3.7 Funciones racionales

Usar la notación de flechas

Hemos visto los gráficos de la función recíproca básica y de la función recíproca al cuadrado a partir de nuestro estudio de las funciones de la caja de herramientas. Examine estos gráficos, como se muestra en la Figura 1, y observe algunas de sus características.

Figura 1

Varios aspectos son evidentes si examinamos el gráfico de $f(x)=\frac{1}{x}.$

1. En la rama izquierda del gráfico, la curva se acerca al eje x $(y=0)\text{dado que}x\to –\infty .$
2. A medida que el gráfico se acerca a $x=0$ desde la izquierda, la curva desciende; sin embargo, a medida que nos acercamos a cero desde la derecha, la curva sube.
3. Finalmente, en la rama derecha del gráfico, las curvas se acercan al eje x $(y=0)\text{dado que}x\to \infty .$

Para resumir, utilizamos la notación de flecha para mostrar que $x$ o $f(x)$ se acerca a un valor determinado. Vea la Tabla 1.

Comportamiento local de $f(x)=\frac{1}{x}$

Empecemos por ver la función recíproca, $f(x)=\frac{1}{x}.$ No podemos dividir entre cero, lo que significa que la función es indefinida en $x=0;$ por lo que el cero no está en el dominio. A medida que los valores de entrada se acercan a cero desde el lado izquierdo (para convertirse en valores muy pequeños y negativos), los valores de la función disminuyen sin límite (en otras palabras, se acercan al infinito negativo). Podemos ver este comportamiento en la Tabla 2.

$x$	–0,1	–0,01	–0,001	–0,0001
$f(x)=\frac{1}{x}$	-10	–100	–1.000	–10.000

Tabla 2

Escribimos en la notación de flechas

$$\text{dado que }x\to 0^{-},f(x)\to -\infty$$

A medida que los valores de entrada se acercan a cero desde el lado derecho (para convertirse en valores positivos muy pequeños), los valores de la función aumentan sin límite (se acercan al infinito). Podemos ver este comportamiento en la Tabla 3.

$x$	0,1	0,01	0,001	0,0001
$f(x)=\frac{1}{x}$	10	100	1.000	10.000

Tabla 3

Escribimos en la notación de flechas

$$\text{Dado que }x\to 0^{+},f(x)\to \infty .$$

Vea la Figura 2.

Figura 2

Este comportamiento crea una asíntota vertical, que es una línea vertical a la que se acerca el gráfico, pero nunca cruza. En este caso, el gráfico se acerca a la línea vertical $x=0$ a medida que la entrada se acerca a cero. Vea la Figura 3.

Figura 3

Asíntota vertical

La asíntota vertical de un gráfico es una línea vertical $x=a$ donde el gráfico tiende hacia el infinito positivo o negativo a medida que la entrada se acerca a $a$ ya sea a la izquierda o a la derecha. Escribimos

$$\text{Dado que }x\to a^{–},f(x)\to \pm \infty \text{o }x\to a^{+},f(x)\to \pm \infty .$$

Comportamiento final de $f(x)=\frac{1}{x}$

Dado que los valores de $x$ se acercan al infinito, los valores de la función se acercan a 0. Dado que los valores de $x$ se acercan al infinito negativo, los valores de la función se acercan a 0. Vea la Figura 4. Simbólicamente, mediante la notación de flechas

$$\text{Dado que }x\to \infty ,f(x)\to 0\text{y dado que }x\to -\infty ,f(x)\to 0.$$

Figura 4

Con base en este comportamiento general y en el gráfico, vemos que la función se acerca a 0, pero nunca llega realmente a 0; parece que se nivela a medida que aumentan las entradas. Este comportamiento crea una asíntota horizontal, una línea horizontal a la que se acerca el gráfico a medida que la entrada aumenta o disminuye sin límite. En este caso, el gráfico se acerca a la línea horizontal $y=0.$ Vea la Figura 5.

Figura 5

Asíntota horizontal

La asíntota horizontal de un gráfico es una línea horizontal $y=b$ donde el gráfico se aproxima a la línea a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite. Escribimos

$$\text{Dado que }x\to \infty \text{ o }x\to -\infty ,f(x)\to b.$$

Ejemplo 1

Usar la notación de flechas

Utilice la notación de flecha para describir el comportamiento final y el comportamiento local de la función graficada en la Figura 6.

