Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Hallar la inversa de una función polinómica.
Restringir el dominio para hallar la inversa de una función polinómica.

Los guardaparques y otros administradores de senderos pueden construir pilas de rocas, apilamientos u otros arreglos, normalmente llamados mojones, para marcar senderos u otros puntos de referencia (los guardaparques y los científicos medioambientales desaconsejan que los excursionistas hagan lo mismo, para evitar confusiones y preservar los hábitats de plantas y animales). Un mojón en forma de montículo de grava tiene forma de cono con una altura igual al doble del radio.

Figura 1

El volumen se calcula con una fórmula de geometría elemental.

\begin{array}{l} V = \frac{1}{3} π r^{2} h \\ = \frac{1}{3} π r^{2} (2 r) \\ = \frac{2}{3} π r^{3} \end{array}

Hemos escrito el volumen $V$ en términos de radio $r .$ Sin embargo, en algunos casos, podemos empezar con el volumen y querer determinar el radio. Por ejemplo: Un cliente compra 100 pies cúbicos de grava para construir un montículo en forma de cono con una altura del doble del radio. ¿Cuáles son el radio y la altura del nuevo cono? Para responder esta pregunta, utilizamos la fórmula

r = \sqrt[3]{\frac{3 V}{2 π}}

Esta función es la inversa de la fórmula de $V$ en términos de $r .$

En esta sección, exploraremos las inversas de las funciones polinómicas y racionales y, en particular, las funciones radicales que encontramos en el proceso.

Hallar la inversa de una función polinómica

Dos funciones $f$ y $g$ son funciones inversas si para cada par de coordenadas en $f, (a, b),$ existe un par de coordenadas correspondiente en la función inversa, $g, (b, a) .$ En otras palabras, los pares de coordenadas de las funciones inversas tienen la entrada y la salida intercambiadas.

Para que una función tenga una inversa, debe crear una función que sea biunívoca y que tendría una inversa.

Por ejemplo, supongamos que el Club de Sostenibilidad construye un colector de escorrentía con forma de artesa parabólica, como se ilustra en la Figura 2. Podemos utilizar la información en la figura para hallar el área superficial en la artesa como función de la profundidad del agua.

Diagrama de artesa parabólica de 18" de altura, 3' de longitud y 12" de anchura.

Figura 2

Ya que será útil tener una ecuación para la forma de sección transversal parabólica, impondremos un sistema de coordenadas, donde $x$ se mide horizontalmente, mientras que $y$ se mide verticalmente, con el origen en el vértice de la parábola. Vea la Figura 3.

Figura 3

A partir de esto hallamos una ecuación para la forma parabólica. Hemos situado el origen en el vértice de la parábola, por lo que sabemos que la ecuación tendrá la forma $y (x) = a x^{2} .$ Nuestra ecuación deberá pasar por el punto (6, 18), a partir del cual podemos resolver el factor de estiramiento $a .$

\begin{array}{l} 18 = a 6^{2} \\ a = \frac{18}{36} \\ = \frac{1}{2} \end{array}

Nuestra sección transversal parabólica tiene la ecuación

y (x) = \frac{1}{2} x^{2}

Nos interesa el área superficial del agua, por lo que debemos determinar la anchura en la parte de arriba como función de la profundidad del agua. Para cualquier profundidad $y$ la anchura vendrá dada por $2 x,$ así que tenemos que resolver la ecuación anterior para $x$ y hallar la función inversa. Sin embargo, observe que la función original no es biunívoca, y de hecho, dada cualquier salida hay dos entradas que producen la misma salida: una positiva y otra negativa.

