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Precálculo 2ed

3.9 Modelado mediante la variación

Precálculo 2ed3.9 Modelado mediante la variación
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Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Resolver problemas de variación directa.
  • Resolver problemas de variación inversa.
  • Resolver problemas que impliquen una variación conjunta.

Un concesionario de automóviles usados acaba de ofrecer a su mejor candidata, Nicole, un cargo en ventas. El cargo ofrece una comisión del 16 % sobre sus ventas. Sus ganancias dependen del importe de sus ventas. Por ejemplo, si vende un vehículo por 4.600 dólares, ganará 736 dólares. Al considerar la oferta, tiene en cuenta el precio típico de los automóviles del concesionario, el mercado en general y cuántos puede esperar vender razonablemente. En esta sección, examinaremos las relaciones, como esta, entre las ganancias, las ventas y la tasa de comisión.

Resolver problemas de variación directa

En el ejemplo anterior, las ganancias de Nicole se hallan al multiplicar sus ventas por su comisión. La fórmula e=0,16s e=0,16s nos cuenta sus ganancias, e, e, provienen del producto de 0,16, su comisión, y el precio de venta del vehículo. Si creamos una tabla, observamos que, a medida que aumenta el precio de venta, también aumentan las ganancias, lo que debería ser intuitivo. Vea la Tabla 1.

s s, precios de venta e=0,16s e=0,16s Interpretación
$4.600 e=0,16( 4.600 )=736 e=0,16( 4.600 )=736 La venta de un vehículo de 4.600 dólares supone una ganancia de 736 dólares.
$9.200 e=0,16( 9.200 )=1.472 e=0,16( 9.200 )=1.472 La venta de un vehículo de 9.200 dólares supone una ganancia de 1.472 dólares.
$18.400 e=0,16( 18.400 )=2.944 e=0,16( 18.400 )=2.944 La venta de un vehículo de 18.400 dólares supone una ganancia de 2.944 dólares.
Tabla 1

Observe que las ganancias son un múltiplo de las ventas. A medida que aumentan las ventas, las ganancias se incrementan de forma previsible. Duplicamos las ventas del vehículo de 4.600 a 9.200 dólares, y duplicamos las ganancias de 736 a 1.472 dólares. A medida que aumenta la entrada, la salida aumenta como un múltiplo de la entrada. La relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se denomina variación directa. Cada variable en este tipo de relación varía directamente con la otra.

La Figura 1 representa los datos de las posibles ganancias de Nicole. Decimos que las ganancias varían directamente con el precio de venta del automóvil. La fórmula y=k x n y=k x n se utiliza para la variación directa. El valor k k es una constante no nula mayor que cero y se denomina constante de variación. En este caso, k=0,16 k=0,16 y n=1. n=1.

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quot;." class="image-button-wrapper">Gráfico de y=(0,16)x, donde el eje horizontal está marcado "s, Precio de venta en dólares", y el eje vertical está marcado "e, Ganancias, <div id=
quot;." width="653" height="613" loading="lazy" data-original-src="/apps/archive/20251118.192121/resources/6ecba2f6a3ea79a6390ab43ed1b134d84e690ed9">
Figura 1

Variación directa

Si los valores de xyy xyy están relacionados por una ecuación de la forma

y=k x n y=k x n

entonces decimos que la relación es de variación directa y y y varía directamente con la enésima potencia de x. x. En las relaciones de variación directa, existe un cociente constante no nulo k= y x n , k= y x n , donde k k se denomina constante de variación, que ayuda a definir la relación entre las variables.

Cómo

Dada la descripción de un problema de variación directa, resolver una incógnita

  1. Identifique la entrada, x, x, y la salida, y. y.
  2. Determine la constante de variación. Es posible que tenga que dividir y y entre la potencia especificada de x x para determinar la constante de variación.
  3. Utilice la constante de variación para escribir una ecuación para la relación.
  4. Sustituya los valores conocidos en la ecuación para hallar la incógnita.

Ejemplo 1

Resolver un problema de variación directa

La cantidad y y varía directamente con el cubo de x. x. Si y=25 y=25 cuando x=2 , x=2 , calcule y y cuando x x es 6.

