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Precálculo 2ed

3.4 Gráfico de funciones polinómicas

Precálculo 2ed3.4 Gráfico de funciones polinómicas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Reconocer las características de los gráficos de las funciones polinómicas.
  • Utilizar la factorización para hallar los ceros de las funciones polinómicas.
  • Identificar los ceros y sus multiplicidades.
  • Determinar el comportamiento final.
  • Comprender la relación entre grado y puntos de inflexión.
  • Graficar funciones polinómicas.
  • Utilizar el teorema del valor intermedio.

Los ingresos en millones de dólares desde 2006 hasta 2013 de una empresa de cable ficticia se muestran en la Tabla 1.

Año 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Ingresos 52,4 52,8 51,2 49,5 48,6 48,6 48,7 47,1
Tabla 1

Los ingresos pueden modelarse con la función polinómica

R(t)=0,037 t 4 +1,414 t 3 19,777 t 2 +118,696t205,332 R(t)=0,037 t 4 +1,414 t 3 19,777 t 2 +118,696t205,332

donde R R representa los ingresos en millones de dólares y t t representa el año, con t=6 t=6 correspondiente a 2006. ¿En qué intervalos aumentan los ingresos de la empresa? ¿En qué intervalos disminuyen los ingresos de la empresa? Estas preguntas, junto con muchas otras, pueden responderse al examinar el gráfico de la función polinómica. Ya hemos explorado el comportamiento local de las cuadráticas, que es un caso especial de los polinomios. En esta sección exploraremos el comportamiento local de los polinomios en general.

Reconocer las características de los gráficos de las funciones polinómicas

Las funciones polinómicas de grado 2 o más constan de gráficos que no tienen ángulos agudos; recuerde que estos gráficos se denominan curvas fluidas. Las funciones polinómicas también muestran gráficos que no tienen cortes. Las curvas sin cortes se denominan continuas. La Figura 1 muestra un gráfico que representa una función polinómica y un gráfico que representa una función que no es un polinomio.

Gráfico de f(x)=x^3-0,01x.
Figura 1

Ejemplo 1

Reconocer las funciones polinómicas

¿Cuál de los gráficos en la Figura 2 representa una función polinómica?

Dos gráficos en los que uno tiene una función polinómica y el otro tiene una función muy parecida a un polinomio, pero no lo es.
Figura 2

Preguntas y respuestas

¿Todas las funciones polinómicas tienen como dominio todos los números reales?

Sí. Cualquier número real es una entrada válida para una función polinómica.

Usar la factorización para hallar los ceros de las funciones polinómicas

Recordemos que si f f es una función polinómica, los valores de x x en el que f( x )=0 f( x )=0 se llaman ceros de f. f. Si la ecuación de la función polinómica se puede factorizar, podemos poner cada factor igual a cero y resolver los ceros.

Podemos utilizar este método para hallar las intersecciones en x x porque en las intersecciones en x x hallamos los valores de entrada cuando el valor de salida es cero. En los polinomios generales, esto puede ser un desafío. Mientras que las cuadráticas pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática, relativamente sencilla, las fórmulas correspondientes para los polinomios cúbicos y de cuarto grado no son tan sencillas de recordar, y no existen fórmulas para los polinomios generales de grado superior. En consecuencia, en esta sección nos limitaremos a tres casos:

  1. El polinomio se puede factorizar con métodos conocidos: máximo común divisor y factorización de trinomios.
  2. El polinomio se da en forma factorizada.
  3. La tecnología se utiliza para determinar las intersecciones.

Cómo

Dada una función polinómica f, f, hallar las intersecciones en x mediante la factorización.

  1. Establezca f( x )=0. f( x )=0.
  2. Si la función polinómica no está dada en forma factorizada:
    1. Factorizar cualquier factor monomial común.
    2. Factorizar cualquier binomio o trinomio factorizable.
  3. Llevar cada factor a cero y resolver para hallar las intersecciones en x x .

Ejemplo 2

Hallar las intersecciones en x de una función polinómica mediante la factorización

Halle las intersecciones en x de f(x)= x 6 -3 x 4 +2 x 2 . f(x)= x 6 -3 x 4 +2 x 2 .

