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Precálculo 2ed

3.8 Inversas y funciones radicales

Precálculo 2ed3.8 Inversas y funciones radicales

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Hallar la inversa de una función polinómica.
  • Restringir el dominio para hallar la inversa de una función polinómica.

Los guardaparques y otros administradores de senderos pueden construir pilas de rocas, apilamientos u otros arreglos, normalmente llamados mojones, para marcar senderos u otros puntos de referencia (los guardaparques y los científicos medioambientales desaconsejan que los excursionistas hagan lo mismo, para evitar confusiones y preservar los hábitats de plantas y animales). Un mojón en forma de montículo de grava tiene forma de cono con una altura igual al doble del radio.

Grava en forma de cono.
Figura 1

El volumen se calcula con una fórmula de geometría elemental.

V= 1 3 π r 2 h    = 1 3 π r 2 (2r)    = 2 3 π r 3 V= 1 3 π r 2 h    = 1 3 π r 2 (2r)    = 2 3 π r 3

Hemos escrito el volumen V V en términos de radio r. r. Sin embargo, en algunos casos, podemos empezar con el volumen y querer determinar el radio. Por ejemplo: Un cliente compra 100 pies cúbicos de grava para construir un montículo en forma de cono con una altura del doble del radio. ¿Cuáles son el radio y la altura del nuevo cono? Para responder esta pregunta, utilizamos la fórmula

r= 3V 2π 3 r= 3V 2π 3

Esta función es la inversa de la fórmula de V V en términos de r. r.

En esta sección, exploraremos las inversas de las funciones polinómicas y racionales y, en particular, las funciones radicales que encontramos en el proceso.

Hallar la inversa de una función polinómica

Dos funciones f f y g g son funciones inversas si para cada par de coordenadas en f,(a,b), f,(a,b), existe un par de coordenadas correspondiente en la función inversa, g,(b,a). g,(b,a). En otras palabras, los pares de coordenadas de las funciones inversas tienen la entrada y la salida intercambiadas.

Para que una función tenga una inversa, debe crear una función que sea biunívoca y que tendría una inversa.

Por ejemplo, supongamos que el Club de Sostenibilidad construye un colector de escorrentía con forma de artesa parabólica, como se ilustra en la Figura 2. Podemos utilizar la información en la figura para hallar el área superficial en la artesa como función de la profundidad del agua.

Diagrama de artesa parabólica de 18" de altura, 3' de longitud y 12" de anchura.
Figura 2

Ya que será útil tener una ecuación para la forma de sección transversal parabólica, impondremos un sistema de coordenadas, donde x x se mide horizontalmente, mientras que y y se mide verticalmente, con el origen en el vértice de la parábola. Vea la Figura 3.

Gráfico de una parábola.
Figura 3

A partir de esto hallamos una ecuación para la forma parabólica. Hemos situado el origen en el vértice de la parábola, por lo que sabemos que la ecuación tendrá la forma y(x)=a x 2 . y(x)=a x 2 . Nuestra ecuación deberá pasar por el punto (6, 18), a partir del cual podemos resolver el factor de estiramiento a. a.

18=a 6 2 a= 18 36      = 1 2 18=a 6 2 a= 18 36      = 1 2

Nuestra sección transversal parabólica tiene la ecuación

y(x)= 1 2 x 2 y(x)= 1 2 x 2

Nos interesa el área superficial del agua, por lo que debemos determinar la anchura en la parte de arriba como función de la profundidad del agua. Para cualquier profundidad y y la anchura vendrá dada por 2x, 2x, así que tenemos que resolver la ecuación anterior para x x y hallar la función inversa. Sin embargo, observe que la función original no es biunívoca, y de hecho, dada cualquier salida hay dos entradas que producen la misma salida: una positiva y otra negativa.