Análisis

El gráfico de esta ecuación es un cúbico simple, como se muestra en la Figura 2.

Figura 2

Preguntas y respuestas

¿Los gráficos de todas las ecuaciones de variación directa se parecen al Ejemplo 1?

No. Las ecuaciones de variación directa son funciones de potencia: pueden ser lineales, cuadráticas, cúbicas, cuárticas, radicales, etc. No obstante, todos los gráficos pasan por ( 0.0 ). ( 0.0 ).

Inténtelo #1

La cantidad y y varía directamente con el cuadrado de x. x. Si y=24 y=24 cuando x=3, x=3, calcule y y cuando x x es 4.

Resolver problemas de variación inversa

La temperatura del agua en un océano varía inversamente a la profundidad del agua. Entre las profundidades de 250 pies y 500 pies, la fórmula T= 14.000 d T= 14.000 d nos da la temperatura en grados Fahrenheit a una profundidad en pies bajo la superficie de la Tierra. Consideremos el Océano Atlántico, que cubre el 22 % de la superficie de la Tierra. En un lugar determinado, a una profundidad de 500 pies, la temperatura puede ser de 28 °F.

Si creamos la Tabla 2, observamos que, a medida que aumenta la profundidad, la temperatura del agua disminuye.

d, d, profundidad T= 14.000 d T= 14.000 d Interpretación
500 pies 14.000 500 =28 14.000 500 =28 A una profundidad de 500 pies, la temperatura del agua es de 28 °F.
350 pies 14.000 350 =40 14.000 350 =40 A una profundidad de 350 pies, la temperatura del agua es de 40 °F.
250 pies 14.000 250 =56 14.000 250 =56 A una profundidad de 250 pies, la temperatura del agua es de 56 °F.
Tabla 2

Observamos en la relación entre estas variables que, a medida que una cantidad aumenta, la otra disminuye. Se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales y que cada término varía inversamente con el otro. Las relaciones inversamente proporcionales también se denominan variaciones inversas.

Para nuestro ejemplo, la Figura 3 representa la variación inversa. Decimos que la temperatura del agua varía inversamente a la profundidad del agua porque, a medida que la profundidad aumenta, la temperatura disminuye. La fórmula y= k x y= k x para la variación inversa en este caso utiliza k=14.000. k=14.000.

Figura 3

Variación inversa

Si los valores de x x y y y están relacionados por una ecuación de la forma

y= k x n y= k x n

donde k k es una constante no nula, entonces decimos que y y varía inversamente con la enésima potencia de x. x. En las relaciones inversamente proporcionales o variaciones inversas hay un múltiplo constante k= x n y. k= x n y.

Ejemplo 2

Escribir una fórmula para una relación inversamente proporcional

Un turista planea conducir 100 millas. Halle una fórmula para el tiempo que durará el viaje en función de la velocidad a la que conduce el turista.

Cómo

Dada la descripción de un problema de variación indirecta, resolver una incógnita

  1. Identifique la entrada, x, x, y la salida, y. y.
  2. Determine la constante de variación. Es posible que tenga que multiplicar y y entre la potencia especificada de x x para determinar la constante de variación.
  3. Utilice la constante de variación para escribir una ecuación para la relación.
  4. Sustituya los valores conocidos en la ecuación para hallar la incógnita.

Ejemplo 3

Resolver un problema de variación inversa

Una cantidad y y varía inversamente con el cubo de x. x. Si y=25 y=25 cuando x=2 , x=2 , calcule y y cuando x x es 6.

Análisis

El gráfico de esta ecuación es una función racional, como se muestra en la Figura 4.

Figura 4

Inténtelo #2

Una cantidad y y varía inversamente con el cuadrado de x. x. Si y=8 y=8 cuando x=3, x=3, calcule y y cuando x x es 4.