Ejemplo 3

Hallar las intersecciones en x de una función polinómica mediante la factorización

Calcule las intersecciones en x x de f(x)= x 3 -5 x 2 -x+5. f(x)= x 3 -5 x 2 -x+5.

Ejemplo 4

Hallar las intersecciones en y, así como en x de un polinomio en forma factorizada

Calcule las intersecciones en y y así como las intersecciones en x de g(x)= (x-2 ) 2 (2 x+3). g(x)= (x-2 ) 2 (2 x+3).

Análisis

Siempre podemos comprobar que nuestras respuestas son razonables con una calculadora gráfica para graficar el polinomio como se muestra en la Figura 5.

Gráfico de f(x)=x^3-5x^2-x+5 con sus tres intersecciones (-1, 0), (1, 0) y (5, 0).
Figura 5

Ejemplo 5

Hallar las intersecciones en x de una función polinómica mediante un gráfico

Calcule las intersecciones en x  x  de h(x)= x 3 +4 x 2 +x6. h(x)= x 3 +4 x 2 +x6.

Inténtelo #1

Calcule las intersecciones en y y y en x de la función f(x)= x 4 19 x 2 +30x. f(x)= x 4 19 x 2 +30x.

Identificar los ceros y sus multiplicidades

Los gráficos se comportan de manera diferente en diversas intersecciones en x x . A veces, el gráfico cruza el eje horizontal en una intersección. Otras veces, el gráfico toca el eje horizontal y rebota.

Supongamos, por ejemplo, que graficamos la función

f(x)=(x+3) (x-2 ) 2 (x+1) 3 . f(x)=(x+3) (x-2 ) 2 (x+1) 3 .

Observe que en la Figura 7 el comportamiento de la función en cada una de las intersecciones en x x es diferente.

Gráfico de h(x)=x^3+4x^2+x-6.
Figura 7 Identificar el comportamiento del gráfico en una intersección en x al examinar la multiplicidad del cero.

La intersección en x x −3 −3 es la solución de la ecuación (x+3)=0. (x+3)=0. El gráfico pasa directamente por la intersección en x x en x=-3. x=-3. El factor es lineal (tiene un grado de 1), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una línea: pasa directamente por la intersección. Llamamos a esto un solo cero porque el cero corresponde a un solo factor de la función.

La intersección en x x 2 2 es la solución repetida de la ecuación (x-2 ) 2 =0. (x-2 ) 2 =0. El gráfico toca el eje en la intersección y cambia de dirección. El factor es cuadrático (grado 2), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de un cuadrático: rebota del eje horizontal en la intersección.

(x-2 ) 2 =(x-2 )(x-2 ) (x-2 ) 2 =(x-2 )(x-2 )

El factor se repite, es decir, el factor ( x-2 ) ( x-2 ) aparece dos veces. El número de veces que aparece un factor determinado en la forma factorizada de la ecuación de un polinomio se denomina multiplicidad. El cero asociado a este factor, x=2 , x=2 , tiene multiplicidad 2 porque el factor ( x-2 ) ( x-2 ) ocurre dos veces.

La intersección en x x 1 1 es la solución repetida del factor (x+1) 3 =0. (x+1) 3 =0. El gráfico pasa por el eje en la intersección, pero se aplana un poco primero. Este factor es cúbico (grado 3), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una cúbica, con la misma forma de S cerca de la intersección que la función de la caja de herramientas f( x )= x 3 . f( x )= x 3 . A esto lo denominamos triple cero, o un cero con multiplicidad 3.

En los ceros con multiplicidades pares, los gráficos tocan o son tangentes al eje x x . En los ceros con multiplicidades impares, los gráficos cruzan o se intersecan con el eje x x . Consulte en la Figura 8 ejemplos de gráficos de funciones polinómicas con multiplicidad 1, 2 y 3.

Gráfico de f(x)=(x+3)(x-2)^2(x+1)^3.
Figura 8

Para potencias pares más altas, como 4, 6 y 8, el gráfico seguirá tocando y rebotando en el eje horizontal. Sin embargo, por cada potencia par creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerque y abandone el eje x x .