Figura 6

Solución

Observe que el gráfico muestra una asíntota vertical en $x=2,$ que nos señala que la función es indefinida en $x=2.$

$$\text{Dado que }x\to 2^{-},f(x)\to -\infty ,\text{ y dado que }x\to 2^{+},f(x)\to \infty .$$

Además, a medida que las entradas disminuyen sin límite, el gráfico parece nivelarse en los valores de salida de 4, lo que indica una asíntota horizontal en $y=4.$ A medida que las entradas aumentan sin límite, el gráfico se nivela en 4.

$$\text{Dado que }x\to \infty ,f(x)\to 4\text{ y dado que }x\to -\infty ,f(x)\to 4.$$

Inténtelo #1

Use la notación de flecha para describir el comportamiento final y el comportamiento local de la función recíproca al cuadrado.

Ejemplo 2

Usar transformaciones para graficar una función racional

Dibuje un gráfico de la función recíproca, desplazada 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Identifique las asíntotas horizontales y verticales del gráfico, si las hay.

Solución

Al desplazar el gráfico 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba se obtendría la función

$$f(x)=\frac{1}{x+2}+3$$

o, de forma equivalente, al conferir a los términos un denominador común,

$$f(x)=\frac{3x+7}{x+2}$$

El gráfico de la función desplazada se muestra en la Figura 7.

Figura 7

Observe que esta función es indefinida en $x=-2,$ y el gráfico también muestra una asíntota vertical en $x=-2.$

$$\text{Dado que }x\to -2^{-},f(x)\to -\infty ,\text{y dado que}x\to -2^{+},f(x)\to \infty .$$

A medida que las entradas aumentan y disminuyen sin límite, el gráfico parece nivelarse en los valores de salida de 3, lo que indica una asíntota horizontal en $y=3.$

$$\text{Dado que }x\to \pm \infty ,f(x)\to 3.$$

Análisis

Observe que las asíntotas horizontales y verticales se desplazan 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba, junto con la función.

Inténtelo #2

Dibuje el gráfico y halle las asíntotas horizontales y verticales de la función recíproca al cuadrado que se ha desplazado 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo.

Resolver problemas aplicados con funciones racionales

En el Ejemplo 2, hemos desplazado una función de la caja de herramientas de manera que la función $f(x)=\frac{3x+7}{x+2}.$ Este es un ejemplo de función racional. La función racional es aquella que se escribe como el cociente de dos funciones polinómicas. Muchos problemas del mundo real exigen que hallemos el cociente de dos funciones polinómicas. Los problemas que implican tasas y concentraciones a menudo implican funciones racionales.

Hallar los dominios de las funciones racionales

La asíntota vertical representa un valor en el que una función racional es indefinida, por lo que ese valor no está en el dominio de la función. La función recíproca no puede tener valores en su dominio que hagan que el denominador sea igual a cero. En general, para hallar el dominio de la función racional, necesitamos determinar qué entradas provocarían la división entre cero.

Ejemplo 4

Hallar el dominio de una función racional

Halle el dominio de $f(x)=\frac{x+3}{x^2-9}.$

Solución

Comience por igualar el denominador a cero y resolver.

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\\ x^2-9=0\end{array}\hfill \\ x^2=9\hfill \\ x=\pm 3\hfill \end{array}$$

El denominador es igual a cero cuando $x=\pm 3.$ El dominio de la función son todos los números reales, excepto $x=\pm 3.$

Análisis

El gráfico de esta función, como se muestra en la Figura 8, confirma que la función no está definida cuando $x=\pm 3.$

Figura 8

Hay una asíntota vertical en $x=3$ y un agujero en el gráfico en $x=-3.$ Más adelante hablaremos con más detalle acerca de este tipo de agujeros.

Identificar las asíntotas verticales de las funciones racionales

Al observar el gráfico de una función racional, podemos investigar su comportamiento local y ver fácilmente si hay asíntotas. Puede que incluso seamos capaces de calcular aproximadamente su ubicación. Sin embargo, incluso sin el gráfico, podemos determinar si una función racional dada tiene alguna asíntota y calcular su ubicación.