Resolver problemas que implican una variación conjunta

Muchas situaciones son más complicadas que un modelo básico de variación directa o de variación inversa. Una variable suele depender de varias otras variables. Cuando una variable depende del producto o cociente de dos o más variables, se denomina variación conjunta. Por ejemplo, el costo del transporte en autobús de los alumnos por cada viaje escolar varía en función del número de alumnos que asisten y de la distancia de la escuela. La variable c, c, costo, varía junto con el número de estudiantes, n, n, y la distancia, d. d.

Variación conjunta

La variación conjunta se produce cuando una variable varía directa o inversamente con múltiples variables.

Por ejemplo, si x x varía directamente tanto con y y y z, z, tenemos x=kyz. x=kyz. Si x x varía directamente con y y e inversamente con c, c, tenemos x= ky z . x= ky z . Observe que solo utilizamos una constante en una ecuación de variación conjunta.

Ejemplo 4

Resolver de problemas que implican una variación conjunta

Una cantidad x x varía directamente con el cuadrado de y y e inversamente con la raíz cúbica de c. c. Si x=6 x=6 cuando y=2 y=2 y z=8, z=8, calcule x x cuando y=1 y=1 y z=27. z=27.

Inténtelo #3

x x varía directamente con el cuadrado de y y e inversamente con c. c. Si x=40 x=40 cuando y=4 y=4 y z=2 , z=2 , calcule x x cuando y=10 y=10 y z=25. z=25.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la variación directa e inversa.

3.9 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Qué hay de cierto en el aspecto de los gráficos que reflejan una variación directa entre dos variables?

2.

Si dos variables varían inversamente, ¿cómo será la ecuación que represente su relación?

3.

¿Existe un límite al número de variables que pueden variar conjuntamente? Explique.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación que describa la relación de las variables dadas.

4.

y y varía directamente como x x y cuando x=6,y=12. x=6,y=12.

5.

y y varía directamente como el cuadrado de x x y cuando x=4,y=80.  x=4,y=80. 

6.

y y varía directamente como la raíz cuadrada de x x y cuando x=36,y=24. x=36,y=24.

7.

y y varía directamente como el cubo de x x y cuando x=36,y=24. x=36,y=24.

8.

y y varía directamente como la raíz cúbica de x x y cuando x=27,y=15. x=27,y=15.

9.

y y varía directamente como la cuarta potencia de x x y cuando x=1,y=6. x=1,y=6.

10.

y y varía inversamente a x x y cuando x=4,y=2. x=4,y=2.

11.

y y varía inversamente al cuadrado de x x y cuando x=3,y=2. x=3,y=2.

12.

y y varía inversamente al cubo de x x y cuando x=2 ,y=5. x=2 ,y=5.

13.

y y varía inversamente como la cuarta potencia de x x y cuando x=3,y=1. x=3,y=1.

14.

y y varía inversamente a la raíz cuadrada de x x y cuando x=25,y=3. x=25,y=3.

15.

y y varía inversamente como la raíz cúbica de x x y cuando x=64,y=5. x=64,y=5.

16.

y y varía junto con x x y c c y cuando x=2 x=2 y z=3z=3, y=36. y=36.

17.

y y varía junto como x x, cc y w w y cuando x=1 x=1, c=2c=2, w=5w=5, entonces y=100. y=100.

18.

y y varía conjuntamente como el cuadrado de x x y el cuadrado de c c y cuando x=3 x=3y c=4c=4, entonces y=72. y=72.

19.

y y varía junto como x x y la raíz cuadrada de c c y cuando x=2 x=2 y z=25z=25, entonces y=100. y=100.

20.

y y varía conjuntamente como el cuadrado de x x el cubo de c c y la raíz cuadrada de w. w. Cuando x=1 x=1,c=2c=2, y w=36, entonces y=48. w=36, entonces y=48.

21.

y y varía junto como x xy c c e inversamente como w. w. Cuando x=3 x=3, c=5c=5 y w=6w=6, entonces y=10. y=10.

22.

y y varía conjuntamente como el cuadrado de x x y la raíz cuadrada de c c e inversamente como el cubo de w.  w.  Cuando x=3,z=4, y w=3, entonces y=6. x=3,z=4, y w=3, entonces y=6.

