3.4 Gráfico de funciones polinómicas

Reconocer las características de los gráficos de las funciones polinómicas

Las funciones polinómicas de grado 2 o más constan de gráficos que no tienen ángulos agudos; recuerde que estos gráficos se denominan curvas fluidas. Las funciones polinómicas también muestran gráficos que no tienen cortes. Las curvas sin cortes se denominan continuas. La Figura 1 muestra un gráfico que representa una función polinómica y un gráfico que representa una función que no es un polinomio.

Figura 1

Ejemplo 1

Reconocer las funciones polinómicas

¿Cuál de los gráficos en la Figura 2 representa una función polinómica?

Figura 2

Solución

Los gráficos de $f$ y $h$ son de funciones polinómicas. Son fluidos y continuos.

Los gráficos de $g$ y $k$ son de funciones que no son polinomios. El gráfico de la función $g$ tiene una esquina aguda. El gráfico de la función $k$ no es continuo.

Usar la factorización para hallar los ceros de las funciones polinómicas

Recordemos que si $f$ es una función polinómica, los valores de $x$ en el que $f\left(x\right)=0$ se llaman ceros de $f.$ Si la ecuación de la función polinómica se puede factorizar, podemos poner cada factor igual a cero y resolver los ceros.

Podemos utilizar este método para hallar las intersecciones en $x$ porque en las intersecciones en $x$ hallamos los valores de entrada cuando el valor de salida es cero. En los polinomios generales, esto puede ser un desafío. Mientras que las cuadráticas pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática, relativamente sencilla, las fórmulas correspondientes para los polinomios cúbicos y de cuarto grado no son tan sencillas de recordar, y no existen fórmulas para los polinomios generales de grado superior. En consecuencia, en esta sección nos limitaremos a tres casos:

1. El polinomio se puede factorizar con métodos conocidos: máximo común divisor y factorización de trinomios.
2. El polinomio se da en forma factorizada.
3. La tecnología se utiliza para determinar las intersecciones.

Ejemplo 2

Hallar las intersecciones en x de una función polinómica mediante la factorización

Halle las intersecciones en x de $f(x)=x^6-3x^4+2x^2.$

Solución

Podemos intentar factorizar este polinomio con el objeto de hallar soluciones para $f\left(x\right)=0.$

$$\begin{array}{ll}\begin{array}{l}\\ x^6-3x^4+2x^2=0\end{array}\hfill & \begin{array}{l}\begin{array}{l}\\ \text{Factorizar el máximo}\end{array}\hfill \\ \text{común divisor}.\hfill \end{array}\hfill \\ x^2(x^4-3x^2+2)=0\hfill & \text{Factorizar el trinomio}.\hfill \\ x^2(x^2–1)(x^2-2)=0\hfill & \text{Lleve cada factor a cero}.\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{lllllllll}\begin{array}{l}\\ \end{array}\hfill & \begin{array}{l}\\ \end{array}\hfill & \begin{array}{l}\\ \end{array}\hfill & \begin{array}{l}\\ \end{array}\hfill & \begin{array}{l}\\ (x^2–1)=0\end{array}\hfill & \begin{array}{l}\\ \end{array}\hfill & \begin{array}{l}\\ \end{array}\hfill & \begin{array}{l}\\ \end{array}\hfill & \begin{array}{l}\\ (x^2-2)=0\end{array}\hfill \\ x^2=0\hfill & \hfill & \text{o}\hfill & \hfill & x^2=1\hfill & \hfill & \text{o}\hfill & \hfill & x^2=2\hfill \\ x=0\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & x=\pm 1\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & x=\pm \sqrt{2}\hfill \end{array}$$

Esto nos da cinco intersecciones en $x$: $(0,0),(1,0),(-1,0),(\sqrt{2},0),$ y $(–\sqrt{2},0).$ Vea la Figura 3. Podemos ver que se trata de una función par.