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales de una función racional se hallan al examinar los factores del denominador que no son comunes a los factores del numerador. Las asíntotas verticales se producen en los ceros de dichos factores.

Cómo

Dada una función racional, identificar las asíntotas verticales de su gráfico.

1. Factorice el numerador y el denominador.
2. Tenga en cuenta las restricciones en el dominio de la función.
3. Reduzca la expresión al cancelar los factores comunes en el numerador y el denominador.
4. Tenga en cuenta los valores que hacen que el denominador sea cero en esta versión simplificada. Aquí es donde se producen las asíntotas verticales.
5. Observe cualquier restricción en el dominio donde no se produzcan asíntotas. Se trata de discontinuidades removibles.

Ejemplo 5

Identificar asíntotas verticales

Halle las asíntotas verticales en el gráfico de $k(x)=\frac{5+2x^2}{2-x–x^2}.$

Solución

En primer lugar, factorice el numerador y el denominador.

$$\begin{array}{l}k(x)=\frac{5+2x^2}{2-x–x^2}\hfill \\ =\frac{5+2x^2}{(2+x)(1-x)}\hfill \end{array}$$

Para hallar las asíntotas verticales, determinamos dónde esta función será indefinida al igualar el denominador a cero:

$$\begin{array}{l}(2+x)(1-x)=0\hfill \\ x=-2,1\hfill \end{array}$$

Ni $x=–2$ ni $x=1$ son ceros del numerador, por lo que los dos valores indican dos asíntotas verticales. El gráfico de la Figura 9 confirma la ubicación de las dos asíntotas verticales.

Figura 9

Discontinuidades removibles

En ocasiones, un gráfico contiene un agujero: un único punto en el que el gráfico no está definido, indicado por un círculo abierto. Denominamos a tal agujero discontinuidad removible.

Por ejemplo, la función $f(x)=\frac{x^2–1}{x^2-2x-3}$ puede reescribirse mediante la factorización del numerador y del denominador.

$$f(x)=\frac{\left(x+1\right)\left(x–1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}$$

Observe que $x+1$ es un factor común al numerador y al denominador. El cero de este factor, $x=-1,$ es la ubicación de la discontinuidad removible. Observe también que $x–3$ no es un factor ni en el numerador ni en el denominador. El cero de este factor, $x=3,$ es la asíntota vertical. Vea la Figura 10.

Figura 10

Discontinuidades removibles de las funciones racionales

La discontinuidad removible ocurre en el gráfico de una función racional en $x=a$ si $a$ es un cero para un factor en el denominador que es común con un factor en el numerador. Factorizamos el numerador y el denominador y comprobamos si hay factores comunes. Si encontramos alguno, igualamos a 0 el factor común y resolvemos. Esta es la ubicación de la discontinuidad removible. Esto es así si la multiplicidad de este factor es mayor o igual que la del denominador. Si la multiplicidad de este factor es mayor en el denominador, entonces sigue habiendo una asíntota en ese valor.

Ejemplo 6

Identificar asíntotas verticales y discontinuidades removibles para un gráfico

Calcule las asíntotas verticales y las discontinuidades removibles del gráfico de $k(x)=\frac{x-2}{x^2-4}.$

Solución

Factorice el numerador y el denominador.

$$k(x)=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$$

Observe que hay un factor común en el numerador y en el denominador, $x–2.$ El cero en este factor es $x=2.$ Esta es la ubicación de la discontinuidad removible.

Observe que hay un factor en el denominador que no está en el numerador, $x+2.$ El cero en este factor es $x=-2.$ La asíntota vertical es $x=-2.$ Vea la Figura 11.

Figura 11

El gráfico de esta función tendrá la asíntota vertical en $x=\mathrm{–2},$ pero en $x=2$ el gráfico tendrá un agujero.

