Objetivos de aprendizaje
En esta sección, podrá:
- Resolver problemas de variación directa.
- Resolver problemas de variación inversa.
- Resolver problemas que impliquen una variación conjunta.
Un concesionario de automóviles usados acaba de ofrecer a su mejor candidata, Nicole, un cargo en ventas. El cargo ofrece una comisión del 16 % sobre sus ventas. Sus ganancias dependen del importe de sus ventas. Por ejemplo, si vende un vehículo por 4.600 dólares, ganará 736 dólares. Al considerar la oferta, tiene en cuenta el precio típico de los automóviles del concesionario, el mercado en general y cuántos puede esperar vender razonablemente. En esta sección, examinaremos las relaciones, como esta, entre las ganancias, las ventas y la tasa de comisión.
Resolver problemas de variación directa
En el ejemplo anterior, las ganancias de Nicole se hallan al multiplicar sus ventas por su comisión. La fórmula nos cuenta sus ganancias, provienen del producto de 0,16, su comisión, y el precio de venta del vehículo. Si creamos una tabla, observamos que, a medida que aumenta el precio de venta, también aumentan las ganancias, lo que debería ser intuitivo. Vea la Tabla 1.
| , precios de venta | Interpretación | |
|---|---|---|
| $4.600 | La venta de un vehículo de 4.600 dólares supone una ganancia de 736 dólares. | |
| $9.200 | La venta de un vehículo de 9.200 dólares supone una ganancia de 1.472 dólares. | |
| $18.400 | La venta de un vehículo de 18.400 dólares supone una ganancia de 2.944 dólares. |
Observe que las ganancias son un múltiplo de las ventas. A medida que aumentan las ventas, las ganancias se incrementan de forma previsible. Duplicamos las ventas del vehículo de 4.600 a 9.200 dólares, y duplicamos las ganancias de 736 a 1.472 dólares. A medida que aumenta la entrada, la salida aumenta como un múltiplo de la entrada. La relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se denomina variación directa. Cada variable en este tipo de relación varía directamente con la otra.
La Figura 1 representa los datos de las posibles ganancias de Nicole. Decimos que las ganancias varían directamente con el precio de venta del automóvil. La fórmula se utiliza para la variación directa. El valor es una constante no nula mayor que cero y se denomina constante de variación. En este caso, y
Variación directa
Si los valores de están relacionados por una ecuación de la forma
entonces decimos que la relación es de variación directa y varía directamente con la enésima potencia de En las relaciones de variación directa, existe un cociente constante no nulo donde se denomina constante de variación, que ayuda a definir la relación entre las variables.
Cómo
Dada la descripción de un problema de variación directa, resolver una incógnita
- Identifique la entrada, y la salida,
- Determine la constante de variación. Es posible que tenga que dividir entre la potencia especificada de para determinar la constante de variación.
- Utilice la constante de variación para escribir una ecuación para la relación.
- Sustituya los valores conocidos en la ecuación para hallar la incógnita.
Ejemplo 1
Resolver un problema de variación directa
La cantidad varía directamente con el cubo de Si cuando calcule cuando es 6.
Solución
La fórmula general para la variación directa con un cubo es La constante se halla al dividir entre el cubo de
Ahora, utilice la constante para escribir una ecuación que represente esta relación.
Sustituya y resuelva para
Preguntas y respuestas
¿Los gráficos de todas las ecuaciones de variación directa se parecen al Ejemplo 1?
No. Las ecuaciones de variación directa son funciones de potencia: pueden ser lineales, cuadráticas, cúbicas, cuárticas, radicales, etc. No obstante, todos los gráficos pasan por
Inténtelo #1
La cantidad varía directamente con el cuadrado de Si cuando calcule cuando es 4.
Resolver problemas de variación inversa
La temperatura del agua en un océano varía inversamente a la profundidad del agua. Entre las profundidades de 250 pies y 500 pies, la fórmula nos da la temperatura en grados Fahrenheit a una profundidad en pies bajo la superficie de la Tierra. Consideremos el Océano Atlántico, que cubre el 22 % de la superficie de la Tierra. En un lugar determinado, a una profundidad de 500 pies, la temperatura puede ser de 28 °F.
Si creamos la Tabla 2, observamos que, a medida que aumenta la profundidad, la temperatura del agua disminuye.
| profundidad | Interpretación | |
|---|---|---|
| 500 pies | A una profundidad de 500 pies, la temperatura del agua es de 28 °F. | |
| 350 pies | A una profundidad de 350 pies, la temperatura del agua es de 40 °F. | |
| 250 pies | A una profundidad de 250 pies, la temperatura del agua es de 56 °F. |
Observamos en la relación entre estas variables que, a medida que una cantidad aumenta, la otra disminuye. Se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales y que cada término varía inversamente con el otro. Las relaciones inversamente proporcionales también se denominan variaciones inversas.