Figura 3

Ejemplo 3

Hallar las intersecciones en x de una función polinómica mediante la factorización

Calcule las intersecciones en $x$ de $f(x)=x^3-5x^2-x+5.$

Solución

Halle soluciones para $f(x)=0$ mediante factorización

$$\begin{array}{ll}\begin{array}{l}\hfill \\ x^3-5x^2-x+5=0\hfill \end{array}\hfill & \begin{array}{l}\hfill \\ \text{Factorice por agrupación}.\hfill \end{array}\hfill \\ x^2(x-5)-(x-5)=0\hfill & \text{Factorice el factor común}.\hfill \\ (x^2–1)(x-5)=0\hfill & \text{Factorice la diferencia de cuadrados}.\hfill \\ (x+1)(x–1)(x-5)=0\hfill & \text{Lleve cada factor a cero}.\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{lllll}x+1=0\hfill & \text{o}\hfill & x–1=0\hfill & \text{o}\hfill & x-5=0\hfill \\ x=-1\hfill & \hfill & x=1\hfill & \hfill & x=5\hfill \end{array}$$

Hay tres intersecciones en $x$: $(-1,0),(1,0),$ y $\left(5,0\right).$ Vea la Figura 4.

Figura 4

Ejemplo 4

Hallar las intersecciones en y, así como en x de un polinomio en forma factorizada

Calcule las intersecciones en $y$ así como las intersecciones en x de $g(x)={(x-2)}^2(2x+3).$

Solución

La intersección en y se halla al evaluar $g\left(0\right).$

$$\begin{array}{c}g(0)={(0-2)}^2(2(0)+3)\\ =12\end{array}$$

Así que la intersección en y es $(0,12).$

Las intersecciones en x se hallan al resolver $g\left(x\right)=0.$

$${(x-2)}^2(2x+3)=0$$

$$\begin{array}{lllll}{(x-2)}^2=0\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & (2x+3)=0\hfill \\ x-2=0\hfill & \hfill & \text{o}\hfill & \hfill & x=-\frac{3}{2}\hfill \\ x=2\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill \end{array}$$

Así que las intersecciones en $x$ son $(2,0)$ y $\left(-\frac{3}{2},0\right).$

Análisis

Siempre podemos comprobar que nuestras respuestas son razonables con una calculadora gráfica para graficar el polinomio como se muestra en la Figura 5.

Figura 5

Ejemplo 5

Hallar las intersecciones en x de una función polinómica mediante un gráfico

Calcule las intersecciones en $x$de $h(x)=x^3+4x^2+x-6.$

Solución

Este polinomio no está en forma factorizada, no tiene factores comunes y no parece ser factorizable con las técnicas mencionadas anteriormente. Afortunadamente, podemos utilizar la tecnología para hallar las intersecciones. Tenga en cuenta que algunos valores dificultan la elaboración de gráficos a mano. En estos casos, podemos aprovechar las herramientas gráficas.

Observando el gráfico de esta función, como se muestra en la Figura 6, parece que hay intersecciones en x en $x=\mathrm{-3},\mathrm{–2},$ y $1.$

Figura 6

Podemos comprobar si son correctos al sustituir estos valores por $x$ y verificar que

$$h(-3)=h(–2)=h(1)=0$$

Dado que $h(x)=x^3+4x^2+x-6,$ tenemos:

$$\begin{array}{l}h(-3)={(-3)}^3+4{(-3)}^2+(-3)-6=-27+36-3-6=0\hfill \\ h(–2)={(–2)}^3+4{(–2)}^2+(–2)-6=-8+16-2-6=0\hfill \\ h(1)={(1)}^3+4{(1)}^2+(1)-6=1+4+1-6=0\hfill \end{array}$$

Cada $x$ corresponde a un cero de la función polinómica y cada cero arroja un factor, por lo que ahora podemos escribir el polinomio en forma factorizada.

$$\begin{array}{l}h(x)=x^3+4x^2+x-6\hfill \\ =(x+3)(x+2)(x–1)\hfill \end{array}$$

Identificar los ceros y sus multiplicidades

Los gráficos se comportan de manera diferente en diversas intersecciones en $x$. A veces, el gráfico cruza el eje horizontal en una intersección. Otras veces, el gráfico toca el eje horizontal y rebota.