Para hallar una inversa, podemos restringir nuestra función original a un dominio limitado en el que sea biunívoca. En este caso, tiene sentido limitarse a los valores positivos de x x . En este dominio, podemos hallar una inversa al resolver la variable de entrada:

y= 1 2 x 2 2y= x 2   x=± 2y y= 1 2 x 2 2y= x 2   x=± 2y

Esto no es una función tal y como está escrita. Nos limitamos a los valores positivos de x x , por lo que eliminamos la solución negativa, lo que arroja la función inversa que buscamos.

y= x 2 2 ,x>0 y= x 2 2 ,x>0

Dado que x x es la distancia desde el centro de la parábola hasta cualquier lado, toda la anchura del agua en la parte superior será 2x. 2x. La artesa tiene 3 pies (36 pulgadas) de largo, por lo que el área superficial será entonces:

Área=lw         =362x         =72x         =72 2y Área=lw         =362x         =72x         =72 2y

Este ejemplo ilustra dos puntos importantes:

  1. Al momento de hallar la inversa de una cuadrática, tenemos que limitarnos a un dominio en el que la función sea biunívoca.
  2. La inversa de una función cuadrática es una función de raíz cuadrada. Ambas son funciones de la caja de herramientas y diferentes tipos de funciones de potencia.

Las funciones que implican raíces suelen llamarse funciones radicales. Aunque no es posible hallar la inversa de la mayoría de las funciones polinómicas, algunos polinomios básicos tienen inversa. Tales funciones se denominan funciones invertibles y utilizamos la notación f 1 (x). f 1 (x).

Advertencia: f 1 (x) f 1 (x) no es lo mismo que el recíproco de la función f( x ). f( x ). Este uso de "–1" está reservado para denotar funciones inversas. Para denotar el recíproco de una función f( x ), f( x ), tendríamos que escribir ( f( x ) ) -1 = 1 f( x ) . ( f( x ) ) -1 = 1 f( x ) .

Una relación importante entre las funciones inversas es que se "deshacen" entre sí. Si los valores de f 1 f 1 es la inversa de una función f, f, entonces f f es la inversa de la función f 1 . f 1 . En otras palabras, lo que sea que la función f f haga a x, x, f 1 f 1 lo deshace, y viceversa. Más formalmente, escribimos

f 1 ( f( x ) )=x,para todos x en el ámbito de f f 1 ( f( x ) )=x,para todos x en el ámbito de f

y

f( f 1 ( x ) )=x,para todos x en el ámbito de  f 1 f( f 1 ( x ) )=x,para todos x en el ámbito de  f 1

Comprobar que dos funciones son inversas

Dos funciones, f f y g, g, son inversas entre sí si para todo x x en el dominio de f f y g. g.

g( f( x ) )=f( g( x ) )=x g( f( x ) )=f( g( x ) )=x

Cómo

Dada una función polinómica, hallar la inversa de la función al restringir el dominio de tal manera que la nueva función sea biunívoca.

  1. Sustituya f( x ) f( x ) con la y. y.
  2. Intercambie la x x y y. y.
  3. Resuelva para y, y, y renombre la función f 1 (x). f 1 (x).

Ejemplo 1

Verificar funciones inversas

Demuestre que f( x )= 1 x+1 f( x )= 1 x+1 y f 1 ( x )= 1 x 1 f 1 ( x )= 1 x 1 son inversas, para x0,-1 x0,-1 .

Inténtelo #1

Demuestre que f( x )= x+5 3 f( x )= x+5 3 y f 1 ( x )=3x-5 f 1 ( x )=3x-5 son inversas.

Ejemplo 2

Hallar la inversa de una función cúbica

Halle la inversa de la función f(x)=5 x 3 +1. f(x)=5 x 3 +1.

Análisis

Observe el gráfico de f f y f 1 . f 1 . Observe que los dos gráficos son simétricos respecto a la línea y=x. y=x. Este es siempre el caso cuando se grafica una función y su función inversa.

Además, dado que el método implicaba intercambiar la x x y y, y, note los puntos correspondientes. Si los valores de (a,b) (a,b) está en el gráfico de f, f, entonces (b,a) (b,a) está en el gráfico de f 1 . f 1 . Dado que (0,1) (0,1) está en el gráfico de f, f, entonces (1,0) (1,0) está en el gráfico de f 1 . f 1 . Del mismo modo, dado que (1,6) (1,6) está en el gráfico de f, f, entonces (6,1) (6,1) está en el gráfico de f 1 . f 1 . Vea la Figura 4.