Para nuestro ejemplo, la Figura 3 representa la variación inversa. Decimos que la temperatura del agua varía inversamente a la profundidad del agua porque, a medida que la profundidad aumenta, la temperatura disminuye. La fórmula para la variación inversa en este caso utiliza
Variación inversa
Si los valores de y están relacionados por una ecuación de la forma
donde es una constante no nula, entonces decimos que varía inversamente con la enésima potencia de En las relaciones inversamente proporcionales o variaciones inversas hay un múltiplo constante
Ejemplo 2
Escribir una fórmula para una relación inversamente proporcional
Un turista planea conducir 100 millas. Halle una fórmula para el tiempo que durará el viaje en función de la velocidad a la que conduce el turista.
Solución
Recordemos que, al multiplicar la velocidad por el tiempo, se obtiene la distancia. Supongamos que representan el tiempo de conducción en horas, y representa la velocidad (rapidez o tasa) a la que el turista conduce, entonces Dado que la distancia está fijada en 100 millas, Resolviendo esta relación para el tiempo nos da nuestra función.
Podemos ver que la constante de variación es 100 y, aunque podemos escribir la relación mediante el exponente negativo, es más común verla escrita como una fracción.
Cómo
Dada la descripción de un problema de variación indirecta, resolver una incógnita
- Identifique la entrada, y la salida,
- Determine la constante de variación. Es posible que tenga que multiplicar entre la potencia especificada de para determinar la constante de variación.
- Utilice la constante de variación para escribir una ecuación para la relación.
- Sustituya los valores conocidos en la ecuación para hallar la incógnita.
Ejemplo 3
Resolver un problema de variación inversa
Una cantidad varía inversamente con el cubo de Si cuando calcule cuando es 6.
Solución
La fórmula general de la variación inversa con un cubo es La constante se halla al multiplicar entre el cubo de
Ahora utilizamos la constante para escribir una ecuación que represente esta relación.
Sustituya y resuelva para
Análisis
El gráfico de esta ecuación es una función racional, como se muestra en la Figura 4.
Inténtelo #2
Una cantidad varía inversamente con el cuadrado de Si cuando calcule cuando es 4.
Resolver problemas que implican una variación conjunta
Muchas situaciones son más complicadas que un modelo básico de variación directa o de variación inversa. Una variable suele depender de varias otras variables. Cuando una variable depende del producto o cociente de dos o más variables, se denomina variación conjunta. Por ejemplo, el costo del transporte en autobús de los alumnos por cada viaje escolar varía en función del número de alumnos que asisten y de la distancia de la escuela. La variable costo, varía junto con el número de estudiantes, y la distancia,
Variación conjunta
La variación conjunta se produce cuando una variable varía directa o inversamente con múltiples variables.
Por ejemplo, si varía directamente tanto con y tenemos Si varía directamente con e inversamente con tenemos Observe que solo utilizamos una constante en una ecuación de variación conjunta.
Ejemplo 4
Resolver de problemas que implican una variación conjunta
Una cantidad varía directamente con el cuadrado de e inversamente con la raíz cúbica de Si cuando y calcule cuando y
Solución
Empiece por escribir una ecuación para mostrar la relación entre las variables.
Sustituya y para hallar el valor de la constante
Ahora podemos sustituir el valor de la constante en la ecuación de la relación.
Para hallar cuando y sustituiremos los valores de y en nuestra ecuación.
Inténtelo #3
varía directamente con el cuadrado de e inversamente con Si cuando y calcule cuando y
Media
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la variación directa e inversa.
3.9 Ejercicios de sección
Verbales
¿Qué hay de cierto en el aspecto de los gráficos que reflejan una variación directa entre dos variables?
Si dos variables varían inversamente, ¿cómo será la ecuación que represente su relación?
Algebraicos
En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación que describa la relación de las variables dadas.
varía directamente como y cuando
varía directamente como la raíz cuadrada de y cuando
varía directamente como la raíz cúbica de y cuando
varía inversamente a y cuando
varía inversamente al cubo de y cuando
varía inversamente a la raíz cuadrada de y cuando
varía junto con y y cuando y ,
varía conjuntamente como el cuadrado de y el cuadrado de y cuando y , entonces
varía conjuntamente como el cuadrado de el cubo de y la raíz cuadrada de Cuando ,, y
varía conjuntamente como el cuadrado de y la raíz cuadrada de e inversamente como el cubo de Cuando
varía junto como y e inversamente como la raíz cuadrada de y el cuadrado de Cuando , , y , entonces
Numéricos
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para determinar el valor desconocido.
