Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Precálculo 2ed

3.1 Números complejos

Precálculo 2ed3.1 Números complejos

Menú
Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Expresar las raíces cuadradas de los números negativos como múltiplos de ii.
  • Representar los números complejos en el plano complejo.
  • Sumar y restar números complejos.
  • Multiplicar y dividir números complejos.

El estudio de las matemáticas se construye continuamente sobre sí mismo. Los números enteros negativos, por ejemplo, llenan el vacío dejado por el conjunto de números enteros positivos. El conjunto de los números racionales, a su vez, llena el vacío dejado por el conjunto de los números enteros. El conjunto de los números reales llena el vacío dejado por el conjunto de los números racionales. No es de extrañar que el conjunto de los números reales también tenga vacíos. Por ejemplo, todavía no tenemos solución para ecuaciones como

x 2 +4=0 x 2 +4=0

Nuestras mejores suposiciones podrían ser +2 o –2. Sin embargo, si probamos +2 en esta ecuación, no funciona. Si probamos –2, no funciona. Si queremos tener una solución para esta ecuación, tendremos que ir más lejos de lo que hemos hecho hasta ahora. Después de todo, hasta ahora hemos descrito la raíz cuadrada de un número negativo como indefinida. Afortunadamente, existe otro sistema de números que proporciona soluciones a tales problemas. En esta sección, exploraremos este sistema numérico y cómo trabajar dentro de él.

Expresar raíces cuadradas de los números negativos como múltiplos de i

Sabemos cómo hallar la raíz cuadrada de cualquier número real positivo. De forma similar, podemos hallar la raíz cuadrada de un número negativo. La diferencia es que la raíz no es real. Si el valor del radicando es negativo, se dice que la raíz es un número imaginario. El número imaginario i i se define como la raíz cuadrada de 1 negativo.

1 =i 1 =i

Entonces, con las propiedades de los radicales,

i 2 = ( -1 ) 2 =-1 i 2 = ( -1 ) 2 =-1

Podemos escribir la raíz cuadrada de cualquier número negativo como un múltiplo de i. i. Considere la raíz cuadrada de –25.

25 = 25(-1)          = 25 1          =5i 25 = 25(-1)          = 25 1          =5i

Utilizamos 5i 5i y no 5i 5i porque la raíz principal de 25 25 es la raíz positiva.

Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario. Un número complejo se expresa en forma estándar cuando se escribe a+bi a+bi donde a a es la parte real y bi bi es la parte imaginaria. Por ejemplo, 5+2 i 5+2 i es un número complejo. También lo es 3+4 3 i . 3+4 3 i .

Mostrar las partes real e imaginaria de 5 + 2i. En este número complejo, 5 es la parte real y 2i es la parte compleja.

Los números imaginarios se distinguen de los reales porque un número imaginario elevado al cuadrado produce un número real negativo. Recordemos que, cuando un número real positivo se eleva al cuadrado, el resultado es un número real positivo y cuando un número real negativo se eleva al cuadrado, de nuevo, el resultado es un número real positivo. Los números complejos son una combinación de números reales e imaginarios.

Números imaginarios y complejos

Un número complejo es un número de la forma a+bi a+bi donde

  • a a es la parte real del número complejo.
  • bi bi es la parte imaginaria del número complejo.

Si los valores de b=0, b=0, entonces a+bi a+bi es un número real. Si los valores de a=0 a=0 y b b no es igual a 0, el número complejo recibe el nombre de número imaginario. Un número imaginario es la raíz par de un número negativo.

Cómo

Dado un número imaginario, expresarlo en forma estándar.

  1. Escriba a a cuando a -1 . a -1 .
  2. Exprese 1 1 cuando i. i.
  3. Escriba a i a i en la forma más sencilla.

Ejemplo 1

Expresar un número imaginario en forma estándar

Exprese 9 9 en forma estándar.

Inténtelo #1

Exprese 24 24 en forma estándar.

Trazar un número complejo en el plano complejo

No podemos representar los números complejos en una línea numérica como lo haríamos con los números reales. Sin embargo, podemos representarlos gráficamente. Para representar un número complejo tenemos que abordar los dos componentes del número. Utilizamos el plano complejo, que es un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal representa la componente real y el eje vertical representa el componente imaginario. Los números complejos son los puntos del plano, expresados como pares ordenados (a,b), (a,b), donde a a representa la coordenada del eje horizontal y b b representa la coordenada del eje vertical.