Para hallar una inversa, podemos restringir nuestra función original a un dominio limitado en el que sea biunívoca. En este caso, tiene sentido limitarse a los valores positivos de $x$ . En este dominio, podemos hallar una inversa al resolver la variable de entrada:

\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} x^{2} \\ 2 y = x^{2} \\ x = \pm \sqrt{2 y} \end{array}

Esto no es una función tal y como está escrita. Nos limitamos a los valores positivos de $x$ , por lo que eliminamos la solución negativa, lo que arroja la función inversa que buscamos.

y = \frac{x^{2}}{2}, x > 0

Dado que $x$ es la distancia desde el centro de la parábola hasta cualquier lado, toda la anchura del agua en la parte superior será $2 x .$ La artesa tiene 3 pies (36 pulgadas) de largo, por lo que el área superficial será entonces:

\begin{array}{l} Área = l \cdot w \\ = 36 \cdot 2 x \\ = 72 x \\ = 72 \sqrt{2 y} \end{array}

Este ejemplo ilustra dos puntos importantes:

Al momento de hallar la inversa de una cuadrática, tenemos que limitarnos a un dominio en el que la función sea biunívoca.
La inversa de una función cuadrática es una función de raíz cuadrada. Ambas son funciones de la caja de herramientas y diferentes tipos de funciones de potencia.

Las funciones que implican raíces suelen llamarse funciones radicales. Aunque no es posible hallar la inversa de la mayoría de las funciones polinómicas, algunos polinomios básicos tienen inversa. Tales funciones se denominan funciones invertibles y utilizamos la notación $f^{- 1} (x) .$

Advertencia: $f^{- 1} (x)$ no es lo mismo que el recíproco de la función $f (x) .$ Este uso de "–1" está reservado para denotar funciones inversas. Para denotar el recíproco de una función $f (x),$ tendríamos que escribir ${(f (x))}^{- 1} = \frac{1}{f (x)} .$

Una relación importante entre las funciones inversas es que se "deshacen" entre sí. Si los valores de $f^{- 1}$ es la inversa de una función $f,$ entonces $f$ es la inversa de la función $f^{- 1} .$ En otras palabras, lo que sea que la función $f$ haga a $x,$ $f^{- 1}$ lo deshace, y viceversa. Más formalmente, escribimos

f^{- 1} (f (x)) = x, para todos x en el ámbito de f

y

f (f^{- 1} (x)) = x, para todos x en el ámbito de f^{- 1}

Comprobar que dos funciones son inversas

Dos funciones, $f$ y $g,$ son inversas entre sí si para todo $x$ en el dominio de $f$ y $g .$

g (f (x)) = f (g (x)) = x

Cómo

Dada una función polinómica, hallar la inversa de la función al restringir el dominio de tal manera que la nueva función sea biunívoca.

Sustituya $f (x)$ con la $y .$
Intercambie la $x$ y $y .$
Resuelva para $y,$ y renombre la función $f^{- 1} (x) .$

Ejemplo 1

Verificar funciones inversas

Demuestre que $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ y $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 1$ son inversas, para $x \neq 0, - 1$ .

Solución

Debemos demostrar que $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x .$

\begin{array}{l} f^{- 1} (f (x)) = f^{- 1} (\frac{1}{x + 1}) \\ = \frac{1}{\frac{1}{x + 1}} - 1 \\ = (x + 1) - 1 \\ = x \\ f (f^{- 1} (x)) = f (\frac{1}{x} - 1) \\ = \frac{1}{(\frac{1}{x} - 1) + 1} \\ = \frac{1}{\frac{1}{x}} \\ = x \end{array}

Por lo tanto, $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ y $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 1$ son inversas.

Inténtelo #1

Demuestre que $f (x) = \frac{x + 5}{3}$ y $f^{- 1} (x) = 3 x - 5$ son inversas.

Ejemplo 2

Hallar la inversa de una función cúbica

Halle la inversa de la función $f (x) = 5 x^{3} + 1.$

Solución

Esta es una transformación de la función cúbica básica de la caja de herramientas, y basándonos en nuestro conocimiento de esa función, sabemos que es biunívoca. Resolver para la inversa mediante la resolución de $x .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} y = 5 x^{3} + 1 \end{array} \\ x = 5 y^{3} + 1 \\ x - 1 = 5 y^{3} \\ \frac{x - 1}{5} = y^{3} \\ f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{\frac{x - 1}{5}} \end{array}

Análisis

Observe el gráfico de $f$ y $f^{- 1} .$ Observe que los dos gráficos son simétricos respecto a la línea $y = x .$ Este es siempre el caso cuando se grafica una función y su función inversa.