varía directamente como . Cuando , entonces . Calcule cuando
varía directamente como el cubo de . Cuando , entonces . Calcule cuando .
varía directamente como la raíz cúbica de Cuando , entonces . Calcule cuando ,
varía inversamente con el cuadrado de . Cuando , entonces . Calcule cuando .
varía inversamente con la raíz cuadrada de Cuando entonces Halle cuando
varía junto como Cuando y entonces Halle cuando y
varía junto como y el cuadrado de Cuando y entonces Halle cuando y
varía junto como y e inversamente como Cuando y entonces Halle cuando y y
varía conjuntamente como el cuadrado de y el cubo de e inversamente como la raíz cuadrada de Cuando y entonces Halle cuando y
varía conjuntamente como el cuadrado de y de e inversamente como la raíz cuadrada de y de Cuando y entonces Halle cuando y
En tecnología
En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la ecuación implícita en la variación dada.
varía directamente como el cubo de y cuando
varía inversamente con y cuando
Extensiones
En los siguientes ejercicios, utilice la ley de Kepler, que establece que el cuadrado del tiempo, que se necesita para que un planeta orbite alrededor del Sol varía directamente con el cubo de la distancia media, que el planeta es del Sol.
Utilizando el tiempo de la Tierra de 1 año y la distancia media de 93 millones de millas, halle la ecuación que relaciona y
Utilice el resultado del ejercicio anterior para determinar el tiempo necesario para que Marte orbite el Sol si su distancia media es de 142 millones de millas.
Utilizando la distancia de la Tierra de 150 millones de kilómetros, halle la ecuación que relaciona y
Utilice el resultado del ejercicio anterior para determinar el tiempo necesario para que Venus orbite el Sol si su distancia media es de 108 millones de kilómetros.
Utilizando la distancia de la Tierra de 1 unidad astronómica (U.A.), determine el tiempo que tarda Saturno en orbitar el Sol si su distancia media es de 9,54 U.A.
Aplicaciones en el mundo real
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para responder las preguntas.
La distancia a la que cae un objeto varía directamente con el cuadrado del tiempo, de la caída. Si un objeto cae 16 pies en un segundo, ¿cuánto tiempo tarda en caer 144 pies?
La velocidad de un objeto que cae varía directamente al tiempo, de la caída. Si, después de 2 segundos, la velocidad del objeto es de 64 pies por segundo, ¿cuál es la velocidad después de 5 segundos?
La velocidad de vibración de una cuerda sometida a una tensión constante varía inversamente a la longitud de la cuerda. Si una cuerda mide 24 pulgadas y vibra 128 veces por segundo, ¿cuál es la longitud de una cuerda que vibra 64 veces por segundo?
El volumen de un gas mantenido a temperatura constante varía indirectamente como la presión del gas. Si el volumen de un gas es de 1.200 centímetros cúbicos, cuando la presión es de 200 milímetros de mercurio, ¿cuál es el volumen cuando la presión es de 300 milímetros de mercurio?
El peso de un objeto sobre la superficie de la Tierra varía inversamente con el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Si un cuerpo pesa 50 libras cuando está a 3.960 millas del centro de la Tierra, ¿cuánto pesaría si estuviera a 3.970 millas del centro de la Tierra?
La intensidad de la luz medida en pies candela varía inversamente al cuadrado de la distancia a la fuente de luz. Supongamos que la intensidad de una bombilla es de 0,08 pies candela a una distancia de 3 metros. Halle el nivel de intensidad a 8 metros.
La corriente en un circuito varía inversamente con su resistencia medida en ohmios. Cuando la corriente en un circuito es de 40 amperios, la resistencia es de 10 ohmios. Halle la corriente si la resistencia es de 12 ohmios.
La fuerza que ejerce el viento sobre una superficie plana varía junto con el cuadrado de la velocidad del viento y con el área de la superficie plana. Si el área de la superficie es de 40 pies cuadrados y la velocidad del viento es de 20 millas por hora, la fuerza resultante es de 15 libras. Halle la fuerza sobre una superficie de 65 pies cuadrados a una velocidad de 30 millas por hora.
La potencia (CV) que un eje puede transmitir con seguridad varía junto con su velocidad (en revoluciones por minuto [rpm]) y el cubo del diámetro. Si el eje de un determinado material de 3 pulgadas de diámetro puede transmitir 45 CV a 100 rpm, ¿qué diámetro deberá tener para transmitir 60 CV a 150 rpm?
La energía cinética de un objeto en movimiento varía junto con su masa y el cuadrado de su velocidad Si un objeto que pesa 40 kilogramos a una velocidad de 15 metros por segundo tiene una energía cinética de 1.000 julios, halle la energía cinética si la velocidad aumenta a 20 metros por segundo.