En las potencias impares más altas, como 5, 7 y 9, el gráfico seguirá cruzando el eje horizontal. Sin embargo, por cada potencia impar creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerque y abandone el eje x x .

Comportamiento gráfico de los polinomios en las intersecciones en x x

Si un polinomio contiene un factor de la forma (x-h) p , (x-h) p , el comportamiento cerca de la intersección en x x h h se determina por la potencia p. p. Decimos que x=h x=h es un cero de multiplicidad p. p.

El gráfico de una función polinómica toca la intersección en x x en ceros con multiplicidades pares. El gráfico cruza el eje x en los ceros con multiplicidades impares.

La suma de las multiplicidades es el grado de la función polinómica.

Cómo

Dado un gráfico de una función polinómica de grado. n, n, identificar los ceros y sus multiplicidades.

  1. Si el gráfico cruza el eje x, por lo que parece casi lineal en la intersección, se trata de un único cero.
  2. Si el gráfico toca el eje x, para rebotar en el eje, es un cero con multiplicidad par.
  3. Si el gráfico cruza el eje x en un cero, es un cero con multiplicidad impar.
  4. La suma de las multiplicidades es n. n.

Ejemplo 6

Identificar los ceros y sus multiplicidades

Utilice el gráfico de la función de grado 6 en la Figura 9 para identificar los ceros de la función y sus posibles multiplicidades.

Tres gráficos que muestran tres funciones polinómicas diferentes con multiplicidad 1, 2 y 3.
Figura 9

Inténtelo #2

Utilice el gráfico de la función de grado 7 en la Figura 10 para identificar los ceros de la función y sus multiplicidades.

Gráfico de un polinomio de grado par con grado 6.
Figura 10

Determinar el comportamiento final

Como ya hemos aprendido, el comportamiento del gráfico de una función polinómica de la forma

f(x)= a n x n + a n1 x n1 +...+ a 1 x+ a 0 f(x)= a n x n + a n1 x n1 +...+ a 1 x+ a 0

al final sube o baja en la medida en que x x aumenta sin límites, y sube o bajar a medida que x x disminuye sin límites. Esto se debe a que, en el caso de las entradas muy grandes, por ejemplo 100 o 1.000, el término principal domina el tamaño de la salida. Lo mismo ocurre con entradas muy pequeñas, por ejemplo -100 o -1.000.

Recordemos que llamamos a este comportamiento el comportamiento final de una función. Como señalamos al hablar de las ecuaciones cuadráticas, cuando el término principal de una función polinómica, a n x n , a n x n , es una función potencia par, a medida que x x aumenta o disminuye sin límites, f(x) f(x) aumenta sin límites. Cuando el término principal es una función potencia impar, a medida que x x disminuye sin límites, f(x) f(x) también disminuye sin límite; a medida que x x aumenta sin límites, f(x) f(x) también aumenta sin límites. Si el término principal es negativo, cambia la dirección del comportamiento final. La Figura 11 resume los cuatro casos.

Gráfico de una función polinómica de grado 5.
Figura 11

Comprender la relación entre el grado y los puntos de inflexión

Además del comportamiento final, recordemos que podemos analizar el comportamiento local de una función polinómica. Puede tener un punto de inflexión en el que el gráfico pasa de ser creciente a ser decreciente (de aumento a disminución) o de decreciente a creciente (de disminución a aumento). Observe el gráfico de la función polinómica f(x)= x 4 - x 3 -4 x 2 +4x f(x)= x 4 - x 3 -4 x 2 +4x en la Figura 12. El gráfico tiene tres puntos de inflexión.

Gráfico de un polinomio de grado impar con coeficiente principal negativo. Observe que, cuando x va al infinito positivo, f(x) va al infinito negativo, y cuando x va al infinito negativo, f(x) va al infinito positivo.
Figura 12

Esta función f f es una función polinómica de 4.º grado y tiene 3 puntos de inflexión. El número máximo de puntos de inflexión de una función polinómica es siempre uno menos que el grado de la función.

Interpretar los puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto en el gráfico en el que este pasa de ser creciente a ser decreciente (de aumento a disminución) o de decreciente a creciente (de disminución a aumento).

Un polinomio de grado n n tendrá como máximo n1 n1 puntos de inflexión.