Además, dado que el método implicaba intercambiar la $x$ y $y,$ note los puntos correspondientes. Si los valores de $(a, b)$ está en el gráfico de $f,$ entonces $(b, a)$ está en el gráfico de $f^{- 1} .$ Dado que $(0, 1)$ está en el gráfico de $f,$ entonces $(1, 0)$ está en el gráfico de $f^{- 1} .$ Del mismo modo, dado que $(1, 6)$ está en el gráfico de $f,$ entonces $(6, 1)$ está en el gráfico de $f^{- 1} .$ Vea la Figura 4.

Gráfico de f(x)=5x^3+1 y su inversa, f^(-1)(x)=3sqrt((x-1)/(5)).

Figura 4

Inténtelo #2

Calcule la función inversa de $f (x) = \sqrt[3]{x + 4} .$

Delimitar del dominio para calcular la inversa de una función polinómica

Hasta ahora, hemos hallado las inversas de las funciones cúbicas sin tener que restringir sus dominios. Sin embargo, como sabemos, no todos los polinomios cúbicos son biunívocos. Puede que el dominio en algunas funciones que no son biunívocas se restrinja para que sea biunívoco, pero únicamente con respecto a ese dominio. La función sobre el dominio restringido tendría entonces una función inversa. Dado que las funciones cuadráticas no biunívocas, debemos restringir su dominio para hallar sus inversas.

Restringir el dominio

Si una función no es biunívoca, no puede tener ninguna inversa. Si restringimos el dominio de la función para que sea biunívoco, y creamos así otra función, esta última tendrá una inversa.

Cómo

Dada una función polinómica, restringir el dominio de una función que no sea biunívoca y luego hallar la inversa.

Restrinja el dominio al determinar un dominio en el que la función original sea biunívoca.
Sustituya $f (x) con y .$
Intercambie la $x y y .$
Resuelva para $y,$ y renombre la función o el par de funciones $f^{- 1} (x) .$
Repase la fórmula para $f^{- 1} (x)$ ; verifique que las salidas de la función inversa correspondan al dominio restringido de la función original.

Ejemplo 3

Delimitar del dominio para calcular la inversa de una función polinómica

Calcule la función inversa de $f :$

$f (x) = {(x - 4)}^{2}, x \geq 4$
$f (x) = {(x - 4)}^{2}, x \leq 4$

Solución

La función original $f (x) = {(x - 4)}^{2}$ no es biunívoca, sino que está restringida a un dominio de $x \geq 4$ o $x \leq 4$ en la que es biunívoca. Vea la Figura 5.

Dos gráficos de f(x)=(x-4)^2 donde el primero es cuando x>=4 y el segundo es cuando x<=4.

Figura 5

Para hallar la inversa, empiece por sustituir $f (x)$ con la variable simple $y .$

\begin{array}{l} y = {(x - 4)}^{2} & Intercambie la x y y . \\ x = {(y - 4)}^{2} & Tome la raíz cuadrada . \\ \pm \sqrt{x} = y - 4 & Sume 4 a ambos lados . \\ 4 \pm \sqrt{x} = y \end{array}

Esto no es una función tal y como está escrita. Tenemos que examinar las restricciones en el dominio de la función original para determinar la inversa. Ya que invertimos los papeles de la $x$ y $y$ para la $f (x),$ original, miramos el dominio: podrían suponerse los valores de $x$ . Cuando invertimos los papeles de la $x$ y $y,$ esto nos dio los valores que $y$ . Para esta función, $x \geq 4,$ así como para la inversa, deberíamos tener $y \geq 4,$ que es lo que da nuestra función inversa.