23.

y y varía junto como x x y c c e inversamente como la raíz cuadrada de w w y el cuadrado de t. t. Cuando x=3 x=3, c=1,w=25c=1,w=25, y t=2t=2, entonces y=6. y=6.

Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para determinar el valor desconocido.

24.

y y varía directamente como x x. Cuando x=3 x=3, entonces y=12y=12. Calcule yy cuando x=20. x=20.

25.

y y varía directamente como el cuadrado de x x . Cuando x=2 x=2, entonces y=16y=16. Calcule yy cuando x=8 x=8.

26.

y y varía directamente como el cubo de x x . Cuando x=3 x=3, entonces y=5y=5. Calcule yy cuando x=4 x=4.

27.

y y varía directamente como la raíz cuadrada de x. x. Cuando x=16 x=16, entonces y=4y=4. Calcule y cuando x=36 y cuando x=36.

28.

y y varía directamente como la raíz cúbica de x. x. Cuando x=125 x=125, entonces y=15y=15. Calcule yy cuando x=1x=1, 000. 000.

29.

y y varía inversamente con x. x. Cuando x=3 x=3, entonces y=2y=2. Calcule yy cuando x=1 x=1.

30.

y y varía inversamente con el cuadrado de x x . Cuando x=4 x=4, entonces y=3y=3. Calcule yy cuando x=2 x=2.

31.

y y varía inversamente con el cubo de x. x. Cuando x=3 x=3, entonces y=1y=1. Calcule yy cuando x=1 x=1.

32.

y y varía inversamente con la raíz cuadrada de x. x. Cuando x=64, x=64, entonces y=12. y=12. Halle y y cuando x=36. x=36.

33.

y y varía inversamente con la raíz cúbica de x. x. Cuando x=27, x=27, entonces y=5. y=5. Halle y y cuando x=125. x=125.

34.

y y varía junto como xyz. xyz. Cuando x=4 x=4 y z=2 , z=2 , entonces y=16. y=16. Halle y y cuando x=3 x=3 y z=3. z=3.

35.

y y varía junto como x,z,yw. x,z,yw. Cuando x=2 , x=2 , z=1, z=1, y w=12, w=12, entonces y=72. y=72. Halle y y cuando x=1, x=1, z=2 , z=2 , y w=3. w=3.

36.

y y varía junto como x x y el cuadrado de z. z. Cuando x=2 x=2 y z=4, z=4, entonces y=144. y=144. Halle y y cuando x=4 x=4 y z=5. z=5.

37.

y y varía conjuntamente como el cuadrado de x x y la raíz cuadrada de c. c. Cuando x=2 x=2 y z=9, z=9, entonces y=24. y=24. Halle y y cuando x=3 x=3 y z=25. z=25.

38.

y y varía junto como x x y c c e inversamente como w. w. Cuando x=5, x=5, z=2 , z=2 , y w=20, w=20, entonces y=4. y=4. Halle y y cuando x=3 x=3 y z=8, z=8, y w=48. w=48.

39.

y y varía conjuntamente como el cuadrado de x x y el cubo de c c e inversamente como la raíz cuadrada de w.  w.  Cuando x=2 , x=2 , z=2 , z=2 , y w=64, w=64, entonces y=12. y=12. Halle y y cuando x=1, x=1, z=3, z=3, y w=4. w=4.

40.

y y varía conjuntamente como el cuadrado de x x y de c c e inversamente como la raíz cuadrada de w w y de t. t. Cuando x=2 , x=2 , z=3, z=3, w=16, w=16, y t=3, t=3, entonces y=1. y=1. Halle y y cuando x=3, x=3, z=2 , z=2 , w=36, w=36, y t=5. t=5.

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la ecuación implícita en la variación dada.

41.

y y varía directamente con el cuadrado de x x y cuando x=2 ,y=3. x=2 ,y=3.

42.

y y varía directamente como el cubo de x x y cuando x=2 ,y=4. x=2 ,y=4.

43.

y y varía directamente como la raíz cuadrada de x x y cuando x=36,y=2. x=36,y=2.

