=-3 y x=3.
60.
Gráfico de una función racional con asíntotas verticales en x=-3 y x=4.
61.
Gráfico de una función racional con asíntota vertical en x=1.
62.
Gráfico de una función racional con asíntota vertical en x=-2.
63.
Gráfico de una función racional con asíntotas verticales en x=-3 y x=2.
64.
Gráfico de una función racional con asíntotas verticales en x=-2 y x=4.

Numéricos

En los siguientes ejercicios, haga tablas que muestren el comportamiento de la función cerca de la asíntota vertical y que reflejen la asíntota horizontal

65.

f(x)= 1 x-2 f(x)= 1 x-2

66.

f(x)= x x-3 f(x)= x x-3

67.

f(x)= 2 x x+4 f(x)= 2 x x+4

68.

f(x)= 2 x (x-3) 2 f(x)= 2 x (x-3) 2

69.

f(x)= x 2 x 2 +2 x+1 f(x)= x 2 x 2 +2 x+1

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar f( x ). f( x ). Utilice el gráfico para resolver f( x )>0. f( x )>0.

70.

f(x)= 2 x+1 f(x)= 2 x+1

71.

f(x)= 4 2x-3 f(x)= 4 2x-3

72.

f(x)= 2 ( x1 )( x+2 ) f(x)= 2 ( x1 )( x+2 )

73.

f(x)= x+2 ( x1 )( x-4 ) f(x)= x+2 ( x1 )( x-4 )

74.

f(x)= (x+3) 2 ( x1 ) 2 ( x+1 ) f(x)= (x+3) 2 ( x1 ) 2 ( x+1 )

Extensiones

En los siguientes ejercicios, identifique la discontinuidad removible.

75.

f(x)= x 2 -4 x-2 f(x)= x 2 -4 x-2

76.

f(x)= x 3 +1 x+1 f(x)= x 3 +1 x+1

77.

f(x)= x 2 +x-6 x-2 f(x)= x 2 +x-6 x-2

78.

f(x)= 2 x 2 +5x-3 x+3 f(x)= 2 x 2 +5x-3 x+3

79.

f(x)= x 3 + x 2 x+1 f(x)= x 3 + x 2 x+1

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, exprese una función racional que describa la situación.

80.

En el hospital del campo de refugiados, un gran tanque de mezcla contiene actualmente 200 galones de agua, en los que se han mezclado 10 libras de azúcar. Se abre un grifo para verter 10 galones de agua por minuto en el tanque, al mismo tiempo que se vierte el azúcar a un ritmo de 3 libras por minuto. Calcule la concentración (libras por galón) de azúcar en el tanque después de t t minutos.

81.

En el hospital del campo de refugiados, un gran tanque de mezcla contiene actualmente 300 galones de agua, en los que se han mezclado 8 libras de azúcar. Se abre un grifo para verter 20 galones de agua por minuto en el tanque al mismo tiempo que se vierte el azúcar a un ritmo de 2 libras por minuto. Calcule la concentración (libras por galón) de azúcar en el tanque después de t t minutos.

En los siguientes ejercicios, utilice la función racional dada para responder la pregunta.

82.

La concentración C C de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente t t horas después de la inyección viene dada por C(t)= 2 t 3+ t 2 . C(t)= 2 t 3+ t 2 . ¿Qué ocurre con la concentración del fármaco a medida que t t aumenta?

83.

La concentración C C de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente t t horas después de la inyección viene dada por C(t)= 100t 2 t 2 +75 . C(t)= 100t 2 t 2 +75 . Utilice una calculadora para estimar el momento en que la concentración es más alta.

En los siguientes ejercicios, construya una función racional para resolver el problema. A continuación, utilice una calculadora para responder la pregunta.

84.

Una caja abierta con base cuadrada debe tener un volumen de 108 pulgadas cúbicas. Calcule las dimensiones de la caja que tendrá un área superficial mínima. Supongamos que x x = longitud del lado de la base.

85.

Una caja rectangular con base cuadrada debe tener un volumen de 20 pies cúbicos. El material para la base cuesta 30 céntimos/pie cuadrado. El material para los laterales cuesta 10 céntimos/pie cuadrado. El material para la parte superior cuesta 20 céntimos/pie cuadrado. Determine las dimensiones que le supondrán un costo mínimo. Supongamos que x x = longitud del lado de la base.

86.

Un cilindro recto tiene un volumen de 100 pulgadas cúbicas. Calcule el radio y la altura que le permitirán obtener un área superficial mínima. Supongamos que x x = radio.

87.

Un cilindro recto sin tapa tiene un volumen de 50 metros cúbicos. Calcule el radio que le permitirá obtener área superficial mínima. Supongamos que x x = radio.

88.

Un cilindro recto debe tener un volumen de 40 pulgadas cúbicas. Cuesta 4 céntimos/pulgada cuadrada construir la parte superior e inferior y 1 céntimo/pulgada cuadrada construir el resto del cilindro. Calcule el radio que le permita obtener el costo mínimo. Supongamos que x x = radio.

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