Supongamos, por ejemplo, que graficamos la función

Observe que en la Figura 7 el comportamiento de la función en cada una de las intersecciones en $x$ es diferente.

Figura 7 Identificar el comportamiento del gráfico en una intersección en x al examinar la multiplicidad del cero.

La intersección en $x$ $\mathrm{-3}$ es la solución de la ecuación $(x+3)=0.$ El gráfico pasa directamente por la intersección en $x$ en $x=-3.$ El factor es lineal (tiene un grado de 1), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una línea: pasa directamente por la intersección. Llamamos a esto un solo cero porque el cero corresponde a un solo factor de la función.

La intersección en $x$ $2$ es la solución repetida de la ecuación ${(x-2)}^2=0.$ El gráfico toca el eje en la intersección y cambia de dirección. El factor es cuadrático (grado 2), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de un cuadrático: rebota del eje horizontal en la intersección.

El factor se repite, es decir, el factor $\left(x-2\right)$ aparece dos veces. El número de veces que aparece un factor determinado en la forma factorizada de la ecuación de un polinomio se denomina multiplicidad. El cero asociado a este factor, $x=2,$ tiene multiplicidad 2 porque el factor $\left(x-2\right)$ ocurre dos veces.

La intersección en $x$ $-1$ es la solución repetida del factor ${(x+1)}^3=0.$ El gráfico pasa por el eje en la intersección, pero se aplana un poco primero. Este factor es cúbico (grado 3), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una cúbica, con la misma forma de S cerca de la intersección que la función de la caja de herramientas $f\left(x\right)=x^3.$ A esto lo denominamos triple cero, o un cero con multiplicidad 3.

En los ceros con multiplicidades pares, los gráficos tocan o son tangentes al eje $x$. En los ceros con multiplicidades impares, los gráficos cruzan o se intersecan con el eje $x$. Consulte en la Figura 8 ejemplos de gráficos de funciones polinómicas con multiplicidad 1, 2 y 3.

Figura 8

Para potencias pares más altas, como 4, 6 y 8, el gráfico seguirá tocando y rebotando en el eje horizontal. Sin embargo, por cada potencia par creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerque y abandone el eje $x$.

En las potencias impares más altas, como 5, 7 y 9, el gráfico seguirá cruzando el eje horizontal. Sin embargo, por cada potencia impar creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerque y abandone el eje $x$.

Ejemplo 6

Identificar los ceros y sus multiplicidades

Utilice el gráfico de la función de grado 6 en la Figura 9 para identificar los ceros de la función y sus posibles multiplicidades.

Figura 9

Solución

La función polinómica es de grado $n.$ La suma de las multiplicidades deberá ser $n.$

Empezando por la izquierda, el primer cero se produce en $x=-3.$ El gráfico toca el eje x, por lo que la multiplicidad del cero deberá ser par. El cero de $\mathrm{-3}$ tiene multiplicidad $2.$

El siguiente cero se produce en $x=\mathrm{-1.}$ El gráfico parece casi lineal en este punto. Se trata de un único cero de multiplicidad 1.

El último cero se produce en $x=4.$ El gráfico cruza el eje x, por lo que la multiplicidad del cero deberá ser impar. Sabemos que la multiplicidad es probablemente 3 y que la suma de las multiplicidades es probablemente 6.

Inténtelo #2

Utilice el gráfico de la función de grado 7 en la Figura 10 para identificar los ceros de la función y sus multiplicidades.