Ejemplo 7

Hallar el número máximo de puntos de inflexión mediante el grado de una función polinómica

Halle el número máximo de puntos de inflexión de cada función polinómica.

  1. f(x)=- x 3 +4 x 5 -3 x 2 +1 f(x)=- x 3 +4 x 5 -3 x 2 +1
  2. f(x)=- ( x1 ) 2 ( 1+2 x 2 ) f(x)=- ( x1 ) 2 ( 1+2 x 2 )

Graficar funciones polinómicas

Podemos utilizar lo que hemos aprendido acerca de las multiplicidades, el comportamiento final y los puntos de inflexión para trazar gráficos de funciones polinómicas. Pongamos todo esto en orden y veamos los pasos necesarios para graficar funciones polinómicas.

Cómo

Dada una función polinómica, dibujar el gráfico.

  1. Calcule las intersecciones.
  2. Compruebe la simetría. Si la función es una función par, su gráfico es simétrico con respecto al eje y y , es decir, f( -x )=f( x ). f( -x )=f( x ). Si una función es impar, su gráfico es simétrico con respecto al origen, es decir, f( -x )=-f( x ). f( -x )=-f( x ).
  3. Utilice las multiplicidades de los ceros para determinar el comportamiento del polinomio en las intersecciones en x x .
  4. Determine el comportamiento final al examinar el término principal.
  5. Utilice el comportamiento final y el comportamiento en las intersecciones para trazar un gráfico.
  6. Verifique que el número de puntos de inflexión no sea superior a uno menos que el grado del polinomio.
  7. Opcionalmente, utilice la tecnología para comprobar el gráfico.

Ejemplo 8

Trazar el gráfico de una función polinómica

Dibuje un gráfico de f(x)=−2 (x+3) 2 (x-5). f(x)=−2 (x+3) 2 (x-5).

Inténtelo #3

Dibuje un gráfico de f(x)= 1 4 x (x1) 4 (x+3) 3 . f(x)= 1 4 x (x1) 4 (x+3) 3 .

Usar el teorema del valor intermedio

En algunas situaciones, podemos conocer dos puntos de un gráfico, pero no los ceros. Si esos dos puntos están en lados opuestos del eje x, podemos confirmar que hay un cero entre ellos. Consideremos una función polinómica f f cuyo gráfico es fluido y continuo. El teorema del valor intermedio establece que para dos números a a y b b en el dominio de f, f, si a<b a<b y f( a )f( b ), f( a )f( b ), entonces la función f f adopta cualquier valor entre f( a ) f( a ) y f( b ). f( b ). Podemos aplicar este teorema a un caso especial que sirva para graficar funciones polinómicas. Si un punto del gráfico de una función continua f f en x=a x=a se encuentra por encima del eje x x y otro punto en x=b x=b se encuentra por debajo del eje x x , debe existir un tercer punto entre x=a x=a y x=b x=b donde el gráfico cruza el eje x x . Llamemos a este punto ( c,f( c ) ). ( c,f( c ) ). Esto significa que estamos seguros de que hay una solución c c donde f( c )=0. f( c )=0.

En otras palabras, el teorema del valor intermedio nos señala que cuando una función polinómica pasa de un valor negativo a un valor positivo, la función deberá cruzar el eje x x . La Figura 17 revela que hay un cero entre a a y b. b.

Gráfico de función polinómica de grado impar que muestra un punto f(a) que es negativo, f(b) que es positivo y f(c) que es 0.
Figura 17 Utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar que existe un cero.

Teorema del valor intermedio

Supongamos que f f es una función polinómica. El teorema del valor intermedio establece que, si f( a ) f( a ) y f( b ) f( b ) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un valor c c entre a a y b b para los cuales f( c )=0. f( c )=0.

Ejemplo 9

Usar el teorema del valor intermedio

Demuestre que la función f(x)= x 3 -5 x 2 +3x+6 f(x)= x 3 -5 x 2 +3x+6 tiene al menos dos ceros reales entre x=1 x=1 y x=4. x=4.

Análisis

También podemos ver en el gráfico de la función en la Figura 18 que hay dos ceros reales entre x=1 x=1 y x=4. x=4.