Gráfico de f(x)=5x^3+1 y su inversa, f^(-1)(x)=3sqrt((x-1)/(5)).
Figura 4

Inténtelo #2

Calcule la función inversa de f(x)= x+4 3 . f(x)= x+4 3 .

Delimitar del dominio para calcular la inversa de una función polinómica

Hasta ahora, hemos hallado las inversas de las funciones cúbicas sin tener que restringir sus dominios. Sin embargo, como sabemos, no todos los polinomios cúbicos son biunívocos. Puede que el dominio en algunas funciones que no son biunívocas se restrinja para que sea biunívoco, pero únicamente con respecto a ese dominio. La función sobre el dominio restringido tendría entonces una función inversa. Dado que las funciones cuadráticas no biunívocas, debemos restringir su dominio para hallar sus inversas.

Restringir el dominio

Si una función no es biunívoca, no puede tener ninguna inversa. Si restringimos el dominio de la función para que sea biunívoco, y creamos así otra función, esta última tendrá una inversa.

Cómo

Dada una función polinómica, restringir el dominio de una función que no sea biunívoca y luego hallar la inversa.

  1. Restrinja el dominio al determinar un dominio en el que la función original sea biunívoca.
  2. Sustituya f(x)cony. f(x)cony.
  3. Intercambie la xyy. xyy.
  4. Resuelva para y, y, y renombre la función o el par de funciones f 1 (x). f 1 (x).
  5. Repase la fórmula para f 1 (x) f 1 (x) ; verifique que las salidas de la función inversa correspondan al dominio restringido de la función original.

Ejemplo 3

Delimitar del dominio para calcular la inversa de una función polinómica

Calcule la función inversa de f: f:

  1. f(x)= (x-4) 2 ,x4 f(x)= (x-4) 2 ,x4
  2. f(x)= (x-4) 2 ,x4 f(x)= (x-4) 2 ,x4

Análisis

En los gráficos que se indican en la Figura 6, vemos la función original graficada en el mismo conjunto de ejes que su función inversa. Observe que los gráficos muestran juntos una simetría en torno a la línea y=x. y=x. El par de coordenadas (4,0) (4,0) está en el gráfico de f f y el par de coordenadas (0,4) (0,4) está en el gráfico de f 1 . f 1 . Para cualquier par de coordenadas, si ( a,b ) ( a,b ) está en el gráfico de f, f, entonces ( b,a ) ( b,a ) está en el gráfico de f 1 . f 1 . Por último, observe que el gráfico de f f interseca el gráfico de f 1 f 1 en la línea y=x. y=x. Puntos de intersección de los gráficos de f f y f 1 f 1 siempre estará en la línea y=x. y=x.

Dos gráficos de una función parabólica con la mitad de su inversa.
Figura 6

Ejemplo 4

Hallar la inversa de una función cuadrática cuando la restricción no está especificada

Restringir el dominio y luego hallar la inversa de

f(x)= (x-2 ) 2 -3, f(x)= (x-2 ) 2 -3,

Análisis

Observe que hemos decidido arbitrariamente restringir el dominio en x2. x2. Podríamos haber optado fácilmente por restringir el dominio en x2, x2, en cuyo caso f 1 (x)=2 - x+3 . f 1 (x)=2 - x+3 . Observe la función original graficada en el mismo conjunto de ejes que su función inversa en la Figura 7. Observe que ambos gráficos muestran simetría respecto a la línea y=x. y=x. El par de coordenadas ( 2 ,-3 ) ( 2 ,-3 ) está en el gráfico de f f y el par de coordenadas ( -3,2 ) ( -3,2 ) está en el gráfico de f 1 . f 1 . Observe a partir del gráfico de ambas funciones sobre el mismo conjunto de ejes que

dominio de f=rango de f 1 =[ 2 , ) dominio de f=rango de f 1 =[ 2 , )

y

dominio de  f 1 =rango def=[ 3, ) dominio de  f 1 =rango def=[ 3, )

Por último, observe que el gráfico de f f interseca el gráfico de f 1 f 1 a lo largo de la línea y=x. y=x.