Figura 10

Determinar el comportamiento final

Como ya hemos aprendido, el comportamiento del gráfico de una función polinómica de la forma

al final sube o baja en la medida en que $x$ aumenta sin límites, y sube o bajar a medida que $x$ disminuye sin límites. Esto se debe a que, en el caso de las entradas muy grandes, por ejemplo 100 o 1.000, el término principal domina el tamaño de la salida. Lo mismo ocurre con entradas muy pequeñas, por ejemplo -100 o -1.000.

Recordemos que llamamos a este comportamiento el comportamiento final de una función. Como señalamos al hablar de las ecuaciones cuadráticas, cuando el término principal de una función polinómica, $a_n{x}^n,$ es una función potencia par, a medida que $x$ aumenta o disminuye sin límites, $f(x)$ aumenta sin límites. Cuando el término principal es una función potencia impar, a medida que $x$ disminuye sin límites, $f(x)$ también disminuye sin límite; a medida que $x$ aumenta sin límites, $f(x)$ también aumenta sin límites. Si el término principal es negativo, cambia la dirección del comportamiento final. La Figura 11 resume los cuatro casos.

Figura 11

Comprender la relación entre el grado y los puntos de inflexión

Además del comportamiento final, recordemos que podemos analizar el comportamiento local de una función polinómica. Puede tener un punto de inflexión en el que el gráfico pasa de ser creciente a ser decreciente (de aumento a disminución) o de decreciente a creciente (de disminución a aumento). Observe el gráfico de la función polinómica $f(x)=x^4-x^3-4x^2+4x$ en la Figura 12. El gráfico tiene tres puntos de inflexión.

Figura 12

Esta función $f$ es una función polinómica de 4.^º grado y tiene 3 puntos de inflexión. El número máximo de puntos de inflexión de una función polinómica es siempre uno menos que el grado de la función.

Ejemplo 7

Hallar el número máximo de puntos de inflexión mediante el grado de una función polinómica

Halle el número máximo de puntos de inflexión de cada función polinómica.

1. Ⓐ $f(x)=-x^3+4x^5-3x^2+1$
2. Ⓑ $f(x)=-{\left(x–1\right)}^2\left(1+2x^2\right)$

Solución

1. Ⓐ $f(x)=-x{}^3+4x^5-3x^2+1$

   Primero, reescriba la función polinómica en orden descendente $f(x)=4x^5-x^3-3x^2+1$

   Identifique el grado de la función polinómica. Esta función polinómica es de grado 5.

   El número máximo de puntos de inflexión es $5-1=4.$

2. Ⓑ $f(x)=-{\left(x–1\right)}^2\left(1+2x^2\right)$

En primer lugar, identifique el término principal de la función polinómica si la función se expandiera.

A continuación, identifique el grado de la función polinómica. Esta función polinómica es de grado 4.

El número máximo de puntos de inflexión es $4-1=3.$

Graficar funciones polinómicas

Podemos utilizar lo que hemos aprendido acerca de las multiplicidades, el comportamiento final y los puntos de inflexión para trazar gráficos de funciones polinómicas. Pongamos todo esto en orden y veamos los pasos necesarios para graficar funciones polinómicas.

Ejemplo 8

Trazar el gráfico de una función polinómica

Dibuje un gráfico de $f(x)=\mathrm{-2}{(x+3)}^2(x-5).$

Solución

Este gráfico tiene dos intersecciones en $x$. A $x=\mathrm{-3},$ el factor se eleva al cuadrado, lo que indica una multiplicidad de 2. El gráfico rebota en esta intersección en $x$. A $x=5,$ la función tiene una multiplicidad de uno, lo que indica que el gráfico cruza por el eje en esta intersección.

La intersección en y se halla al evaluar $f(0).$

$$\begin{array}{l}\hfill \\ f(0)=-2{(0+3)}^2(0-5)\hfill \\ =-2\cdot 9\cdot (-5)\hfill \\ =90\hfill \end{array}$$

La intersección en $y$ es $(0,90).$

Además, podemos ver que el término principal, si este polinomio se multiplicara, sería $-2x^3,$ por lo que el comportamiento final es el de una cúbica reflejada verticalmente, donde las salidas disminuyen a medida que las entradas se acercan al infinito, y las salidas aumentan a medida que las entradas se acercan al infinito negativo. Vea la Figura 13.