Consideremos el número −2+3i. −2+3i. La parte real del número complejo es −2 −2 y la parte imaginaria es 3i. 3i. Trazamos el par ordenado (–2,3) (–2,3) para representar el número complejo −2+3i −2+3i como se muestra en la Figura 1.

Gráfico de un número complejo, -2 + 3i. Observe que la parte real (-2) se representa en el eje x y la parte imaginaria (3i) en el eje y.
Figura 1

Plano complejo

En el plano complejo, el eje horizontal es el eje real, y el eje vertical es el eje imaginario, como se muestra en la Figura 2.

El plano complejo muestra que el eje horizontal (en el plano real, el eje x) se conoce como eje real y el eje vertical (en el plano real, el eje y) se conoce como eje imaginario.
Figura 2

Cómo

Dado un número complejo, representar sus componentes en el plano complejo.

  1. Determine la parte real y la parte imaginaria del número complejo.
  2. Muévase por el eje horizontal para mostrar la parte real del número.
  3. Muévase en paralelo al eje vertical para mostrar la parte imaginaria del número.
  4. Trace el punto.

Ejemplo 2

Trazar un número complejo en el plano complejo

Trace el número complejo 3-4i 3-4i en el plano complejo.

Inténtelo #2

Trace el número complejo -4i -4i en el plano complejo.

Sumar y restar números complejos

Al igual que con los números reales, podemos realizar operaciones aritméticas con los números complejos. Para sumar o restar números complejos, combinamos las partes reales y las partes imaginarias.

Números complejos: suma y resta

Sumar números complejos:

( a+bi )+( c+di )=( a+c )+( b+d )i ( a+bi )+( c+di )=( a+c )+( b+d )i

Restar números complejos:

( a+bi )-( c+di )=( a-c )+( bd )i ( a+bi )-( c+di )=( a-c )+( bd )i

Cómo

Dados dos números complejos, hallar la suma o la diferencia.

  1. Identifique las partes real e imaginaria de cada número.
  2. Sume o reste las partes reales.
  3. Sume o reste las partes imaginarias.

Ejemplo 3

Sumar números complejos

Añadir 3-4i 3-4i y 2 +5i. 2 +5i.

Inténtelo #3

Reste 2 +5i 2 +5i a partir de 34i. 34i.

Multiplicar números complejos

Multiplicar números complejos es muy parecido a multiplicar binomios. La principal diferencia es que trabajamos con las partes reales e imaginarias por separado.

Multiplicar un número complejo por un número real

Empecemos por multiplicar un número complejo por un número real. Distribuimos el número real igual que lo haríamos con un binomio. Así, por ejemplo,

Mostrar cómo funciona la distribución para los números complejos. En el caso de 3(6+2i), 3 se multiplica por las partes real e imaginaria. Así que tenemos (3)(6)+(3)(2i) = 18 + 6i.

Cómo

Dado un número complejo y un número real, multiplicar para hallar el producto.

  1. Utilice la propiedad distributiva.
  2. Simplifique.

Ejemplo 4

Multiplicar un número complejo por un número real

Halle el producto 4(2 +5i). 4(2 +5i).

Inténtelo #4

Halle el producto 4(2 +6i). 4(2 +6i).

Multiplicar números complejos juntos

Ahora, multipliquemos dos números complejos. Podemos utilizar la propiedad distributiva o el método FOIL. Recordemos que FOIL es el acrónimo en inglés de multiplicar juntos los términos Primero, Exterior, Interior y Último. Utilizando la propiedad distributiva o el método FOIL, obtenemos

( a+bi )( c+di )=ac+adi+bci+bd i 2 ( a+bi )( c+di )=ac+adi+bci+bd i 2

Ya que i 2 =-1, i 2 =-1, tenemos

( a+bi )( c+di )=ac+adi+bcibd ( a+bi )( c+di )=ac+adi+bcibd

Para simplificar, combinamos las partes reales y las partes imaginarias.