Ⓐ El dominio de la función original se restringió a $x \geq 4,$ por lo que las salidas de la inversa tienen que ser las mismas, $f (x) \geq 4,$ y debemos utilizar el caso +:
$f^{- 1} (x) = 4 + \sqrt{x}$
Ⓑ El dominio de la función original se restringió a $x \leq 4,$ por lo que las salidas de la inversa tienen que ser las mismas, $f (x) \leq 4,$ y debemos utilizar el caso -:
$f^{- 1} (x) = 4 - \sqrt{x}$

Análisis

En los gráficos que se indican en la Figura 6, vemos la función original graficada en el mismo conjunto de ejes que su función inversa. Observe que los gráficos muestran juntos una simetría en torno a la línea $y = x .$ El par de coordenadas $(4, 0)$ está en el gráfico de $f$ y el par de coordenadas $(0, 4)$ está en el gráfico de $f^{- 1} .$ Para cualquier par de coordenadas, si $(a, b)$ está en el gráfico de $f,$ entonces $(b, a)$ está en el gráfico de $f^{- 1} .$ Por último, observe que el gráfico de $f$ interseca el gráfico de $f^{- 1}$ en la línea $y = x .$ Puntos de intersección de los gráficos de $f$ y $f^{- 1}$ siempre estará en la línea $y = x .$

Dos gráficos de una función parabólica con la mitad de su inversa.

Figura 6

Ejemplo 4

Hallar la inversa de una función cuadrática cuando la restricción no está especificada

Restringir el dominio y luego hallar la inversa de

f (x) = {(x - 2)}^{2} - 3,

Solución

Podemos ver que se trata de una parábola con vértice en $(2, - 3)$ que se abre hacia arriba. Dado que el gráfico será decreciente a un lado del vértice y creciente al otro, podemos restringir esta función a un dominio en el que sea biunívoca al restringir el dominio a $x \geq 2.$

Para hallar la inversa, utilizaremos la forma de vértice de la cuadrática. Empezamos por sustituir $f (x)$ con una simple variable, $y,$ y luego resolvemos para $x .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} y = {(x - 2)}^{2} - 3 \end{array} & \begin{array}{l} Intercambie la x y y . \end{array} \\ x = {(y - 2)}^{2} - 3 & Sume 3 a ambos lados . \\ x + 3 = {(y - 2)}^{2} & Tome la raíz cuadrada . \\ \pm \sqrt{x + 3} = y - 2 & Añada 2 a ambos lados . \\ 2 \pm \sqrt{x + 3} = y & Renombre la función . \\ f^{- 1} (x) = 2 \pm \sqrt{x + 3} \end{array}

Ahora tenemos que determinar qué caso utilizar. Dado que hemos restringido nuestra función original a un dominio de $x \geq 2,$ las salidas de la inversa deberían ser las mismas, lo que nos indica que debemos utilizar el caso +

f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{x + 3}

Si la cuadrática no se hubiera dado en forma de vértice, reescribirla así sería el primer paso. De esta manera podemos observar fácilmente las coordenadas del vértice para restringir el dominio.

Análisis

Observe que hemos decidido arbitrariamente restringir el dominio en $x \geq 2.$ Podríamos haber optado fácilmente por restringir el dominio en $x \leq 2,$ en cuyo caso $f^{- 1} (x) = 2 - \sqrt{x + 3} .$ Observe la función original graficada en el mismo conjunto de ejes que su función inversa en la Figura 7. Observe que ambos gráficos muestran simetría respecto a la línea $y = x .$ El par de coordenadas $(2, - 3)$ está en el gráfico de $f$ y el par de coordenadas $(- 3, 2)$ está en el gráfico de $f^{- 1} .$ Observe a partir del gráfico de ambas funciones sobre el mismo conjunto de ejes que

dominio de f = rango de f^{- 1} = [2, \infty)

y

dominio de f^{- 1} = rango de f = [- 3, \infty)

Por último, observe que el gráfico de $f$ interseca el gráfico de $f^{- 1}$ a lo largo de la línea $y = x .$

Gráfico de una función parabólica con la mitad de su inversa.