Figura 13

Para trazar esto, consideramos que:

• Dado que $x\to -\infty$ la función $f(x)\to \infty ,$ por lo que sabemos que el gráfico comienza en el segundo cuadrante y es decreciente hacia el eje de la $x$.
• Dado que $f\left(-x\right)=\mathrm{-2}{\left(-x+3\right)}^2\left(-x–5\right)$ no es igual a $f\left(x\right),$ el gráfico no exhibe simetría.
• A $\left(-3,0\right),$ el gráfico rebota en el eje $x$, por lo que la función deberá comenzar a aumentar.

  A $\left(0,90\right),$ el gráfico cruza el eje $y$ en la intersección en $y$. Vea la Figura 14.

Figura 14

En algún momento después de este punto, el gráfico deberá volver a bajar o empezar a disminuir hacia el eje horizontal porque pasa por la siguiente intersección en $\left(5,0\right).$ Vea la Figura 15.

Figura 15

Dado que $x\to \infty$ la función $f(x)\to \mathrm{-\infty },$ por lo que sabemos que el gráfico sigue disminuyendo, y podemos dejar de dibujarlo en el cuarto cuadrante.

Con la tecnología podemos crear el gráfico de la función polinómica, que se indica en la Figura 16, y verificar que el gráfico resultante se parezca a nuestro trazado en la Figura 15.

Figura 16 El gráfico completo de la función polinómica $f(x)=-2{(x+3)}^2(x-5)$

Usar el teorema del valor intermedio

En algunas situaciones, podemos conocer dos puntos de un gráfico, pero no los ceros. Si esos dos puntos están en lados opuestos del eje x, podemos confirmar que hay un cero entre ellos. Consideremos una función polinómica $f$ cuyo gráfico es fluido y continuo. El teorema del valor intermedio establece que para dos números $a$ y $b$ en el dominio de $f,$ si $a<b$ y $f\left(a\right)\ne f\left(b\right),$ entonces la función $f$ adopta cualquier valor entre $f\left(a\right)$ y $f\left(b\right).$ Podemos aplicar este teorema a un caso especial que sirva para graficar funciones polinómicas. Si un punto del gráfico de una función continua $f$ en $x=a$ se encuentra por encima del eje $x$ y otro punto en $x=b$ se encuentra por debajo del eje $x$, debe existir un tercer punto entre $x=a$ y $x=b$ donde el gráfico cruza el eje $x$. Llamemos a este punto $\left(c,f\left(c\right)\right).$ Esto significa que estamos seguros de que hay una solución $c$ donde $f\left(c\right)=0.$

En otras palabras, el teorema del valor intermedio nos señala que cuando una función polinómica pasa de un valor negativo a un valor positivo, la función deberá cruzar el eje $x$. La Figura 17 revela que hay un cero entre $a$ y $b.$

Figura 17 Utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar que existe un cero.

Ejemplo 9

Usar el teorema del valor intermedio

Demuestre que la función $f(x)=x^3-5x^2+3x+6$ tiene al menos dos ceros reales entre $x=1$ y $x=4.$

Solución

Para empezar, evalúe $f(x)$ en los valores enteros $x=1,2,3,\text{ y }4.$ Vea la Tabla 2.

$x$	1	2	3	4
$f(x)$	5	0	-3	2

Tabla 2

Vemos que se produce un cero en $x=2.$ Además, como $f(3)$ es negativo y $f(4)$ es positivo, por el teorema del valor intermedio, deberá haber al menos un cero real entre 3 y 4.