Inténtelo #5

Calcule las asíntotas verticales y las discontinuidades removibles del gráfico de $f(x)=\frac{x^2-25}{x^3-6x^2+5x}.$

Identificar las asíntotas horizontales de las funciones racionales

Mientras que las asíntotas verticales describen el comportamiento de un gráfico cuando la salida es muy grande o muy pequeña, las asíntotas horizontales describen el comportamiento de un gráfico cuando la entrada es muy grande o muy pequeña. Recordemos que el comportamiento final de un polinomio reflejará el del término principal. Asimismo, el comportamiento final de la función racional reflejará el del cociente de los términos principales de las funciones del numerador y del denominador.

Hay tres resultados distintos al comprobar las asíntotas horizontales:

Caso 1: Si el grado del denominador > grado del numerador, existe una asíntota horizontal en $y=0.$

En este caso, el comportamiento final es $f(x)\approx \frac{4x}{x^2}=\frac{4}{x}.$ Esto nos indica que, a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de forma similar a la función $g(x)=\frac{4}{x},$ y las salidas se acercarán a cero, lo que dará lugar a una asíntota horizontal en $y=0.$ Vea la Figura 12. Observe que este gráfico cruza la asíntota horizontal.

Figura 12 Asíntota horizontal $y=0$ cuando $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)},q(x)\ne 0\text{donde el grado de}p<\text{grado de}q.$

Caso 2: Si el grado del denominador < grado del numerador en uno, obtenemos una asíntota oblicua.

En este caso, el comportamiento final es $f(x)\approx \frac{3x^2}{x}=3x.$ Esto nos indica que, a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de forma similar a la función $g(x)=3x.$ A medida que las entradas crezcan, las salidas crecerán y no se nivelarán, por lo que este gráfico no tiene asíntota horizontal. Sin embargo, el gráfico de $g(x)=3x$ parece una línea diagonal, y dado que $f$ se comportará de forma similar a $g,$ se aproximará a una línea cercana a $y=3x.$ Esta línea es una asíntota oblicua.

Para hallar la ecuación de la asíntota oblicua, divida $\frac{3x^2-2x+1}{x–1}.$ El cociente es $3x+1,$ y el restante es 2. La asíntota oblicua es el gráfico de la recta $g(x)=3x+1.$ Vea la Figura 13.

Figura 13 Asíntota oblicua cuando $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)},q(x)\ne 0$ donde el grado de $p>\text{grado de }q\text{por}\text{1}\text{.}$

Caso 3: Si el grado del denominador = grado del numerador, existe una asíntota horizontal en $y=\frac{a_n}{b_n},$ donde $a_n$ y $b_n$ son los coeficientes principales de $p\left(x\right)$ como $q\left(x\right)$ por $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)},q(x)\ne 0.$

En este caso, el comportamiento final es $f(x)\approx \frac{3x^2}{x^2}=3.$ Esto nos indica que, a medida que las entradas crezcan, esta función se comportará como la función $g(x)=3,$ que es una línea horizontal. Dado que $x\to \pm \infty ,f(x)\to 3,$ lo que da lugar a una asíntota horizontal en $y=3.$ Vea la Figura 14. Observe que este gráfico cruza la asíntota horizontal.

Figura 14 Asíntota horizontal cuando $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)},q(x)\ne 0\text{donde el grado de }p=\text{grado de }q.$

Observe que, mientras que el gráfico de una función racional nunca cruzará una asíntota vertical, el gráfico puede o no cruzar una asíntota horizontal u oblicua. Además, aunque el gráfico de una función racional puede tener muchas asíntotas verticales, el gráfico tendrá como mucho una asíntota horizontal (u oblicua).

Hay que tener en cuenta que, si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en más de uno, el comportamiento final del gráfico imitará el comportamiento de la fracción reducida de comportamiento final. Por ejemplo, si tuviéramos la función

con comportamiento final

el comportamiento final del gráfico sería semejante al de un polinomio par con coeficiente principal positivo.

Ejemplo 9

Identificar asíntotas horizontales y verticales

Halle las asíntotas horizontales y verticales de la función

$$f(x)=\frac{(x-2)(x+3)}{(x–1)(x+2)(x-5)}$$

Solución

En primer lugar, hay que tener en cuenta que esta función no tiene factores comunes, por lo que no hay posibles discontinuidades removibles.