Gráfico de una función parabólica con la mitad de su inversa.
Figura 7

Inténtelo #3

Halle la inversa de la función f(x)= x 2 +1, f(x)= x 2 +1, en el dominio x0. x0.

Resolver aplicaciones de funciones radicales

Observe que las funciones de los ejemplos anteriores eran todas polinomios, y sus inversas eran funciones radicales. Si queremos hallar la inversa de una función radical, tendremos que restringir el dominio de la respuesta porque el rango de la función original es limitado.

Cómo

Dada una función radical, hallar la inversa.

  1. Determine el rango de la función original.
  2. Sustituya f( x ) f( x ) con la y, y, y luego resolvemos para x. x.
  3. Si es necesario, restrinja el dominio de la función inversa al rango de la función original.

Ejemplo 5

Hallar la inversa de una función radical

Restrinja el dominio y luego calcule la inversa de la función f(x)= x-4 . f(x)= x-4 .

Análisis

Observe en la Figura 8 que la inversa es una reflexión de la función original sobre la línea y=x. y=x. Dado que la función original tiene únicamente salidas positivas, la función inversa solo tiene entradas positivas.

Gráfico de f(x)=cuadrado(x-4) y su inversa, f^(-1)(x)=x^2+4.
Figura 8

Inténtelo #4

Restrinja el dominio y luego calcule la inversa de la función f(x)= 2 x+3 . f(x)= 2 x+3 .

Las funciones radicales son comunes en los modelos físicos, como vimos en la sección inicial. Ahora tenemos suficientes herramientas para poder resolver el problema planteado al principio de la sección.

Ejemplo 6

Resolver una aplicación con una función cúbica

Los guardaparques construyen un montículo de grava en forma de cono con una altura igual al doble del radio. El volumen del cono en función del radio viene dado por

V= 2 3 π r 3 V= 2 3 π r 3

Halle la inversa de la función V= 2 3 π r 3 V= 2 3 π r 3 que determina el volumen V V de un cono y es una función del radio r. r. A continuación, utilice la función inversa para calcular el radio de dicho montículo de grava que mide 100 pies cúbicos. Utilice π=3,14. π=3,14.

Determinar el dominio de una función radical compuesta con otras funciones

Cuando las funciones radicales se componen con otras funciones, puede complicarse la determinación del dominio.

Ejemplo 7

Hallar el dominio de una función radical compuesta con una función racional

Halle el dominio de la función f(x)= (x+2 )(x-3) (x1) . f(x)= (x+2 )(x-3) (x1) .

Hallar las inversas de las funciones racionales

Al igual que con la búsqueda de las inversas de las funciones cuadráticas, a veces es deseable hallar la inversa de una función racional, especialmente de las que son el cociente de las funciones lineales, como en las aplicaciones de concentración.

Ejemplo 8

Hallar la inversa de una función racional

La función C= 20+0,4n 100+n C= 20+0,4n 100+n representa la concentración C C de una solución ácida después de añadir n n mL de solución al 40 % a 100 mL de una solución al 20 %. En primer lugar, halle la inversa de la función; es decir, defina una expresión para n n en términos de C. C. A continuación, utilice su resultado para determinar qué cantidad de la solución al 40 % debe añadirse para que la mezcla final sea una solución al 35 %.

Inténtelo #5

Halle la inversa de la función f(x)= x+3 x-2 . f(x)= x+3 x-2 .

3.8 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique por qué no podemos hallar funciones inversas para todas las funciones polinómicas.

2.

¿Por qué hay que restringir el dominio de una función cuadrática al momento de hallar su inversa?

3.

Al momento de hallar la inversa de una función radical, ¿qué restricción tendremos que hacer?

4.

¿Qué forma tendrá siempre la inversa de una función cuadrática?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función en el dominio dado.