44.

y y varía inversamente con x x y cuando x=6,y=2. x=6,y=2.

45.

y y varía inversamente al cuadrado de x x y cuando x=1,y=4. x=1,y=4.

Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la ley de Kepler, que establece que el cuadrado del tiempo, T, T, que se necesita para que un planeta orbite alrededor del Sol varía directamente con el cubo de la distancia media, a, a, que el planeta es del Sol.

46.

Utilizando el tiempo de la Tierra de 1 año y la distancia media de 93 millones de millas, halle la ecuación que relaciona T T y a. a.

47.

Utilice el resultado del ejercicio anterior para determinar el tiempo necesario para que Marte orbite el Sol si su distancia media es de 142 millones de millas.

48.

Utilizando la distancia de la Tierra de 150 millones de kilómetros, halle la ecuación que relaciona T T y a. a.

49.

Utilice el resultado del ejercicio anterior para determinar el tiempo necesario para que Venus orbite el Sol si su distancia media es de 108 millones de kilómetros.

50.

Utilizando la distancia de la Tierra de 1 unidad astronómica (U.A.), determine el tiempo que tarda Saturno en orbitar el Sol si su distancia media es de 9,54 U.A.

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para responder las preguntas.

51.

La distancia s s a la que cae un objeto varía directamente con el cuadrado del tiempo, t, t, de la caída. Si un objeto cae 16 pies en un segundo, ¿cuánto tiempo tarda en caer 144 pies?

52.

La velocidad v v de un objeto que cae varía directamente al tiempo, t, t, de la caída. Si, después de 2 segundos, la velocidad del objeto es de 64 pies por segundo, ¿cuál es la velocidad después de 5 segundos?

53.

La velocidad de vibración de una cuerda sometida a una tensión constante varía inversamente a la longitud de la cuerda. Si una cuerda mide 24 pulgadas y vibra 128 veces por segundo, ¿cuál es la longitud de una cuerda que vibra 64 veces por segundo?

54.

El volumen de un gas mantenido a temperatura constante varía indirectamente como la presión del gas. Si el volumen de un gas es de 1.200 centímetros cúbicos, cuando la presión es de 200 milímetros de mercurio, ¿cuál es el volumen cuando la presión es de 300 milímetros de mercurio?

55.

El peso de un objeto sobre la superficie de la Tierra varía inversamente con el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Si un cuerpo pesa 50 libras cuando está a 3.960 millas del centro de la Tierra, ¿cuánto pesaría si estuviera a 3.970 millas del centro de la Tierra?

56.

La intensidad de la luz medida en pies candela varía inversamente al cuadrado de la distancia a la fuente de luz. Supongamos que la intensidad de una bombilla es de 0,08 pies candela a una distancia de 3 metros. Halle el nivel de intensidad a 8 metros.

57.

La corriente en un circuito varía inversamente con su resistencia medida en ohmios. Cuando la corriente en un circuito es de 40 amperios, la resistencia es de 10 ohmios. Halle la corriente si la resistencia es de 12 ohmios.

58.

La fuerza que ejerce el viento sobre una superficie plana varía junto con el cuadrado de la velocidad del viento y con el área de la superficie plana. Si el área de la superficie es de 40 pies cuadrados y la velocidad del viento es de 20 millas por hora, la fuerza resultante es de 15 libras. Halle la fuerza sobre una superficie de 65 pies cuadrados a una velocidad de 30 millas por hora.

59.

La potencia (CV) que un eje puede transmitir con seguridad varía junto con su velocidad (en revoluciones por minuto [rpm]) y el cubo del diámetro. Si el eje de un determinado material de 3 pulgadas de diámetro puede transmitir 45 CV a 100 rpm, ¿qué diámetro deberá tener para transmitir 60 CV a 150 rpm?

60.

La energía cinética K K de un objeto en movimiento varía junto con su masa m m y el cuadrado de su velocidad v. v. Si un objeto que pesa 40 kilogramos a una velocidad de 15 metros por segundo tiene una energía cinética de 1.000 julios, halle la energía cinética si la velocidad aumenta a 20 metros por segundo.

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