Gráfico de f(x)=x^3-5x^2+3x+6 y muestra, por el teorema del valor intermedio, que existen dos ceros, ya que f(1)=5 y f(4)=2 son positivos y f(3) = -3 es negativo.
Figura 18

Inténtelo #4

Demuestre que la función f(x)=7 x 5 9 x 4 - x 2 f(x)=7 x 5 9 x 4 - x 2 tiene al menos un cero real entre x=1 x=1 y x=2. x=2.

Escribir fórmulas para funciones polinómicas

Ahora que sabemos cómo hallar los ceros de las funciones polinómicas, podemos utilizarlos para escribir fórmulas basadas en los gráficos. Debido a que una función polinómica escrita en forma factorizada tendrá una intersección en x x , donde cada factor es igual a cero, podemos formar una función que pase por un conjunto de intersecciones en x x al introducir el correspondiente conjunto de factores.

Forma factorizada de los polinomios

Si un polinomio de grado mínimo p p tiene intersecciones horizontales en x= x 1 , x 2 ,, x n , x= x 1 , x 2 ,, x n , entonces el polinomio se puede escribir en la forma factorizada: f(x)=a (x x 1 ) p 1 (x x 2 ) p 2 (x x n ) p n f(x)=a (x x 1 ) p 1 (x x 2 ) p 2 (x x n ) p n donde las potencias p i p i en cada factor se determinan por el comportamiento del gráfico en la intersección correspondiente, y el factor de estiramiento a a se determina dado un valor de la función distinto de la intersección en x.

Cómo

Dado el gráfico de una función polinómica, escribir una fórmula para la función.

  1. Identifique las intersecciones en x del gráfico para hallar los factores del polinomio.
  2. Examine el comportamiento del gráfico en las intersecciones en x para determinar la multiplicidad de cada factor.
  3. Halle el polinomio de grado mínimo que contenga todos los factores determinados en el paso anterior.
  4. Utilice cualquier otro punto en el gráfico (la intersección en y puede ser la más fácil) para determinar el factor de estiramiento.

Ejemplo 10

Escribir la fórmula para una función polinómica a partir del gráfico

Escriba una fórmula para la función polinómica que se muestra en la Figura 19.

Gráfico de polinomio positivo de grado par con ceros en x=-3, 2, 5 e y=-2.
Figura 19

Inténtelo #5

Dado el gráfico en la Figura 20, escriba una fórmula para la función que se muestra.

Gráfico de polinomio negativo de grado par con ceros en x=-1, 2, 4 y en y=-4.
Figura 20

Usar los extremos locales y globales

Con las cuadráticas calculamos algebraicamente el valor máximo o mínimo de la función al hallar el vértice. En los polinomios generales, no es posible hallar estos puntos de inflexión sin técnicas más avanzadas de cálculo. Incluso entonces, hallar dónde se producen los extremos puede ser retador desde el punto de vista del álgebra. Por ahora, estimaremos las ubicaciones de los puntos de inflexión con la tecnología para generar un gráfico.

Cada punto de inflexión representa un mínimo o un máximo local. A veces, el punto de inflexión es el punto más alto o más bajo de todo el gráfico. En estos casos, decimos que el punto de inflexión es un máximo global o un mínimo global. También se denominan valores máximos y mínimos absolutos de la función.

Extremos locales y globales

Un máximo local o mínimo local en x=a x=a (a veces llamado máximo o mínimo relativo, respectivamente) es la salida en el punto más alto o más bajo del gráfico en un intervalo abierto alrededor de x=a. x=a. Si una función tiene un máximo local en a, a, entonces f(a)f(x) f(a)f(x) para todo x x en un intervalo abierto alrededor de x=a. x=a. Si una función tiene un mínimo local en a, a, entonces f(a)f(x) f(a)f(x) para todo x x en un intervalo abierto alrededor de x=a. x=a.

Un máximo global o un mínimo global es la salida en el punto más alto o más bajo de la función. Si una función tiene un máximo global en a, a, entonces f(a)f(x) f(a)f(x) para todo x. x. Si una función tiene un mínimo global en a, a, entonces f(a)f(x) f(a)f(x) para todo x. x.