5.

f( x )= ( x-4 ) 2 ,[4,) f( x )= ( x-4 ) 2 ,[4,)

6.

f( x )= ( x+2 ) 2 ,[-2 ,) f( x )= ( x+2 ) 2 ,[-2 ,)

7.

f(x)= ( x+1 ) 2 -3,[-1,) f(x)= ( x+1 ) 2 -3,[-1,)

8.

f(x)=2 - 3+x f(x)=2 - 3+x

9.

f(x)=3 x 2 +5,( - ,0 ] f(x)=3 x 2 +5,( - ,0 ]

10.

f( x )=12 x 2 ,[0,) f( x )=12 x 2 ,[0,)

11.

f( x )=9- x 2 ,[0,) f( x )=9- x 2 ,[0,)

12.

f(x)=2 x 2 +4,[0,) f(x)=2 x 2 +4,[0,)

En los siguientes ejercicios, calcule la inversa de las funciones.

13.

f(x)= x 3 +5 f(x)= x 3 +5

14.

f( x )=3 x 3 +1 f( x )=3 x 3 +1

15.

f(x)=4- x 3 f(x)=4- x 3

16.

f( x )=42 x 3 f( x )=42 x 3

En los siguientes ejercicios, calcule la inversa de las funciones.

17.

f(x)= 2 x+1 f(x)= 2 x+1

18.

f(x)= 3-4x f(x)= 3-4x

19.

f( x )=9+ 4x-4 f( x )=9+ 4x-4

20.

f( x )= 6x-8 +5 f( x )= 6x-8 +5

21.

f( x )=9+2 x 3 f( x )=9+2 x 3

22.

f( x )=3- x 3 f( x )=3- x 3

23.

f( x )= 2 x+8 f( x )= 2 x+8

24.

f( x )= 3 x-4 f( x )= 3 x-4

25.

f( x )= x+3 x+7 f( x )= x+3 x+7

26.

f( x )= x-2 x+7 f( x )= x-2 x+7

27.

f( x )= 3x+4 5-4x f( x )= 3x+4 5-4x

28.

f( x )= 5x+1 2 -5x f( x )= 5x+1 2 -5x

29.

f(x)= x 2 +2 x,[-1,) f(x)= x 2 +2 x,[-1,)

30.

f(x)= x 2 +4x+1,[-2 ,) f(x)= x 2 +4x+1,[-2 ,)

31.

f(x)= x 2 -6x+3,[3,) f(x)= x 2 -6x+3,[3,)

Gráficos

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función y grafique tanto la función como su inversa.

32.

f(x)= x 2 +2 ,x0 f(x)= x 2 +2 ,x0

33.

f(x)=4- x 2 ,x0 f(x)=4- x 2 ,x0

34.

f(x)= ( x+3 ) 2 ,x-3 f(x)= ( x+3 ) 2 ,x-3

35.

f(x)= ( x-4 ) 2 ,x4 f(x)= ( x-4 ) 2 ,x4

36.

f(x)= x 3 +3 f(x)= x 3 +3

37.

f(x)=1- x 3 f(x)=1- x 3

38.

f(x)= x 2 +4x,x2 f(x)= x 2 +4x,x2

39.

f(x)= x 2 -6x+1,x3 f(x)= x 2 -6x+1,x3

40.

f(x)= 2 x f(x)= 2 x

41.

f(x)= 1 x 2 ,x0 f(x)= 1 x 2 ,x0

En los siguientes ejercicios, utilice un gráfico para determinar el dominio de las funciones.

42.

f(x)= (x+1)(x1) x f(x)= (x+1)(x1) x

43.

f(x)= (x+2 )(x-3) x1 f(x)= (x+2 )(x-3) x1

44.

f(x)= x(x+3) x-4 f(x)= x(x+3) x-4

45.

f(x)= x 2 -x-20 x-2 f(x)= x 2 -x-20 x-2

46.

f(x)= 9- x 2 x+4 f(x)= 9- x 2 x+4

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la función. A continuación, indique tres puntos en el gráfico de la inversa con las coordenadas dadas de y.