Figura 7

Inténtelo #3

Halle la inversa de la función $f (x) = x^{2} + 1,$ en el dominio $x \geq 0 .$

Resolver aplicaciones de funciones radicales

Observe que las funciones de los ejemplos anteriores eran todas polinomios, y sus inversas eran funciones radicales. Si queremos hallar la inversa de una función radical, tendremos que restringir el dominio de la respuesta porque el rango de la función original es limitado.

Cómo

Dada una función radical, hallar la inversa.

Determine el rango de la función original.
Sustituya $f (x)$ con la $y,$ y luego resolvemos para $x .$
Si es necesario, restrinja el dominio de la función inversa al rango de la función original.

Ejemplo 5

Hallar la inversa de una función radical

Restrinja el dominio y luego calcule la inversa de la función $f (x) = \sqrt{x - 4} .$

Solución

Observe que la función original tiene rango $f (x) \geq 0 .$ Sustituya $f (x)$ con la $y,$ y luego resolvemos para $x .$

\begin{matrix} y & = \sqrt{x - 4} & Sustituya f (x) con y . \\ x & = \sqrt{y - 4} & Intercambie la x y y . \\ x & = \sqrt{y - 4} & Eleve al cuadrado cada lado . \\ x^{2} & = y - 4 & Sume 4 . \\ x^{2} + 4 & = y & Renombre la función f^{- 1} (x) . \\ f^{- 1} (x) & = x^{2} + 4 \end{matrix}

Recordemos que el dominio de esta función deberá limitarse al rango de la función original.

f^{- 1} (x) = x^{2} + 4, x \geq 0

Análisis

Observe en la Figura 8 que la inversa es una reflexión de la función original sobre la línea $y = x .$ Dado que la función original tiene únicamente salidas positivas, la función inversa solo tiene entradas positivas.

Gráfico de f(x)=cuadrado(x-4) y su inversa, f^(-1)(x)=x^2+4.

Figura 8

Inténtelo #4

Restrinja el dominio y luego calcule la inversa de la función $f (x) = \sqrt{2 x + 3} .$

Las funciones radicales son comunes en los modelos físicos, como vimos en la sección inicial. Ahora tenemos suficientes herramientas para poder resolver el problema planteado al principio de la sección.

Ejemplo 6

Resolver una aplicación con una función cúbica

Los guardaparques construyen un montículo de grava en forma de cono con una altura igual al doble del radio. El volumen del cono en función del radio viene dado por

V = \frac{2}{3} π r^{3}

Halle la inversa de la función $V = \frac{2}{3} π r^{3}$ que determina el volumen $V$ de un cono y es una función del radio $r .$ A continuación, utilice la función inversa para calcular el radio de dicho montículo de grava que mide 100 pies cúbicos. Utilice $π = 3,14.$

Solución

Comience con la función dada para $V .$ Observe que el dominio significativo de la función es $r \geq 0$ ya que los radios negativos no tendrían sentido en este contexto. Observe igualmente que el rango de la función (por ende, el dominio de la función inversa) es $V \geq 0 .$ Resuelva para $r$ en términos de $V,$ con el método descrito anteriormente

\begin{array}{l} V = \frac{2}{3} π r^{3} \\ r^{3} = \frac{3 V}{2 π} & Resuelva para r^{3} . \\ r = \sqrt[3]{\frac{3 V}{2 π}} & Resuelva para r . \end{array}

Este es el resultado que se indica al principio de la sección. Ahora evalúe esto para $V = 100$ y $π = 3,14.$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \sqrt[3]{\frac{3 V}{2 π}} \end{array} \\ = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 100}{2 \cdot 3,14}} \\ \approx \sqrt[3]{47,7707} \\ \approx 3,63 \end{array}

Por lo tanto, el radio es de unos 3,63 pies.

Determinar el dominio de una función radical compuesta con otras funciones

Cuando las funciones radicales se componen con otras funciones, puede complicarse la determinación del dominio.