Podemos ver la diferencia entre extremos locales y globales en la Figura 21.

Gráfico de polinomio de grado par que denota el máximo y el mínimo local y el máximo global.
Figura 21

Preguntas y respuestas

¿Todas las funciones polinómicas tienen un mínimo global o un máximo global?

No. Solo las funciones polinómicas de grado par tienen un mínimo global o un máximo global. Por ejemplo, f( x )=x f( x )=x no tiene ni un máximo global ni un mínimo global.

Ejemplo 11

Usar extremos locales para resolver aplicaciones

Para construir una caja abierta, se recortan cuadrados de cada esquina de una lámina de plástico de 14 cm por 20 cm y se doblan los lados. Halle el tamaño de los cuadrados que hay que recortar para maximizar el volumen que encierra la caja.

Inténtelo #6

Utilice la tecnología para hallar los valores máximos y mínimos en el intervalo [−1,4] [−1,4] de la función f(x)=0,2 (x-2 ) 3 (x+1) 2 (x-4). f(x)=0,2 (x-2 ) 3 (x+1) 2 (x-4).

Media

Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la representación grafica de las funciones polinómicas.

3.4 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Cuál es la diferencia entre la intersección en x x y el cero de una función polinómica f? f?

2.

Si una función polinómica de grado n n tiene n n ceros distintos, ¿qué sabe del gráfico de la función?

3.

Explique cómo el teorema del valor intermedio nos ayuda a determinar el cero de una función.

4.

Explique cómo la forma factorizada del polinomio nos permite graficarlo.

5.

Si el gráfico de un polinomio solo toca el eje x x y luego cambia de dirección, ¿qué podemos concluir sobre la forma factorizada del polinomio?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x x o las intersecciones en tde las funciones polinómicas.

6.

C( t )=2 ( t-4 )( t+1 )(t6) C( t )=2 ( t-4 )( t+1 )(t6)

7.

C( t )=3( t+2 )( t-3 )(t+5) C( t )=3( t+2 )( t-3 )(t+5)

8.

C( t )=4t ( t-2 ) 2 (t+1) C( t )=4t ( t-2 ) 2 (t+1)

9.

C( t )=2 t( t-3 ) ( t+1 ) 2 C( t )=2 t( t-3 ) ( t+1 ) 2

10.

C( t )=2 t 4 8 t 3 +6 t 2 C( t )=2 t 4 8 t 3 +6 t 2

11.

C( t )=4 t 4 +12 t 3 40 t 2 C( t )=4 t 4 +12 t 3 40 t 2

12.

f(x)= x 4 - x 2 f(x)= x 4 - x 2

13.

f(x)= x 3 + x 2 20x f(x)= x 3 + x 2 20x

14.

f(x)= x 3 +6 x 2 -7x f(x)= x 3 +6 x 2 -7x

15.

f(x)= x 3 + x 2 -4x-4 f(x)= x 3 + x 2 -4x-4

16.

f(x)= x 3 +2 x 2 -9x18 f(x)= x 3 +2 x 2 -9x18

17.

f(x)=2 x 3 - x 2 -8x+4 f(x)=2 x 3 - x 2 -8x+4

18.

f(x)= x 6 7 x 3 -8 f(x)= x 6 7 x 3 -8

19.

f(x)=2 x 4 +6 x 2 -8 f(x)=2 x 4 +6 x 2 -8

20.

f(x)= x 3 -3 x 2 -x+3 f(x)= x 3 -3 x 2 -x+3

21.

f(x)= x 6 -2 x 4 -3 x 2 f(x)= x 6 -2 x 4 -3 x 2

22.

f(x)= x 6 -3 x 4 -4 x 2 f(x)= x 6 -3 x 4 -4 x 2

23.

f(x)= x 5 -5 x 3 +4x f(x)= x 5 -5 x 3 +4x

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor intermedio para confirmar que el polinomio dado tiene al menos un cero dentro del intervalo dado.

24.

f(x)= x 3 -9x, f(x)= x 3 -9x, entre x=4 x=4 y x=2. x=2.

25.

f(x)= x 3 -9x, f(x)= x 3 -9x, entre x=2 x=2 y x=4. x=4.