47.

f(x)= x 3 -x-2 ,y=1,2 ,3 f(x)= x 3 -x-2 ,y=1,2 ,3

48.

f(x)= x 3 +x-2 ,y=0,1,2 f(x)= x 3 +x-2 ,y=0,1,2

49.

f(x)= x 3 +3x-4,y=0,1,2 f(x)= x 3 +3x-4,y=0,1,2

50.

f(x)= x 3 +8x-4,y=-1,0,1 f(x)= x 3 +8x-4,y=-1,0,1

51.

f(x)= x 4 +5x+1,y=-1,0,1 f(x)= x 4 +5x+1,y=-1,0,1

Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de las funciones con a,b,c a,b,c números reales positivos.

52.

f(x)=a x 3 +b f(x)=a x 3 +b

53.

f(x)= x 2 +bx f(x)= x 2 +bx

54.

f(x)= a x 2 +b f(x)= a x 2 +b

55.

f(x)= ax+b 3 f(x)= ax+b 3

56.

f(x)= ax+b x+c f(x)= ax+b x+c

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, determine la función descrita y luego utilícela para responder la pregunta.

57.

Un objeto lanzado desde una altura de 200 metros tiene una altura h( t ), h( t ), en metros después de que t t segundos hayan transcurrido, de manera que h(t)=200-4,9 t 2 . h(t)=200-4,9 t 2 . Exprese t t en función de la altura, h, h, y calcule el tiempo que tarda para alcanzar una altura de 50 metros.

58.

Un objeto lanzado desde una altura de 600 pies tiene una altura h( t ), h( t ), en pies después de que t t segundos han transcurrido, de manera que h(t)=60016 t 2 . h(t)=60016 t 2 . Exprese t t en función de la altura h, h, y calcule el tiempo que tarda para alcanzar una altura de 400 pies.

59.

El volumen, V, V, de una esfera en función de su radio, r, r, viene dado por V(r)= 4 3 π r 3 . V(r)= 4 3 π r 3 . Exprese r r en función de V, V, y halle el radio de una esfera con un volumen de 200 pies cúbicos.

60.

El área superficial, A, A, de una esfera en función de su radio, r, r, viene dada por A(r)=4π r 2 . A(r)=4π r 2 . Exprese r r en función de A, A, y halle el radio de una esfera con un área superficial de 1.000 pulgadas cuadradas.

61.

Un recipiente contiene 100 ml de una solución que tiene 25 ml de ácido. Si se añaden n n ml de una solución ácida al 60 %, la función C(n)= 25+0,6n 100+n C(n)= 25+0,6n 100+n da la concentración, C, C, en función de la cantidad de ml añadidos, n. n. Exprese n n en función de C C y determine cuántos mL hay que añadir para tener una solución ácida al 50 %.

62.

El periodo T, T, en segundos, de un péndulo simple en función de su longitud l, l, en pies, viene dado por T(l)=2 π l 32,2 T(l)=2 π l 32,2 . Exprese l l en función de T T y determine la longitud de un péndulo con periodo de 2 segundos.

63.

El volumen de un cilindro, V, V, en términos de radio, r, r, y la altura, h, h, viene dado por V=π r 2 h. V=π r 2 h. Si un cilindro tiene una altura de 6 metros, exprese el radio en función de V V y halle el radio de un cilindro con un volumen de 300 metros cúbicos.

64.

El área superficial, A, A, de un cilindro en función de su radio, r, r, y la altura, h, h, viene dada por A=2 π r 2 +2πrh. A=2 π r 2 +2πrh. Si la altura del cilindro es de 4 pies, exprese el radio en función de A A y determine el radio si el área superficial es de 200 pies cuadrados.

65.

El volumen de un cono circular recto, V, V, en términos de su radio, r, r, y su altura, h, h, viene dado por V= 1 3 π r 2 h. V= 1 3 π r 2 h. Exprese r r en términos de V V si la altura del cono es de 12 pulgadas y determine el radio de un cono con volumen de 50 pulgadas cúbicas.

66.

Considere un cono con una altura de 30 pies. Exprese el radio, r, r, en términos de volumen, V, V, y determine el radio de un cono con un volumen de 1.000 pies cúbicos.

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