Ejemplo 7

Hallar el dominio de una función radical compuesta con una función racional

Halle el dominio de la función $f (x) = \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 3)}{(x - 1)}} .$

Solución

Dado que una raíz cuadrada está definida solamente cuando la cantidad bajo el radical es no negativa, tenemos que determinar dónde $\frac{(x + 2) (x - 3)}{(x - 1)} \geq 0 .$ La salida de una función racional puede cambiar de signo (pasar de positivo a negativo y viceversa) en las intersecciones en x y en las asíntotas verticales. Para esta ecuación, el gráfico podría cambiar de signo en $x$ = -2, 1 y 3.

Para determinar los intervalos en los que la expresión racional es positiva, podríamos probar algunos valores de la expresión o dibujar un gráfico. Aunque ambos enfoques funcionan igualmente bien, para este ejemplo utilizaremos un gráfico como el que se indica en la Figura 9.

Gráfico de una función radical que muestra dónde las salidas son no negativas.

Figura 9

Esta función tiene dos intersecciones en x, ambas de las cuales muestran un comportamiento lineal cerca de las intersecciones en x. Hay una asíntota vertical, que corresponde a un factor lineal; este comportamiento es similar al de la función recíproca básica de la caja de herramientas, y no hay asíntota horizontal porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Hay una intersección en y en $(0, \sqrt{6}) .$

A partir de la intersección en y, así como de la intersección en x en $x = - 2,$ podemos dibujar el lado izquierdo del gráfico. A partir del comportamiento en la asíntota, podemos esbozar el lado derecho del gráfico.

A partir del gráfico, ahora podemos saber en qué intervalos las salidas serán no negativas, por lo que podemos estar seguros de que la función original $f (x)$ se definirá. $f (x)$ tiene dominio $- 2 \leq x < 1 o x \geq 3,$ o en notación de intervalo, $[- 2, 1) \cup [3, \infty) .$

Hallar las inversas de las funciones racionales

Al igual que con la búsqueda de las inversas de las funciones cuadráticas, a veces es deseable hallar la inversa de una función racional, especialmente de las que son el cociente de las funciones lineales, como en las aplicaciones de concentración.

Ejemplo 8

Hallar la inversa de una función racional

La función $C = \frac{20 + 0,4 n}{100 + n}$ representa la concentración $C$ de una solución ácida después de añadir $n$ mL de solución al 40 % a 100 mL de una solución al 20 %. En primer lugar, halle la inversa de la función; es decir, defina una expresión para $n$ en términos de $C .$ A continuación, utilice su resultado para determinar qué cantidad de la solución al 40 % debe añadirse para que la mezcla final sea una solución al 35 %.

Solución

Primero queremos la inversa de la función. Resolvemos para $n$ en términos de $C .$

\begin{matrix} C = \frac{20 + 0,4 n}{100 + n} \\ C (100 + n) = 20 + 0,4 n \\ 100 C + C n = 20 + 0,4 n \\ 100 C - 20 = 0,4 n - C n \\ 100 C - 20 = (0,4 - C) n \\ n = \frac{100 C - 20}{0,4 - C} \end{matrix}

Ahora evalúe esta función para $C = 0,35 (35 %) .$

\begin{matrix} n = \frac{100 (0,35) - 20}{0,4 - 0,35} \\ = \frac{15}{0,05} \\ = 300 \end{matrix}

Podemos concluir que hay que añadir 300 mL de la solución al 40 %.

Inténtelo #5

Halle la inversa de la función $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2} .$

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las inversas y funciones radicales.

3.8 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique por qué no podemos hallar funciones inversas para todas las funciones polinómicas.

2.

¿Por qué hay que restringir el dominio de una función cuadrática al momento de hallar su inversa?

3.

Al momento de hallar la inversa de una función radical, ¿qué restricción tendremos que hacer?

4.

¿Qué forma tendrá siempre la inversa de una función cuadrática?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función en el dominio dado.