Hemos demostrado que hay al menos dos ceros reales entre $x=1$ y $x=4.$

Análisis

También podemos ver en el gráfico de la función en la Figura 18 que hay dos ceros reales entre $x=1$ y $x=4.$

Figura 18

Escribir fórmulas para funciones polinómicas

Ahora que sabemos cómo hallar los ceros de las funciones polinómicas, podemos utilizarlos para escribir fórmulas basadas en los gráficos. Debido a que una función polinómica escrita en forma factorizada tendrá una intersección en $x$, donde cada factor es igual a cero, podemos formar una función que pase por un conjunto de intersecciones en $x$ al introducir el correspondiente conjunto de factores.

Forma factorizada de los polinomios

Si un polinomio de grado mínimo $p$ tiene intersecciones horizontales en $x=x_1,x_2,\dots ,x_n,$ entonces el polinomio se puede escribir en la forma factorizada: $f(x)=a{(x–x_1)}^{p_1}{(x–x_2)}^{p_2}\cdots {(x–x_n)}^{p_n}$ donde las potencias $p_i$ en cada factor se determinan por el comportamiento del gráfico en la intersección correspondiente, y el factor de estiramiento $a$ se determina dado un valor de la función distinto de la intersección en x.

Cómo

Dado el gráfico de una función polinómica, escribir una fórmula para la función.

1. Identifique las intersecciones en x del gráfico para hallar los factores del polinomio.
2. Examine el comportamiento del gráfico en las intersecciones en x para determinar la multiplicidad de cada factor.
3. Halle el polinomio de grado mínimo que contenga todos los factores determinados en el paso anterior.
4. Utilice cualquier otro punto en el gráfico (la intersección en y puede ser la más fácil) para determinar el factor de estiramiento.

Ejemplo 10

Escribir la fórmula para una función polinómica a partir del gráfico

Escriba una fórmula para la función polinómica que se muestra en la Figura 19.

Figura 19

Solución

Este gráfico tiene tres intersecciones en $x$: $x=\mathrm{-3},2,$ y $5.$ La intersección en $y$ se encuentra en $(0,-2).$ A $x=\mathrm{-3}$ y $x=5,$ el gráfico pasa por el eje linealmente, lo que sugiere que los factores correspondientes del polinomio serán lineales. A $x=2,$ el gráfico rebota en la intersección, lo que sugiere que el factor correspondiente del polinomio será de segundo grado (cuadrático). En conjunto, esto nos da

$$f(x)=a(x+3){(x-2)}^2(x-5)$$

Para determinar el factor de estiramiento, utilizamos otro punto en el gráfico. Utilizaremos la intersección en $y$ $(0,–2),$ para resolver para $a.$

$$\begin{array}{l}f(0)=a(0+3){(0-2)}^2(0-5)\hfill \\ -2=a(0+3){(0-2)}^2(0-5)\hfill \\ -2=-60a\hfill \\ a=\frac{1}{30}\hfill \end{array}$$

El polinomio graficado parece representar la función $f(x)=\frac{1}{30}(x+3){(x-2)}^2(x-5).$

Inténtelo #5

Dado el gráfico en la Figura 20, escriba una fórmula para la función que se muestra.

Figura 20

Usar los extremos locales y globales

Con las cuadráticas calculamos algebraicamente el valor máximo o mínimo de la función al hallar el vértice. En los polinomios generales, no es posible hallar estos puntos de inflexión sin técnicas más avanzadas de cálculo. Incluso entonces, hallar dónde se producen los extremos puede ser retador desde el punto de vista del álgebra. Por ahora, estimaremos las ubicaciones de los puntos de inflexión con la tecnología para generar un gráfico.

Cada punto de inflexión representa un mínimo o un máximo local. A veces, el punto de inflexión es el punto más alto o más bajo de todo el gráfico. En estos casos, decimos que el punto de inflexión es un máximo global o un mínimo global. También se denominan valores máximos y mínimos absolutos de la función.