( a+bi )( c+di )=( acbd )+( ad+bc )i ( a+bi )( c+di )=( acbd )+( ad+bc )i

Cómo

Dados dos números complejos, multiplicar para hallar el producto.

  1. Utilice la propiedad distributiva o el método FOIL.
  2. Simplifique.

Ejemplo 5

Multiplicar un número complejo por otro número complejo

Multiplique ( 4+3i )(2 -5i). ( 4+3i )(2 -5i).

Inténtelo #5

Multiplique (3-4i)(2 +3i). (3-4i)(2 +3i).

Dividir números complejos

La división de dos números complejos es más complicada que la suma, la resta y la multiplicación porque no podemos dividir entre un número imaginario, lo que significa que cualquier fracción deberá tener un denominador de número real. Tenemos que hallar un término entre el cual podamos multiplicar el numerador y el denominador que elimine la parte imaginaria del denominador para que acabemos con un número real como denominador. Este término se llama conjugado complejo del denominador, que se encuentra al cambiar el signo de la parte imaginaria del número complejo. En otras palabras, el conjugado complejo de a+bi a+bi es a-bi. a-bi.

Observe que los conjugados complejos tienen una relación recíproca: El conjugado complejo de a+bi a+bi es a-bi, a-bi, y el conjugado complejo de a-bi a-bi es a+bi. a+bi. Además, cuando una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene soluciones complejas, las soluciones son siempre conjugadas complejas entre sí.

Supongamos que queremos dividir c+di c+di entre a+bi, a+bi, donde ni a a ni b b son iguales a cero. Primero escribimos la división como una fracción, luego hallamos el conjugado complejo del denominador y multiplicamos.

c+di a+bi  dondea0 yb0 c+di a+bi  dondea0 yb0

Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador.

( c+di ) ( a+bi ) ( a-bi ) ( a-bi ) = ( c+di )( a-bi ) ( a+bi )( a-bi ) ( c+di ) ( a+bi ) ( a-bi ) ( a-bi ) = ( c+di )( a-bi ) ( a+bi )( a-bi )

Aplicamos la propiedad distributiva.

= ca-cbi+adibd i 2 a 2 -abi+abi b 2 i 2 = ca-cbi+adibd i 2 a 2 -abi+abi b 2 i 2

Simplificamos, recordando que i 2 =−1. i 2 =−1.

= ca-cbi+adibd(-1) a 2 -abi+abi b 2 (-1) = (ca+bd)+(adcb)i a 2 + b 2 = ca-cbi+adibd(-1) a 2 -abi+abi b 2 (-1) = (ca+bd)+(adcb)i a 2 + b 2

El conjugado complejo

El conjugado complejo de un número complejo a+bi a+bi es a-bi. a-bi. Se halla al cambiar el signo de la parte imaginaria del número complejo. La parte real del número no se modifica.

  • Cuando un número complejo se multiplica por su conjugado complejo, el resultado es un número real.
  • Cuando un número complejo se suma a su conjugado complejo, el resultado es un número real.

Ejemplo 6

Hallar conjugados complejos

Halle el conjugado complejo de cada número.

  1. 2 +i 5 2 +i 5
  2. - 1 2 i - 1 2 i

Análisis

Aunque hemos visto que podemos hallar el conjugado complejo de un número imaginario, en la práctica generalmente lo hallamos únicamente de números complejos con una componente real y otra imaginaria. Para obtener un número real a partir de un número imaginario, basta con multiplicar por i. i.

Cómo

Dados dos números complejos, dividir uno entre el otro.

  1. Escriba el problema de división como una fracción.
  2. Determine el conjugado complejo del denominador.
  3. Multiplique el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado complejo del denominador.
  4. Simplifique.

Ejemplo 7

Dividir números complejos

Divida ( 2 +5i ) ( 2 +5i ) entre ( 4i ). ( 4i ).

Ejemplo 8

Sustituir un número complejo en una función polinómica

Supongamos que f(x)= x 2 -5x+2. f(x)= x 2 -5x+2. Evalúe f( 3+i ). f( 3+i ).

Análisis

Escribimos f(3+i)=−5+i. f(3+i)=−5+i. Observe que la entrada es 3+i 3+i y la salida es −5+i. −5+i.