5.

$f (x) = {(x - 4)}^{2}, [4, \infty)$

6.

$f (x) = {(x + 2)}^{2}, [- 2, \infty)$

7.

$f (x) = {(x + 1)}^{2} - 3, [- 1, \infty)$

8.

$f (x) = 2 - \sqrt{3 + x}$

9.

$f (x) = 3 x^{2} + 5, (- \infty, 0]$

10.

$f (x) = 12 - x^{2}, [0, \infty)$

11.

$f (x) = 9 - x^{2}, [0, \infty)$

12.

$f (x) = 2 x^{2} + 4, [0, \infty)$

En los siguientes ejercicios, calcule la inversa de las funciones.

13.

$f (x) = x^{3} + 5$

14.

$f (x) = 3 x^{3} + 1$

15.

$f (x) = 4 - x^{3}$

16.

$f (x) = 4 - 2 x^{3}$

En los siguientes ejercicios, calcule la inversa de las funciones.

17.

$f (x) = \sqrt{2 x + 1}$

18.

$f (x) = \sqrt{3 - 4 x}$

19.

$f (x) = 9 + \sqrt{4 x - 4}$

20.

$f (x) = \sqrt{6 x - 8} + 5$

21.

$f (x) = 9 + 2 \sqrt[3]{x}$

22.

$f (x) = 3 - \sqrt[3]{x}$

23.

$f (x) = \frac{2}{x + 8}$

24.

$f (x) = \frac{3}{x - 4}$

25.

$f (x) = \frac{x + 3}{x + 7}$

26.

$f (x) = \frac{x - 2}{x + 7}$

27.

$f (x) = \frac{3 x + 4}{5 - 4 x}$

28.

$f (x) = \frac{5 x + 1}{2 - 5 x}$

29.

$f (x) = x^{2} + 2 x, [- 1, \infty)$

30.

$f (x) = x^{2} + 4 x + 1, [- 2, \infty)$

31.

$f (x) = x^{2} - 6 x + 3, [3, \infty)$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función y grafique tanto la función como su inversa.

32.

$f (x) = x^{2} + 2, x \geq 0$

33.

$f (x) = 4 - x^{2}, x \geq 0$

34.

$f (x) = {(x + 3)}^{2}, x \geq - 3$

35.

$f (x) = {(x - 4)}^{2}, x \geq 4$

36.

$f (x) = x^{3} + 3$

37.

$f (x) = 1 - x^{3}$

38.

$f (x) = x^{2} + 4 x, x \geq - 2$

39.

$f (x) = x^{2} - 6 x + 1, x \geq 3$

40.

$f (x) = \frac{2}{x}$

41.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}, x \geq 0$

En los siguientes ejercicios, utilice un gráfico para determinar el dominio de las funciones.

42.

$f (x) = \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}}$

43.

$f (x) = \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 3)}{x - 1}}$

44.

$f (x) = \sqrt{\frac{x (x + 3)}{x - 4}}$

45.

$f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} - x - 20}{x - 2}}$

46.

$f (x) = \sqrt{\frac{9 - x^{2}}{x + 4}}$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la función. A continuación, indique tres puntos en el gráfico de la inversa con las coordenadas dadas de y.

47.

$f (x) = x^{3} - x - 2, y = 1, 2, 3$

48.

$f (x) = x^{3} + x - 2, y = 0, 1, 2$

49.

$f (x) = x^{3} + 3 x - 4, y = 0, 1, 2$

50.

$f (x) = x^{3} + 8 x - 4, y = - 1, 0, 1$

51.

$f (x) = x^{4} + 5 x + 1, y = - 1, 0, 1$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de las funciones con $a, b, c$ números reales positivos.

52.

$f (x) = a x^{3} + b$

53.

$f (x) = x^{2} + b x$

54.

$f (x) = \sqrt{a x^{2} + b}$

55.

$f (x) = \sqrt[3]{a x + b}$

56.