La función tendrá asíntotas verticales cuando el denominador sea cero, lo que hace que la función sea indefinida. El denominador será cero en $x=1,–2,\text{y }5,$ lo que indica las asíntotas verticales en estos valores.

El numerador tiene grado 2, mientras que el denominador tiene grado 3. Ya que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, el denominador aumentará más rápido que el numerador, por lo que las salidas tenderán a cero a medida que aumenten las entradas, y así como $x\to \pm \infty ,f(x)\to 0.$ Esta función tendrá una asíntota horizontal en $y=0.$ Vea la Figura 15.

Figura 15

Ejemplo 10

Hallar las intersecciones de una función racional

Halle las intersecciones de $f(x)=\frac{(x-2)(x+3)}{(x–1)(x+2)(x-5)}.$

Solución

Podemos encontrar la intersección en y al evaluar la función en cero

$$\begin{array}{l}f(0)=\frac{(0-2)(0+3)}{(0-1)(0+2)(0-5)}\hfill \\ =\frac{-6}{10}\hfill \\ =-\frac{3}{5}\hfill \\ =-\mathrm{0,6}\hfill \end{array}$$

Las intersecciones en x se producirán cuando la función sea igual a cero:

$$\begin{array}{ll}\hfill & \hfill \\ 0=\frac{(x-2)(x+3)}{(x–1)(x+2)(x-5)}\hfill & \text{Es cero cuando el numerador es cero}.\hfill \\ 0=(x-2)(x+3)\hfill & \hfill \\ x=2,-3\hfill & \hfill \end{array}$$

La intersección en y es $(0,\mathrm{–0,6}),$ las intersecciones en x son $(2,0)$ y $(-3,0).$ Vea la Figura 16.

Figura 16

Graficar funciones racionales

En el Ejemplo 9, vemos que el numerador de la función racional revela las intersecciones en x del gráfico, mientras que el denominador revela las asíntotas verticales. Al igual que con los polinomios, los factores del numerador pueden tener potencias enteras mayores que uno. Afortunadamente, el efecto sobre la forma del gráfico en esas intersecciones es el mismo que vimos con los polinomios.

Las asíntotas verticales asociadas a los factores del denominador reflejarán una de las dos funciones recíprocas de la caja de herramientas. Cuando el grado del factor en el denominador es impar, la característica distintiva es que, a un lado de la asíntota vertical, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo, mientras que, al otro lado, el gráfico se dirige hacia el infinito negativo. Vea la Figura 17.

Figura 17

Cuando el grado del factor en el denominador es par, la característica distintiva es que el gráfico se dirige hacia el infinito positivo en ambos lados de la asíntota vertical o se dirige hacia el infinito negativo en ambos lados. Vea la Figura 18.

Figura 18

Por ejemplo, el gráfico de $f(x)=\frac{{(x+1)}^2(x-3)}{{(x+3)}^2(x-2)}$ se muestra en la Figura 19.

Figura 19

• En la intersección en x $x=-1$ correspondiente al factor ${(x+1)}^2$ del numerador, el gráfico rebota, en consonancia con la naturaleza cuadrática del factor.
• En la intersección en x $x=3$ correspondiente al factor $(x-3)$ del numerador, el gráfico pasa por el eje, como cabría esperarse de un factor lineal.
• En la asíntota vertical $x=-3$ correspondiente al factor ${(x+3)}^2$ del denominador, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo a ambos lados de la asíntota, lo que es compatible con el comportamiento de la función $f(x)=\frac{1}{x^2}.$
• En la asíntota vertical $x=2,$ correspondiente al factor $(x-2)$ del denominador, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo en el lado izquierdo de la asíntota y hacia el infinito negativo en el lado derecho.

Ejemplo 11

Graficar una función racional

Dibuje un gráfico de $f(x)=\frac{(x+2)(x-3)}{{(x+1)}^2(x-2)}.$

Solución

Podemos empezar observando que la función ya está factorizada, lo que nos ahorra un paso.

A continuación, hallaremos las intersecciones. Al evaluar la función en el cero se obtiene la intersección en y:

$$\begin{array}{l}f(0)=\frac{(0+2)(0-3)}{{(0+1)}^2(0-2)}\hfill \\ =3\hfill \end{array}$$

Para hallar las intersecciones en x, determinamos cuándo el numerador de la función es cero. Si cada factor es igual a cero, hallaremos las intersecciones en x en $x=-2$ y $x=3.$ En cada una de ellas, el comportamiento será lineal (multiplicidad 1), donde el gráfico pasa a través de la intersección.