26.

f(x)= x 5 -2 x, f(x)= x 5 -2 x, entre x=1 x=1 y x=2. x=2.

27.

f(x)=- x 4 +4, f(x)=- x 4 +4, entre x=1 x=1 y x=3 x=3 .

28.

f(x)=-2 x 3 -x, f(x)=-2 x 3 -x, entre x=1 x=1 y x=1. x=1.

29.

f(x)= x 3 100x+2 , f(x)= x 3 100x+2 , entre x=0,01 x=0,01 y x=0,1 x=0,1

En los siguientes ejercicios, halle los ceros y dé la multiplicidad de cada uno.

30.

f(x)= ( x+2 ) 3 ( x-3 ) 2 f(x)= ( x+2 ) 3 ( x-3 ) 2

31.

f(x)= x 2 ( 2 x+3 ) 5 ( x-4 ) 2 f(x)= x 2 ( 2 x+3 ) 5 ( x-4 ) 2

32.

f(x)= x 3 ( x1 ) 3 ( x+2 ) f(x)= x 3 ( x1 ) 3 ( x+2 )

33.

f(x)= x 2 ( x 2 +4x+4 ) f(x)= x 2 ( x 2 +4x+4 )

34.

f(x)= ( 2 x+1 ) 3 ( 9 x 2 -6x+1 ) f(x)= ( 2 x+1 ) 3 ( 9 x 2 -6x+1 )

35.

f(x)= ( 3x+2 ) 5 ( x 2 -10x+25 ) f(x)= ( 3x+2 ) 5 ( x 2 -10x+25 )

36.

f(x)=x( 4 x 2 -12x+9 )( x 2 +8x+16 ) f(x)=x( 4 x 2 -12x+9 )( x 2 +8x+16 )

37.

f(x)= x 6 - x 5 -2 x 4 f(x)= x 6 - x 5 -2 x 4

38.

f(x)=3 x 4 +6 x 3 +3 x 2 f(x)=3 x 4 +6 x 3 +3 x 2

39.

f(x)=4 x 5 -12 x 4 +9 x 3 f(x)=4 x 5 -12 x 4 +9 x 3

40.

f(x)=2 x 4 ( x 3 -4 x 2 +4x ) f(x)=2 x 4 ( x 3 -4 x 2 +4x )

41.

f(x)=4 x 4 ( 9 x 4 12 x 3 +4 x 2 ) f(x)=4 x 4 ( 9 x 4 12 x 3 +4 x 2 )

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones polinómicas. Tome nota de las intersecciones en x x y en y y , la multiplicidad y el comportamiento final.

42.

f( x )= ( x+3 ) 2 (x-2 ) f( x )= ( x+3 ) 2 (x-2 )

43.

g( x )=( x+4 ) ( x1 ) 2 g( x )=( x+4 ) ( x1 ) 2

44.

h( x )= ( x1 ) 3 ( x+3 ) 2 h( x )= ( x1 ) 3 ( x+3 ) 2

45.

k( x )= ( x-3 ) 3 ( x-2 ) 2 k( x )= ( x-3 ) 3 ( x-2 ) 2

46.

m( x )=-2 x( x1 )(x+3) m( x )=-2 x( x1 )(x+3)

47.

n( x )=-3x( x+2 )(x-4) n( x )=-3x( x+2 )(x-4)

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir la fórmula de una función polinómica de grado mínimo.

48.
Gráfico de polinomio de grado impar positivo con ceros en x=-2, 1 y 3.
49.
Gráfico de polinomio de grado impar negativo con ceros en x=-3, 1 y 3.
50.
Gráfico de polinomio de grado impar negativo con ceros en x=-1, y 2.
51.
Gráfico de polinomio de grado impar positivo con ceros en x=-2, y 3.
52.
Gráfico de polinomio de grado par negativo con ceros en x=-3, -2, 3 y 4.

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico para identificar los ceros y la multiplicidad.

53.
Gráfico de polinomio de grado par negativo con ceros en x=-4, -2, 1 y 3.
54.
Gráfico de polinomio de grado par positivo con ceros en x=-4, -2 y 3.
55.
Gráfico de polinomio de grado par positivo con ceros en x=-2,, y 3.
56.
Gráfico de polinomio de grado impar negativo con ceros en x=-3, -2 y 1.