$f (x) = \frac{a x + b}{x + c}$

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, determine la función descrita y luego utilícela para responder la pregunta.

57.

Un objeto lanzado desde una altura de 200 metros tiene una altura $h (t),$ en metros después de que $t$ segundos hayan transcurrido, de manera que $h (t) = 200 - 4,9 t^{2} .$ Exprese $t$ en función de la altura, $h,$ y calcule el tiempo que tarda para alcanzar una altura de 50 metros.

58.

Un objeto lanzado desde una altura de 600 pies tiene una altura $h (t),$ en pies después de que $t$ segundos han transcurrido, de manera que $h (t) = 600 - 16 t^{2} .$ Exprese $t$ en función de la altura $h,$ y calcule el tiempo que tarda para alcanzar una altura de 400 pies.

59.

El volumen, $V,$ de una esfera en función de su radio, $r,$ viene dado por $V (r) = \frac{4}{3} π r^{3} .$ Exprese $r$ en función de $V,$ y halle el radio de una esfera con un volumen de 200 pies cúbicos.

60.

El área superficial, $A,$ de una esfera en función de su radio, $r,$ viene dada por $A (r) = 4 π r^{2} .$ Exprese $r$ en función de $A,$ y halle el radio de una esfera con un área superficial de 1.000 pulgadas cuadradas.

61.

Un recipiente contiene 100 ml de una solución que tiene 25 ml de ácido. Si se añaden $n$ ml de una solución ácida al 60 %, la función $C (n) = \frac{25 + 0,6 n}{100 + n}$ da la concentración, $C,$ en función de la cantidad de ml añadidos, $n .$ Exprese $n$ en función de $C$ y determine cuántos mL hay que añadir para tener una solución ácida al 50 %.

62.

El periodo $T,$ en segundos, de un péndulo simple en función de su longitud $l,$ en pies, viene dado por $T (l) = 2 π \sqrt{\frac{l}{32,2}}$ . Exprese $l$ en función de $T$ y determine la longitud de un péndulo con periodo de 2 segundos.

63.

El volumen de un cilindro, $V,$ en términos de radio, $r,$ y la altura, $h,$ viene dado por $V = π r^{2} h .$ Si un cilindro tiene una altura de 6 metros, exprese el radio en función de $V$ y halle el radio de un cilindro con un volumen de 300 metros cúbicos.

64.

El área superficial, $A,$ de un cilindro en función de su radio, $r,$ y la altura, $h,$ viene dada por $A = 2 π r^{2} + 2 π r h .$ Si la altura del cilindro es de 4 pies, exprese el radio en función de $A$ y determine el radio si el área superficial es de 200 pies cuadrados.

65.

El volumen de un cono circular recto, $V,$ en términos de su radio, $r,$ y su altura, $h,$ viene dado por $V = \frac{1}{3} π r^{2} h .$ Exprese $r$ en términos de $V$ si la altura del cono es de 12 pulgadas y determine el radio de un cono con volumen de 50 pulgadas cúbicas.

66.

Considere un cono con una altura de 30 pies. Exprese el radio, $r,$ en términos de volumen, $V,$ y determine el radio de un cono con un volumen de 1.000 pies cúbicos.

3.8 Inversas y funciones radicales

Hallar la inversa de una función polinómica

Verificar funciones inversas

Solución

Hallar la inversa de una función cúbica

Solución

Análisis

Delimitar del dominio para calcular la inversa de una función polinómica

Delimitar del dominio para calcular la inversa de una función polinómica

Solución

Análisis

Hallar la inversa de una función cuadrática cuando la restricción no está especificada

Solución

Análisis

Resolver aplicaciones de funciones radicales

Hallar la inversa de una función radical

Solución

Análisis

Resolver una aplicación con una función cúbica

Solución

Determinar el dominio de una función radical compuesta con otras funciones

Hallar el dominio de una función radical compuesta con una función racional

Solución

Hallar las inversas de las funciones racionales

Hallar la inversa de una función racional

Solución

3.8 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

En tecnología

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real