Tenemos una intersección en y en $(0,3)$ y las intersecciones en x en $(-2,0)$ y $(3,0).$

Para hallar las asíntotas verticales, determinamos cuándo el denominador es igual a cero. Esto ocurre cuando $x+1=0$ y cuando $x–2=0,$ lo que nos da asíntotas verticales en $x=-1$ y $x=2.$

No hay factores comunes en el numerador y el denominador. Esto significa que no hay discontinuidades removibles.

Finalmente, el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, lo que nos indica que este gráfico tiene una asíntota horizontal en $y=0.$

Para dibujar el gráfico, podríamos empezar por trazar las tres intersecciones. Debido a que el gráfico no tiene intersecciones en x entre las asíntotas verticales, y la intersección en y es positiva, sabemos que la función debe seguir siendo positiva entre las asíntotas, lo que nos permite rellenar la parte central del gráfico como se muestra en la Figura 20.

Figura 20

El factor asociado a la asíntota vertical en $x=\mathrm{-1}$ se elevó al cuadrado, por lo que sabemos que el comportamiento será el mismo a ambos lados de la asíntota. El gráfico se dirige hacia el infinito positivo a medida que las entradas se acercan a la asíntota de la derecha, por lo que el gráfico también se dirigirá hacia el infinito positivo de la izquierda.

Para la asíntota vertical en $x=2,$ el factor no se elevó al cuadrado, por lo que el gráfico tendrá un comportamiento opuesto a ambos lados de la asíntota. Vea la Figura 21. Después de pasar por las intersecciones en x, el gráfico se nivelará hacia una salida de cero, como lo indica la asíntota horizontal.

Figura 21

Escribir funciones racionales

Ahora que hemos analizado las ecuaciones de las funciones racionales y cómo se relacionan con un gráfico de la función, podemos utilizar la información dada por un gráfico para escribir la función. La función racional escrita en forma factorizada tendrá una intersección en x, donde cada factor del numerador es igual a cero. (Se produce una excepción en el caso de discontinuidad removible). En consecuencia, podemos formar el numerador de una función cuyo gráfico pase por un conjunto de intersecciones en x, al introducir el correspondiente conjunto de factores. Asimismo, dado que la función tendrá una asíntota vertical en la que cada factor del denominador es igual a cero, podemos formar un denominador que produzca las asíntotas verticales al introducir el correspondiente conjunto de factores.

Ejemplo 12

Escribir una función racional a partir de las intersecciones y las asíntotas

Escriba una ecuación para la función racional que se muestra en la Figura 22.

Figura 22

Solución

El gráfico parece tener intersecciones en x en $x=–2$ y $x=3.$ En ambos, el gráfico pasa por la intersección, lo que sugiere factores lineales. El gráfico tiene dos asíntotas verticales. La que está en $x=–1$ exhibe el comportamiento básico, semejante al de $\frac{1}{x},$ donde el gráfico se dirige hacia el infinito positivo por un lado y hacia el infinito negativo por el otro. La asíntota en $x=2$ exhibe un comportamiento semejante al de $\frac{1}{x^2},$ donde el gráfico se dirige hacia el infinito negativo a ambos lados de la asíntota. Vea la Figura 23.

Figura 23

Podemos utilizar esta información para escribir una función de la forma

$$f(x)=a\frac{(x+2)(x-3)}{(x+1){(x-2)}^2}.$$

Para hallar el factor de estiramiento, podemos utilizar otro punto claro en el gráfico, como la intersección en y $(0,-2).$

$$\begin{array}{l}-2=a\frac{(0+2)(0-3)}{(0+1){(0-2)}^2}\hfill \\ -2=a\frac{-6}{4}\hfill \\ a=\frac{-8}{-6}=\frac{4}{3}\hfill \end{array}$$

Esto nos da una función final de $f(x)=\frac{4(x+2)(x-3)}{3(x+1){(x-2)}^2}.$