En los siguientes ejercicios, disponga de la información dada acerca del gráfico del polinomio para escribir la ecuación.

57.

Grado 3. Ceros en x=–2, x=–2, x=1, x=1, y x=3. x=3. intersección en y, en (0,4). (0,4).

58.

Grado 3. Ceros en x=–5, x=–5, x=-2, x=-2, y x=1. x=1. intersección en y en (0,6) (0,6)

59.

Grado 5. Raíces de multiplicidad 2 en x=3 x=3 y x=1 x=1 , y una raíz de multiplicidad 1 en x=–3. x=–3. intersección en y en (0,9) (0,9)

60.

Grado 4. Raíz de multiplicidad 2 en x=4, x=4, y una raíz de multiplicidad 1 en x=1 x=1 y x=–2. x=–2. intersección en y en (0,3). (0,3).

61.

Grado 5. Doble cero en x=1, x=1, y el triple cero en x=3. x=3. Pasa por el punto (2 ,15). (2 ,15).

62.

Grado 3. Ceros en x=4, x=4, x=3, x=3, y x=2. x=2. intersección en y en ( 0,−24 ). ( 0,−24 ).

63.

Grado 3. Ceros en x=−3, x=−3, x=−2 x=−2 y x=1. x=1. intersección en y en (0,12). (0,12).

64.

Grado 5. Raíces de multiplicidad 2 en x=−3 x=−3 y x=2 x=2 y una raíz de multiplicidad 1 en x=–2. x=–2.

intersección en y en ( 0,4 ). ( 0,4 ).

65.

Grado 4. Raíces de multiplicidad 2 en x= 1 2 x= 1 2 y raíces de multiplicidad 1 en x=6 x=6 y x=–2. x=–2.

intersección en y en ( 0,18 ). ( 0,18 ).

66.

Doble cero en x=−3 x=−3 y el triple cero en x=0. x=0. Pasa por el punto (1,32). (1,32).

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar los mínimos y máximos locales o el mínimo y el máximo global.

67.

f(x)= x 3 -x1 f(x)= x 3 -x1

68.

f(x)=2 x 3 -3x1 f(x)=2 x 3 -3x1

69.

f(x)= x 4 +x f(x)= x 4 +x

70.

f(x)=- x 4 +3x-2 f(x)=- x 4 +3x-2

71.

f(x)= x 4 - x 3 +1 f(x)= x 4 - x 3 +1

Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir una función polinómica de grado mínimo.

72.
Gráfico de polinomio de grado impar positivo con ceros en x = 2/3, 1/2 y 4/3 negativos y en y = 8.
73.
Gráfico de polinomio de grado impar positivo con ceros en x=--200, y 500 y en y=50000000.
74.
Gráfico de polinomio de grado impar positivo con ceros en x=--300, y 100 y en y=-90000.

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, escriba la función polinómica que modele la situación dada.

75.

Un rectángulo tiene una longitud de 10 unidades y una anchura de 8 unidades. Cuadrados de x x por x x se recortan unidades en cada esquina y luego se doblan los lados para crear una caja abierta. Exprese el volumen de la caja como una función polinómica en términos de x. x.

76.

Considere el mismo rectángulo del problema anterior. Cuadrados de 2 x 2 x entre 2 x 2 x unidades se recortan en cada esquina. Exprese el volumen de la caja como un polinomio en términos de x. x.

77.

Un cuadrado tiene lados de 12 unidades. Cuadrados x+1 x+1 entre x+1 x+1 se recortan unidades en cada esquina y luego se doblan los lados para crear una caja abierta. Exprese el volumen de la caja como una función en términos de x. x.

78.

Un cilindro tiene un radio de x+2 x+2 unidades y una altura de 3 unidades más. Exprese el volumen del cilindro como una función polinómica.

79.

Un cono circular recto tiene un radio de 3x+6 3x+6 y una altura de 3 unidades menos. Exprese el volumen del cono como función polinómica. El volumen de un cono es V= 1 3 π r 2 h V= 1 3 π r 2 h para el radio r r y altura h. h.

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