Extremos locales y globales

Un máximo local o mínimo local en $x=a$ (a veces llamado máximo o mínimo relativo, respectivamente) es la salida en el punto más alto o más bajo del gráfico en un intervalo abierto alrededor de $x=a.$ Si una función tiene un máximo local en $a,$ entonces $f(a)\ge f(x)$ para todo $x$ en un intervalo abierto alrededor de $x=a.$ Si una función tiene un mínimo local en $a,$ entonces $f(a)\le f(x)$ para todo $x$ en un intervalo abierto alrededor de $x=a.$

Un máximo global o un mínimo global es la salida en el punto más alto o más bajo de la función. Si una función tiene un máximo global en $a,$ entonces $f(a)\ge f(x)$ para todo $x.$ Si una función tiene un mínimo global en $a,$ entonces $f(a)\le f(x)$ para todo $x.$

Podemos ver la diferencia entre extremos locales y globales en la Figura 21.

Figura 21

Preguntas y respuestas

¿Todas las funciones polinómicas tienen un mínimo global o un máximo global?

No. Solo las funciones polinómicas de grado par tienen un mínimo global o un máximo global. Por ejemplo, $f\left(x\right)=x$ no tiene ni un máximo global ni un mínimo global.

Ejemplo 11

Usar extremos locales para resolver aplicaciones

Para construir una caja abierta, se recortan cuadrados de cada esquina de una lámina de plástico de 14 cm por 20 cm y se doblan los lados. Halle el tamaño de los cuadrados que hay que recortar para maximizar el volumen que encierra la caja.

Solución

Comenzaremos este problema al hacer un dibujo como el que aparece en la Figura 22, y etiquetar el ancho de los cuadrados recortados con una variable, $w.$

Figura 22

Observe que, después de cortar un cuadrado de cada extremo, deja un rectángulo de $\left(14-2w\right)$ cm por $\left(20-2w\right)$ cm para la base de la caja, y la caja tendrá $w$ cm de altura. Esto da el volumen

$$\begin{array}{l}V(w)=(20-2w)(14-2w)w\hfill \\ =280w-68w^2+4w^3\hfill \end{array}$$

Observe que, dado que los factores son $w,$ $20–2w$ y $14–2w,$ los tres ceros son 10, 7 y 0, respectivamente. Ya que una altura de 0 cm no es razonable, consideramos únicamente los ceros 10 y 7. El lado más corto es 14 y estamos cortando dos cuadrados, por lo que los valores $w$ que pueden tomarse son mayores que cero o menores que 7. Esto significa que restringiremos el dominio de esta función a $0<w<7.$ Al utilizar la tecnología para dibujar el gráfico de $V\left(w\right)$ en este dominio razonable, obtenemos un gráfico como el de la Figura 23. Podemos utilizar este gráfico para estimar el valor máximo del volumen, restringido a los valores de $w$ que son razonables para este problema: valores de 0 a 7.

Figura 23

A partir de este gráfico, nos centramos apenas en la parte del dominio razonable, $\left[0,7\right].$ Podemos estimar que el valor máximo es de unos 340 cm cúbicos, lo que ocurre cuando los cuadrados tienen unos 2,75 cm en cada lado. Para mejorar esta estimación, podríamos utilizar funciones avanzadas de nuestra tecnología, si están disponibles, o simplemente cambiar nuestra ventana para ampliar nuestro gráfico y producir la Figura 24.

Figura 24

A partir de esta vista ampliada, podemos afinar nuestra estimación del volumen máximo a unos 339 cm cúbicos, cuando los cuadrados miden aproximadamente 2,7 cm en cada lado.

Inténtelo #6

Utilice la tecnología para hallar los valores máximos y mínimos en el intervalo $[\mathrm{-1},4]$ de la función $f(x)=-\mathrm{0,2}{(x-2)}^3{(x+1)}^2(x-4).$

Media

Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la representación grafica de las funciones polinómicas.

• Teorema del valor intermedio