Inténtelo #6

Supongamos que f(x)=2 x 2 -3x. f(x)=2 x 2 -3x. Evalúe f( 8i ). f( 8i ).

Ejemplo 9

Sustituir un número imaginario en una función racional

Supongamos que f( x )= 2 +x x+3 . f( x )= 2 +x x+3 . Evalúe f( 10i ). f( 10i ).

Inténtelo #7

Supongamos que f(x)= x+1 x-4 . f(x)= x+1 x-4 . Evalúe f( -i ). f( -i ).

Simplificar las potencias de i

Las potencias de i i son cíclicas. Veamos qué ocurre cuando elevamos i i a potencias crecientes.

i 1 =i i 2 =-1 i 3 = i 2 i=-1i=-i i 4 = i 3 i=-ii=- i 2 =-(-1)=1 i 5 = i 4 i=1i=i i 1 =i i 2 =-1 i 3 = i 2 i=-1i=-i i 4 = i 3 i=-ii=- i 2 =-(-1)=1 i 5 = i 4 i=1i=i

Podemos ver que, cuando llegamos a la quinta potencia de i, i, es igual a la primera potencia. Mientras seguimos multiplicando i i por sí mismo para potencias crecientes, veremos un ciclo de 4. Examinemos las siguientes 4 potencias de i. i.

i 6 = i 5 i=ii= i 2 =-1 i 7 = i 6 i= i 2 i= i 3 =-i i 8 = i 7 i= i 3 i= i 4 =1 i 9 = i 8 i= i 4 i= i 5 =i i 6 = i 5 i=ii= i 2 =-1 i 7 = i 6 i= i 2 i= i 3 =-i i 8 = i 7 i= i 3 i= i 4 =1 i 9 = i 8 i= i 4 i= i 5 =i

Ejemplo 10

Simplificar las potencias de i i

Evalúe i 35 . i 35 .

Preguntas y respuestas

¿Podemos escribir i 35 i 35 en otras formas útiles?

Como vimos en el Ejemplo 10, redujimos i 35 i 35 con i 3 i 3 al dividir el exponente entre 4 y utilizar el resto para dar con la forma simplificada. Quizás otra factorización de i 35 i 35 sería más conveniente. La Tabla 1 muestra algunas otras factorizaciones posibles.

Factorización de i 35 i 35 i 34 i i 34 i i 33 i 2 i 33 i 2 i 31 i 4 i 31 i 4 i 19 i 16 i 19 i 16
Forma reducida ( i 2 ) 17 i ( i 2 ) 17 i i 33 ( -1 ) i 33 ( -1 ) i 31 1 i 31 1 i 19 ( i 4 ) 4 i 19 ( i 4 ) 4
Forma simplificada ( -1 ) 17 i ( -1 ) 17 i - i 33 - i 33 i 31 i 31 i 19 i 19
Tabla 1

Cada uno de ellos acabará dando la respuesta que hemos obtenido anteriormente, pero puede que se necesiten varios pasos más que nuestro método anterior.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los números complejos.

3.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique cómo sumar números complejos.

2.

¿Cuál es el principio básico de la multiplicación de los números complejos?

3.

Dé un ejemplo para demostrar que el producto de dos números imaginarios no siempre es imaginario.

4.

¿Cuál es la característica del trazado de un número real en el plano complejo?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones algebraicas.

5.

Sif(x)= x 2 +x-4, Sif(x)= x 2 +x-4, evaluar f(2 i). f(2 i).

6.

Sif(x)= x 3 -2 , Sif(x)= x 3 -2 , evaluar f(i). f(i).

7.

Sif(x)= x 2 +3x+5, Sif(x)= x 2 +3x+5, evaluar f(2 +i). f(2 +i).

8.

Sif(x)=2 x 2 +x-3, Sif(x)=2 x 2 +x-3, evaluar f(2 -3i). f(2 -3i).

9.

Sif(x)= x+1 2 -x , Sif(x)= x+1 2 -x , evaluar f(5i). f(5i).

10.

Sif(x)= 1+2 x x+3 , Sif(x)= 1+2 x x+3 , evaluar f(4i). f(4i).

Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine el número de soluciones reales y no reales de cada función cuadrática mostrada.

11.
Gráfico de una parábola que interseca el eje real.
12.
Gráfico de una parábola que no interseca el eje real.

En los siguientes ejercicios, trace los números complejos en el plano complejo.

13.

1-2 i 1-2 i

14.

-2 +3i -2 +3i

15.

i i

16.

-3-4i -3-4i

Numéricos

En los siguientes ejercicios, realice la operación indicada y exprese el resultado como un número complejo simplificado.

17.

( 3+2 i )+(5-3i) ( 3+2 i )+(5-3i)

18.

( 2 -4i )+( 1+6i ) ( 2 -4i )+( 1+6i )

19.

( -5+3i )-(6i) ( -5+3i )-(6i)

20.

( 2 -3i )-(3+2 i) ( 2 -3i )-(3+2 i)

21.

(-4+4i)-(6+9i) (-4+4i)-(6+9i)

22.

( 2 +3i )(4i) ( 2 +3i )(4i)

23.

( 5-2 i )(3i) ( 5-2 i )(3i)

24.

( 6-2 i )(5) ( 6-2 i )(5)

25.

( 2 +4i )( 8 ) ( 2 +4i )( 8 )

26.

( 2 +3i )(4i) ( 2 +3i )(4i)

27.

( -1+2 i )(2 +3i) ( -1+2 i )(2 +3i)

28.

( 42 i )(4+2 i) ( 42 i )(4+2 i)

29.

( 3+4i )( 3-4i ) ( 3+4i )( 3-4i )

30.

3+4i 2 3+4i 2

31.

6-2 i 3 6-2 i 3

32.

-5+3i 2 i -5+3i 2 i

33.

6+4i i 6+4i i

34.

2 -3i 4+3i 2 -3i 4+3i

35.

3+4i 2 i 3+4i 2 i

36.

2 +3i 2 -3i 2 +3i 2 -3i

37.

9 +3 16 9 +3 16

38.

4 -4 25 4 -4 25

39.

2 + 12 2 2 + 12 2

40.

4+ 20 2 4+ 20 2

41.

i 8 i 8

42.

i 15 i 15

43.

i 22 i 22

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para responder las preguntas.

44.

Evalúe (1+i) k (1+i) k para k=4, 8 y 12. k=4, 8 y 12. Prediga el valor si k=16. k=16.

45.

Evalúe (1i) k (1i) k para k=2, 6 y 10. k=2, 6 y 10. Prediga el valor si k=14. k=14.

46.

Evalúe (1+i)k - (1i) k (1+i)k - (1i) k para k=4, 8 y 12 k=4, 8 y 12 . Prediga el valor de k=16. k=16.

47.

Demuestre que una solución de x 6 +1=0 x 6 +1=0 es 3 2 + 1 2 i. 3 2 + 1 2 i.

48.

Demuestre que una solución de x 8 -1=0 x 8 -1=0 es 2 2 + 2 2 i. 2 2 + 2 2 i.

Extensiones

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones al escribir el resultado como un número complejo simplificado.

49.

1 i + 4 i 3 1 i + 4 i 3

50.

1 i 11 - 1 i 21 1 i 11 - 1 i 21

51.

i 7 ( 1+ i 2 ) i 7 ( 1+ i 2 )

52.

i −3 +5 i 7 i −3 +5 i 7

53.

( 2 +i )( 42 i ) (1+i) ( 2 +i )( 42 i ) (1+i)

54.

( 1+3i )( 2 -4i ) (1+2 i) ( 1+3i )( 2 -4i ) (1+2 i)

55.

( 3+i ) 2 ( 1+2 i ) 2 ( 3+i ) 2 ( 1+2 i ) 2

56.

3+2 i 2 +i +( 4+3i ) 3+2 i 2 +i +( 4+3i )

57.

4+i i + 3-4i 1i 4+i i + 3-4i 1i

58.

3+2 i 1+2 i - 2 -3i 3+i 3+2 i 1+2 i - 2 -3i 3+i

Do you know how you learn best?
Kinetic by OpenStax offers access to innovative study tools designed to help you maximize your learning potential.
Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 27 abr. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.